专题12 分式的乘除法与加减法 暑假预习讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题12 分式的乘除法与加减法 暑假预习讲义 ✺知识框架 分式乘除运算板块：类比分数运算规律，搭建分式乘除知识体系。核心包含分式乘法、除法、乘方三大基础法则，配套因式分解、提前约分核心运算技巧，同时涵盖乘除混合运算顺序与标准化解题步骤。 分式加减运算板块：类比分数加减运算逻辑，构建分式加减运算体系。包含同分母分式直接运算、异分母分式通分运算、整式与分式混合加减三类核心内容，覆盖加减混合运算规则与高频易错考点。 ✺学习目标 1.熟记分式乘除、乘方、加减的核心运算法则，理解分式与分数运算的相通性； 2.熟练结合因式分解、约分技巧，规范完成分式乘除、乘方运算，能自主化简结果； 3.掌握同分母、异分母分式及整式与分式的加减运算方法，熟练掌握通分核心技巧； 4.严格遵守分式四则混合运算顺序，规避高频易错点，确保运算结果为最简形式； 5.规范解题书写步骤，形成标准化解题思维，熟练应对课内基础题型。 ✺题型归纳 题型1.分式乘法 题型2.分式除法 题型3.分式乘除混合运算 题型4.分式乘方 题型5.含乘方的分式乘除混合运算 题型6.同分母分式加减法 题型7.异分母分式加减法 题型8.整式与分式相加减 题型9.已知分式恒等式，确定分子或分母 题型10.分式加减混合运算 题型11.分式加减的实际应用 题型12.分式加减乘除混合运算 题型13.分式化简求值 题型14.分式最值 题型15.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、分式的乘法法则 法则内容：两个分式相乘，用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母。 公式表示：×==.(B≠0,D≠0) 核心解读：运算规则与分数乘法一致，分子、分母分别相乘，运算后必须约分至最简分式或整式。 知识点二、分式的除法法则 法则内容：两个分式相除，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 公式表示：÷=×=.(B≠0，C≠0，D≠0) 核心解读：分式除法统一转化为乘法运算。 核心口诀：除以一个分式，等于乘这个分式的倒数。 知识点三、分式乘除运算步骤 化除为乘：将所有除法运算，统一转化为乘除式倒数的乘法运算； 因式分解：对分子、分母中的多项式，优先完成因式分解； 提前约分：找出分子、分母的全部公因式，提前约分简化计算； 合并相乘：剩余因式分别将分子、分母对应相乘； 化简结果：最终结果必须整理为最简分式或整式。 知识点四、分式的乘方 法则内容：分式乘方，需将分子、分母分别乘方。 公式表示：=. (B≠0, n为正整数） 符号规律：正数分式任意次幂为正；负分式偶次幂为正、奇次幂为负。 知识点五、分式乘除混合运算规则 1.运算顺序：先算乘方，再算乘除，同级运算从左至右依次进行； 2.运算技巧：优先化除为乘、因式分解，提前约分简化运算； 注意：未因式分解不能直接硬算。 知识点六、同分母分式加减法法则 法则内容：同分母分式相加减，分母保持不变，仅对分子进行加减运算。 公式表示： = (B≠0) 注意：若分子为多项式，做减法运算时必须添加括号，避免符号错误。 知识点七、异分母分式加减法法则 法则内容：异分母分式相加减，先通分转化为同分母分式，再按照同分母分式加减法法则计算。 公式表示：±= .(B≠0，D≠0) 步骤：确定最简公分母→统一通分变形→分子加减运算→约分至最简。 知识点八、整式与分式的加减运算 将整式看作分母为1的特殊分式，统一通分后，再与分式进行加减运算。 示例：a－－ 知识点九、分式加减运算步骤 判断分母：同分母直接运算，异分母先寻找最简公分母； 统一分母：通过通分，将所有分式化为同分母形式； 化简分子：分子去括号、合并同类项，化简多项式； 最终化简：对结果因式分解、约去公因式，得到最简结果。 知识点十、分式加减混合运算规则 1.无括号：从左至右依次通分、运算； 2.有括号：优先计算括号内部的分式加减运算； 3.核心原则：必须先通分后运算，不能直接对分子、分母单独拆分加减。 ✺题型精讲 题型1.分式乘法 1．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ． 2．计算的结果是______． 【答案】 【分析】根据分式的乘法法则计算即可得出结果． 【详解】解：． 3．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式乘法的运算法则是解题的关键． （1）先根据分式的乘法法则计算，再约分即可； （2）先将分子和分母因式分解，然后按照分式的乘法法则计算，再约分即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 题型2.分式除法 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：原式， 故选：B． 2．计算：______． 【答案】 【分析】先利用平方差公式对原式分母进行因式分解，再根据分式除法法则进行运算即可． 【详解】解： ． 3．计算： 【答案】 【详解】解：原式. 题型3.分式乘除混合运算 1．计算的正确结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题重点考查​分式乘除运算顺序​，​熟练掌握同级运算从左到右的规则和分式乘除法的运算法则是解题的关键． 根据分式的乘除法运算计算即可． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 2．计算______． 【答案】− 【分析】先根据分式除法法则将除法运算转化为乘法运算，再通过约分得到计算结果． 【详解】解： ． 3．计算：． 【答案】 【详解】解：原式． 题型4.分式乘方 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：. 2．计算： （）（   ），括号内依次填：______、______、______； （）（   ）．括号内依次填：_______、_______、_______． 【答案】 【分析】（）应用分式的乘方法则，将分子和分母分别平方后计算即可； （2）应用分式的乘方法则，将分子和分母分别立方，再进行立方运算即可； 本题考查了分式的乘方运算，掌握分式的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）， 故答案为：、、； （）， 故答案为：、、． 3．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ． 题型5.含乘方的分式乘除混合运算 1．（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了含乘方的分式乘除混合运算，解题的关键是掌握分式的运算法则．根据分式的运算法则，先算乘方，再算乘除即可求解． 【详解】解： 故选：D． 2．计算_______． 【答案】/ 【分析】本题考查分式的乘除运算，根据分式的乘除运算即可求出答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是含乘方的分式的乘除混合运算，先计算乘方，再计算乘除即可． 【详解】解： ． 题型6.同分母分式加减法 1．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 2．对于两个分式M和N，我们定义一种新的运算“※”如下：，其中，．例如：，则_______． 【答案】 【分析】按照新运算规则代入对应分式，再根据同分母分式的减法运算法则、因式分解、约分化简即可得到结果． 【详解】解：根据新运算定义，令，代入运算得： ． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解： ． 题型7.异分母分式加减法 1．化简 的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将整式部分通分，转化为同分母分式后进行减法运算，用到平方差公式计算，最后化简得到结果． 【详解】解：原式． 2．计算：______． 【答案】 【分析】根据异分母分式加减法法则计算即可． 【详解】解： ． 3．以下是小明计算的解答过程． 解： …第①步 …第②步 …第③步 …第④步 小明的解答过程从第 步开始出现错误，请你写出正确的解答过程． 【答案】②， 解：， ， ， ， ， ， ． 【详解】解：第②步错在通分后错误地去掉了分母（违背分式基本性质）， 正确的解答过程：略． 题型8.整式与分式相加减 1．计算的结果等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的加减运算，根据分式的运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： 故选：D． 2．计算的结果是________． 【答案】 【分析】将整式通分为分母为的分式，再根据同分母分式的减法法则计算，化简得到结果． 【详解】解：原式． 3．小明在化简时，过程如下： 解：原式 该计算过程有无错误__________．（填有或无）如果有，第__________步开始错误． 请写出正确的计算过程 【答案】有；三，，过程见解析 【分析】本题考查分式的加减运算，观察解答过程知该同学的解答从第三步开始出错；先通分化为同分母的分式相加减．掌握相应的运算法则及公式是解题的关键． 【详解】解：该计算过程有错误，第三步开始错误． 故答案为：有；三； 正确计算过程如下： 原式 ． 题型9.已知分式恒等式，确定分子或分母 1．已知，则分式的值为（  ） A．1 B．-1 C． D．- 【答案】B 【分析】根据，可得，再代入，然后化简，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴ 故选：B 【点睛】本题主要考查了分式的加减，分式的化简，根据题意得到是解题的关键． 2．若，则________． 【答案】 2 【分析】先对等式右边进行通分，根据分式相等的性质得到分子相等，再利用多项式相等对应系数相等建立方程组，求解得到B的值． 【详解】解：对等式右边通分，得， 已知， 分母相同且分式相等，因此分子相等，即， 将等式右边整理为多项式的形式，得， 根据多项式相等，对应项的系数相等，可得方程组， 将， 代入第二个方程，得， ， 解得． 3．已知，其中、为常数，求的值． 【答案】7 【分析】本题考查了分式的减法运算，解二元一次方程，代数式求值，先将通分计算得，再根据题意得关于、的二元一次方程，解方程求得、的值，再代入求值即可． 【详解】解： ， ， ， 解得：， ． 题型10.分式加减混合运算 1．计算的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把分式进行通分，然后计算分式的加减，即可得到答案． 【详解】解：原式． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 2．计算： ______． 【答案】 【分析】根据分式的运算求解即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的有关运算法则． 3．计算：． 【答案】 【分析】分子、分母分别因式分解；然后约去；再通分合并分式，化简即可解答． 【详解】解：原式 ． 题型11.分式加减的实际应用 1．小明骑自行车从家到学校的路程共，其中有的上坡路，的下坡路．若小明走上坡路的速度是，走下坡路的速度是，则他放学回家所用的时间比上学所用的时间多（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】上学和放学的上下坡路程相反，根据时间路程速度，分别计算上学到校和放学回家的总时间，再求时间差即可得到结果． 【详解】∵上学时，上坡路长，速度，下坡路长，速度， ∴上学总时间为， ∵放学回家时，原下坡路变为上坡路，原上坡路变为下坡路，即上坡路长，下坡路长， ∴放学总时间 ∴时间差为：， 即放学回家所用时间比上学到校慢． 2．某人用语音转文字的速度是手动录入文字速度的3倍，设他手动录入的速度为字，那么他语音录入字比手动录入少用_______．（结果化成最简形式） 【答案】 【分析】根据题意得到语音录入的速度，利用时间等于录入总量除以录入速度，分别求出两种录入方式的用时，计算时间差后化简即可得到结果． 【详解】解：由题意可得，手动录入速度为字，语音转文字的录入速度为字． 手动录入字所用时间为． 语音录入字所用时间为． ． 故答案为：． 3．已知：一项工程，甲单独做a h完成，乙单独做b h完成． (1)若甲、乙两人一起完成这项工程需要多长时间？ (2)若甲单独做两小时后，乙才加入工程一起合作，此时完成该工程所用的时间与甲、乙两人一起完成这项工程所需要的时间相比是否变短了？请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：完成该工程所用的时间不会变短， 理由：甲先做2小时后，完成的工作量为， 则剩余工作量为， ∴剩余工作量由甲乙合作完成，所需时间为， ∴总时间为， ∵，，， ∴， ∴， ∴甲先单独做两小时再合作的总时间，比甲、乙一开始就合作的时间更长，并没有变短. 【分析】（1）根据题意列式，化简即可； （2）先求出现在完成这项工程的时间，然后根据作差法求解即可. 【详解】（1）解：根据题意得甲的工作效率为，乙的工作效率为， 所以甲、乙两人一起完成这项工程所需时间为； （2） 略 题型12.分式加减乘除混合运算 1．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：原式 ． 2．化简：_______． 【答案】 【详解】解：原式 . 3．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 题型13.分式化简求值 1．已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对原式通分化简，再结合已知得到与的关系，代入计算即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∴原式． 2．若，则分式的值为_________． 【答案】 【分析】将已知等式变形为，代入分式约分即可求值． 【详解】解：∵ ， ∴ ，且，若，原分式分母为0，无意义， 将代入得：． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为 【分析】首先将原式括号中两项通分，再利用同分母分式的减法法则计算合并，然后把除法转化为乘法，接着因式分解后约分得到最简结果，最后将 x 的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ； 当时，原式． 题型14.分式最值 1．若a为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（   ） A．有最大值是2 B．有最大值是 C．有最小值是1 D．有最小值，没有最大值 【答案】B 【分析】本题考查了分式的求值，先把化简，再根据分式的特点分析即可． 【详解】解：， 分式要有意义， ， 且， a为正整数， ∴a的最小值为2． 分式的值随着a的值的增大而减小， ∴当a取最小整数2时，原式有最大值，最大值，且原分式无最小值． 故选：B． 2．已知，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算、完全平方式的非负性、不等式的性质、分母有理化等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．先根据分式的混合运算法则得，设，根据完全平方式的非负性和分母有理化，结合不等式的性质求解即可． 【详解】解  ∵， ∴， ∴ ， 设，则， 当时取得等号， ∴， 解得：， ∴，． 因此，当，时，取得最小值． 故答案为：． 3．阅读下面材料并解答问题 材料：定义：如果将一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如． 求： (1)如果分式的值为整数，求的整数值． (2)求代数式的最小值． 【答案】(1)的整数值为，，， (2)最小值为 【分析】（1）将原式化为，由分式的值为整数，可得是整数，即是的约数，即可求解； （2）将原式化为，由作为分母，不能为，则最小可取，即可求解． 【详解】（1）解： ， 分式的值为整数， 是整数，即是的约数， 可取，，，， 此时的整数值为，，，； （2） 作为分母，不能为， 最小可取， 此时的最小值为， 代数式的最小值为． ✺巩固测试 一、单选题 1．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式乘法法则，分式相乘，分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，再约分即可得到结果． 【详解】解：． 2．计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则是解决本题的关键． 先把除法转化为乘法，再按分式的乘法法则计算． 【详解】解： ． 故选：B． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的乘法运算，熟练掌握分式的乘法运算法则是解题的关键．根据分式的乘法运算法则计算即可得解． 【详解】解：， 故选：D． 4．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ． 5．若的值为，则的值为（　　） A． B． C． D．． 【答案】D 【分析】根据条件先求出的值，然后整体代入求解即可． 【详解】由题意可得，，则， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查分式求值问题，灵活根据条件变形，并熟练运用整体思想是解题关键． 二、填空题 6．计算：_____． 【答案】 【分析】先进行分组，原式，再分别通分，然后计算，即可作答． 【详解】解： ． 7．化简：________． 【答案】 【分析】按照分式除法法则进行运算即可． 【详解】解：． 8．计算：___________． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的乘方和乘法运算，需熟练掌握相关运算法则．运用分式的运算法则进行化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 9．化简：____________． 【答案】 【分析】本题考查同分母分式的化简，利用同分母分式减法法则，分母不变，分子相减，再约分即可得到结果． 【详解】解∶原式． 10．已知，则=________． 【答案】 【详解】解：原式 ； 由得，且， ∴原式 . 三、解答题 11．下面是小明计算的过程． 解答：① ＝② ＝③ (1)小明的解答是否正确？如有错误，错在第几步，错误的原因是什么？ (2)请给出正确的解答过程． 【答案】(1)不正确，错在第①步，错误的原因是：小明在计算时，违反运算顺序先计算后两个分式的乘积，且计算乘法时结果不对，应该为； (2)正确的解答过程如下： ＝ ＝ 【分析】根据分式的运算法则解题即可． 【详解】（1）略 （2）略 12．化简求值： (1)先化简，再求当 =2时代数式的值． (2)若，求的值． 【答案】(1) 化简结果为，值为 (2) 值为 【详解】（1）解：原式 ， 将代入得， 原式． （2）解：由得 ， 因此， 由得， ∴， ∴． 13．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．建筑业有一个规定：房屋的窗户面积应小于房屋的地面面积．按采光标准，窗户面积与地面面积的比应不小于10%，并且这个比值越大，房屋的采光条件越好．同时增加相等的窗户面积和地面面积，房屋的采光条件是变好了还是变坏了？请说明理由． 【答案】变好了，理由如下： 设原来窗户面积为x，地面面积为y，其中，增加的面积为a， 因为， 所以， 所以房屋的采光条件变好了． 【分析】设原来窗户面积为x，地面面积为y，增加的面积为a，计算两次窗户面积与地面面积的比的差可判断房屋的采光条件是变好了还是变坏了． 【详解】略 15．材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设，则． ∴原式＝ ∴ ∴分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． 材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解．它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：当，时，∵ ∴当，即时，有最小值2． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)参照以上资料，试将分式拆分成整式的真分式的和的形式； (2)已知分式的值为整数，求整数x的值； (3)当时，求代数式的最小值 ． 【答案】(1) (2)或0 (3)3 【分析】（1）设，则，将它代入，再化简，然后将代入后得出结果； （2）设，则，将它代入，再化简，然后将代入后，根据分式的值为整数和x是整数，得到关于x的方程求解； （3）设，则，将它代入，再化简，然后将，代回，配方后求出最小值． 【详解】（1）解：设，则， ∴原式， ∴； （2）解：设，则， ∴原式， ∴， ∵分式的值为整数， ∴或或， 又x是整数， ∴，解得：或0； （3）解：设，则， ∴原式， ∴， 当时，解得，满足，此时代数式有最小值3． 【点睛】本题考查了分式加减乘除混合运算，通过对完全平方公式变形求值，利用完全平方式来求解，分式最值等知识点，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 分式的乘除法与加减法 暑假预习讲义 ✺知识框架 分式乘除运算板块：类比分数运算规律，搭建分式乘除知识体系。核心包含分式乘法、除法、乘方三大基础法则，配套因式分解、提前约分核心运算技巧，同时涵盖乘除混合运算顺序与标准化解题步骤。 分式加减运算板块：类比分数加减运算逻辑，构建分式加减运算体系。包含同分母分式直接运算、异分母分式通分运算、整式与分式混合加减三类核心内容，覆盖加减混合运算规则与高频易错考点。 ✺学习目标 1.熟记分式乘除、乘方、加减的核心运算法则，理解分式与分数运算的相通性； 2.熟练结合因式分解、约分技巧，规范完成分式乘除、乘方运算，能自主化简结果； 3.掌握同分母、异分母分式及整式与分式的加减运算方法，熟练掌握通分核心技巧； 4.严格遵守分式四则混合运算顺序，规避高频易错点，确保运算结果为最简形式； 5.规范解题书写步骤，形成标准化解题思维，熟练应对课内基础题型。 ✺题型归纳 题型1.分式乘法 题型2.分式除法 题型3.分式乘除混合运算 题型4.分式乘方 题型5.含乘方的分式乘除混合运算 题型6.同分母分式加减法 题型7.异分母分式加减法 题型8.整式与分式相加减 题型9.已知分式恒等式，确定分子或分母 题型10.分式加减混合运算 题型11.分式加减的实际应用 题型12.分式加减乘除混合运算 题型13.分式化简求值 题型14.分式最值 题型15.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、分式的乘法法则 法则内容：两个分式相乘，用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母。 公式表示：×==.(B≠0,D≠0) 核心解读：运算规则与分数乘法一致，分子、分母分别相乘，运算后必须约分至最简分式或整式。 知识点二、分式的除法法则 法则内容：两个分式相除，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 公式表示：÷=×=.(B≠0，C≠0，D≠0) 核心解读：分式除法统一转化为乘法运算， 核心口诀：除以一个分式，等于乘这个分式的倒数。 知识点三、分式乘除运算步骤 化除为乘：将所有除法运算，统一转化为乘除式倒数的乘法运算； 因式分解：对分子、分母中的多项式，优先完成因式分解； 提前约分：找出分子、分母的全部公因式，提前约分简化计算； 合并相乘：剩余因式分别将分子、分母对应相乘； 化简结果：最终结果必须整理为最简分式或整式。 知识点四、分式的乘方 法则内容：分式乘方，需将分子、分母分别乘方。 公式表示：=. (B≠0, n为正整数） 符号规律：正数分式任意次幂为正；负分式偶次幂为正、奇次幂为负。 知识点五、分式乘除混合运算规则 1.运算顺序：先算乘方，再算乘除，同级运算从左至右依次进行； 2.运算技巧：优先化除为乘、因式分解，提前约分简化运算； 注意：未因式分解不能直接硬算。 知识点六、同分母分式加减法法则 法则内容：同分母分式相加减，分母保持不变，仅对分子进行加减运算。 公式表示： = (B≠0) 注意：若分子为多项式，做减法运算时必须添加括号，避免符号错误。 知识点七、异分母分式加减法法则 法则内容：异分母分式相加减，先通分转化为同分母分式，再按照同分母分式加减法法则计算。 公式表示：±= .(B≠0，D≠0) 步骤：确定最简公分母→统一通分变形→分子加减运算→约分至最简。 知识点八、整式与分式的加减运算 将整式看作分母为1的特殊分式，统一通分后，再与分式进行加减运算。 示例：a－－ 知识点九、分式加减运算步骤 判断分母：同分母直接运算，异分母先寻找最简公分母； 统一分母：通过通分，将所有分式化为同分母形式； 化简分子：分子去括号、合并同类项，化简多项式； 最终化简：对结果因式分解、约去公因式，得到最简结果。 知识点十、分式加减混合运算规则 1.无括号：从左至右依次通分、运算； 2.有括号：优先计算括号内部的分式加减运算； 3.核心原则：必须先通分后运算，不能直接对分子、分母单独拆分加减。 ✺题型精讲 题型1.分式乘法 1．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 2．计算的结果是______． 3．计算： (1)． (2)． 题型2.分式除法 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．计算：______． 3．计算： 题型3.分式乘除混合运算 1．计算的正确结果是（　　） A． B． C． D． 2．计算______． 3．计算：． 题型4.分式乘方 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 2．计算： （）（   ），括号内依次填：______、______、______； （）（   ）．括号内依次填：_______、_______、_______． 3．计算 (1)； (2)． 题型5.含乘方的分式乘除混合运算 1．（ ） A． B． C． D． 2．计算_______． 3．计算：． 题型6.同分母分式加减法 1．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 2．对于两个分式M和N，我们定义一种新的运算“※”如下：，其中，．例如：，则_______． 3．计算： (1) (2) 题型7.异分母分式加减法 1．化简 的结果是（     ） A． B． C． D． 2．计算：______． 3．以下是小明计算的解答过程． 解： …第①步 …第②步 …第③步 …第④步 小明的解答过程从第 步开始出现错误，请你写出正确的解答过程． 题型8.整式与分式相加减 1．计算的结果等于（   ） A．1 B． C． D． 2．计算的结果是________． 3．小明在化简时，过程如下： 解：原式 该计算过程有无错误__________．（填有或无）如果有，第__________步开始错误． 请写出正确的计算过程 题型9.已知分式恒等式，确定分子或分母 1．已知，则分式的值为（  ） A．1 B．-1 C． D．- 2．若，则________． 3．已知，其中、为常数，求的值． 题型10.分式加减混合运算 1．计算的正确结果是（    ） A． B． C． D． 2．计算： ______． 3．计算：． 题型11.分式加减的实际应用 1．小明骑自行车从家到学校的路程共，其中有的上坡路，的下坡路．若小明走上坡路的速度是，走下坡路的速度是，则他放学回家所用的时间比上学所用的时间多（     ）． A． B． C． D． 2．某人用语音转文字的速度是手动录入文字速度的3倍，设他手动录入的速度为字，那么他语音录入字比手动录入少用_______．（结果化成最简形式） 3．已知：一项工程，甲单独做a h完成，乙单独做b h完成． (1)若甲、乙两人一起完成这项工程需要多长时间？ (2)若甲单独做两小时后，乙才加入工程一起合作，此时完成该工程所用的时间与甲、乙两人一起完成这项工程所需要的时间相比是否变短了？请说明理由． 题型12.分式加减乘除混合运算 1．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 2．化简：_______． 3．计算：． 题型13.分式化简求值 1．已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．若，则分式的值为_________． 3．先化简，再求值：，其中． 题型14.分式最值 1．若a为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（   ） A．有最大值是2 B．有最大值是 C．有最小值是1 D．有最小值，没有最大值 2．已知，则的最小值是__________． 3．阅读下面材料并解答问题 材料：定义：如果将一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如． 求： (1)如果分式的值为整数，求的整数值． (2)求代数式的最小值． ✺巩固测试 一、单选题 1．计算：（    ） A． B． C． D． 2．计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 4．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 5．若的值为，则的值为（　　） A． B． C． D．． 二、填空题 6．计算：_____． 7．化简：________． 8．计算：___________． 9．化简：____________． 10．已知，则=________． 三、解答题 11．下面是小明计算的过程． 解答：① ＝② ＝③ (1)小明的解答是否正确？如有错误，错在第几步，错误的原因是什么？ (2)请给出正确的解答过程． 12．化简求值： (1)先化简，再求当 =2时代数式的值． (2)若，求的值． 13．计算 (1)； (2)． 14．建筑业有一个规定：房屋的窗户面积应小于房屋的地面面积．按采光标准，窗户面积与地面面积的比应不小于10%，并且这个比值越大，房屋的采光条件越好．同时增加相等的窗户面积和地面面积，房屋的采光条件是变好了还是变坏了？请说明理由． 15．材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设，则． ∴原式＝ ∴ ∴分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． 材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解．它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：当，时，∵ ∴当，即时，有最小值2． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)参照以上资料，试将分式拆分成整式的真分式的和的形式； (2)已知分式的值为整数，求整数x的值； (3)当时，求代数式的最小值 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $