专题07 幂的运算 暑假预习讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题07 幂的运算 暑假预习讲义 ✺知识框架 同底数幂的乘法：底数不变，指数相加，含公式逆用 幂的乘方：底数不变，指数相乘，含公式逆用 积的乘方：各因式分别乘方后再相乘，含公式逆用 核心应用：基础正向计算、公式逆用化简、多公式混合运算 易错辨析：公式法则区分、底数书写规范、运算顺序把控 ✺学习目标 知识与技能 1.熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的运算法则及标准公式，精准区分三种运算的公式差异。 2.掌握公式正向运算方法，熟练运用三大公式的逆向变形技巧，可独立完成化简、简便运算和基础代数式求值。 3.明确幂运算混合运算顺序，规范书写解题步骤，有效规避常见计算错误。 过程与方法 1.学习三大幂运算公式的推导过程，理解公式本质由来，建立逻辑运算思维。 2.通过对比指数相加、指数相乘的运算场景，辨析易混公式，提升幂运算的准确率与灵活运用能力。 ✺题型归纳 题型1.同底数幂相乘 题型2.同底数幂乘法的逆用 题型3.幂的乘方运算 题型4.幂的乘方的逆用 题型5.积的乘方运算 题型6.积的乘方的逆用 题型7.幂的混合运算 题型8.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、同底数幂的乘法 1.运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 2.核心公式：am﹡ = （m、n均为正整数） 3.公式推导：根据乘方的定义，多个底数相同的幂相乘时，底数保持不变，相乘因数的总个数为各指数之和，因此指数相加。 4.多因式推广：多个同底数幂相乘同样适用，即am··= （m、n、p为正整数）。 5.公式逆用：am+n=am · an 逆用原理：将一个高指数幂拆分为若干个同底数幂相乘的形式，实现式子灵活变形。 适用场景：利用已知低次幂的值求解高次幂、拆分复杂指数、化简代数式。 例如：已知a2=3，可变形得a5==a2·，代入已知条件即可完成求值计算。 注意：该法则仅适用于底数完全相同的幂相乘，底数不同时，不能直接合并指数运算。 知识点二、幂的乘方 1.运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 2.核心公式：(am)n = amn（m、n均为正整数） 3.公式含义：(am)n表示n个am连续相乘，化简后底数保持不变，两个指数相乘。 4.公式逆用：amn=(am)n=(an)m 逆用原理：将指数为乘积形式的幂，拆分为幂的乘方结构，灵活转换运算形式。 适用场景：拆分较大指数、统一式子的底数或指数、简化高次幂运算。 例如：a6可灵活变形为(a2)3或(a3)2，适配不同题型的化简需求。 5.重点辨析：同底数幂相乘是指数相加，幂的乘方是指数相乘，两类运算规则严禁混淆。 知识点三、积的乘方 1.运算法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再将所得的幂相乘。 2.核心公式：(ab)n= an bn（n为正整数） 3.多因式推广：多个因式乘积的乘方同样适用，即(abc)n = （n为正整数）。 4.公式逆用：an bn=(ab)n 逆用原理：将多个底数不同、指数相同的幂相乘，合并为积的乘方形式，简化复杂运算。 适用场景：同指数幂连乘、底数相乘可凑整。 例如：×=(2×5)3==1000，通过逆用公式快速化简计算。 5.注意事项：进行积的乘方运算时，式子中的常数、字母、符号等所有因式都要单独乘方，不得漏项。 知识点四、三大幂运算混合运算规则 1.运算优先级：优先计算幂的乘方、积的乘方，再计算同底数幂的乘法； 2.同级运算规则：仅存在同级运算时，严格按照从左到右的顺序依次计算； 3.括号优先原则：式子含有括号时，需先计算括号内部的运算。 ✺题型精讲 题型1.同底数幂相乘 1．计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 2．计算：__________． 【答案】 【分析】根据同底数幂乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 3．计算：．（为正整数） 【答案】 【分析】先将不同底数的幂化为同底数幂，再利用同底数幂的乘法法则计算，用到的性质是：互为相反数的两个数，奇次幂仍互为相反数，偶次幂相等，同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【详解】解：，为正整数，是奇数， ， ∴ ． 题型2.同底数幂乘法的逆用 1．若，，则的值为（     ） A．3 B．7 C．10 D．20 【答案】C 【分析】逆用同底数幂的乘法的性质即可求出结果. 【详解】解：∵根据同底数幂的乘法法则，逆用可得 ， 又∵，， ∴. 2．若，则=________ 【答案】 【分析】逆用同底数幂的乘法法则，将所求式子变形后代入已知条件计算． 【详解】解：， 将，代入上式，得． 3．规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么． 例如：，．我们还可以利用此定义说明等式成立． 理由如下：设，，则，， ， ， 即． (1)根据上述规定，填空：________，________，________； (2)计算：的值； (3)记，，，请说明． 【答案】(1)2，2，4 (2) (3)，，， ，，， ， ， ， ． 【分析】（1）根据定义直接求指数． （2）利用运算性质，将两个同底数的运算相加转化为指数相加． （3）根据新定义，得出，，，进而得出，即可说明． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）设，，则，， ， ，即； （3） 略 题型3.幂的乘方运算 1．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂的乘方运算法则直接计算即可得到结果． 【详解】解： ． 2．计算：______． 【答案】 【分析】根据，，计算即可． 【详解】解：． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据幂的乘方运算法则计算，即幂的乘方，底数不变，指数相乘； 仿照（1）解答（2），（3），（4）即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 题型4.幂的乘方的逆用 1．已知，，，则a，b，c的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察三个数的指数，、、均为111的倍数，可利用幂的乘方运算法则，将三个数变形为指数相同的形式，再通过比较底数大小得到原数的大小关系． 【详解】解：； ； ． 又， ， 即． 2．已知，，，则a，b，c的大小关系为__________． 【答案】 【分析】将三个幂转化为指数相同的形式，再比较底数的大小，当底数大于1时，指数相同，底数越大，幂越大，即可得到三者的大小关系． 【详解】解：， ， ， 因为，且指数都为， ， 所以 ，即． 3．根据幂的运算，完成下列问题． (1)已知，，求． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）逆用幂的乘方运算法则，进行计算即可； （2）根据幂的乘方运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵， ∴ ． 题型5.积的乘方运算 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据计算即可． 【详解】解：． 2．计算：________________． 【答案】 【详解】解：． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型6.积的乘方的逆用 1．计算的值为（     ） A． B．1 C． D．10 【答案】B 【分析】本题可利用积的乘方的逆运算简化计算，先将带分数化为假分数，再合并计算即可得到结果． 【详解】解： ． 2．计算______． 【答案】4 【分析】根据积的乘方法则计算即可得出结果； 【详解】解： ． 3．阅读理解：下面是小明完成的一道作业题． 计算：． 解：原式 知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用积的乘方法则的逆运算解答即可； （2）将指数化为相同的形式，再利用积的乘方法则的逆运算解答即可； 【详解】（1）解： ． （2）解： = = = =． 题型7.幂的混合运算 1．定义：如果（，为正数），那么我们把叫做的D数，记作．例如：因为，所以；因为，所以，D数有如下运算性质： ，其中．下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的运算性质，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键．利用新定义的规定对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：， ． 选项的结论正确，不符合题意； 若， ， ， ， 选项的结论正确，不符合题意； ， 选项的结论不正确，符合题意； ，， 则， 选项的结论正确，不符合题意． 故选：B 2．计算：_______． 【答案】 【分析】先计算积的乘方与幂的乘方、同底数幂的乘法，再计算加减法即可． 【详解】解：原式 ． 3．计算：． 【答案】0 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可． 【详解】解：原式 ． ✺巩固测试 一、单选题 1．若，，则（     ） A．11 B．15 C．30 D．45 【答案】B 【分析】利用同底数幂乘法公式运算解答即可． 【详解】解：∵，， ∴． 2．若，是正整数，且满足，则下列和的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用合并同类项和同底数幂的乘法法则化简等式，再根据同底数幂相等则指数相等推导与的关系． 【详解】解：∵， ， ∵等式左右两边同底数幂相等， ∴对应指数相等， ∴． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A，，故此选项不符合题意； B，，故此选项不符合题意； C，与不是同类项，不可以合并，故此选项不符合题意； D，，故此选项符合题意． 4．已知，则a，b，c，d的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题先计算各数的最高次指数，化简各数后，利用幂的性质比较大小：同底数且底数大于1时，指数越大幂越大；同正指数时，底数越大幂越大． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ，，， ① 比较和：底数，指数，∴ ； ② 比较和：，同指数，底数，∴ ，即； ③ 比较和：，， ∵ ，∴ ，即； 综上可得 ，故选C． 二、填空题 5．计算：________． 【答案】 【详解】解： 6．计算：_________． 【答案】 【详解】解： ． 7．已知，则_______． 【答案】 【分析】此题考查了幂的运算，根据幂的运算法则得到和得到，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： 8．规定．若，则x的值为______． 【答案】1 【详解】解：由定义，可知， ∴， ∴． 三、解答题 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先根据积的乘方运算法则计算，再根据幂的乘方运算法则计算，即积的乘方等于积中每个因式分别乘方，再相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘． （2）（3）（4）仿照（1）解答． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 10．计算：． 【答案】 【分析】本题考查幂的混合运算，根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方运算法则计算，最后合并即可． 【详解】解：原式 ． 11．规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ________，________； (2)若，，，试探究，，之间存在的数量关系； (3)若，求的值． 【答案】(1)2，7 (2) (3) 【分析】（1）根据新定义运算，求解即可； （2）根据新定义运算，对式子进行变形，再根据，即可求解； （3）根据新定义运算对式子进行变形，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， （2）解：∵，，， ， ∵ ∴ ∴ ∴ （3）解：设 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 12．已知：若（且），则．利用这个结论解答下列问题： (1)若，则 ； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用，即可作答； （2）将等式两边都化为以2为底数的幂，问题即可得解； （3）等式左边逆用积的乘方，将其化为底数为15的幂，问题即可得解． 【详解】（1）解：，即； （2）， ， ∵， ∴， ∴， 解得：； （3） ∵， ∴， ∴， 解得：． 13．根据已知求值： (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同底数幂乘法的逆运算，将所求式子变形后代入已知条件计算即可； （2）先将等式左边所有项化为底数为的幂，再根据同底数幂乘法法则计算，利用底数相等时幂相等则指数相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，．， ∴ ． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 解得． 14．材料阅读题． 【问题背景】如图是小明完成的一道作业题，请你参考小明的方法解答下面的问题： 小明的作业 计算： 解： ． (1)【计算】； (2)【拓展】若，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， 解得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 幂的运算 暑假预习讲义 ✺知识框架 同底数幂的乘法：底数不变，指数相加，含公式逆用 幂的乘方：底数不变，指数相乘，含公式逆用 积的乘方：各因式分别乘方后再相乘，含公式逆用 核心应用：基础正向计算、公式逆用化简、多公式混合运算 易错辨析：公式法则区分、底数书写规范、运算顺序把控 ✺学习目标 知识与技能 1.熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的运算法则及标准公式，精准区分三种运算的公式差异。 2.掌握公式正向运算方法，熟练运用三大公式的逆向变形技巧，可独立完成化简、简便运算和基础代数式求值。 3.明确幂运算混合运算顺序，规范书写解题步骤，有效规避常见计算错误。 过程与方法 1.学习三大幂运算公式的推导过程，理解公式本质由来，建立逻辑运算思维。 2.通过对比指数相加、指数相乘的运算场景，辨析易混公式，提升幂运算的准确率与灵活运用能力。 ✺题型归纳 题型1.同底数幂相乘 题型2.同底数幂乘法的逆用 题型3.幂的乘方运算 题型4.幂的乘方的逆用 题型5.积的乘方运算 题型6.积的乘方的逆用 题型7.幂的混合运算 题型8.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、同底数幂的乘法 1.运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 2.核心公式：am﹡ = （m、n均为正整数） 3.公式推导：根据乘方的定义，多个底数相同的幂相乘时，底数保持不变，相乘因数的总个数为各指数之和，因此指数相加。 4.多因式推广：多个同底数幂相乘同样适用，即am··= （m、n、p为正整数）。 5.公式逆用：am+n=am · an 逆用原理：将一个高指数幂拆分为若干个同底数幂相乘的形式，实现式子灵活变形。 适用场景：利用已知低次幂的值求解高次幂、拆分复杂指数、化简代数式。 例如：已知a2=3，可变形得a5==a2·，代入已知条件即可完成求值计算。 注意：该法则仅适用于底数完全相同的幂相乘，底数不同时，不能直接合并指数运算。 知识点二、幂的乘方 1.运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 2.核心公式：(am)n = amn（m、n均为正整数） 3.公式含义：(am)n表示n个am连续相乘，化简后底数保持不变，两个指数相乘。 4.公式逆用：amn=(am)n=(an)m 逆用原理：将指数为乘积形式的幂，拆分为幂的乘方结构，灵活转换运算形式。 适用场景：拆分较大指数、统一式子的底数或指数、简化高次幂运算。 例如：a6可灵活变形为(a2)3或(a3)2，适配不同题型的化简需求。 5.重点辨析：同底数幂相乘是指数相加，幂的乘方是指数相乘，两类运算规则严禁混淆。 知识点三、积的乘方 1.运算法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再将所得的幂相乘。 2.核心公式：(ab)n= an bn（n为正整数） 3.多因式推广：多个因式乘积的乘方同样适用，即(abc)n = （n为正整数）。 4.公式逆用：an bn=(ab)n 逆用原理：将多个底数不同、指数相同的幂相乘，合并为积的乘方形式，简化复杂运算。 适用场景：同指数幂连乘、底数相乘可凑整。 例如：×=(2×5)3==1000，通过逆用公式快速化简计算。 5.注意事项：进行积的乘方运算时，式子中的常数、字母、符号等所有因式都要单独乘方，不得漏项。 知识点四、三大幂运算混合运算规则 1.运算优先级：优先计算幂的乘方、积的乘方，再计算同底数幂的乘法； 2.同级运算规则：仅存在同级运算时，严格按照从左到右的顺序依次计算； 3.括号优先原则：式子含有括号时，需先计算括号内部的运算。 ✺题型精讲 题型1.同底数幂相乘 1．计算：（   ） A． B． C． D． 2．计算：__________． 3．计算：．（为正整数） 题型2.同底数幂乘法的逆用 1．若，，则的值为（     ） A．3 B．7 C．10 D．20 2．若，则=________ 3．规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么． 例如：，．我们还可以利用此定义说明等式成立． 理由如下：设，，则，， ， ， 即． (1)根据上述规定，填空：________，________，________； (2)计算：的值； (3)记，，，请说明． 题型3.幂的乘方运算 1．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 2．计算：______． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型4.幂的乘方的逆用 1．已知，，，则a，b，c的大小关系是（     ） A． B． C． D． 2．已知，，，则a，b，c的大小关系为__________． 3．根据幂的运算，完成下列问题． (1)已知，，求． (2)已知，求的值． 题型5.积的乘方运算 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 2．计算：________________． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型6.积的乘方的逆用 1．计算的值为（     ） A． B．1 C． D．10 2．计算______． 3．阅读理解：下面是小明完成的一道作业题． 计算：． 解：原式 知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： (1)； (2)． 题型7.幂的混合运算 1．定义：如果（，为正数），那么我们把叫做的D数，记作．例如：因为，所以；因为，所以，D数有如下运算性质： ，其中．下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 2．计算：_______． 3．计算：． ✺巩固测试 一、单选题 1．若，，则（     ） A．11 B．15 C．30 D．45 2．若，是正整数，且满足，则下列和的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．已知，则a，b，c，d的大小关系是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．计算：________． 6．计算：_________． 7．已知，则_______． 8．规定．若，则x的值为______． 三、解答题 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 10．计算：． 11．规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ________，________； (2)若，，，试探究，，之间存在的数量关系； (3)若，求的值． 12．已知：若（且），则．利用这个结论解答下列问题： (1)若，则 ； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 13．根据已知求值： (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值； 14．材料阅读题． 【问题背景】如图是小明完成的一道作业题，请你参考小明的方法解答下面的问题： 小明的作业 计算： 解： ． (1)【计算】； (2)【拓展】若，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $