暑假专题：综合训练（相交线与平行线、三角形、图形的轴对称）-2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 以相交线与平行线、三角形、图形的轴对称为核心，通过实际情境问题整合三大模块知识，突出几何直观与推理意识的综合应用。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |相交线与平行线|4题（如第1、6题）|平行线性质、对顶角/垂直定义|以角度计算为载体，构建线线位置关系与角的数量关系推导链| |三角形|6题（如第3、12题）|全等判定（ASA/SAS）、三边关系、最短路径（轴对称转化）|从基本性质到动态问题，形成“性质应用-模型构建-实际解决”逻辑| |图形的轴对称|4题（如第2、22题）|轴对称图形识别、折叠性质、将军饮马模型|结合对称性质解决路径最短与图形变换问题，体现应用意识|

暑假专题：综合训练（相交线与平行线、三角形、图形的轴对称）-2025-2026学年七年级数学下册北师大版 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．某同学正在做仰卧起坐，如图，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．下面四个图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，为测量太原永祚寺内宣文塔底座的最大宽度，某地理课外实践小组在宣文塔旁的开阔地上选了一点C，测得的度数，在的另一侧测得，，得到，再测得的长，就是的长，从而得出宣文塔底座的最大宽度，那么判定的理由是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在的正方形网格中，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知，小明利用如图所示的作图痕迹作出，由此他说，请你说明小明作图的根据是（   ） A． B． C． D． 6．如图，直线，相交于点O，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，是边上的高，点E、F在上相异两点，若的面积为，则图中阴影部分的面积为（   ）． A．12 B．10 C．8 D．6 8．如图1是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的的度数是（   ） A． B． C． D． 9．如图，将一张长方形纸条 沿折叠，点C，D分别折叠至点的位置．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．如图1，这是某校的电动伸缩门，图2是该校电动伸缩门抽象出来的几何平面示意图，已知，，平分交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 11．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长可能为（   ） A．2 B．3 C．10 D．12 12．如图，中，分别是边上的动点，则的最小值是（   ） A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 二、填空题 13．如图，该轴对称图形有________条对称轴． 14．三边长不等的的两条边长分别为2和3，则且第三边长为整数值，则这个三角形的第三边长为______． 15．如果等腰三角形的两边长分别为和，那么它的周长是______． 16．如图，，且，且，，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积是____________． 三、解答题 17．如图，两个三角板的直角顶点重合，，求的大小． 18．如图，和分别是的余角和补角，且射线是的平分线．求的度数． 19．如图，已知钝角三角形，． (1)画出点到的垂线段； (2)过点画的垂线． 20．平面内有任意一点P和，按要求解答下列问题： (1)当点P在外部时，如图1，过点P作，，垂足分别为A，B，量一量和的度数，用数学式子表达它们之间的数量关系是________； (2)当点P在内部时，如图2，以点P为顶点作，使的两边分别和的两边垂直，垂足分别为A，B，用数学式子写出和的数量关系是________； (3)由上述情形，用文字语言叙述结论：________________； (4)在图2中，若，求的度数． 21．如图，这是李明同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是多少（比例尺为）？ 22．综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点P饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 小亮：作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的．（如图2） 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任一点，连接，，，我只要证明． ∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴ ， ， 请完整地写出小亮的证明过程． 【解决问题】 如图4，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处，试分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线．） 23．池塘两端A，B的距离无法直接测量，甲、乙两位同学分别设计了如下两种方案测量A，B的距离．老师查看后发现只有甲的方案可行． 甲：如图1，①在平地上取一个可以直接到达点的点； ②连接并延长到点，连接并延长到点，使； ③连接，测出的长即可． 乙：如图2，①确定直线，过点作直线； ②在直线BE上找可以直接到达点的一点，连接； ③作，交直线于点； ④测量的长即可． (1)请说明甲同学方案中的理由； (2)请在乙同学的方案中“①”里面增加一个条件，使他的方案变得可行，你增加的条件是___________． 24．小华和爸妈在五一假期期间去方特游乐园乘坐了海盗船，如图，已知海盗船的转轴B到地面的距离，小华在乘坐的过程中，当海盗船的船头摆动到最高点A处时，于点C，此时点C到地面的距离，当船头从A处摆动到处时，，求点到的距离． 试卷第2页，共7页 试卷第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 《暑假专题：综合训练（相交线与平行线、三角形、图形的轴对称）-2025-2026学年七年级数学下册北师大版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A A D A D A B A 题号 11 12 答案 B C 1．A 【分析】本题考查了平行线性质的应用；由得，进而求得；再由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 2．C 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，故A不符合题意； B．是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C符合题意； D．是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 3．A 【分析】本题考查了全等三角形的判定． 根据题意可得，，结合公共边，即可解答． 【详解】解：在和中， ， ∴． 故选：A． 4．A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，根据网格的特点，结合全等三角形的判定定理得出，再根据全等三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【详解】解：如图： 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 5．D 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定，读懂图形的信息是解题的关键，根据判定三角形全等即可． 【详解】解∶由作图知∶，，， ∴， 故选：D． 6．A 【分析】本题考查了对顶角，垂直的定义．首先求出，然后根据对顶角相等求解即可． 【详解】∵，， ∴， ∴． 故选：A． 7．D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与轴对称性质．先证明，得到是等腰三角形的对称轴，即可得到图中阴影部分的面积为． 【详解】解：∵，是边上的高， ∴， ∴是等腰三角形的对称轴， ∴图中阴影部分的面积为． 故选：D． 8．A 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键．由长方形的性质可知，由此可得出，再根据折叠的性质求得图2中，由此即可算出图3中度数． 【详解】解：∵四边形为长方形， ， ． 由折叠的性质可知： 图2中，， ∴， ∴图3中，． 故选：A． 9．B 【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补． 【详解】解：∵长方形纸条 沿折叠 ∴ ∵，设 ∴ ∵ ∴ ∴ ，解得： ∴ 故选：B. 10．A 【分析】先根据两直线平行，同位角相等得，根据平分，得到，再根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 11．B 【分析】本题考查三角形三边关系．分四种情况，由三角形三边关系定理来判断，即可得到答案． 【详解】解：设三角形第三边的长是x， 由三角形三边关系定理得到， ∴， 若，则； 若，则； 若，则； 若，则； ∵， ∴三角形第三边的长是3或8． 观察四个选项，三角形第三边的长是3． 故选：B． 12．C 【分析】如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．由，，，推出，可得、、共线，由，，可知当、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题． 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ∴，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴M、C、N共线， ∵， ∵， ∴当M、F、E、N共线时，且时，的值最小， 最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题． 13．4/四 【分析】本题考查了确定轴对称图形的对称轴，对称轴是对称点连线的垂直平分线，据此即可求解． 【详解】解：如图，该轴对称图形共有4条对称轴． 故答案为：4 14． 【分析】此题考查三角形三边关系．根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可． 【详解】解：设第三边长为， 由题可得， 则， 又∵c为不等于和的整数， ∴为， 故答案为：． 15．或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边的关系，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 分两种情况讨论：当等腰三角形的腰长为，底边长为时；当等腰三角形的腰长为，底边长为时，最后综上，即可解答． 【详解】解：当等腰三角形的腰长为，底边长为， ，可以组成三角形，此时周长； 当等腰三角形的腰长为，底边长为， ，可以组成三角形，此时周长； 综上所述，等腰三角形的周长为或， 故答案为：或． 16．50 【分析】题主要考查全等三角形的判定与性质、三角形面积，解答本题的关键是根据三角形全等求出的长，本题比较简单，但是计算时要细心． 由，可以得到，而，由此可以证明，所以；同理证得，进而求出FH，然后利用面积的割补法和梯形、三角形面积公式即可求出图形的面积． 【详解】因为， 所以，，所以， 因为， 所以， 所以． 同理证得， 所以， 所以， 所以． 17． 【分析】此题主要考查了三角板中角的计算．熟练掌握同角的余角相等，余角之间的关系，是解题关键． 根据同角的余角相等可得． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴． 18． 【分析】设，利用建立方程即可解题． 【详解】解：由题意，得． 设，则． 射线是的平分线， ， ， ， 解得， 即． 【点睛】本题考查了余角与补角的定义，角平分线的定义 ，熟练掌握余角和补角关系是解题的关键． 19．(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了垂线段，垂线定义，掌握相关知识的应用是解题的关键． （）画出点到的垂线段； （）过点画的垂线即可． 【详解】（1）解：如图， ∴即为所求； （2）解：如图， ∴即为所求． 20．(1) (2) (3)如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角相等或互补 (4) 【分析】本题考查画垂线，角的度量，角度之间的关系，熟练掌握垂线的画法，量角器的使用，是解题的关键： （1）借助三角板画出垂线，利用量角器量角后，进行判断即可； （2）同（1）即可得出结果； （3）借助（1）（2）即可得出结论； （4）利用（2）的结论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： 通过量角器测量得到； （2）解：作图如下： 通过量角器测量得到； （3）由（1）（2）如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角相等或互补； （4）由（2）可知：， ∵， ∴． 21．李明同学的跳远成绩是 【分析】本题主要考查了比例尺的应用，垂线段最短，点到直线的距离，解答此题关键是根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论．测量出图上脚印到起跳线之间的距离，根据比例尺就可求出实际距离，即得到跳远的成绩． 【详解】解：如图，跳远成绩应是落在沙坑中的脚印上最后的点到起跳线的距离，也就是垂线段的长， 根据题意可知：图上， 则实际长度为：， ， 因此李明同学的跳远成绩是． 22．分析问题：见解析；解决问题：见解析 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题： （1）先由轴对称的性质得到，，则，，再由两点之间线段最短即可证明结论； （2）如图所示，分别作点P关于的对称点C、D，连接分别交于E、F，则路线即为所求． 【详解】解：分析问题：∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴，， ∴，， 由两点之间线段最短可知，， ∴， ∴作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方； 解决问题：如图所示，分别作点P关于的对称点C、D，连接分别交于E、F，则路线即为所求． 易证明，则，根据两点之间线段最短可得路线即为所求． 23．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用． （1）利用证明，即可证明； （2）增加，利用证明，即可证明． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：增加， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 24． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，实际问题中，构造需要的全等三角形是解本题的关键．先过点作于点，再证明，可得从而可得答案． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ， ， 在与中 ， ， ， ， ． 答案第2页，共12页 答案第3页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $