暑假培优：全等三角形中的重难点模型 专项训练-2025-2026学年北师大版数学七年级下册

**基本信息** 聚焦全等三角形核心模型，通过截长补短与倍长中线方法体系，系统训练从三角形到多边形的转化推理，培养几何直观与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |截长补短模型|3例+3变式|延长线段或截取线段构造全等三角形，转化线段和差关系|从三角形内角平分线到四边形、五边形，基于角平分线性质与全等判定定理（SAS/ASA）拓展应用| |倍长中线模型|3例+3变式|延长中线至两倍构造全等三角形，转移线段位置|从三角形中线到含中点的多边形，结合三角形三边关系与全等性质解决线段取值范围问题|

暑假培优：全等三角形中的重难点模型专项训练 暑假培优：全等三角形中的重难点模型专项训练 考点目录 全等三角形中的截长补短模型 全等三角形中的倍长中线模型 考点一 全等三角形中的截长补短模型 例1．（25-26七年级下·广东佛山·阶段检测）已知：如图，在中，，D、E分别为上的点，且交于点F．若为的角平分线． (1)求的度数； (2)若，求的长． 例2．（25-26七年级下·湖北孝感·阶段检测）如图，已知，的平分线与的平分线相交于点E，的连线交于点D，求证：． 例3．（25-26八年级上·吉林·期中）在数学活动课上，数学老师出示了如下题目： 如图①在四边形中，E是边的中点，是的平分线，，求证； 小聪同学发现以下两种方法： 方法1：如图②，延长、交于点F； 方法2：如图③，在上取一点G，使，连接、； (1)请你任选一种方法写出这道题的完整证明过程； (2)如图④，在四边形中，是的平分线，E是边的中点，，，求证． 变式1．（25-26七年级下·广东深圳·阶段检测）如图，在五边形中，，平分，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 变式2．（25-26七年级下·湖北襄阳·阶段检测）如图，在四边形中，与交于点，平分，平分，．    (1)求的度数； (2)求证：． 变式3．（25-26七年级下·广东深圳·阶段检测）已知：如图所示，直线，与的平分线交于点，过点作一条直线与两条直线、分别相交于点．    (1)如图1，当直线l与直线垂直时，猜想线段之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明； (2)当直线l与直线不垂直，且交点在的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系； (3)如图2，当直线与直线相交于点F时，延长，，分别交，于点E，D，直线与直线所夹的锐角为多少度时，线段之间仍满足（1）间中的数量关系？请说明理由． 考点二 全等三角形中的倍长中线模型 例1．（25-26七年级下·山东泰安·阶段检测）如图，在中，是中线，是上一点，且．求证：． 例2．（25-26七年级下·辽宁大连·阶段检测）已知：多项式x2+4x+5可以写成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式． (1)求a，b的值； (2)△ABC的两边BC，AC的长分别是a，b，求第三边AB上的中线CD的取值范围． 例3．（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）如图，为中边上的中线． （1）求证：； （2）若，，求的取值范围． 变式1．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）如图，在中，是边上的中线，，，求的取值范围．小东想到用倍长中线的方法．请根据他的想法和思路，完成以下填空． 解：如图，延长至E，使，连接． ∵为边上的中线， ∴① ， 在和中， ② ， ， ． ∴（③ ）， ∴， ∵，， ∴④ ∴的取值范围是：⑤ 变式2．（24-25七年级下·广东河源·期末）【基础探究】（ 1）如图1，平分，，是等腰三角形吗？为什么？ 【形成经验】当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形． 【经验应用】（ 2）如图2，，平分，平分，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】（ 3）如图3，在四边形中，，为的中点，且平分，请直接写出线段、和之间的数量关系． 变式3．（24-25七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题： 如图，在中，，求出边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用二角形的三边关系可得AE的取值范围，从而得到AD的取值范围： 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形， 把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 解：________ 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假培优：全等三角形中的重难点模型专项训练 暑假培优：全等三角形中的重难点模型专项训练 考点目录 全等三角形中的截长补短模型 全等三角形中的倍长中线模型 考点一 全等三角形中的截长补短模型 例1．（25-26七年级下·广东佛山·阶段检测）已知：如图，在中，，D、E分别为上的点，且交于点F．若为的角平分线． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)度 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题． （1）由题意，根据，即可解决问题； （2）在上截取，连接．只要证明，推出，再证明，推出，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：∵为的角平分线， ∴ ∵， ∴， ∴ （2）解：在上截取，连接． ∵为的角平分线． ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴ 例2．（25-26七年级下·湖北孝感·阶段检测）如图，已知，的平分线与的平分线相交于点E，的连线交于点D，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，全等三角形的判定与性质，两直线平行同旁内角互补，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 在上截取，连接，由平分可得，利用可证得，于是可得，由两直线平行同旁内角互补可得，结合，进而可得，由平分可得，利用可证得，于是可得，然后利用等量代换即可得出结论． 【详解】证明：如图，在上截取，连接， 平分， ， 又， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 例3．（25-26八年级上·吉林·期中）在数学活动课上，数学老师出示了如下题目： 如图①在四边形中，E是边的中点，是的平分线，，求证； 小聪同学发现以下两种方法： 方法1：如图②，延长、交于点F； 方法2：如图③，在上取一点G，使，连接、； (1)请你任选一种方法写出这道题的完整证明过程； (2)如图④，在四边形中，是的平分线，E是边的中点，，，求证． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）方法一根据平行线的性质易证，结合角平分线的性质可知是等腰三角形，从而可证；方法二根据角平分线的性质易证，从而可知是等腰三角形，再结合平行线的性质可求得也是等腰三角形，从而可证； （2）过点作的平行线交于点，交的延长线于点，根据方法一可得是等腰三角形，结合等腰三角形性质，，，可证得，从而可得． 【详解】（1）方法一：证明：延长交于点F，如图②； 是边的中点， ， ， ， ， ， ， 是的平分线， ， ； 方法二：证明：在上取一点G，使，连接，如图③； 是的平分线， ， ，， ， ，， 是边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图，过点作的平行线交于点，交的延长线于点，连接， 由方法一同理可知：， ，， ∵平分， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 变式1．（25-26七年级下·广东深圳·阶段检测）如图，在五边形中，，平分，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得出，，进而证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可求解； （2）根据全等三角形的性质，结合图形可得，即可求解． 【详解】（1）解：在上截取，连接．   ∵平分， ∴． 在和中， ∴ ∴，． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中，， ∴ ∴． ∴． （2）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 变式2．（25-26七年级下·湖北襄阳·阶段检测）如图，在四边形中，与交于点，平分，平分，．    (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由四边形内角和性质求得．再由角平分线定义可得，，最后由三角形内角和性质得到结论； （2）作的平分线交于，证明，再由全等三角形的性质可得答案． 【详解】（1）在四边形中，， 又∵， ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴． 在中，． （2）． 如图，作的平分线交于．则．    在和中， ， ． ∴． 同理，． ∴ 变式3．（25-26七年级下·广东深圳·阶段检测）已知：如图所示，直线，与的平分线交于点，过点作一条直线与两条直线、分别相交于点．    (1)如图1，当直线l与直线垂直时，猜想线段之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明； (2)当直线l与直线不垂直，且交点在的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系； (3)如图2，当直线与直线相交于点F时，延长，，分别交，于点E，D，直线与直线所夹的锐角为多少度时，线段之间仍满足（1）间中的数量关系？请说明理由． 【答案】(1) (2)不成立，或 (3)，理由见解析 【分析】（1）作于点，然后证明，即可得出结论； （2）分别画出两种情形，结合全等三角形的判定与性质进行解答即可； （3）当与夹角为时．，在上截取点G．使．连接，分别证明，，进而得出结论． 【详解】（1）解：结论：， 理由如下：作于点，    ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴； （2）不成立， 如下图，结论：，    理由：延长角于， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； 如下图：    同理可证：； （3）当与夹角为时．， 证明： ∵，分别平分、， ∴， ∴， 在上截取点G．使．连接，    在和中， ∵， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴（）， ∴， ∴． 考点二 全等三角形中的倍长中线模型 例1．（25-26七年级下·山东泰安·阶段检测）如图，在中，是中线，是上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．过点C作于点F，过点B作，交的延长线于点G，先证明，可得，可证明，即可求证． 【详解】证明：如图，过点C作于点F，过点B作，交的延长线于点G， ． 是的中线， ． 又， ， ． 在和中， ， ． 例2．（25-26七年级下·辽宁大连·阶段检测）已知：多项式x2+4x+5可以写成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式． (1)求a，b的值； (2)△ABC的两边BC，AC的长分别是a，b，求第三边AB上的中线CD的取值范围． 【答案】(1)， (2)2<CD<8 【分析】（1）把展开，然后根据多项式x2+4x+5可以写成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式，可得，即可求解； （2）延长CD至点H，使CD=DH，连接AH，可得△CDB≌△HAD，从而得到BC=AH=a=6，再根据三角形的三边关系，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ， 根据题意得：x2+4x+5=（x﹣1）2+a（x﹣1）+b ∴，解得：； （2）解：如图，延长CD至点H，使CD=DH，连接AH， ∵CD是AB边上的中线， ∴BD=AD， 在△CDB和△HDA中， ∵CD=DH，∠CDB=∠ADH，BD=DA， ∴△CDB≌△HDA（SAS）， ∴BC=AH=a=6， 在△ACH中，AC-AH<CH<AC+AH， ∴10-6<2CD<10+6， ∴2<CD<8． 例3．（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）如图，为中边上的中线． （1）求证：； （2）若，，求的取值范围． 【答案】（1），（2） 【分析】 （1）延长至，使，连接，然后再证明，根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的三边关系可得，利用等量代换可得； （2）把，代入（1）的结论里，再解不等式即可． 【详解】 （1）证明：如图延长至，使，连接， ∵为中边上的中线， ∴， 在和中： ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）， 在中，由三角形的三边关系可得， 即； （2）解：∵，， 由（1）可得， ∴， ∴． 变式1．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）如图，在中，是边上的中线，，，求的取值范围．小东想到用倍长中线的方法．请根据他的想法和思路，完成以下填空． 解：如图，延长至E，使，连接． ∵为边上的中线， ∴① ， 在和中， ② ， ， ． ∴（③ ）， ∴， ∵，， ∴④ ∴的取值范围是：⑤ 【答案】；；；；；； 【分析】本题考查了中线的定义，全等三角形的判定方法，三角形三边关系． 根据中线的定义，全等三角形的判定方法，三角形三边关系补全求解过程即可． 【详解】解：如图，延长至E，使，连接． ∵为边上的中线， ∴①， 在和中， ②，，． ∴（③）， ∴， ∵，， ∴④ ∴的取值范围是：⑤ 故答案为：；；；；；；． 变式2．（24-25七年级下·广东河源·期末）【基础探究】（ 1）如图1，平分，，是等腰三角形吗？为什么？ 【形成经验】当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形． 【经验应用】（ 2）如图2，，平分，平分，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】（ 3）如图3，在四边形中，，为的中点，且平分，请直接写出线段、和之间的数量关系． 【答案】（1）是，理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，以及全等三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的判定，平行线的性质是解题的关键． （1）由角平分线可得，由平行线的性质得，，从而，进而可证是等腰三角形； （2）同理（1）分别证明和，从而可证； （3）延长、交于点F．先根据等角对等边证明，再根据证明得，进而可证． 【详解】解：（1）是等腰三角形，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2），理由： 如图， ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3），理由： 如图，延长、交于点F． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 变式3．（24-25七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题： 如图，在中，，求出边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用二角形的三边关系可得AE的取值范围，从而得到AD的取值范围： 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形， 把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 解：________ 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键；延长到，使得，连接，根据题意证明，可知，在中，根据，即可； 【详解】（1）解：如图，延长到，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $