第五章 图形的轴对称 轴对称中的将军饮马问题专题 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

**基本信息** 聚焦轴对称性质，通过作对称点转化线段和，系统构建将军饮马问题的最短路径求解体系，培养几何直观与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|1-3题|作对称点化折线为直线，利用两点之间线段最短|轴对称性质→线段代换→最短路径| |综合应用|4-8题|网格/坐标系中对称作图，结合图形性质（垂直平分线、等腰三角形）|对称作图→性质应用→实际情境迁移|

轴对称中的将军饮马问题 1．某区计划在公路旁修建一个核酸采集点，现有如下四种方案，则核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短的是（ ） A. B． C． D． 2. 如图，在△ABC中，，，，边的垂直平分线为l，点D是边的中点，点P是l上的动点，则最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，等腰△ABC的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点、．若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为______． 4．如图，在由长度均为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点，，均在小正方形的顶点上（保留画图痕迹，不写画法）． (1)在图中画出与△ABC关于直线成轴对称的； (2)的面积为____________； (3)在直线上找一点，使得的值最小； 5．如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，△AB的三个顶点都在其格点上． (1)△ABC的面积为_____________； (2)画出△ABC关于直线l的轴对称图形； (3)在直线l上求作一点P，使值最小．（保留作图痕迹，不写作法） 6．如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC． (1)在图中作出△ABC关于直线l对称的； (2)的面积为______；（直接写答案） (3)用直尺在直线l上找一点P，使的长最短． 7．四边形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A，B，C，D均在格点上． (1)作出四边形关于y轴对称的四边形； (2)在y轴上找一点P，使的值最小（保留作图痕迹）； (3)四边形的面积为________． 8．笔直的河岸l旁有A，B两个货场，现要把A货场的货物运往B货场，按计划要先到河岸M处再接一批货物，然后一起运到B货场． (1)如图①，当A，B货场在河岸l两侧时，要使运输总路程最短，点M应选在河岸l的什么位置？请在图①中作图，并说明理由． (2)如图②，当A，B货场在河岸l同侧时，要使运输总路程最短，点M应选在河岸l的什么位置？请在图②中作图，并说明理由． 轴对称中的将军饮马问题参考答案 1．某区计划在公路旁修建一个核酸采集点，现有如下四种方案，则核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最短路径的数学问题，熟练掌握两点之间，线段最短是解题的关键． 用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线转化为两点之间的距离． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于，根据两点之间线段最短，可知选项B中的核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短， 故选：B． 2. 如图，在△ABC中，，，，边的垂直平分线为l，点D是边的中点，点P是l上的动点，则最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】连接，，根据线段垂直平分线的性质可得，则，当、、三点共线且时，的值最小，根据即可求出的最小值． 【详解】如图，连接，， 垂直平分边，点是上的一点， ， ， 中，，点是边的中点， ，此时的值最小， ，， ． 的最小值为的长为，即最小值为． 【点睛】充分利用等腰三角形三线合一的性质和垂线段最短是解题的关键． 3．如图，等腰三角形ABC的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点、．若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为______． 【答案】11 【分析】本题考查等腰三角形的性质，中垂线的性质，利用轴对称解决线段和最小问题．连接，的周长为，为定值，要使的周长最小，则的值最小，的垂直平分线为，得到关于对称，得到，当三点共线时，，最小，进行求解即可． 【详解】解：∵的周长为，为定值， ∴当的值最小时，的周长最小， 连接， ∵的垂直平分线为， ∴关于对称， ∴， ∴当三点共线时，， ∵等腰△ABC，点为底边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴△BDM的周长的最小值为； 故答案为：． 4．如图，在由长度均为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点，，均在小正方形的顶点上（保留画图痕迹，不写画法）． (1)在图中画出与△ABC关于直线成轴对称的； (2)的面积为____________； (3)在直线上找一点，使得的值最小； 【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用长方形的面积减去三个顶点上三角形的面积可得出结论； （3）连接，交直线于点，由此即可得解； （4）连接，并延长交直线于点，由此即可得解． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：．如图： ． （3）解：如图，点即为所求． 【点睛】本题考查的是作图，轴对称变换，熟知轴对称的性质，正确利用轴对称求最短路线是解答此题的关键． 5．如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，△AB的三个顶点都在其格点上． (1)△ABC的面积为_____________； (2)画出△ABC关于直线l的轴对称图形； (3)在直线l上求作一点P，使值最小．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】（1）用割补法求面积即可； （2）每个点关于对称，连接即可； （3）先作点关于的对称点，连接，与的交点为． 【详解】（1）解：； （2）解：如图所示： （3）解：如图，点即为所求作， ， ∵关于直线对称， ∴， 当三点共线时，值最小． 6．如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC． (1)在图中作出△ABC关于直线l对称的； (2)的面积为______；（直接写答案） (3)用直尺在直线l上找一点P，使的长最短． 【分析】（1）作点B，C关于直线l的对称点，再依次连接即可； （2）根据长方形的面积减去三个三角形的面积可得答案； （3）根据“两点之间线段最短”解答． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：； （3）解：连接交直线l于点P，则点P即为所求． 连接，可知， ∴， 根据两点之间线段最短可得连接交直线l于点P，此时最短，即最短． 7．四边形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A，B，C，D均在格点上． (1)作出四边形关于y轴对称的四边形； (2)在y轴上找一点P，使的值最小（保留作图痕迹）； (3)四边形的面积为________． 【分析】本题考查了画轴对称图形，最短路径，割补法求不规则图形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合轴对称图形的性质，分别找出点，再依次连接，即可作答． （2）结合轴对称图形的性质，连接或连接它们都与y轴的交点即为点P，则，或，即可作答． （3）利用割补法进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：四边形如图所示： （2）解：在y轴上找一点P，使的值最小，如图所示； （3）解：四边形的面积． 8．笔直的河岸l旁有A，B两个货场，现要把A货场的货物运往B货场，按计划要先到河岸M处再接一批货物，然后一起运到B货场． (1)如图①，当A，B货场在河岸l两侧时，要使运输总路程最短，点M应选在河岸l的什么位置？请在图①中作图，并说明理由． (2)如图②，当A，B货场在河岸l同侧时，要使运输总路程最短，点M应选在河岸l的什么位置？请在图②中作图，并说明理由． 【答案】(1)当点选在线段与河岸的交点时，作图见解析 (2)当点选在线段与河岸的交点时，作图见解析 【分析】（1）连接交河岸于点，点为所选的位置；（2）作点关于直线的对称点，连接交河岸于点,点为所选的位置。 【详解】（1）解：如图，连接交河岸于点，点即为所求； 理由：两点之间线段最短，所以点为所选的位置。 答：当点选在线段与河岸的交点时，此时运输总路程最短。 （2）如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点,点即为所求。 理由：点与点关于直线对称， . . 即：. 由两点之间线段最短， 点M为所选择的位置。 答：选在线段与河岸的交点时，运输总路程最短。 【点睛】本题考查了两点之间线段最短求点的位置，掌握对称点作法及轴对称性质与两点之间线段最短是解题的关键。 学科网（北京）股份有限公司 $