课时规范练31　等比数列-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 课时规范练31等比数列，分层设计清晰，从基础巩固到创新应用，覆盖等比数列核心知识点，梯度合理，适配一轮复习知识巩固与能力提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固组|等比数列基本量计算、前n项和公式、性质应用|以选择填空为主，聚焦概念理解与运算能力，如第1题基本量计算、第4题公比范围推理，培养运算能力与推理意识| |综合提升组|与等差数列综合、不等式结合、实际问题建模|含解答题，强调知识综合应用，如第14题数列与不等式恒成立问题，发展逻辑推理与模型意识| |创新应用组|跨学科情境（科赫雪花）、复杂逻辑分析|结合现实情境，如第16题科赫雪花的等比数列模型，培养数学眼光与创新意识|

课时规范练31　等比数列 基础巩固组 1.已知等比数列{an}的前3项和为168,a2-a5=42,则a6=(　　) A.14 B.12 C.6 D.3 2.设Sn是等比数列{an}的前n项和,若S2=2,a3+a4=6,则=(　　) A.2 B. C.3 D. 3.(2025河南二模)记等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,a1=1,数列{bn}为等比数列,且b1=a3,b2=a7,b3=a15,则=(　　) A.2 B. C. D.3 4.设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn,并且满足条件a1>1,a7a8>1,(a7-1)(a8-1)<0,则下列结论正确的是(　　) A.a7a9>1 B.0<q<1 C.a6+a8<a7+a9 D.Sn的最大值为S8 5.在公比不为1的等比数列{an}中,存在s,t∈N*,满足asat=,则的最小值为 (　　) A. B. C. D. 6.(多选)在各项均为正数的等比数列{an}中,Sn是数列{an}的前n项和,若a1=,S3=,则下列说法正确的是(　　) A.an≤ B.an≥ C.Sn<1 D.2lg an=lg an-2+lg an+2(n≥3) 7.(多选)已知等比数列{an}的公比为2,且S1,S2+2,S3成等差数列,则下列说法正确的是(　　) A.an=2n-1+1 B.a2,a3,a4-4成等差数列 C.{Sn+2}是等比数列 D.∃m,n,r∈N*(m≠r),am,an,ar成等差数列 8.(2025广西一模)若正项等比数列{an}满足a3=10,则lg a1+lg a2+…+lg a5=　　　　　.  9.已知Sn是等比数列{an}的前n项和,|an+1|>|an|,a2=-2,S3=3,则|a1|+|a2|+…+|an|=　　　　.  综合提升组 10.已知各项都为正数的等比数列{an},满足a3=2a1+a2,若存在两项am,an,使得=4a1,则的最小值为(　　) A.2 B. C. D.1 11.(多选)(2025广西桂林一模)已知数列{an}满足a1=,an+1=,n∈N*,则(　　) A.a3= B.若+…+=36,则n=3 C.an=3n-1 D.若数列{bn}满足=anan+1,记Sn为{bn}的前n项和,则Sn= 12.在等比数列{an}中,a1=1,q=,记Tn=+…+,则Tn=　　　　.  13.设正项等比数列{an}的前n项和为Sn,且210S30-(210+1)S20+S10=0,则公比q=　　　　　.  14.(2025广西南宁三模)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且4Sn=+2an(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)对∀k∈N*,将数列{an}中不大于8k的项的个数记为bk.若+…+恒成立,求实数λ的取值范围. 创新应用组 15.(多选)已知数列{an}的前4项成等比数列,其前n项和为Sn,且S4=ln S3,a1>1,则(　　) A.a1<a3 B.a2<a4 C.a1>a3 D.a2>a4 16.洁白的雪花惊艳了冬天,你知道吗,数学中也有一朵美丽的雪花——科赫雪花.它可以这样画:任意画一个正三角形P1,把每一边三等分,取三等分后每边的中间一段为边向外作正三角形,并把这“中间一段”擦掉,形成雪花曲线P2.重复上述步骤,画出更小的三角形.一直重复,直到无穷,形成雪花曲线P3,P4,…,Pn,…. 设雪花曲线Pn的边长为an,边数为bn,周长为ln,面积为Sn,若a1=3,则下列说法正确的是(　　) A.a5=,l5=9× B.S1<S3<S1 C.数列{an},{bn},{ln},{Sn}均为等比数列 D.Sn=Sn-1+bn-1 参考答案 1.D　解析设等比数列{an}的公比为q,q≠0, 若q=1,则a2-a5=0,与题意矛盾,所以q≠1, 则解得所以a6=a1q5=3.故选D. 2.D　解析由题意得S2=2,S4-S2=6,S4=S2+6=8,S2,S4-S2,S6-S4成等比数列, 故(S4-S2)2=S2(S6-S4), 即62=2(S6-8),解得S6=26,故. 故选D. 3.C　解析由题意得,=b1b3,即=a3a15,得(1+2d)(1+14d)=(1+6d)2,解得d=0(舍去)或d=,an=1+(n-1)×(n+1),所以b1=a3=1+2d=2,b2=a7=1+6d=4,则bn=2n,a8=×9=. 因为S8==22,所以. 故选C. 4.B　解析若q<0,∵a1>1,∴a7=a1q6>0,a8=a1q7<0,则a7a8<0与a7a8>1矛盾, 若q≥1,∵a1>1,∴a7>1,a8>1,则(a7-1)(a8-1)>0与(a7-1)(a8-1)<0矛盾, ∴0<q<1,故B正确; ∵(a7-1)(a8-1)<0,则a7>1>a8>0, ∴a7a9=∈(0,1),故A错误; ∵an>0,0<q<1,∴Sn=单调递增,故D错误; >1,∴a6+a8>a7+a9,故C错误.故选B. 5.C　解析设等比数列{an}的公比为q(q≠1).因为asat=,所以a1qs-1·a1qt-1=(a1q4)2,即qs+t-2=q8,可得s+t=10,且s,t∈N*,则·() (s+t)=(4+)=).因为s,t∈N*,所以>0,>0,则≥2=2,当且仅当,即s=8,t=2时,等号成立,所以的最小值为.故选C. 6.ACD　解析设等比数列{an}的公比为q(q>0).由a1=,S3=,得q+q2=,即4q2+4q-3=0,解得q=或q=-(舍去),所以an=×()n-1=()n.又n∈N*,所以an≤,故选项A正确,选项B错误;Sn==1-()n<1,故选项C正确;2lg an=2lg()n=lg()2n=lg()n-2+lg()n+2=lg an-2+lg an+2,故选项D正确.故选ACD. 7.BC　解析由S1,S2+2,S3成等差数列,可得a2=4,a1=2,an=2n,故选项A错误;a3=8,a4-4=12,a2,a3,a4-4成等差数列,故选项B正确;Sn=2n+1-2,所以Sn+2=2n+1,所以{Sn+2}是等比数列,故选项C正确;若am,an,ar成等差数列,不妨设m<n<r,则2m+2r=2·2n,2m(1+2r-m)=2n+1-m·2m,即1+2r-m=2n+1-m, 显然左边为奇数,右边为偶数,不相等,故选项D错误.故选BC. 8.5　解析正项等比数列{an}满足a3=10,则lg a1+lg a2+…+lg a5=lg a1a2a3a4a5=lg=lg 105=5. 9.2n-1　解析设等比数列{an}的公比为q,易知q≠1. 因为a2=-2,S3=3,所以解得 因为|an+1|>|an|,所以|q|>1,所以数列{an}是以1为首项,以-2为公比的等比数列,则{|an|}也为等比数列,公比为2,首项|a1|=1,故|a1|+|a2|+…+|an|==2n-1. 10.B　解析因为正项等比数列{an}满足a3=2a1+a2,设其公比为q,则an>0,q>0, 所以a1q2=2a1+a1q,得q2-q-2=0,解得q=2, 因为=4a1,所以aman=16,则(a1·2m-1)·(a1·2n-1)=16,即2m+n-2=16=24,故m+n=6, 所以(m+n)()=(5+)≥(5+2)=, 当且仅当,即n=2m=4时,等号成立,故的最小值为.故选B. 11.ABD　解析由递推公式得,=3+2,所以+1=3(+1),所以是公比为3,首项为3的等比数列,所以+1=3n,即an=,所以a3=,故A正确,C错误; 因为=3n-1,所以数列前n项和为-n,所以-n=36,得n=3,故B正确; 由=anan+1得,bn=),所以Sn=+…+)=)=,故D正确. 故选ABD. 12.(1-)　解析由题知,an=1×()n-1=,则=()2=,则Tn=+…++…+(1-). 13.　解析∵210S30-(210+1)S20+S10=0, ∴210(S30-S20)=S20-S10. 又正项等比数列{an}的前n项和为Sn,故S20-S10≠0,∴. ∵数列{an}是等比数列,∴=q10,故q10=,解得q=±. 因为等比数列{an}为正项数列,所以q>0,故q=. 14.解(1)当n=1时,4S1=+2a1,得-2a1=0,an>0,所以a1=2. 当n≥2时,4Sn-1=+2an-1,联立4Sn=+2an,两式相减可得,4an=+2an-2an-1,化简得(an-an-1-2)(an+an-1)=0, 因为an+an-1>0,所以an-an-1=2,故数列{an}是首项a1=2,公差d=2的等差数列,所以an=2n. (2)由an=2n≤8k,得n≤23k-1,即bk=23k-1, 因为=23=8,b1=22=4,所以{bk}是以4为首项,8为公比的等比数列,所以+…++…+(1-). 因为+…+,即(1-)<,得λ>(1-),所以λ≥. 15.AD　解析∵数列{an}的前4项成等比数列,且S4=ln S3,∴S3+a4=ln S3,即a4=ln S3-S3. 设y=ln x-x,x>0,∴y'=-1=. 令y'>0,解得0<x<1,∴函数y=ln x-x(x>0)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减, ∴ymax=-1,∴a4≤-1. 又a4=a1q3(q为公比),∴a1q3≤-1. 又a1>1,∴q3≤-1,∴q≤-1且q2>1,∴a3=a1q2>a1,a2=a1q<0,∴a4=a2q2<a2.故选AD. 16.B　解析由题意知,an=a1·,bn=b1·4n-1=3·4n-1,ln=anbn=9·,所以a5=,l5=9×,A错误; S1=·sin 60°=,当n≥2时,Sn-Sn-1=bn-1(·)=3·4n-2·,D错误; 当n≥2时,Sn=S1+(S2-S1)+(S3-S2)+…+(Sn-Sn-1)=[1++…+]=,且S1=满足上式,则Sn=,所以数列{Sn}不是等比数列,C错误; S3=S1=,B正确. 故选B. 1 学科网（北京）股份有限公司 $