4.3等比数列专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦等比数列核心模块，以“概念理解-公式应用-性质迁移-递推证明”为逻辑主线，通过分层题型提炼通性通法，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求通项公式或项|6题|基本量法、方程思想|从定义出发，通过已知项建立方程求公比与首项| |等比中项|6题|中项公式、韦达定理应用|连接等比数列项与项的关系，强化对称性质| |等比数列求和|7题|求和公式、分段讨论（q=1与q≠1）|公式推导与性质应用结合，提升运算能力| |性质应用|6题|下标性质、等比数列片段和性质|深化项间关系，培养转化与化归思维| |递推关系证明|5题|配凑构造法、定义证明|从递推式抽象等比模型，发展逻辑推理与创新意识|

4.3等比数列 知识点一 求等比数列的通项公式或项 1．已知等比数列的公比，若，，则公比（     ） A． B． C． D． 2．在等比数列中，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知数列是公比为2的等比数列，，则（    ） A． B． C． D． 4．记等比数列的公比为，已知，前三项之和为3，则（    ） A． B． C． D．2 5．在正项等比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 6．记数列为等比数列，已知，，则（    ） A．32 B．34 C．38 D．31 知识点二 等比中项 7．3与9的等比中项为（     ） A． B． C． D． 8．两个数和的等比中项为（   ） A．6 B． C．2 D． 9．已知等比数列，若，为方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．若是1和3的等差中项，是1和4的等比中项，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 11．设等差数列的公差不为0，，若是与的等比中项，则等于（   ） A．2 B．4 C．5 D．8 12．已知三个正数，，成等比数列，且，，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 知识点三 等比数列求和 13．已知数列是等比数列且是其前项和，，若，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 14．已知等比数列的前项和为，且，，则（    ） A．80 B．100 C．105 D．125 15．已知数列的首项为1，是数列的前项和，则下列结论正确的是（） A． B．数列是等比数列 C． D． 16．已知等比数列的前项和为，且，，则（    ） A．12或-15 B．15或-12 C．15 D．12 17．设等比数列的前n项和为，若，，则公比 q=（    ） A．2 B． C．1或 D．2 或 −1 18．等比数列的前项和为，，，则（    ） A．12 B．15 C．24 D．48 19．已知公比不为1的等比数列的前项和，若，，则（   ） A．8 B． C．16 D． 知识点四 等比数列性质应用 20．等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A． B． C． D． 21．在等比数列中，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 22．若等比数列中的，是方程的两个根，则（    ） A． B．1015 C． D．1014 23．在等比数列中，，是方程的两个解，则（    ） A． B． C．25 D． 24．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则（     ） A． B． C．2 D．3 25．已知公比大于1的等比数列，若，，则（    ） A． B．11 C．23 D．121 知识点五 由递推关系证明等比数列 26．已知数列中，，满足． (1)证明数列是等比数列； (2)设，为数列的前项和，求． 27．已知数列满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 28．已知数列的前项和为，且，其中，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足，的前n项和为，若对恒成立，试求实数的取值范围． 29．已知数列满足，． (1)求证：数列是等比数列； (2)求的通项公式． 30．已知数列的前项和为，且．在数列中，． (1)求的通项公式； (2)证明：是等比数列． (3)求数列的通项公式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C B D A A B A D 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 B D A C B B C D B C 题号 21 22 23 24 25 答案 C C A A D 1．B 【详解】，可得，解得， 又因为，所以. 2．C 【分析】利用等比数列通项公式将已知条件转化为关于公比的方程，结合正项条件确定的取值，再根据的值计算. 【详解】设等比数列的公比为，，通项公式为（）, 将、代入，得： ， 由于等比数列首项，等式两边同除以，整理得： 解得或， 已知，且，故，舍去，得， 由，代入得，解得， 因此. 3．C 【详解】因为数列是公比为2的等比数列，且， 所以，所以. 所以. 4．B 【详解】由题意知等比数列的前三项：， 由前三项和为 3 得=3，整理得 ，解得 或 . 因为，因此 . 5．D 【详解】由题意设等比数列的公比为，， 由，可得， 又由，可得， 解得或（舍去）， 故． 6．A 【详解】设等比数列的公比为，，， 所以， 因为，而，， 所以，所以， 即， 而，，所以. 7．A 【分析】考查等比中项的定义，若成等比数列，则. 【详解】设与的等比中项为 由等比数列的等比中项定义可知，，解得. 8．B 【详解】设两个数的等比中项为，，解得． 9．A 【分析】由韦达定理可得，，根据等比中项可求，注意符号的判定. 【详解】因为等比数列，，为方程的两根， 所以，故， 又因为， 所以，同为负数，由等比数列的性质可知，等比数列的隔项同号， 所以. 故选：A. 10．D 【分析】利用等差中项和等比中项的定义计算求解. 【详解】由题知，所以，由得， 所以． 故选：D. 11．B 【分析】由数列为等差数列以及等比中项求解即可. 【详解】因为为等差数列，且是与的等比中项，所以， 所以， 因为，所以，即， 解得或，因为，所以. 12．D 【分析】根据等比中项的性质结合已知即可求解． 【详解】因为三个正数，，成等比数列， 所以，又，所以，则， 又， 所以． 13．A 【分析】由解得,然后根据求和公式建立方程求解即可 【详解】在等比数列中，设公比为, 因为，所以,解得. ,解得. 14．C 【分析】结合等比数列前项和的性质求解. 【详解】易得的公比，则，，成等比数列， 所以，得. 15．B 【分析】由递推式配凑得，判定为等比数列推出通项，再依次代入验证、选项通项式与前项和公式，即可判断各选项正误. 【详解】由，变形得，即，且， 故是首项为，公比为的等比数列，B正确. 由等比数列通项得，即，C错误. 选项A.将代入通项，，A错误. 选项D.前项和，由等比数列求和公式得，D错误. 16．B 【详解】因为等比数列的前项和为，且，， 所以，且，两式相除得， 解得或， ，故或. 17．C 【详解】若，则，， 符合； 若，则，解得， ，代入， 得到，即得 即，因，则得， 解得. 综上可得，或. 18．D 【详解】设等比数列的公比为， 当时，，所以， 由得， 解得，所以. 19．B 【分析】设出公比，根据等比数列的关系式进行求解，得到答案 【详解】设数列的公比为， 显然成等比数列，公比为， 因为，所以， 故． 所以，则， 又，故，所以， 所以． 20．C 【详解】由题意得，，得或（舍）， 则. 21．C 【分析】根据等比数列的性质，等比数列中，下标成等差数列的连续项和仍然成等比数列，而、、的下标间隔相等，因此三者成等比数列，化简即可求解. 【详解】根据等比数列的性质， 代入已知条件，，得： ，整理得：. 22．C 【分析】由等比数列的性质得到，进而得到，再根据对数的运算性质计算即可. 【详解】由韦达定理可知，由等比数列的性质可知 ，所以， 所以 . 23．A 【详解】由韦达定理得，得，， 因为，所以. 由等比数列的性质得，得（正根舍去）. 24．A 【分析】利用等差、等比数列的项的对称性性质，先求出、的值，再代入待求式计算即可. 【详解】已知数列是等差数列，数列是等比数列， 则，， 解得，进而，因此. 25．D 【分析】利用等比数列性质转化，结合韦达定理求出，再用通项公式求出 【详解】因为为等比数列，所以， 又因为，公比大于1，所以，则是方程的两个根， 且，即， 26．(1)由，得， 即， 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列； (2) 【分析】（1）对线性递推式进行配凑构造，推出后项与构造数列前项的比值为定值，结合首项非零完成等比数列证明； （2）先利用等比数列通项得到的表达式，借助对数化简，再对裂项相消，累加抵消中间项后求出前项和． 【详解】（1）略； （2）由（1）可知，所以， 所以， 则， 所以． 27．(1) (2) 【分析】（1）分析可知数列是首项为1，公比为3的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解； （2）可得，结合等差数列求和公式运算求解. 【详解】（1）因为，则，即， 且，可知数列是首项为1，公比为3的等比数列， 所以. （2）因为，则， 可得数列为等差数列， 所以数列的前项和. 28．(1) (2) 【分析】（1）借助与关系可得数列为公差为1的等差数列，再借助等比数列性质可得，即可求出数列的通项公式； （2）借助裂项相消法计算数列的前n项和，从而推出的取值范围，进而求解出实数的取值范围． 【详解】（1）解：由，所以， 即，所以，因此，数列是首项为，公差为1的等差数列. 由成等比数列，所以，解得， 因此， （2）解：由（1）知，可得， 所以的前n项和， 当时，. 由对恒成立，所以． 29．(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)根据已知证明为一个常数，即可得证； (2)由(1)求出数列的通项，从而得到答案. 【详解】（1）因为 所以 , 则， 又. 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， （2）由（1）得， 所以． 30．(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意由求解的通项公式即可； （2）由，可得，再结合等比数列定义求解； （3）根据（2），移项可得数列的通项公式. 【详解】（1）由题意知，当时， 因为， 所以的通项公式为 （2）证明： 由，可得， 即，且， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （3）由（2）知是以为首项，为公比的等比数列，故， 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $