25.1一元二次方程的概念 课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程概念，包含定义、一般形式及根的含义。通过复习方程定义和已学方程类型，结合矩形铁皮制作方盒、排球邀请赛等实际问题引入新知，搭建从旧知到新知的学习支架。 其特色在于以实际问题为载体发展模型观念，如用面积、比赛场次问题抽象方程培养数学抽象能力。通过对比归纳明晰概念，分层作业设计助力逻辑推理提升，为教师提供结构化资源，帮助学生深化理解，提高教学效率。

25.1 一元二次方程的概念 第二十五章 一元二次方程 课时内容导图 1.列方程与模型观念：能根据现实情境中的等量关系列出方程，感受一元二次方程刻画数量关系的作用，发展学生的模型观念。 2.理解定义与一般形式：理解一元二次方程的定义，掌握其一般形式 ax²+bx+c=0 (a≠0)，能准确识别二次项、一次项、常数项及其系数。 3.理解根的含义与检验：理解一元二次方程根的含义，会代入数值检验一个数是否为方程的根。 4.含参数方程的求解：能结合一元二次方程定义，求解含参数方程中字母的取值，区分一元一次、一元二次、分式方程。 5.数学抽象与逻辑推理：经历从实际问题抽象整式方程的过程，提升数学抽象、逻辑推理核心素养。 素养目标 能根据现实情境中的等量关系列出方程，感受一元二次方程刻画数量关系的作用，发展学生的模型观念。列方程与模型观念课标要点理解一元二次方程的定义，掌握其一般形式 ax²+bx+c=0 (a≠0)，能准确识别二次项、一次项、常数项及其系数。理解定义与一般形式理解一元二次方程根的含义，会代入数值检验一个数是否为方程的根。理解根的含义与检验能结合一元二次方程定义，求解含参数方程中字母的取值，区分一元一次、一元二次、分式方程。含参数方程的求解经历从实际问题抽象整式方程的过程，提升数学抽象、逻辑推理核心素养。数学抽象与逻辑推理 复习回顾 下列哪些式子是方程？ （1）2+9=11 （2）-3x+5 （3）4x+3=7 (4)-x-2y=9 (5)2x−3<5 +5=10 × 没有未知数 × 代数式 √ √ × 不等式 √ 复习引入 1.什么叫方程？ 含有未知数的等式叫作方程. 2.我们学过哪些方程？ 我们学过哪些方程：（1）整式方程：一元一次方程，二元一次方程（组） （2）分式方程 3.什么叫一元一次方程？ 只含一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫作一元一次方程. 探索新知 问题1：（教材第2页）如图1，有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm.在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600 cm2，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？ 图1 图2 探究新知 解：设各角切去的正方形铁皮的边长为 x cm，则盒底的长为（100 − 2x）cm，宽为（50 − 2x）cm.根据方盒的底面积为 3600 cm2，可列得方程 图1 图2 3600 cm2 100 cm 50 cm (100−2x)(50−2x) = 3600. 整理并化简，得 x2−75x+350 = 0. ① 问题2：（教材第2页）要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）. 根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛. 组织者应邀请多少支球队参赛？ 解：设应邀请 x 支球队参赛，根据题意可列得方程 x(x−1) = 28. 整理并化简，得 x2−x−56 = 0. ② 探究新知 方程①②都不是一元一次方程.那么这几个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ x2−75x+350 = 0 ① x2−x−56 = 0 ② 特点： 1.都是整式方程； 2.只含一个未知数； 3.未知数的最高次数是2. 思考归纳 二次项 二次项系数 一次项 一次项系数 常数项 一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 一元二次方程的概念 一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c = 0（a ≠ 0） ax2 a bx b c 核心知识点精讲 想一想：为什么一般形式中 ax2+bx+c = 0 要规定 a≠0？b、c可以为0吗？ 当a=0时 bx+c=0 一元一次方程 当a≠0，b=0时 ax2+c=0 一元二次方程 当a≠0，c=0时 ax2+bx=0 一元二次方程 当a≠0，b=c=0时 ax2=0 一元二次方程 特殊形式 总结：只要满足a≠0，b、c可以为任意实数. 下列方程：① =3；② -2x2=3x；③2x3−8x=0； ④ mx2+3x−2=0；⑤ 2x2=-4y+3；⑥ =2x−3； ⑦ x(3x−2)=x(3x−2). 其中一定是一元二次方程的是__________.（填序号） 方法：提示判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断. ② 即学即练 例 将方程 3x(x–1)=5(x+2) 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. 解：去括号，得 3x2–3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2–8x–10=0. 它的二次项系数为3，一次项系数为–8，常数项为–10. 易错提醒：系数和项均包含前面的符号. 典例分析 下列哪些数是一元二次方程 x2–4x+3=0 的解？为什么？ – 1，0，1，2，3. √ √ 一元二次方程的解 一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解（又叫作根）. 随学随练 检验步骤：① 将数值代入方程左边计算；② 代入右边计算；③ 若左右两边相等，则该数值是方程的根，否则不是. 随堂练习 1.下列方程是一元二次方程的是（ ） A. 3x+1=0 B. x2–3=0 C. y+x2=4 D. +x2=2 2.一元二次方程 3x2=5x 的二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 3，5 B. 3，0 C. 3，–5 D. 5，0 B C 课堂巩固练习 3.关于x的方程(a–1)x2+4x–3=0是一元二次方程， 则（ ） A. a>1 B. a=1 C. a≠1 D. a≥0 4.已知关于 x 的方程 xk–1–2x+3=0 是一元二次方程，则k=______. C 3 5.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： 【选自教材第3页 练习 第1题】 （1）5x2–1 = 4x； （2）4x2=81； 解：一般形式：5x2–4x–1=0 二次项系数：5 一次项系数：–4 常数项：–1 解：一般形式：4x2–81=0 二次项系数：4 一次项系数：0 常数项：–81 （3）4x(x+2)=25； （4）(3x–2)(x+1)=8x–3. 解：一般形式：4x2+8x–25=0 二次项系数：4 一次项系数：8 常数项：–25 解：一般形式：3x2–7x+1=0 二次项系数：3 一次项系数：–7 常数项：1 6.根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： （1）4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长； 解：设正方形的边长为 x，列得方程 4x2=25，化为一般形式为 4x2–25=0. 【选自教材第3页 练习 第2题】 （2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长； 解：设矩形的长为 x，列得方程 x(x–2)=100， 化为一般形式为 x2–2x–100=0. （3）把长为 1m 的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长. 解：设较短木条的长为 x，列得方程 x·1=(1–x)2，化为一般形式为 x2–3x+1=0. 1.下列方程属于一元二次方程的是（ ） A. 5x+3=0 B. 2x2+x=0 C. +1=1 D. x2+xy=4 2.方程4x2-5x=1 的一般形式中，二次项系数、常数项分别是（ ）A. 4，1 B. 4，-1 C. -5，1 D. -5，-1 3.方程(k-4)x2+3x+1=0 是一元二次方程，则 k 的取值范围是________。 4.检验x=1是不是方程 2x2-x-1=0 的根. 5.将方程 (x-4)(2x+1)=5化为一元二次方程一般形式。 B B 基础通关 k≠4  解：左边 = 2-1-1=0 = 右边，是方程的根 解：2x 2−7x−9=0 当堂检测 素养提升 1.已知方程 (m-1)+3x=0是一元二次方程，则 m 的值______ 2.已知 x=-2是方程x2+ax-6=0 的根，求代数式 a2-2a+1 的值_____ 3.一个长方形长比宽多 3，面积 28，设宽为 x，列出一元二次方程并整理。 4.把方程 5x(x-2)=3(x+1) 整理成一般形式，写出 a、b、c. m=−1 4 解：5x2-13x-3=0，a=5,b=-13,c=-3 解：x(x+3)=28，整理：x2+3x-28=0 当堂检测 拓展迁移 1.若方程(a-1)x2+2x-a=0有一个根为 x=1，求参数 a，并判断方程类型。 2.某店铺 1 月营业额 5 万元，3 月营业额 6.05 万元，设每月平均增长率为 x，列出一元二次方程。 解：代入x=1：a-1+2-a=0，恒成立；当a-1≠0,即a≠1时为一元二次方程；当a=1时为一元一次方程 5(1+x) 2=6.05 当堂检测 拓展迁移 3.分类讨论：方程 (m+2)+mx-1=0，分别求出为一元一次、一元二次方程时 m 的取值。 4.证明：无论 k 取何值，方程(k2+1)x2-3x+2=0 一定是一元二次方程。 解：当原方程为一元二次方程时：|m|=2,m+2≠0，∴ m=2；当原方程为一元一次时：m=-2 或 |m|=1 解：∵ k20,∴ k2+1>0，二次项系数恒不为 0，一定是一元二次方程。 当堂检测 课堂小结 一元二次方程 概念 一般形式 ax2+bx+c=0（a≠0） 是整式方程； 只含一个未知数； 未知数的最高次数是2. a 二次项系数 b 一次项系数 c 常数项 课堂小结 复习巩固 1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）4x2+5x=81； （2）x(x+)=0； 解：一般形式：4x2+5x–81=0 二次项系数：4 一次项系数：5 常数项：–81 解：一般形式：x2+x=0 二次项系数：1 一次项系数： 常数项：0 分层作业设计 基础层 （3）(2x–3)(x–1)=0； （4）(3x–2)(x+1)=x(2x+1). 解：一般形式：2x2–5x+3=0 二次项系数：2 一次项系数：–5 常数项：3 解：一般形式：x2–2=0 二次项系数：1 一次项系数：0 常数项：–2 2.根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： （1）一个圆的面积是 2π，求半径 r； 解：由圆的面积公式，得 πr2=2π，所以 r2=2，即 r2–2=0. （2）一个直角三角形的两条直角边的长相差 3，面积为 9，求较长直角边的长 x； 解：由直角三角形的面积公式，得 x(x–3)=9， 所以 x2–3x–18=0. （3）一个直角三角形的一条直角边长是另一条直角边长的 2 倍，斜边长为 5，求较短直角边的长. 解：设较短直角边的长为 x，由勾股定理，得x2+(2x)2=52，所以 x2–5=0. 3.下列哪些数是一元二次方程 x2+x–12=0 的根？为什么？ – 4，– 3，– 2，– 1，0，1，2，3，4. 解：– 4，3是方程 x2+x–12=0 的根. 当x取– 4或3时，能使方程左右两边相等. 分层作业设计 提升层 综合运用 4.南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步，只云阔不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步. 根据此问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式. 解：设田阔 x 步，长(x+12)步，由题意，得x(x+12)=864，化为一般形式为 x2+12x–864=0. 拓广探索 5.如果 2 是方程 x2– c = 0的一个根，求解如下问题： （1）常数 c 是多少？ （2）此方程是否有其他根？如果有，求出这个根. 解：（1）由题意，可知 22– c = 0，所以 c=4. （2）有，因为 c=4，所以原方程为 x2–4=0，所以 x =±2，所以这个方程的另一个根为 –2. 分层作业设计 拓展层 $