第18讲 任意角和弧度制（知识详解+9典例精讲+课后作业）-2026年新高一数学暑假预习讲义（人教A版必修第一册）

第18讲 任意角和弧度制（知识详解+9典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：任意角的概念 知识点02：终边相同的角 知识点03：弧度制的概念 知识点04：角度制与弧度制的相互转化 知识点05：弧度制下的扇形的弧长与面积公式 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：任意角的概念 题型02：找出终边相同的角 题型03：确定已知角所在象限 题型04：确定n倍角、n分角所在象限 题型05：弧度的概念 题型06：角度与弧度互化 题型07：弧长的有关计算 题型08：扇形面积的有关计算 题型09：扇形弧长公式与面积公式的应用 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】任意角的概念 1．角的概念及其表示 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．如图， (1)始边：射线的起始位置OA； 终边：射线的终止位置OB； 顶点：射线的端点O. (2)记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”． 2．任意角：我们把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角． 名称 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有做任何旋转形成的角 3.角的相等 如果角α和角β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β. 4．角的加法 设α，β是任意两个角，我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β. 5．相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为－α，α－β＝α＋(－β)． 【例1】判断、、分别是正角、负角还是零角，并指出所属象限。 【知识点02】终边相同的角 终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 【例2】写出与终边相同的角的集合，并求出区间内所有与终边相同的角。 【知识点03】弧度制的概念 1．弧度制 我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度． 2．弧度数的计算 在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，那么＝ 3．一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 注意点： 一定大小的圆心角α所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关． 【例3】已知圆的半径，圆心角所对弧长，求该圆心角的弧度数。 【知识点04】角度制与弧度制的相互转化 1．角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30°＝57°18′ 度数×＝弧度数 弧度数×＝度数 2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 π 2π 注意点： (1)弧度单位rad可以省略． (2)在同一个题目中，弧度与角度不能混用． 【例4】完成下列转化：（1）将化为弧度；（2）将化为角度。 【知识点05】弧度制下的扇形的弧长与面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为α(0<α<2π)，则 (1)弧长公式：l＝αR. (2)扇形的面积公式：S＝lR＝αR2. 【例5】已知扇形半径，圆心角，求该扇形的弧长和面积。 【题型01】任意角的概念 【典例1-1】（24-25高一下·贵州遵义·阶段检测）“为锐角”是“为第一象限角”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-1】（25-26高一下·全国·课堂例题）若钟表的时针走过了2小时40分，则分针转过的角度为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高一下·全国·课堂例题）下列结论： ①三角形的内角必是第一、二象限角； ②始边相同而终边不同的角一定不相等； ③小于的角是第一象限角； ④钝角比第三象限角小； ⑤小于的角是钝角、直角或锐角. 其中正确的结论为_____________（填序号）. 【变式1-3】（多选）下列说法正确的是（    ） A．锐角都是第一象限角 B．第二象限角都比第三象限角小 C．角与角不等，则两角的终边不同 D．若角与角终边相同，则 【题型02】找出终边相同的角 【典例2-1】（25-26高一下·山东潍坊·期中）下列各角中，与终边相同的角为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一下·湖北荆州·期末）在区间上，与终边相同的角为____________． 【变式2-2】（多选）（24-25高一下·安徽蚌埠·阶段检测）若与的终边相同，与的终边关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图所示，角的终边是射线．角的终边与角的终边有什么关系？如何表示与角终边相同的角？    【题型03】确定已知角所在象限 【典例3-1】（25-26高一下·辽宁辽阳·期末）角的终边所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-1】（25-26高一上·陕西渭南·期末）的终边在第________象限. 【变式3-2】（多选）（25-26高一下·全国·单元测试）若，则在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-3】（24-25高一下·全国·课堂例题）在直角坐标系中，作出下列各角，在范围内，找出与其终边相同的角，并判定它是第几象限角. (1)； (2)； (3)； (4). 【题型04】确定n分角所在象限 【典例4-1】（25-26高一上·湖北·阶段检测）已知是第三象限角，那么是（        ） A．第二象限角 B．第四象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 【变式4-1】在第一象限，则在第______象限. 【变式4-2】（24-25高一上·全国·课后作业）若（），则的终边在________． 【变式4-3】（25-26高一下·全国·阶段检测）已知角是第三象限角．求： (1)角是第几象限的角． (2)角终边的位置． 【题型05】弧度的概念 【典例5-1】（24-25高一上·陕西榆林·阶段检测）半径为2的圆上长度为1的圆弧所对的圆心角的弧度数为（   ） A．4 B．2 C．1 D． 【变式5-1】（25-26高一下·全国·单元测试）将分针拨慢5分钟，则分针转过的弧度数是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知在半径为的圆上，有一条弧的长是，则该弧所对的圆心角（正角）的弧度数为__________． 【变式5-3】（25-26高一下·全国·课后作业）（多选题）下列说法中错误的是（    ）． A．弧度制下，角的集合与实数集之间建立了一一对应的关系； B．1弧度是长度为半径长的弧； C．1弧度是长度等于半径长的圆弧所对圆心角的大小； D．用弧度作角的单位仅能表示正角． 【题型06】角度与弧度互化 【典例6-1】（25-26高一下·广西北海·期末）化为弧度为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高一下·陕西商洛·期中）把化成角度制是（  ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一下·广西河池·期中）角度与弧度之间的转化_______，_______，_______，_______，_______． 【变式6-3】（25-26高一下·全国·阶段检测）请将下列各角在角度和弧度之间互化： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型07】弧长的有关计算 【典例7-1】（25-26高一下·河南焦作·期末）已知某扇形的圆心角为，半径为12，则此扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一下·江西赣州·期末）已知一扇形半径为2，圆心角为，则该扇形的弧长为（    ） A． B． C．2 D．120 【变式7-2】（25-26高一下·江西吉安·期末）某扇形的周长为30，圆心角为3弧度，则该扇形的半径为________． 【变式7-3】（24-25高一上·全国·课后作业）分别用角度制、弧度制下的弧长公式，计算半径为的圆中，圆心角为的扇形的周长（单位：）（，结果精确到）． 【题型08】扇形面积的有关计算 【典例8-1】（25-26高一下·辽宁大连·期末）已知扇形的半径为2，面积为1，则该扇形圆心角的弧度数为（   ） A． B．1 C． D．2 【变式8-1】（25-26高一下·江西抚州·期末）我国古代某数学著作中记载：“今有宛田，下周十六步，径八步，问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长16步，其所在圆的直径是8步，则这块田的面积是_____________平方步. 【变式8-2】（多选）（24-25高一下·河南驻马店·阶段检测）已知扇形的周长为120，圆心角为，则下列说法正确的有（    ）． A．此扇形的弧长为30 B．此扇形的半径为30 C．此扇形的面积为900 D．此扇形的面积为600 【变式8-3】（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）如图所示，有一段圆弧形公路，弯道半径为45 m，圆弧的圆心角为． (1)求的长； (2)求图中扇形的面积． 【题型09】扇形弧长公式与面积公式的应用 【典例9-1】（25-26高一下·广西钦州·期末）已知一扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26高一下·山东日照·阶段检测）半径为，圆心角为的扇形的弧长为（     ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26高一下·广东佛山·期中）已知扇形的圆心角为弧度，周长为10，则该扇形的面积为___________． 【变式9-3】（24-25高一下·四川南充·阶段检测）如图，以轴的非负半轴为始边的角，的终边分别交圆（为坐标原点）于，两点，其中点在第一象限，已知扇形的弧长与面积的数值都是． (1)求圆心角的弧度数； (2)若点的横坐标为，求点的坐标． 知识点01任意角的概念 1. 任意角分类 将射线端点固定在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，根据旋转方向定义三类角： 正角：射线逆时针旋转形成的角； 负角：射线顺时针旋转形成的角； 零角：射线无旋转，始边终边重合，角度为。 2. 象限角 象限角：角的终边落在某一象限内的角； 知识点02终边相同的角 1. 通用集合公式 所有与角终边相同的角（含本身）构成集合： 2. 核心性质 （1）终边相同的角，角度相差的整数倍； （2）终边相同的角，象限位置一定相同； （3）象限相同的角，终边不一定相同； （4）为必备条件，书写公式不可省略。 知识点03弧度制的概念 1. 定义 在圆中，长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为弧度的角，记作，以弧度为单位的计量制度为弧度制。 2. 弧度数核心公式 半径为的圆中，圆心角弧度数、弧长满足： 备注：弧度为无量纲单位，日常书写可省略。 知识点04角度制与弧度制的相互转化 1. 核心换算基准（必考） 由此推导通用换算公式： 2. 换算规则 角度转弧度：角度数值 ； 弧度转角度：弧度数值。 3. 常用特殊角换算 ，，， 知识点05弧度制下扇形弧长与面积公式 适用前提：圆心角必须为弧度制，，扇形半径为。 1. 弧长公式 2. 面积公式 3. 易错提醒 角度制圆心角不可直接套用以上公式，必须先转化为弧度制再计算。 知识点06本节高频易错汇总 1.混淆象限角与轴线角，轴线角无象限归属； 2.书写终边相同角集合，遗漏条件； 3.扇形公式混用角度制与弧度制，导致计算错误； 4.负角判断象限出错，需通过加转化为正角再判定。 一、单选题 1．（25-26高一下·陕西渭南·期末）已知角，则角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 2．（25-26高一下·山东威海·期末）与是同一象限角的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第四象限角 D．第一象限或第二象限或第四象限角 4．（25-26高一下·辽宁葫芦岛·期末）下列各角中，与角终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·广西桂林·期末）若扇形的圆心角为，半径为3，则此扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知某扇形的半径为2，弧长为，则该扇形的面积是（    ） A．1 B． C． D． 7．（25-26高一下·江西九江·阶段检测）若是第二象限角，是第四象限角，则构成的集合为（    ）． A． B． C． D． 8．（24-25高一上·河北邯郸·期末）折扇在中国已有三千多年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化(如图1)，也是“运筹帷幄”“决胜千里”“大智大勇”的象征，图2为其结构简化图.若在圆形纸张上剪下一把扇形的扇子(扇形的半径和圆形纸张的半径相同)，记该扇形的面积为，剩下的图形面积为，若与的比值满足黄金分割值，则扇子的圆心角大约为（    ）（参考数据） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·云南曲靖·期末）下列各角，终边与角的终边相同的是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一下·全国·阶段检测）下列叙述不正确的是（   ） A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B．钝角是第二象限角 C．第二象限角比第一象限角大 D．不相等的角终边一定不同 11．（25-26高一下·四川南充·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．1弧度的角比1°的角大 B．第一象限角一定是锐角 C．时钟经过四个小时，时针转过的角度是 D．若是第二象限角，则也是第二象限角 三、填空题 12．（25-26高一上·上海·阶段检测）若是第二象限角，则是第__________象限角. 13．（25-26高一下·内蒙古赤峰·期末）已知半径为1的扇形面积为2，则扇形圆心角的弧度数为________． 14．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知，弧度，，则，，间的大小关系为_______.（用“<”符号连接） 四、解答题 15．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知为第三象限的角，讨论角，，的终边的位置. 16．（24-25高一上·全国·课后作业）已知角. (1)求在范围内与角终边相同的角； (2)若角与角终边相同，判断角是第几象限角. 17．（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）把化成弧度； （2）把化成角度； （3）已知，，，，，试比较、、、、的大小． 18．（25-26高一下·安徽安庆·阶段检测）如图，已知扇形AOB的面积是，圆心角． (1)求扇形AOB的周长； (2)求图中阴影部分的面积． 19．（25-26高一下·江西景德镇·阶段检测）某企业计划制作一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形挖去扇形后构成）．已知弧的长度为厘米，弧的长度为厘米，，且该铭牌截面的面积为900平方厘米． (1)若厘米，求的值； (2)求该铭牌截面的周长的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 任意角和弧度制（知识详解+9典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：任意角的概念 知识点02：终边相同的角 知识点03：弧度制的概念 知识点04：角度制与弧度制的相互转化 知识点05：弧度制下的扇形的弧长与面积公式 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：任意角的概念 题型02：找出终边相同的角 题型03：确定已知角所在象限 题型04：确定n倍角、n分角所在象限 题型05：弧度的概念 题型06：角度与弧度互化 题型07：弧长的有关计算 题型08：扇形面积的有关计算 题型09：扇形弧长公式与面积公式的应用 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】任意角的概念 1．角的概念及其表示 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．如图， (1)始边：射线的起始位置OA； 终边：射线的终止位置OB； 顶点：射线的端点O. (2)记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”． 2．任意角：我们把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角． 名称 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有做任何旋转形成的角 3.角的相等 如果角α和角β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β. 4．角的加法 设α，β是任意两个角，我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β. 5．相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为－α，α－β＝α＋(－β)． 【例1】判断、、分别是正角、负角还是零角，并指出所属象限。 解：1. 对于：逆时针旋转形成，为正角； ，终边与终边重合，属于第一象限角。 2. 对于：顺时针旋转形成，为负角； 顺时针旋转，终边落在第三象限，属于第三象限角。 3. 对于：逆时针旋转形成，为正角； 终边落在轴负半轴，不属于任何象限。 答：：正角、第一象限角；：负角、第三象限角；：正角、不属于任何象限。。 【知识点02】终边相同的角 终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 【例2】写出与终边相同的角的集合，并求出区间内所有与终边相同的角。 解：第一步：写出终边相同角的集合 由公式可得： 第二步：根据区间范围列不等式 不等式整体减去： 解得： 结合，得。 第三步：代入求值 时，； 时，； 时，。 答：集合：；区间内的角：。 【知识点03】弧度制的概念 1．弧度制 我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度． 2．弧度数的计算 在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，那么＝ 3．一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 注意点： 一定大小的圆心角α所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关． 【例3】已知圆的半径，圆心角所对弧长，求该圆心角的弧度数。 解：根据弧度制定义公式： 将，代入得： 答：该圆心角的弧度数为。 【知识点04】角度制与弧度制的相互转化 1．角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30°＝57°18′ 度数×＝弧度数 弧度数×＝度数 2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 π 2π 注意点： (1)弧度单位rad可以省略． (2)在同一个题目中，弧度与角度不能混用． 【例4】完成下列转化：（1）将化为弧度；（2）将化为角度。 解：（1）角度转弧度：乘 （2）弧度转角度：乘 答：；。 【知识点05】弧度制下的扇形的弧长与面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为α(0<α<2π)，则 (1)弧长公式：l＝αR. (2)扇形的面积公式：S＝lR＝αR2. 【例5】已知扇形半径，圆心角，求该扇形的弧长和面积。 解：第一步：求扇形弧长 由弧长公式，代入数据： 第二步：求扇形面积 由面积公式，代入数据： 答：弧长：；面积：。 【题型01】任意角的概念 【典例1-1】（24-25高一下·贵州遵义·阶段检测）“为锐角”是“为第一象限角”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据锐角和第一象限角的定义即可求解. 【详解】为锐角，则，故为第一象限角，充分性成立， 当为第一象限角，取，为第一象限角，但不是锐角，故必要性不成立， 因此“为锐角”是“为第一象限角”的充分不必要条件， 故选：B 【变式1-1】（25-26高一下·全国·课堂例题）若钟表的时针走过了2小时40分，则分针转过的角度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角的定义求解即可. 【详解】因为，所以. 因为分针是顺时针旋转， 所以在2小时40分钟内，分针转过的角度为， 故选：D. 【变式1-2】（25-26高一下·全国·课堂例题）下列结论： ①三角形的内角必是第一、二象限角； ②始边相同而终边不同的角一定不相等； ③小于的角是第一象限角； ④钝角比第三象限角小； ⑤小于的角是钝角、直角或锐角. 其中正确的结论为_____________（填序号）. 【答案】② 【分析】根据象限角、相等角、各类角（锐角、钝角）的定义，逐一分析每个说法是否正确. 【详解】①由于直角三角形中有的角，而的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正确； ②相等的角终边一定相同，根据逆否命题等价，终边不同的角一定不相等，故②正确； ③小于的角可以是角，也可以是负角，故③不正确； ④钝角大于，而的角是第三象限角，故④不正确； ⑤角小于，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故⑤不正确. 故答案为： ② 【变式1-3】（多选）下列说法正确的是（    ） A．锐角都是第一象限角 B．第二象限角都比第三象限角小 C．角与角不等，则两角的终边不同 D．若角与角终边相同，则 【答案】AD 【分析】根据任意角的定义即可逐个选项判断. 【详解】锐角都是第一象限角，A正确； 第二象限角不是都比第三象限角小，B错； 角与角不等，但两角的终边可以相同，C错； 若角与角终边相同，则，D正确. 故选：AD 【题型02】找出终边相同的角 【典例2-1】（25-26高一下·山东潍坊·期中）下列各角中，与终边相同的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：与终边相同的角为， 当时，， 故下列各角中，与终边相同的角为． 【变式2-1】（25-26高一下·湖北荆州·期末）在区间上，与终边相同的角为____________． 【答案】 【详解】与终边相同的角为， 在区间上的角为. 【变式2-2】（多选）（24-25高一下·安徽蚌埠·阶段检测）若与的终边相同，与的终边关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据终边相同的角的定义，可得 从而可得，即可求解. 【详解】因为与的终边相同，与的终边关于轴对称， 所以， 所以，所以AB正确； ①+②得，， 所以，所以C错误，D正确. 故选:ABD. 【变式2-3】如图所示，角的终边是射线．角的终边与角的终边有什么关系？如何表示与角终边相同的角？    【答案】相同， 【详解】角的终边与角的终边相同， 角终边相同的角可表示为. 【题型03】确定已知角所在象限 【典例3-1】（25-26高一下·辽宁辽阳·期末）角的终边所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】，所以所在的象限为第二象限． 【变式3-1】（25-26高一上·陕西渭南·期末）的终边在第________象限. 【答案】四 【分析】利用终边相同的角的关系求解. 【详解】， 所以与的终边相同，所以终边在第四象限. 故答案为：四 【变式3-2】（多选）（25-26高一下·全国·单元测试）若，则在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】AC 【分析】分及两种情况分别判断角的象限. 【详解】当时，，故为第三象限角； 当时，，故为第一象限角． 故选：AC. 【变式3-3】（24-25高一下·全国·课堂例题）在直角坐标系中，作出下列各角，在范围内，找出与其终边相同的角，并判定它是第几象限角. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)作图见解析；；不属于任何一个象限 (2)作图见解析；、；不属于任何一个象限 (3)作图见解析；；第三象限角 (4)作图见解析；；第三象限角 【分析】利用终边相同的角可得答案. 【详解】（1）作图见下图①； ， 可得在范围内， 与的终边相同，不属于任何一个象限； （2）作图见下图②； ，， 可得在范围内，与、这两个角终边相同， 不属于任何一个象限； （3）作图见下图③； ，所以在范围内，与角终边相同的角是， 因为是第三象限角，所以是第三象限角； （4）作图见下图④； ，所以在范围内，与角终边相同的角是， 因为是第三象限角，所以是第三象限角. 【题型04】确定n分角所在象限 【典例4-1】（25-26高一上·湖北·阶段检测）已知是第三象限角，那么是（        ） A．第二象限角 B．第四象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 【答案】D 【分析】由已知有，，再求出的范围，即可得. 【详解】由，，则，， 为奇数时，在第四象限， 为偶数时，在第二象限， 所以在第二或第四象限. 故选：D 【变式4-1】在第一象限，则在第______象限. 【答案】第一或第二或者y轴正半轴 【分析】根据角的概念及象限角与轴线角即可判断. 【详解】因为在第一象限，所以， 则，故第一或第二象限或者y轴正半轴. 故答案为：第一或第二或者y轴正半轴. 【变式4-2】（24-25高一上·全国·课后作业）若（），则的终边在________． 【答案】轴上 【分析】根据得，即可判断. 【详解】因为， 所以， 所以， 即的终边在轴上. 故答案为：轴上. 【变式4-3】（25-26高一下·全国·阶段检测）已知角是第三象限角．求： (1)角是第几象限的角． (2)角终边的位置． 【答案】(1)第二象限或第四象限的角 (2)第一象限或第二象限或轴的正半轴 【分析】（1）由题意得出，可求出的取值范围，对分奇数和偶数两种情况讨论，可得出终边的位置； （2）求出的取值范围，可得出角终边的位置. 【详解】（1）因为是第三象限角，所以， 所以， 当为偶数时，设，则， 此时为第二象限角， 当为奇数时，设，则， 此时为第四象限角. 综上所述，是第二象限或第四象限的角． （2）因为， 所以， 即角终边在第一象限或第二象限或轴的正半轴． 【题型05】弧度的概念 【典例5-1】（24-25高一上·陕西榆林·阶段检测）半径为2的圆上长度为1的圆弧所对的圆心角的弧度数为（   ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】由弧度制的定义计算求解. 【详解】半径为2的圆上长度为1的圆弧所对的圆心角的弧度数为. 【变式5-1】（25-26高一下·全国·单元测试）将分针拨慢5分钟，则分针转过的弧度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分针转过的角度和方向可得答案． 【详解】∵分针转一周为60分钟，转过的角度为， 将分针拨慢是逆时针旋转，∴钟表拨慢5分钟，则分针所转过的弧度数为. 【变式5-2】已知在半径为的圆上，有一条弧的长是，则该弧所对的圆心角（正角）的弧度数为__________． 【答案】3 【分析】利用弧度的概念计算即可. 【详解】由题意可知：该弧所对的圆心角（正角）的弧度数为． 故答案为：3 【变式5-3】（25-26高一下·全国·课后作业）（多选题）下列说法中错误的是（    ）． A．弧度制下，角的集合与实数集之间建立了一一对应的关系； B．1弧度是长度为半径长的弧； C．1弧度是长度等于半径长的圆弧所对圆心角的大小； D．用弧度作角的单位仅能表示正角． 【答案】BD 【详解】由弧度制的定义知AC正确，B错误； 用弧度作单位不仅可以表示正角，也可以表示负角与零角，D错误． 【题型06】角度与弧度互化 【典例6-1】（25-26高一下·广西北海·期末）化为弧度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故化为弧度为. 【变式6-1】（25-26高一下·陕西商洛·期中）把化成角度制是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用角度制与弧度制转化关系转化即可. 【详解】. 【变式6-2】（25-26高一下·广西河池·期中）角度与弧度之间的转化_______，_______，_______，_______，_______． 【答案】 【详解】； ； ； ； ． 【变式6-3】（25-26高一下·全国·阶段检测）请将下列各角在角度和弧度之间互化： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）解法一：利用角度与弧度的互化可得结果. 解法二：设所求角的弧度数或角度数，根据题意列出等式求解. 【详解】（1）解法一：； 解法二：设角的弧度数为，则，所以．即． （2）解法一：． 解法二：设角的弧度数为，则，所以． 即． （3）解法一：． 解法二：设，则，解得，即. （4）解法一：． 解法二：设，则，因此，即． 【题型07】弧长的有关计算 【典例7-1】（25-26高一下·河南焦作·期末）已知某扇形的圆心角为，半径为12，则此扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知圆心角，半径， 利用扇形弧长公式得： . 【变式7-1】（25-26高一下·江西赣州·期末）已知一扇形半径为2，圆心角为，则该扇形的弧长为（    ） A． B． C．2 D．120 【答案】B 【分析】利用扇形弧长公式进行计算. 【详解】因为换算为弧度是， 根据扇形弧长公式计算得：. 【变式7-2】（25-26高一下·江西吉安·期末）某扇形的周长为30，圆心角为3弧度，则该扇形的半径为________． 【答案】6 【详解】令扇形的半径为，弧长为，则，可得， 所以扇形的半径为. 【变式7-3】（24-25高一上·全国·课后作业）分别用角度制、弧度制下的弧长公式，计算半径为的圆中，圆心角为的扇形的周长（单位：）（，结果精确到）． 【答案】 【分析】利用公式和分别计算即可. 【详解】角度制：设扇形弧长为，则，故周长为． 弧度制：，故周长为． 【题型08】扇形面积的有关计算 【典例8-1】（25-26高一下·辽宁大连·期末）已知扇形的半径为2，面积为1，则该扇形圆心角的弧度数为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】利用扇形面积公式，代入已知的半径和面积，求解圆心角的弧度数 【详解】设该扇形的圆心角弧度数为，已知扇形半径，面积， 根据扇形面积公式，将已知条件代入可得： ， 化简得，解得， 所以，该扇形圆心角的弧度数为. 【变式8-1】（25-26高一下·江西抚州·期末）我国古代某数学著作中记载：“今有宛田，下周十六步，径八步，问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长16步，其所在圆的直径是8步，则这块田的面积是_____________平方步. 【答案】32 【分析】根据扇形的面积公式求解即可. 【详解】因为弧长16步，其所在圆的直径是8步， 所以（平方步）. 【变式8-2】（多选）（24-25高一下·河南驻马店·阶段检测）已知扇形的周长为120，圆心角为，则下列说法正确的有（    ）． A．此扇形的弧长为30 B．此扇形的半径为30 C．此扇形的面积为900 D．此扇形的面积为600 【答案】BC 【分析】根据题意有解出即可判断AB，根据扇形的面积公式计算即可判断CD. 【详解】设该扇形的圆心角、弧长、半径分别为，l，r， 所以，解得故A错误，B正确； 扇形的面积，故C正确，D错误． 故选：BC． 【变式8-3】（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）如图所示，有一段圆弧形公路，弯道半径为45 m，圆弧的圆心角为． (1)求的长； (2)求图中扇形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据扇形的弧长公式，可得到答案；. （2）根据扇形的面积公式，可得到答案. 【详解】（1）由题可知扇形圆心角为，根据扇形的弧长公式，可得 （2）根据扇形的面积公式，可得. 【题型09】扇形弧长公式与面积公式的应用 【典例9-1】（25-26高一下·广西钦州·期末）已知一扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，可得弧长、半径和圆心角的关系，结合面积公式，即可得答案. 【详解】设扇形的半径为r，弧长为l， 则，解得， 所以. 【变式9-1】（25-26高一下·山东日照·阶段检测）半径为，圆心角为的扇形的弧长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将圆心角从角度制转化为弧度制，再代入弧长公式计算求解. 【详解】由题意可得，根据弧长公式可得： . 【变式9-2】（25-26高一下·广东佛山·期中）已知扇形的圆心角为弧度，周长为10，则该扇形的面积为___________． 【答案】 【分析】由条件结合扇形的弧长及周长公式，列方程求出弧长和半径，进而可求得扇形的面积. 【详解】根据题意，扇形的圆心角为弧度，周长为10， 设扇形的半径为，弧长为，面积为， 则，解得，， 所以，扇形的面积. 【变式9-3】（24-25高一下·四川南充·阶段检测）如图，以轴的非负半轴为始边的角，的终边分别交圆（为坐标原点）于，两点，其中点在第一象限，已知扇形的弧长与面积的数值都是． (1)求圆心角的弧度数； (2)若点的横坐标为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由扇形的面积和弧长公式，可以计算圆的半径，再由弧长与半径的比值得出圆心角； （2）通过点的横坐标，可以计算角的正弦与余弦，再通过角，的关系计算角的正余弦，由计算坐标. 【详解】（1）记圆的半径为，扇形的弧长为，圆心角为，面积为， 则由，且，，解得． 又因为，则．故圆心角的弧度数为． （2）因为点的横坐标为， 所以，则， 所以， 则． 所以，． 故点的坐标为． 知识点01任意角的概念 1. 任意角分类 将射线端点固定在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，根据旋转方向定义三类角： 正角：射线逆时针旋转形成的角； 负角：射线顺时针旋转形成的角； 零角：射线无旋转，始边终边重合，角度为。 2. 象限角 象限角：角的终边落在某一象限内的角； 知识点02终边相同的角 1. 通用集合公式 所有与角终边相同的角（含本身）构成集合： 2. 核心性质 （1）终边相同的角，角度相差的整数倍； （2）终边相同的角，象限位置一定相同； （3）象限相同的角，终边不一定相同； （4）为必备条件，书写公式不可省略。 知识点03弧度制的概念 1. 定义 在圆中，长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为弧度的角，记作，以弧度为单位的计量制度为弧度制。 2. 弧度数核心公式 半径为的圆中，圆心角弧度数、弧长满足： 备注：弧度为无量纲单位，日常书写可省略。 知识点04角度制与弧度制的相互转化 1. 核心换算基准（必考） 由此推导通用换算公式： 2. 换算规则 角度转弧度：角度数值 ； 弧度转角度：弧度数值。 3. 常用特殊角换算 ，，， 知识点05弧度制下扇形弧长与面积公式 适用前提：圆心角必须为弧度制，，扇形半径为。 1. 弧长公式 2. 面积公式 3. 易错提醒 角度制圆心角不可直接套用以上公式，必须先转化为弧度制再计算。 知识点06本节高频易错汇总 1.混淆象限角与轴线角，轴线角无象限归属； 2.书写终边相同角集合，遗漏条件； 3.扇形公式混用角度制与弧度制，导致计算错误； 4.负角判断象限出错，需通过加转化为正角再判定。 一、单选题 1．（25-26高一下·陕西渭南·期末）已知角，则角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【详解】因为，所以角的终边是的非负半轴绕原点顺时针方向旋转得到的， 所以角是第三象限角. 2．（25-26高一下·山东威海·期末）与是同一象限角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】是第四象限角. 对于A：，因此是第一象限角； 对于B：，因此是第四象限角； 对于C：是第一象限角； 对于D：，因此是第二象限角. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第四象限角 D．第一象限或第二象限或第四象限角 【答案】D 【分析】根据第二象限角的范围，求出，再分类讨论得出象限即可. 【详解】，， ，， 当时，，是第一象限角； 当时，，是第二象限角； 当时，，是第四象限角. 故选：D. 4．（25-26高一下·辽宁葫芦岛·期末）下列各角中，与角终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为与终边相同的角的集合为：. 当时，； 若，则不是整数； 若，则不是整数； 若，则不是整数. 5．（25-26高一下·广西桂林·期末）若扇形的圆心角为，半径为3，则此扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】扇形的弧长. 6．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知某扇形的半径为2，弧长为，则该扇形的面积是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用扇形的面积公式即可求解. 【详解】因为扇形的半径为2，弧长为， 所以扇形的面积为. 7．（25-26高一下·江西九江·阶段检测）若是第二象限角，是第四象限角，则构成的集合为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合象限角的取值范围运算求解即可. 【详解】因为是第二象限角， 则，，可得，， y是第四象限角，则，，解得，， 所以构成的集合为. 8．（24-25高一上·河北邯郸·期末）折扇在中国已有三千多年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化(如图1)，也是“运筹帷幄”“决胜千里”“大智大勇”的象征，图2为其结构简化图.若在圆形纸张上剪下一把扇形的扇子(扇形的半径和圆形纸张的半径相同)，记该扇形的面积为，剩下的图形面积为，若与的比值满足黄金分割值，则扇子的圆心角大约为（    ）（参考数据） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设扇形的圆心角为，半径为r，利用扇形及圆的面积公式化简求解． 【详解】设扇形的圆心角为，半径为r，则，， 所以，解得. 故选：C 二、多选题 9．（25-26高一上·云南曲靖·期末）下列各角，终边与角的终边相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据终边相同的角的判断方法逐一判断即可. 【详解】． 故选：BCD 10．（25-26高一下·全国·阶段检测）下列叙述不正确的是（   ） A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B．钝角是第二象限角 C．第二象限角比第一象限角大 D．不相等的角终边一定不同 【答案】ACD 【分析】利用象限角、终边相同的角的意义逐项判断即可. 【详解】对于A：直角不属于任何一个象限，A不正确； 对于B：钝角是大于小于的角，是第二象限角，B正确； 对于C：是第二象限角，是第一象限角，C不正确； 对于D：角与角不相等，但它们的终边相同，D不正确. 故选：ACD 11．（25-26高一下·四川南充·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．1弧度的角比1°的角大 B．第一象限角一定是锐角 C．时钟经过四个小时，时针转过的角度是 D．若是第二象限角，则也是第二象限角 【答案】AC 【分析】A选项，根据角度与弧度的互化即可比较大小；B选项，根据第一象限角的集合判断；C选项，按照角的概念判断；D选项，写出第二象限角的集合，算出即可判断其象限. 【详解】A选项，，故A选项正确； B选项，第一象限角的集合为，故B选项错误； C选项，时钟经过四个小时，时针转过的角度是，因为时针是按照顺时针方向转动，所以时针转过的角度是，故C选项正确； D选项，若是第二象限角，则，则 ，所以位于第一或者第三象限.故D选项错误. 三、填空题 12．（25-26高一上·上海·阶段检测）若是第二象限角，则是第__________象限角. 【答案】一或第三 【分析】由题可知，所以.由此可得所对应的象限. 【详解】由题可知，所以. 当为奇数时，是第三象限角； 当为偶数时，是第一象限角. 所以是第一或第三象限角. 故答案为：一或第三. 13．（25-26高一下·内蒙古赤峰·期末）已知半径为1的扇形面积为2，则扇形圆心角的弧度数为________． 【答案】4 【详解】设圆心角为，半径，故，解得. 14．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知，弧度，，则，，间的大小关系为_______.（用“<”符号连接） 【答案】 【分析】将三个角统一转换为角度进行比较即可. 【详解】由题意可得，， 所以． 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知为第三象限的角，讨论角，，的终边的位置. 【答案】答案见解析. 【分析】根据所在象限得出的取值范围，再分别计算出，，的范围，即可判断出所在象限. 【详解】∵是第三象限的角， ∴（）， ∴（）， ∴（）， ∴是第四象限的角. ∵（）， ∴（）， ∴是第一象限的角或第二象限的角或y轴正半轴上的角. ∵（）， ∴（）. 若（）， 则（）， ∴是第一象限的角； 若（）， 则（）， ∴是第三象限的角； 若（）， 则（）， ∴是第四象限的角， ∴是第一象限的角、第三象限的角或第四象限的角. 综上所述，结论是：是第四象限的角，是第一象限的角或第二象限的角或y轴正半轴上的角，是第一象限的角、第三象限的角或第四象限的角. 16．（24-25高一上·全国·课后作业）已知角. (1)求在范围内与角终边相同的角； (2)若角与角终边相同，判断角是第几象限角. 【答案】(1) (2)第一象限角或第三象限角 【分析】（1）根据终边相同角的定义得出对应集合可得结果； （2）由得出的表达式，即可判断. 【详解】（1）与角终边相同的角的集合为， 令， 则，又，所以， 故与角终边相同的角是. （2）易知，则， 为偶数时，是第一象限角； 为奇数时，是第三象限角， 故是第一象限角或第三象限角. 17．（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）把化成弧度； （2）把化成角度； （3）已知，，，，，试比较、、、、的大小． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】1、角度与弧度的转换.2、角度与弧度的转换.3、将所有角转换成弧度制进行比较即可. 【详解】（1）． （2）． （3），． 显然．故． 18．（25-26高一下·安徽安庆·阶段检测）如图，已知扇形AOB的面积是，圆心角． (1)求扇形AOB的周长； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用扇形的面积、弧长公式求扇形周长； （2）扇形面积减去三角形面积为所求面积． 【详解】（1）设扇形AOB的半径为r，弧长为l， 则，解得， 所以扇形的周长为． （2）过O作，垂足为D， 由（1）知，，， 则，，． 所以的面积为， 所以图中阴影部分的面积为． 19．（25-26高一下·江西景德镇·阶段检测）某企业计划制作一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形挖去扇形后构成）．已知弧的长度为厘米，弧的长度为厘米，，且该铭牌截面的面积为900平方厘米． (1)若厘米，求的值； (2)求该铭牌截面的周长的最小值． 【答案】(1)厘米 (2)厘米 【分析】（1）根据弧长公式及扇形的面积公式求解即可； （2）根据已知条件得到扇形圆心角与之间的关系式，进而根据弧长公式可得到该铭牌截面的周长的表达式，结合基本不等式可得结果. 【详解】（1）设该扇形的圆心角为，因为厘米，， 所以厘米，所以厘米， 所以该铭牌截面的面积为，解得， 所以厘米. （2）设该扇形的圆心角为，因为， 所以， 所以该铭牌截面的面积为，解得. 所以该铭牌截面的周长为， 将代入得， 当且仅当，即厘米，时等号成立， 所以该铭牌截面的周长的最小值为厘米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $