第24讲 同角三角函数的基本关系（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版

第24讲 同角三角函数的基本关系 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 sinα、cosα、tanα知一求二 题型2 sinα、cosα齐次式的求值 题型3 sinα·cosα、sinα±cosα关系 题型4 三角函数式的化简求值 题型5 三角恒等式的证明 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 同角基本关系式 知一求二 1. 理解关系：借助单位圆推导同角三角函数基本关系式，培养数学抽象素养. 2. 掌握求值：利用基本关系式进行“知一求二”，提升数学运算素养. 3. 化简证明：能运用关系式进行三角函数式的化简与恒等式证明. 4. 体会思想：领悟数形结合与代数变形思想，为后续恒等变换奠基. 学习重点：（1）基本关系式：准确理解并掌握平方关系与商数关系. （2）关系式应用：熟练运用基本关系式进行求值、化简与证明. 学习难点：（1）公式推导：理解从单位圆几何性质到代数关系式的推导过程. （2）符号与变形：求值时根据象限正确判断符号，以及灵活进行代数变形. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 同角三角函数的基本关系 1、同角三角函数的基本关系 基本关系 基本关系式 语言描述 平方关系 同一个角的正弦、余弦的平方和等于1 商数关系 同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切 2、基本关系式的要点剖析 （1）“同角”有两层含义，一是“角相同”；二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如成立，但是就不一定成立． （2）是的简写，读作“的平方”，不能将写成，前者是的正弦的平方，后者是的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写． （3）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，对一切恒成立，而仅对成立． 知识点02 关系式的常用等价变形 1、 2、 【注意】使用变形公式，时，“±”由的终边所在的象限来确定，而对于其他形式的变形公式则不必考虑符号问题． 知识点03 基本关系式常用解题方法 1、已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤 第一步：由已知三角函数的符号，确定其角终边所在的象限； 第二步：依据角的终边所在象限分类讨论； 第三步：利用同角三角函数关系及其变形公式，求出其余三角函数值. 2、三角函数式的化简技巧 ①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的． ②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． ③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造＋＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． 3、三角函数恒等式证明 证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法： ①证明一边等于另一边，一般是由繁到简． ②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)． ③比较法：即证左边－右边＝0或＝1(右边≠0)． ④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立． 题型1 sinα、cosα、tanα知一求二 【例1】（1）若，且为第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，且为第三象限角， ∴， ∴． （2）若，，则_____. 【答案】 【详解】因为，，所以， 所以， 因为，所以， 又因为， 所以，所以， 所以， 所以. 【方法总结】 正确选用公式，sin2α＋cos2α＝1，＝　tan α（α≠＋kπ，k∈Z）.特别注意所求三角函数值正负的判断. 【变式1-1】（多选）下列命题是真命题的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】对于AB，当时，，，A错误，B正确； 对于CD，由得：，，C错误，D正确. 题型2 sinα、cosα齐次式的求值 【例2】（1）已知，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以. （2）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，则 ， 【方法总结】 已知tan α的值，求关于sin α，cos α齐次式的值的方法 (1)对只含有sin α，cos α的齐次式，可根据同角三角函数的商数关系，通过除以某一齐次项，转化为只含有正切的式子，即化弦为切，整体代入.(2)对于形如或的分式，分子、分母同时除以cos α，cos2α，将正、余弦转化为正切，从而求值. (3)对于形如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin2α＋cos2α，转化为形如的式子求值. 【变式2-1】已知，求：(1)；(2). 【答案】(1)；(2) 【详解】（1） ； （2）=. 题型3 sinα·cosα、sinα±cosα关系 【例3】（1）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于，所以 ，又，所以 ,故. （2）（多选）已知，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由得， ，又，，所以，所以，A正确； 因为，，所以，所以， B正确； 结合可得，，C正确； ，D不正确． 【方法总结】 (1)(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ； (2)(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ； (3)(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2； (4)(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ. 【变式3-1】已知，是关于的一元二次方程的两根． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由已知得①，②， 将①两边同时平方得， 则，所以； （2）∵，，， ∴，，∴， . 题型4 三角函数式的化简求值 【例4】（1）已知，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【详解】依题意， 由， 得. 已知，故. （2）已知 ，则的值为________． 【答案】3 【详解】 【方法总结】 （1）化切为弦，即把正切函数转化为正、余弦函数，从而减少函数类型，达到化繁为简的目的； （2）对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的； （3）对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的. 【变式4-1】化简：(1) (2) (3) 【答案】(1)1；(2)1；(3)0. 【详解】（1） ； （2）； （3） . 题型5 三角恒等式的证明 【例5】证明：． 【答案】证明见解析 【详解】证明： ， 即. 【方法总结】 证明三角恒等式常用的方法： (1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简； (2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子； (3)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”. 【变式5-1】求证:. 【答案】证明见解析 【详解】方法一:左边= = = = = =右边. 方法二:左边 = = = = =     =右边. 一、单选题 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，而， 所以. 2． cos2x等于（    ） A．tan x B．sin x   C．cos x D． 【答案】D 【详解】原式＝＝＝＝＝. 3．计算的值为（    ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】B 【详解】解：因为， . 4．已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， . 5．（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 . 6．已知，则“”是“”的（　　） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】（1）因为，所以， 又，由，可得， 所以； （2）因为，又， 当时，，由，可得，此时， 当时，，由，可得，此时， 综上，，则“”是“”的充分不必要条件， 二、多选题 7．已知角终边上，  且，则的值可能为（ ）． A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由于，故，解得. 当时， ， 当 ， 8．已知，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】联立，解得或， 因为，所以，所以，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； 因为，所以，故D错误. 9．若，则α可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】显然， 因此，从而， 对于A，因为为第四象限角，所以，A可能； 对于B，因为为第二象限角，所以，B不可能； 对于C ，因为为第三象限角，所以，C可能； 对于D，因为为第四象限角，所以，D可能. 三、填空题 10．已知，则__________. 【答案】2 【详解】若，则， 则. 故答案为：. 11．已知，，其中，则的值为______. 【答案】 【详解】因为，所以， 解得或， 因为，所以，， 当时，，，不符合题意，舍去； 当时，，，符合题意. 综上，. 12．若，化简：________． 【答案】 【详解】 当时，，，且 所以原式 当时，，，且 所以原式 当时，，，且， 所以原式 当时，，，且， 所以原式 综上可知，原式 故答案为：. 四、解答题 13．已知是关于x的方程的两个根（） (1)求a的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）因为是关于x的方程的两个根， 所以方程的判别式，解得：或， 且有，所以==， 即，解得（舍去）， 即a的值为. （2）因为 ， 所以的值为. （3）因为 . 故的值为. 14．求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【详解】（1） . 所以原式成立. （2） . 所以原式成立. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第24讲 同角三角函数的基本关系 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 sinα、cosα、tanα知一求二 题型2 sinα、cosα齐次式的求值 题型3 sinα·cosα、sinα±cosα关系 题型4 三角函数式的化简求值 题型5 三角恒等式的证明 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 同角基本关系式 知一求二 1. 理解关系：借助单位圆推导同角三角函数基本关系式，培养数学抽象素养. 2. 掌握求值：利用基本关系式进行“知一求二”，提升数学运算素养. 3. 化简证明：能运用关系式进行三角函数式的化简与恒等式证明. 4. 体会思想：领悟数形结合与代数变形思想，为后续恒等变换奠基. 学习重点：（1）基本关系式：准确理解并掌握平方关系与商数关系. （2）关系式应用：熟练运用基本关系式进行求值、化简与证明. 学习难点：（1）公式推导：理解从单位圆几何性质到代数关系式的推导过程. （2）符号与变形：求值时根据象限正确判断符号，以及灵活进行代数变形. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 同角三角函数的基本关系 1、同角三角函数的基本关系 基本关系 基本关系式 语言描述 平方关系 同一个角的正弦、余弦的平方和等于1 商数关系 同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切 2、基本关系式的要点剖析 （1）“同角”有两层含义，一是“角相同”；二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如成立，但是就不一定成立． （2）是的简写，读作“的平方”，不能将写成，前者是的正弦的平方，后者是的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写． （3）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，对一切恒成立，而仅对成立． 知识点02 关系式的常用等价变形 1、 2、 【注意】使用变形公式，时，“±”由的终边所在的象限来确定，而对于其他形式的变形公式则不必考虑符号问题． 知识点03 基本关系式常用解题方法 1、已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤 第一步：由已知三角函数的符号，确定其角终边所在的象限； 第二步：依据角的终边所在象限分类讨论； 第三步：利用同角三角函数关系及其变形公式，求出其余三角函数值. 2、三角函数式的化简技巧 ①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的． ②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． ③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造＋＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． 3、三角函数恒等式证明 证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法： ①证明一边等于另一边，一般是由繁到简． ②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)． ③比较法：即证左边－右边＝0或＝1(右边≠0)． ④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立． 题型1 sinα、cosα、tanα知一求二 【例1】（1）若，且为第三象限角，则（    ） A． B． C． D． （2）若，，则_____. 【方法总结】 正确选用公式，sin2α＋cos2α＝1，＝　tan α（α≠＋kπ，k∈Z）.特别注意所求三角函数值正负的判断. 【变式1-1】（多选）下列命题是真命题的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型2 sinα、cosα齐次式的求值 【例2】（1）已知，则的值为（    ） A． B．1 C． D． （2）已知，则（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 已知tan α的值，求关于sin α，cos α齐次式的值的方法 (1)对只含有sin α，cos α的齐次式，可根据同角三角函数的商数关系，通过除以某一齐次项，转化为只含有正切的式子，即化弦为切，整体代入.(2)对于形如或的分式，分子、分母同时除以cos α，cos2α，将正、余弦转化为正切，从而求值. (3)对于形如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin2α＋cos2α，转化为形如的式子求值. 【变式2-1】已知，求：(1)；(2). 题型3 sinα·cosα、sinα±cosα关系 【例3】（1）已知，则（    ） A． B． C． D． （2）（多选）已知，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【方法总结】 (1)(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ； (2)(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ； (3)(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2； (4)(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ. 【变式3-1】已知，是关于的一元二次方程的两根． (1)求的值； (2)若，求的值． 题型4 三角函数式的化简求值 【例4】（1）已知，则的值为（    ） A． B． C．3 D． （2）已知 ，则的值为________． 【方法总结】 （1）化切为弦，即把正切函数转化为正、余弦函数，从而减少函数类型，达到化繁为简的目的； （2）对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的； （3）对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的. 【变式4-1】化简：(1) (2) (3) 题型5 三角恒等式的证明 【例5】证明：． 【方法总结】 证明三角恒等式常用的方法： (1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简； (2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子； (3)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”. 【变式5-1】求证:. 一、单选题 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 2． cos2x等于（    ） A．tan x B．sin x   C．cos x D． 3．计算的值为（    ） A．-1 B．1 C． D． 4．已知，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（　　）． A． B． C． D． 6．已知，则“”是“”的（　　） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 7．已知角终边上，  且，则的值可能为（ ）． A． B． C． D． 8．已知，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 9．若，则α可能是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．已知，则__________. 11．已知，，其中，则的值为______. 12．若，化简：________． 四、解答题 13．已知是关于x的方程的两个根（） (1)求a的值； (2)求的值； (3)求的值． 14．求证： (1)； (2). 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $