重难点04 平面直角坐标系：面积与动点压轴专项（9大题型讲义） 2025-2026学年人教版七年级数学下册

重难点04 平面直角坐标系：面积与动点问题压轴专项 01 考向领航 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 02 知识建构 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一 平面直角坐标系面积与动点问题解题基本步骤 知识点二 平面直角坐标系图形面积核心计算方法 知识点三 平面直角坐标系动点问题核心处理方法 知识点四 面积与动点综合高频题型解题逻辑 知识点五 高频易错点与检验要点 03 题型攻坚 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 题型1 坐标系中平行线与三角形面积结合的问题 题型2 求满足面积条件的点的坐标 题型3 基础公式法求三角形面积 题型4 割补法求三角形面积 题型5 铅垂法求三角形面积 题型6 动点与坐标规律探索问题 题型7 求坐标系中满足某条件的动点坐标 题型8 动点与面积综合问题 题型9 动点存在性问题 04 综合演练 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 05 错题复盘 → 集错题，析错因，重订正，常反思 常考考点 命题风向 · 坐标系内线段长度计算：掌握平行于 x 轴、y 轴的线段长度与坐标的转换规则，利用横、纵坐标差的绝对值求边长，是面积计算与动点问题的核心基础。 · 平面图形面积求解：涵盖底高法、割补法、铅垂高法三大核心方法，解决三角形、四边形等规则与不规则图形的面积计算，是本专题的核心运算考点。 · 动点坐标参数化表示：掌握沿坐标轴、沿多边形边界运动的动点坐标表示方法，用含时间 t 的代数式表达动点实时坐标，并明确对应运动阶段的 t 取值范围。 · 面积与动点综合应用：结合动点运动过程，建立面积关于参数的表达式，求解面积定值、面积倍数关系、面积最值对应的参数值，是本专题的核心题型。 · 分类讨论与存在性判定：针对动点位置变化、图形形态改变进行分段讨论，探究满足特定面积条件的点是否存在，是本专题的难点与区分度考点。 · 图形变换与面积结合：结合平移、轴对称的坐标变化规律，利用 “图形变换前后面积不变” 的性质，求解变换后图形的面积与对应点坐标。 · 基础命题：以静态定点图形的面积计算为主，题干给出固定坐标，直接考查底高法、割补法的应用，多以选择题、填空题形式出现，侧重基础方法的掌握，难度较低。 · 综合命题：以单动点沿多边形边界运动为核心载体，结合面积等量关系、分段变化规律命题，要求学生完成坐标参数化、列方程求解、结果校验全流程，常以解答题中档题或压轴题形式呈现。 · 素养命题：设置双动点、开放性存在性、图形变换结合等创新场景，弱化固定套路，突出数形结合、分类讨论思想，侧重考查动态分析能力与逻辑严谨性，为后续函数动点问题铺垫，贴合中考代数几何综合的命题导向。 考情解码： · 模块地位：本专题是七年级下册平面直角坐标系模块的核心重难点，是代数运算与几何图形的首次深度结合，承接坐标基础认知，也是后续一次函数动点、几何综合题的必备基础，在初中几何体系中具备承上启下的关键作用。 · 考频与分值：日常月考、期中期末考试必考，题型覆盖选择、填空、解答题，常以填空压轴、解答压轴形式出现，分值占比 10%–15%；中考中多融入函数综合题考查，是初中几何动点问题的入门核心模块。 · 高频考法：三角形面积的割补法计算、单动点沿矩形 / 三角形边界的面积问题、坐标与长度转换是最高频考点；存在性问题、分段面积变化规律是中档压轴题的主流考法；双动点、图形变换结合为拓展考法。 · 失分规律：坐标转长度忽略绝对值、动点运动分段遗漏、求解后未验证参数取值范围导致增解、割补法中多算漏算面积，是四大核心失分点；分类讨论不完整、动态过程分析不清是拉开分差的主要原因。 知识点一 平面直角坐标系面积与动点问题解题基本步骤 （1）审：梳理题干中点的坐标、动点的运动路径、速度、起止位置，明确目标图形形状与核心求解条件（面积定值、倍数关系、存在性等）； （2）标：在坐标系中标定所有定点坐标，根据动点的起点、运动方向与速度，用含时间 t （或参数）的代数式表示出动点的实时坐标； （3）析：分析目标图形的结构特征，选择对应的面积计算方法（直接法/割补法/底高法），结合条件建立等量或不等关系； （4）列：根据面积公式、数量关系列出对应的一元一次方程、不等式或方程组； （5）解：求解方程或不等式，得到参数的取值或取值范围； （6）验：验证结果是否符合动点的运动区间、实际几何意义，排除超出运动范围、图形不存在的增解。 知识点二 平面直角坐标系图形面积核心计算方法 1. 直接公式法（边平行于坐标轴的规则图形） · 水平边长：平行于x 轴的线段长度=两点横坐标差的绝对值，即 （ A、B纵坐标相等）； · 竖直边长：平行于y 轴的线段长度=两点纵坐标差的绝对值，即（ C、D横坐标相等）； · 长方形、正方形等规则图形，直接用对应面积公式代入边长计算即可。 2. 底高法（三角形基础计算） 选取平行于坐标轴的边作为底，对应高为另一坐标轴方向的坐标差值，三角形面积=1/2×底×高 ，是坐标系中最常用的三角形面积计算方法。 3. 割补法（不规则图形通用方法） · 补形法：过图形所有顶点作坐标轴的平行线，围成外围大矩形，用大矩形面积减去周围多余直角三角形、直角梯形的面积，得到目标图形面积； · 分割法：过顶点作平行于坐标轴的辅助线，将不规则图形分割为若干个三角形、长方形等规则图形，分别计算面积后求和。 4. 铅垂高法（斜三角形通用） 对于三边均不平行于坐标轴的三角形，面积=1/2×水平宽×铅垂高 ；其中水平宽为三角形左右顶点的横坐标差，铅垂高为顶点纵坐标的最大差值，适用于复杂斜三角形的面积计算。 知识点三 平面直角坐标系动点问题核心处理方法 1. 动点坐标的参数化表示 沿 x 轴水平运动：纵坐标保持不变，横坐标=初始横坐标±速度×时间 t （向右运动为“+”，向左运动为“- ”）； 沿 y 轴竖直运动：横坐标保持不变，纵坐标=初始纵坐标±速度×时间 t （向上运动为“+”，向下运动为“- ”）； 沿折线/多边形边界运动：按拐点划分运动阶段，每个阶段单独表示点的坐标，同时明确每个阶段对应的 t 的取值范围。 2. 动中取静核心思想 将运动过程中的某一时刻视为静止状态，把含参数的动点坐标当作定点处理，转化为静态的坐标计算、面积计算问题，实现动态问题静态化求解。 3. 分类讨论基本原则 根据动点的运动路径分段（如在不同线段上运动）、根据目标图形的位置变化分类，按时间顺序依次讨论，确保所有情况不重不漏。 知识点四 面积与动点综合高频题型解题逻辑 1. 面积等量关系题型（面积为定值、面积成倍数） (1) 用含参数t 的代数式表示目标图形的底与高，代入面积公式，得到含 t 的面积表达式； (2) 根据题目给出的面积条件列方程，求解参数 t ； (3) 验证 t 是否在动点的运动时间范围内，筛选出符合题意的有效解。 2. 面积最值题型 (1) 列出面积关于参数t 的代数式，结合动点的运动区间确定 t 的取值范围； (2) 根据代数式的增减变化规律，确定面积的最大值、最小值，以及对应参数的取值。 3. 存在性题型（是否存在点满足面积条件） (1) 先假设符合条件的点存在，设出该点的坐标（含参数），并表示出对应图形的面积； (2) 根据面积条件列方程求解，若解在取值范围内则存在，反之则不存在； (3) 点的位置有多种可能时，需分类讨论所有情况。 4. 图形变换中的面积题型 根据平移、轴对称的坐标变化规律，求出变换后对应点的坐标；图形变换前后面积保持不变，再选用对应面积方法计算即可。 知识点五 高频易错点与检验要点 1. 坐标与长度转换错误：计算线段长度时必须加绝对值，长度恒为非负数，避免因坐标正负号导致长度计算出错。 2. 分类讨论遗漏：动点经过拐点、图形位置发生变化时未分段讨论，造成漏解；解题前需先确定动点全程的运动时间与分段节点。 3. 增解未排除：求解方程后未验证参数的取值范围，出现超出运动区间的无效解；必须结合动点起止位置校验结果的合理性。 4. 割补计算失误：补形法中漏减多余图形、分割法中重复计算面积，建议计算后用两种方法交叉验证结果。 5. 坐标变换规律混淆：点的平移遵循“左减右加横坐标，上加下减纵坐标”，需注意方向与坐标变化的对应关系，避免方向搞反。 题型1 坐标系中平行线与三角形面积结合的问题 【例1】如图，直线轴，且直线经过点，点的坐标为，为直线上的一动点，为的中点，点从点出发，沿着直线向轴负方向移动，则在移动过程中，三角形的面积（   ） A．一直变大 B．一直变小 C．先变大再变小 D．不变，面积始终为 【变式训练1-1】如图， 在平面直角坐标系中， 已知， ， 其中a，b满足 ．点M的坐标，在y轴的正半轴上有一点 P，使得三角形 的面积与三角形的面积相等，则点 P 的坐标为（  ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】如图，在直角坐标系中，矩形的顶点位于坐标原点，点、坐标分别为和．若矩形与矩形关于点位似，且矩形的面积等于矩形面积的，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式训练1-3】已知为坐标原点，关于轴对称，点、点，若在x轴上有一个点，满足的面积等于2，则点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 题型2 求满足面积条件的点的坐标 【例2】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，点也在坐标轴上（不与A，B，C重合），若三角形的面积与三角形的面积相等，则满足条件的点的坐标是_____．    【变式训练2-1】如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为，，．若在第二象限内有一点，且四边形的面积是的面积的，则点P的坐标为________． 【变式训练2-2】如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为，宽为，动点从点出发沿运动，当的面积等于四边形面积的时，点的坐标为__________． 【变式训练2-3】在平面直角坐标系中，已知点，，，． （1）四边形的面积为______； （2）若轴上存在点，使的面积恰为四边形的面积的，则点坐标为_____． 题型3 基础公式法求三角形面积 【例3】如图，已知坐标系中四点，则四边形的面积是（   ） A．4 B． C． D．5 【变式训练3-1】如图，在平面直角坐标系中，将线段向右平移得到线段，则线段在平移过程中扫过的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】点在第一象限，且，点A的坐标为，当时，的面积是（   ） A．7 B．8 C．9 D． 【变式训练3-3】在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为，则这个长方形的面积是（   ） A．24 B．25 C．30 D．28 题型4 割补法求三角形面积 【例4】已知 (1)求的面积； (2)在y轴上是否存在点P，使得的面积等于的面积的2倍，并求出点P的坐标； (3)在x轴上是否存在点M，使得的面积等于的面积的2倍，求出M点的坐标． 【变式训练4-1】在平面直角坐标系中，，，其中，满足． (1)如图1，已知点，求的面积； (2)如图2，过点向轴作垂线，垂足为，请问在轴的上方是否存在点，使与的面积相等，且的面积是面积的3倍？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练4-2】阅读与思考 利用面积法求直线上点的坐标 如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于，两点，点，在直线上，求点的坐标． 【问题探究】 （1）请阅读并填空： 第一步：过点作轴于点，由，两点的坐标，可直接得出三角形的面积为________； 第二步：过点作轴于点，三角形的面积，三角形的面积为________． ∵三角形的面积三角形的面积三角形的面积， ∴可得关于的一元一次方程为________． 解这个方程，可得点的坐标为________． 【问题迁移】 （2）连接，请仿照（1）中的方法，求点的坐标． 【问题拓展】 （3）若点在直线上，且在轴的左侧，三角形的面积为5，请直接写出点的坐标． 【变式训练4-3】如图，已知点，，，． (1)求四边形的面积； (2)在轴上找一点，使的面积等于四边形面积的三分之一，求点的坐标． 题型5 铅垂法求三角形面积 【例5】已知：在平面直角坐标系中，，，， (1)求的面积； (2)设点P在y轴上，且的面积是的面积的2倍，求点P的坐标． 【变式训练5-1】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，其中a，b满足． (1)填空：________，________； (2)若在第三象限有一点，用含m的式子表示的面积； (3)在（2）的条件下，线段与y轴相交于，当时，点P是坐标轴上的动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点P的坐标． 【变式训练5-2】已知点，且． (1)直接写出：A的坐标是_______，B的坐标是_______，三角形的面积是_______； (2)如图（1），在第三象限内有一点，若三角形的面积是13，求M的坐标； (3)在（2）的条件下，如图（2），过点M作直线分别交x轴负半轴，y轴负半轴于点P，Q，连接．当三角形的面积和三角形的面积相等时，直接写出点P和点Q的坐标． 【变式训练5-3】如图1，在平面直角坐标系中，A，B坐标分别为、，且a，b满足：，现同时将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接，，． (1)_____，_____，四边形的面积_____； (2)如图2，点P是线段上的一个动点，连接，，当点P在上移动时（不与B，D重合），的值是否发生变化，并说明理由； (3)已知点M在x轴上，连接、，若的面积是的面积的两倍，求点M的坐标． 题型6 动点与坐标规律探索问题 【例6】如图，在平面直角坐标系中，动点A从点出发，先向上运动1个单位长度到达点B，再分裂为两个点，分别向左、右运动到点、点，此时称动点A完成第一次跳跃，再分别从C、D点出发，每个点重复上边的运动，到达点、、，此时称动点A完成第二次跳跃，依此规律跳跃下去，动点A完成第2025次跳跃时，最左侧第一个点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-1】如图，在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点坐标分别是，，，，动点从出发，以每秒1个单位长度的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动，同时动点从出发，以每秒4个单位长度的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则动点，第次相遇时的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】某同学在平面直角坐标系内设计了一个动点运动的程序，若一个动点从点出发，沿→→…运动，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式训练6-3】如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点…按这样的运动规律，经过第18次运动后，动点的坐标是（    ） A． B． C． D． 题型7 求坐标系中满足某条件的动点坐标 【例7】在平面直角坐标系中，点，，过点A作直线轴，点C是直线上的一个动点，当线段长度最小时，点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-1】如图，已知点，动点在轴上，且的面积为，则的坐标为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【变式训练7-2】如图，是一个的正方形网格，每个小正方形的边长都为1个单位长度，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点），建立如图的平面直角坐标系．如果m为任意常数，那么随m的变化，动点会经过的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式训练7-3】如图，在平面直角坐标系中，，，直线轴，垂足为点，点P为直线上一动点，当时，则点P坐标______． 题型8 动点与面积综合问题 【例8】如图①，在平面直角坐标系中，，，且满足，将线段AB平移得线段，点A对应点D，点B对应点C，点A的对应点D在x轴上，点B的对应点C在y轴上． (1)直接写出A、B、C三点的坐标； (2)如图②，点P是坐标轴上的一个动点，当三角形的面积是30时，求点P的坐标； (3)如图③，若动点E从点D出发向左运动，同时动点F从点C出发向上运动，两个点的运动速度之比是，运动过程中直线和交于点N，若三角形的面积等于9，求出点N的坐标． 【变式训练8-1】如图，在平面直角坐标系中，点，满足．将线段向上平移6个单位长度得到线段（点A，B分别对应点C，D），连接． (1)分别求出a，b的值； (2)如图1，若点E是线段上的一个动点（不与点C，D重合），小智认为：无论点E如何运动，始终成立，你是否同意他的看法？请说明理由； (3)如图2，点F是x轴负半轴上的一个动点，连接，，当点F运动到某个位置时，的面积和四边形的面积相等，试求出此时点F的坐标． 【变式训练8-2】如图1，长方形在平面直角坐标系中，点，，． (1)请直接写出D点的坐标_____． (2)如图1，连接，，交于点E，的平分线和的平分线交于点F． ①当的度数为n，的度数为m时，求的度数（用含m、n的式子表示）． ②请直接写出和之间的数量关系． (3)如图2，若长方形以每秒2个单位的速度向下运动，设运动的时间为t秒．在边上取一点G，使得的面积是面积的2倍，连接，若的面积等于的面积，求t的值． 【变式训练8-3】如图，在平面直角坐标系中，点，，连接，交轴于点，点在第一、三象限的角平分线上，轴． (1)求点的坐标； (2)求的面积； (3)若是轴上的一动点，且的面积是面积的，求点的坐标． 题型9 动点存在性问题 【例9】如图①，平面直角坐标系中，，，直线轴交轴于点，动点在直线，之间（不在直线，上）． (1)若，连接，，求的面积； (2)若，在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图②，点在射线上运动，为轴上点右侧的一点，连接，，，，若始终平分，且，，请直接写出的值． 【变式训练9-1】如图①，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，将先向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段．连接，，． (1)点的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)求四边形的面积； (3)在轴上是否存在一点，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (4)如图②，若是射线上的一个动点，连接，，当点在射线上运动时，请直接写出，，之间的数量关系． 【变式训练9-2】如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，将线段向右平移得到线段，过点D作轴，垂足为E，点E的坐标为．动点P以每秒2个单位长度的速度匀速从点A出发，沿着向终点D运动，设运动时间为t秒． (1)点C的坐标是，点D的坐标是，的长为，的长为； (2)当点P运动时，求点P的坐标（用含t的式子表示）； (3)如图2，当点P运动到线段上时，连接交于点Q，是否存在点P使得三角形的面积与三角形的面积相等，若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，试说明理由． 【变式训练9-3】如图1，在平面直角坐标系中，点，点B在x轴正半轴上，连接、，． (1)直接写出点A、点B的坐标； (2)动点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿的方向运动．设运动时间为t，是否存在某一时刻，若存在，请求出时间t，并说明理由． 1．如图，在平面直角坐标系中，存在动点P按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)，…，按这样的运动规律，经过第2021次运动后，点P的坐标是（    ） A．(2022，1) B．(2021，0) C．(2021，1) D．(2021，2) 2．如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足．点M的坐标，在y轴的正半轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，则点P的坐标为（  ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，将横、纵坐标之和为6的点称为“幸运点”，已知点，现有以下结论： ①第一象限内有无数个“幸运点”； ②第三象限内不存在“幸运点”； ③若点是“幸运点”且在坐标轴上，则点到直线的距离为8； ④若点是“幸运点”且在第一象限或坐标轴上，将三角形的面积的最大值记为，最小值记为，则． ⑤若点是“幸运点”且在第二象限内，它的横坐标为，三角形的面积记为，则． 其中正确的有（    ） A．①② B．③④ C．②③④⑤ D．①②④⑤ 4．将平面直角坐标系内某个图形各个点的横坐标、纵坐标都乘 3， 所得图形的面积（    ） A．是原图形的3倍 B．是原图形的9倍 C．不变 D．是原图形的6倍 5．如图，在平面直角坐标系中有8个边长为1的正方形，线段将这8个正方形分成面积相等的两部分，则点A的横坐标为（    ） A． B． C． D． 6．如图是一块不规则的四边形地皮，各顶点坐标分别为，，，（图上一个单位长度表示），则这块地皮的面积是（   ） A． B． C． D． 7．已知和两点，且与坐标轴围成的三角形的面积等于20，则a的值为（   ） A．2 B．2或 C．0或2 D． 8．定义：任意三点A，B，C的“矩面积”计算方法：“水平底”a是任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h是任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如，三点坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”h＝6，“矩面积”．若，，三点的“矩面积”为20，则______． 9．在平面直角坐标系中，对于任意三点，，的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”为任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”为任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如：三点的坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”．若点，，，则，，三点的“矩面积”的最小值为________． 10．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，，且． (1)直接写出，的值和三角形的面积； (2)设与轴交于点，求三角形的面积； (3)如图2，连接，点在轴上，使三角形与三角形的面积相等，求的值； (4)如图3，点在四边形内部，使三角形的面积是三角形的面积的2倍，且三角形的面积是三角形的面积的2倍，直接写出点的坐标． 11．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，其中a，b满足． (1)求的面积； (2)在x轴上求一点P，使得的面积与的面积相等； (3)在y轴上是否存在一点Q，使得的面积与的面积相等？若存在，请写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 12.如图，在平面直角坐标系中，，把沿射线向右下平移得到，交线段于点M． (1)如果点D的坐标为，则C、E两点的坐标分别为______； (2)连接，在(1)的条件下，的面积等于3，求的面积； (3)在沿射线向右下平移的过程中，的面积能否比的面积大4？若能，请求出此时点M的坐标，若不能，请说明理由． 13．如图1，在平面直角坐标系中，已知、，过点作轴，垂足为点．点，分别在原点两侧，且，两点间的距离等于个单位长度．      (1)填空：___________，点的坐标为___________； (2)在轴上是否存在一点，使三角形的面积是三角形的面积的，若存在，求符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，过点作轴，垂足为点，线段上有一点，且、满足，点到轴的距离为，点在轴负半轴上，连接交轴于点．当三角形面积与三角形的面积相等时，求点的坐标． 14．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段．连接，，． (1)求点C的坐标和三角形的面积； (2)在x轴上是否存在一点D，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点04 平面直角坐标系：面积与动点问题压轴专项 01 考向领航 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 02 知识建构 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一 平面直角坐标系面积与动点问题解题基本步骤 知识点二 平面直角坐标系图形面积核心计算方法 知识点三 平面直角坐标系动点问题核心处理方法 知识点四 面积与动点综合高频题型解题逻辑 知识点五 高频易错点与检验要点 03 题型攻坚 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 题型1 坐标系中平行线与三角形面积结合的问题 题型2 求满足面积条件的点的坐标 题型3 基础公式法求三角形面积 题型4 割补法求三角形面积 题型5 铅垂法求三角形面积 题型6 动点与坐标规律探索问题 题型7 求坐标系中满足某条件的动点坐标 题型8 动点与面积综合问题 题型9 动点存在性问题 04 综合演练 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 05 错题复盘 → 集错题，析错因，重订正，常反思 常考考点 命题风向 · 坐标系内线段长度计算：掌握平行于 x 轴、y 轴的线段长度与坐标的转换规则，利用横、纵坐标差的绝对值求边长，是面积计算与动点问题的核心基础。 · 平面图形面积求解：涵盖底高法、割补法、铅垂高法三大核心方法，解决三角形、四边形等规则与不规则图形的面积计算，是本专题的核心运算考点。 · 动点坐标参数化表示：掌握沿坐标轴、沿多边形边界运动的动点坐标表示方法，用含时间 t 的代数式表达动点实时坐标，并明确对应运动阶段的 t 取值范围。 · 面积与动点综合应用：结合动点运动过程，建立面积关于参数的表达式，求解面积定值、面积倍数关系、面积最值对应的参数值，是本专题的核心题型。 · 分类讨论与存在性判定：针对动点位置变化、图形形态改变进行分段讨论，探究满足特定面积条件的点是否存在，是本专题的难点与区分度考点。 · 图形变换与面积结合：结合平移、轴对称的坐标变化规律，利用 “图形变换前后面积不变” 的性质，求解变换后图形的面积与对应点坐标。 · 基础命题：以静态定点图形的面积计算为主，题干给出固定坐标，直接考查底高法、割补法的应用，多以选择题、填空题形式出现，侧重基础方法的掌握，难度较低。 · 综合命题：以单动点沿多边形边界运动为核心载体，结合面积等量关系、分段变化规律命题，要求学生完成坐标参数化、列方程求解、结果校验全流程，常以解答题中档题或压轴题形式呈现。 · 素养命题：设置双动点、开放性存在性、图形变换结合等创新场景，弱化固定套路，突出数形结合、分类讨论思想，侧重考查动态分析能力与逻辑严谨性，为后续函数动点问题铺垫，贴合中考代数几何综合的命题导向。 考情解码： · 模块地位：本专题是七年级下册平面直角坐标系模块的核心重难点，是代数运算与几何图形的首次深度结合，承接坐标基础认知，也是后续一次函数动点、几何综合题的必备基础，在初中几何体系中具备承上启下的关键作用。 · 考频与分值：日常月考、期中期末考试必考，题型覆盖选择、填空、解答题，常以填空压轴、解答压轴形式出现，分值占比 10%–15%；中考中多融入函数综合题考查，是初中几何动点问题的入门核心模块。 · 高频考法：三角形面积的割补法计算、单动点沿矩形 / 三角形边界的面积问题、坐标与长度转换是最高频考点；存在性问题、分段面积变化规律是中档压轴题的主流考法；双动点、图形变换结合为拓展考法。 · 失分规律：坐标转长度忽略绝对值、动点运动分段遗漏、求解后未验证参数取值范围导致增解、割补法中多算漏算面积，是四大核心失分点；分类讨论不完整、动态过程分析不清是拉开分差的主要原因。 知识点一 平面直角坐标系面积与动点问题解题基本步骤 （1）审：梳理题干中点的坐标、动点的运动路径、速度、起止位置，明确目标图形形状与核心求解条件（面积定值、倍数关系、存在性等）； （2）标：在坐标系中标定所有定点坐标，根据动点的起点、运动方向与速度，用含时间 t （或参数）的代数式表示出动点的实时坐标； （3）析：分析目标图形的结构特征，选择对应的面积计算方法（直接法/割补法/底高法），结合条件建立等量或不等关系； （4）列：根据面积公式、数量关系列出对应的一元一次方程、不等式或方程组； （5）解：求解方程或不等式，得到参数的取值或取值范围； （6）验：验证结果是否符合动点的运动区间、实际几何意义，排除超出运动范围、图形不存在的增解。 知识点二 平面直角坐标系图形面积核心计算方法 1. 直接公式法（边平行于坐标轴的规则图形） · 水平边长：平行于x 轴的线段长度=两点横坐标差的绝对值，即 （ A、B纵坐标相等）； · 竖直边长：平行于y 轴的线段长度=两点纵坐标差的绝对值，即（ C、D横坐标相等）； · 长方形、正方形等规则图形，直接用对应面积公式代入边长计算即可。 2. 底高法（三角形基础计算） 选取平行于坐标轴的边作为底，对应高为另一坐标轴方向的坐标差值，三角形面积=1/2×底×高 ，是坐标系中最常用的三角形面积计算方法。 3. 割补法（不规则图形通用方法） · 补形法：过图形所有顶点作坐标轴的平行线，围成外围大矩形，用大矩形面积减去周围多余直角三角形、直角梯形的面积，得到目标图形面积； · 分割法：过顶点作平行于坐标轴的辅助线，将不规则图形分割为若干个三角形、长方形等规则图形，分别计算面积后求和。 4. 铅垂高法（斜三角形通用） 对于三边均不平行于坐标轴的三角形，面积=1/2×水平宽×铅垂高 ；其中水平宽为三角形左右顶点的横坐标差，铅垂高为顶点纵坐标的最大差值，适用于复杂斜三角形的面积计算。 知识点三 平面直角坐标系动点问题核心处理方法 1. 动点坐标的参数化表示 沿 x 轴水平运动：纵坐标保持不变，横坐标=初始横坐标±速度×时间 t （向右运动为“+”，向左运动为“- ”）； 沿 y 轴竖直运动：横坐标保持不变，纵坐标=初始纵坐标±速度×时间 t （向上运动为“+”，向下运动为“- ”）； 沿折线/多边形边界运动：按拐点划分运动阶段，每个阶段单独表示点的坐标，同时明确每个阶段对应的 t 的取值范围。 2. 动中取静核心思想 将运动过程中的某一时刻视为静止状态，把含参数的动点坐标当作定点处理，转化为静态的坐标计算、面积计算问题，实现动态问题静态化求解。 3. 分类讨论基本原则 根据动点的运动路径分段（如在不同线段上运动）、根据目标图形的位置变化分类，按时间顺序依次讨论，确保所有情况不重不漏。 知识点四 面积与动点综合高频题型解题逻辑 1. 面积等量关系题型（面积为定值、面积成倍数） (1) 用含参数t 的代数式表示目标图形的底与高，代入面积公式，得到含 t 的面积表达式； (2) 根据题目给出的面积条件列方程，求解参数 t ； (3) 验证 t 是否在动点的运动时间范围内，筛选出符合题意的有效解。 2. 面积最值题型 (1) 列出面积关于参数t 的代数式，结合动点的运动区间确定 t 的取值范围； (2) 根据代数式的增减变化规律，确定面积的最大值、最小值，以及对应参数的取值。 3. 存在性题型（是否存在点满足面积条件） (1) 先假设符合条件的点存在，设出该点的坐标（含参数），并表示出对应图形的面积； (2) 根据面积条件列方程求解，若解在取值范围内则存在，反之则不存在； (3) 点的位置有多种可能时，需分类讨论所有情况。 4. 图形变换中的面积题型 根据平移、轴对称的坐标变化规律，求出变换后对应点的坐标；图形变换前后面积保持不变，再选用对应面积方法计算即可。 知识点五 高频易错点与检验要点 1. 坐标与长度转换错误：计算线段长度时必须加绝对值，长度恒为非负数，避免因坐标正负号导致长度计算出错。 2. 分类讨论遗漏：动点经过拐点、图形位置发生变化时未分段讨论，造成漏解；解题前需先确定动点全程的运动时间与分段节点。 3. 增解未排除：求解方程后未验证参数的取值范围，出现超出运动区间的无效解；必须结合动点起止位置校验结果的合理性。 4. 割补计算失误：补形法中漏减多余图形、分割法中重复计算面积，建议计算后用两种方法交叉验证结果。 5. 坐标变换规律混淆：点的平移遵循“左减右加横坐标，上加下减纵坐标”，需注意方向与坐标变化的对应关系，避免方向搞反。 题型1 坐标系中平行线与三角形面积结合的问题 【例1】如图，直线轴，且直线经过点，点的坐标为，为直线上的一动点，为的中点，点从点出发，沿着直线向轴负方向移动，则在移动过程中，三角形的面积（   ） A．一直变大 B．一直变小 C．先变大再变小 D．不变，面积始终为 【答案】D 【分析】根据题意，由中点坐标求法得到点的坐标为，即点到轴的距离始终为，在平面直角坐标系中求出三角形的面积即可确定答案． 【详解】解：直线轴，且直线经过点，为直线上的一动点， 点的坐标为， 为的中点， 点的坐标为，即点到轴的距离始终为， 、， ，即三角形的面积不变，面积始终为． 【变式训练1-1】如图， 在平面直角坐标系中， 已知， ， 其中a，b满足 ．点M的坐标，在y轴的正半轴上有一点 P，使得三角形 的面积与三角形的面积相等，则点 P 的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形，非负数的性质，先根据绝对值和平方的非负性求出的值，由，再建立方程求解即可． 【详解】解：∵a，b满足， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 如图， ∴， 解得：， ∵P在y轴的正半轴上， ∴， 故选：B． 【变式训练1-2】如图，在直角坐标系中，矩形的顶点位于坐标原点，点、坐标分别为和．若矩形与矩形关于点位似，且矩形的面积等于矩形面积的，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的性质，坐标与图形，由已知可得矩形与矩形的位似比为，点的坐标为，进而即可求解，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵矩形与矩形关于点位似，且矩形的面积等于矩形面积的， ∴矩形与矩形的位似比为， ∵点、坐标分别为和， ∴点的坐标为， ∴点的对应点的坐标是或，即或， 故选：． 【变式训练1-3】已知为坐标原点，关于轴对称，点、点，若在x轴上有一个点，满足的面积等于2，则点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，图形结合是解题的关键． 根据点坐标，可知点到轴的距离，根据的面积等于2，即可得到点的坐标． 【详解】解：如图， ∵点坐标为， ∴点到轴的距离是2， ∵在轴上有一个点，满足的面积等于2， ∴， ∴， ∴点的坐标为或， 故选：B． 题型2 求满足面积条件的点的坐标 【例2】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，点也在坐标轴上（不与A，B，C重合），若三角形的面积与三角形的面积相等，则满足条件的点的坐标是_____．    【答案】或或 【分析】根据点A，点B，点C的坐标求出三角形的面积，则可得到三角形的面积，再分两种情况：点D在x轴上和点D在y轴上，根据三角形的面积公式讨论求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵三角形的面积与三角形的面积相等， ∴， 当点D在x轴上时，则， ∴， ∴， ∴点D的横坐标为或（舍去）， ∴点D的坐标为； 当点D在y轴上时，则， ∴， ∴， ∴点D的纵坐标为或， ∴点D的坐标为或； 综上所述，点D的坐标为或或． 【变式训练2-1】如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为，，．若在第二象限内有一点，且四边形的面积是的面积的，则点P的坐标为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的面积及坐标与图形性质，先根据点A，B，C的坐标求出和的面积，再结合四边形的面积是的面积的得出的面积，据此求出a的值即可． 【详解】解：由题知， ∵的顶点坐标分别为，，， ∴，． 又∵四边形的面积是的面积的， ∴四边形的面积为， ∴， 则， 解得， 所以点P的坐标为． 故答案为：． 【变式训练2-2】如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为，宽为，动点从点出发沿运动，当的面积等于四边形面积的时，点的坐标为__________． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形，设的边上的高为，根据的面积等于四边形面积的，列出方程，求得，即可求解． 【详解】解：设的边上的高为， 长方形的长为，宽为， ， 的面积等于四边形面积的， ， 即， 解得， 动点从点出发沿运动， 点的坐标为或 故答案为或 【变式训练2-3】在平面直角坐标系中，已知点，，，． （1）四边形的面积为______； （2）若轴上存在点，使的面积恰为四边形的面积的，则点坐标为_____． 【答案】 80 或 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中四边形面积的计算，以及利用三角形面积公式求解特定点的坐标． （1）过作轴于点，过作轴于点，则，，，，，，，再根据求解即可； （2）设点坐标为，由题意得，即可得，解方程即可． 【详解】解：（1）过作轴于点，过作轴于点， 则，，，，， ∴，， ∴ ， 故答案为：80； （2）设点坐标为， ∵的面积恰为四边形的面积的， ∴， ∴，即， 解得， ∴点坐标为或， 故答案为：或． 题型3 基础公式法求三角形面积 【例3】如图，已知坐标系中四点，则四边形的面积是（   ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【分析】过点作轴于点，根据点的坐标求出相关线段的长度，然后根据三角形和梯形面积公式进行求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 由得，， ∴， ， ， ∴． 【变式训练3-1】如图，在平面直角坐标系中，将线段向右平移得到线段，则线段在平移过程中扫过的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移的性质，线段平移扫过的图形是平行四边形，其面积等于平移距离乘以线段在垂直于平移方向上的高度，由图读出关键点坐标计算即可． 【详解】解：由图可知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∵线段向右平移得到线段， ∴点平移到点，点平移到点， ∴平移距离为， ∴线段在平移过程中扫过的图形是平行四边形，其底边长为平移距离3，高为点到轴的距离1， ∴扫过的面积． 【变式训练3-2】点在第一象限，且，点A的坐标为，当时，的面积是（   ） A．7 B．8 C．9 D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角坐标系，三角形的面积，根据三角形的面积公式得到是解题的关键，先求出点P的坐标，再根据三角形的面积公式列式计算即可． 【详解】解：当时，， ∴， ∵，， ∴， 即的面积是9． 故选：C． 【变式训练3-3】在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为，则这个长方形的面积是（   ） A．24 B．25 C．30 D．28 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和图形面积，是解题的关键． 先在坐标系描出点，然后根据长方形的性质画出长方形，求出相邻两边，再求出面积． 【详解】解：如图，设， 在坐标系中描出各点，画出长方形， ∴． ∴， 故选：C． 题型4 割补法求三角形面积 【例4】已知 (1)求的面积； (2)在y轴上是否存在点P，使得的面积等于的面积的2倍，并求出点P的坐标； (3)在x轴上是否存在点M，使得的面积等于的面积的2倍，求出M点的坐标． 【答案】(1)9 (2)或 (3)或 【分析】（1）过点C作轴于点E，根据列式求解即可； （2）根据（1）所求推出的面积，再根据三角形的面积公式建立方程求出的长即可得到答案； （3）根据（1）所求推出的面积，再根据三角形的面积公式建立方程求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点C作轴于点E， ∵， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：由（1）得的面积为9， ∵的面积等于的面积的2倍， ∴的面积为18， ∵点P在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点P的纵坐标为或点P的纵坐标为， ∴点P的坐标为或； （3）解：由（1）得的面积为9， ∵的面积等于的面积的2倍， ∴的面积为18， ∵点M在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点M的横坐标为或点M的横坐标为， ∴点M的坐标为或； 【变式训练4-1】在平面直角坐标系中，，，其中，满足． (1)如图1，已知点，求的面积； (2)如图2，过点向轴作垂线，垂足为，请问在轴的上方是否存在点，使与的面积相等，且的面积是面积的3倍？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)40 (2)存在，或 【分析】（1）利用绝对值与算术平方根的非负性可得，，如图，作梯形，其中，，，进一步利用割补法求解面积即可； （2）由题意可得：必在和之间，由，，，轴，可得：， ，再分两种情况：如图，当在四边形内时，且在右侧，如图，当在四边形左侧时，进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， ∴，， 如图，作梯形，其中，，， ∴ . （2）解：由题意可得：必在和之间， ∵，，，轴， ∴， ∴， 解得：， ∴ ， 如图，当在四边形内时，且在右侧， ∴，， ∴ ， ∵的面积是面积的3倍， ∴，解得； ∴， 如图，当在四边形左侧时， ∴， ， 同理：， 解得； ∴， 综上或． 【变式训练4-2】阅读与思考 利用面积法求直线上点的坐标 如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于，两点，点，在直线上，求点的坐标． 【问题探究】 （1）请阅读并填空： 第一步：过点作轴于点，由，两点的坐标，可直接得出三角形的面积为________； 第二步：过点作轴于点，三角形的面积，三角形的面积为________． ∵三角形的面积三角形的面积三角形的面积， ∴可得关于的一元一次方程为________． 解这个方程，可得点的坐标为________． 【问题迁移】 （2）连接，请仿照（1）中的方法，求点的坐标． 【问题拓展】 （3）若点在直线上，且在轴的左侧，三角形的面积为5，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）6；m；；；（2）；（3） 【分析】本题考查了坐标与图形，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键． （1）用两种不同的方法求出的面积，构建方程求解即可； （2）利用面积法，构建方程求解即可； （3）首先判断出点在轴下方，过点作轴于点，则，然后根据构建方程求解． 【详解】解：（1）过点作轴于点，过点作轴于点， ，，点， ∴，，，， ， ∴，． ， ， 解得，， 点的坐标为； 故答案为：，，，； （2）如图，连接，过点作于，于． 依题意，直线与坐标轴交于，两点，点，在直线上， ， ， ， 点的坐标为； （3）∵点在直线上，且三角形的面积等于5， ∵， ∴点在轴下方， 如图所示，过点作轴于点，则 ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∴． 【变式训练4-3】如图，已知点，，，． (1)求四边形的面积； (2)在轴上找一点，使的面积等于四边形面积的三分之一，求点的坐标． 【答案】(1)21 (2)或． 【分析】（1）过点C和点D分别作y轴的垂线，垂足分别为点E，点F，根据并结合各点的坐标求解即可； （2）根据的面积，再根据三角形面积计算公式求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵点，，， ∴点， ∴，，，，， ∴ ； （2）∵， ∴， ∵点在轴上， ∴， ∴ ∴点坐标为或． 题型5 铅垂法求三角形面积 【例5】已知：在平面直角坐标系中，，，， (1)求的面积； (2)设点P在y轴上，且的面积是的面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）过点C作轴于D，根据列式求解即可； （2）根据（1）所求可得的面积，则根据三角形面积计算公式可得，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点C作轴于D， ∵，，， ∴， ∴； ∴ ； （2）解：∵的面积是的面积的2倍，的面积为4， ∴的面积为8， ∵点P在y轴上， ∴， ∴， ∵， ∴点P的坐标为或． 【变式训练5-1】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，其中a，b满足． (1)填空：________，________； (2)若在第三象限有一点，用含m的式子表示的面积； (3)在（2）的条件下，线段与y轴相交于，当时，点P是坐标轴上的动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或或或 【分析】（1）根据非负性的性质求解即可； （2）根据的面积列式求解即可； （3）分点P在x轴上和点P在y轴上，两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴，即， ∴； （2）解：由（1）得， ∴，， ∴， ∵，且M在第三象限， ∴， ∴的面积； （3）解：由（2）得当时，的面积， ∵的面积是的面积的2倍， ∴的面积是20； 当点P在x轴上时，则， ∴， ∴， ∴点P的横坐标为或点P的横坐标为， ∴点P的坐标为或； 当点P在y轴上时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P的纵坐标为或， ∴点P的坐标为或； 综上所述，点P的坐标为或或或． 【变式训练5-2】已知点，且． (1)直接写出：A的坐标是_______，B的坐标是_______，三角形的面积是_______； (2)如图（1），在第三象限内有一点，若三角形的面积是13，求M的坐标； (3)在（2）的条件下，如图（2），过点M作直线分别交x轴负半轴，y轴负半轴于点P，Q，连接．当三角形的面积和三角形的面积相等时，直接写出点P和点Q的坐标． 【答案】(1)；；6 (2) (3) 【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值，则可得到点A和点B的坐标，再根据三角形的面积公式求对应三角形的面积即可； （2）连接，根据建立方程求解即可； （3）可证明，则，据此可推出；设，根据，可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴A的坐标是，B的坐标是， ∴， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点M在第三象限， ∴， ∴， ∴点M的坐标为； （3）解：如图所示，连接， ∵三角形的面积和三角形的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由乘法法则可得或， ∴（舍去）或， ∴， ∴． 【变式训练5-3】如图1，在平面直角坐标系中，A，B坐标分别为、，且a，b满足：，现同时将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接，，． (1)_____，_____，四边形的面积_____； (2)如图2，点P是线段上的一个动点，连接，，当点P在上移动时（不与B，D重合），的值是否发生变化，并说明理由； (3)已知点M在x轴上，连接、，若的面积是的面积的两倍，求点M的坐标． 【答案】(1)3，5，15 (2)不发生变化，见解析 (3)或 【分析】首先根据题目给定的代数关系求出 和 的值，从而确定点 和 的具体坐标， 再利用平移规律（“下减上加，左减右加”），将 向下平移3个单位、再向左平移1个单位，得到对应点 和 的坐标； （2）利用“”直接计算面积即可； （3）设 轴上的点 坐标为 ，根据题意“ 的面积是 面积的两倍”，建立方程，解方程求出 的值，从而得到点 的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴，，    ∴，， 点分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，分别得到点的对应点， ∴，， ∴． （2）解：不发生变化， 理由：如图1， ∵， ∴， ∴，     ∵， ∴， ∴， ∴的值不发生变化． （3）由（1）可知， 点 在 轴上 设点 点 的坐标为 或 ． 题型6 动点与坐标规律探索问题 【例6】如图，在平面直角坐标系中，动点A从点出发，先向上运动1个单位长度到达点B，再分裂为两个点，分别向左、右运动到点、点，此时称动点A完成第一次跳跃，再分别从C、D点出发，每个点重复上边的运动，到达点、、，此时称动点A完成第二次跳跃，依此规律跳跃下去，动点A完成第2025次跳跃时，最左侧第一个点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-平移及点的坐标变化规律，根据所给跳跃方式，依次求出每次跳跃后最左侧第一个点的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 第1次跳跃后，最左侧第一个点的坐标为， 第2次跳跃后，最左侧第一个点的坐标为， 第3次跳跃后，最左侧第一个点的坐标为， 第4次跳跃后，最左侧第一个点的坐标为， …， 所以第n次跳跃后，最左侧第一个点的坐标为． 当时，， 即第2025次跳跃后，最左侧第一个点的坐标为． 故选：A． 【变式训练6-1】如图，在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点坐标分别是，，，，动点从出发，以每秒1个单位长度的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动，同时动点从出发，以每秒4个单位长度的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则动点，第次相遇时的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算长方形的周长及两点初始距离，利用相遇问题公式求出第次相遇时点运动的总路程，结合周期性确定最终坐标． 【详解】解：由点，，，可知，， ∴四边形的周长为； ∵ 点从出发逆时针运动，点从出发顺时针运动， ∴两点初始沿运动方向的路程和为， ∴第一次相遇用时秒； ∵第一次相遇后每次相遇需合走一圈，用时秒， ∴第次相遇时，点运动的总时间为秒， ∴点运动的总路程为； ∵， ∴点回到起点后又逆时针运动了个单位长度.， ∵起点逆时针运动个单位长度到达点， ∴第次相遇时的点的坐标是 ． 【变式训练6-2】某同学在平面直角坐标系内设计了一个动点运动的程序，若一个动点从点出发，沿→→…运动，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是坐标规律探究题，先观察已知点的横纵坐标特征，归纳得到点的坐标规律，再代入计算即可得到答案。 【详解】∵ ，其中，； ，其中，； ，其中，； ∴ 归纳规律：点的坐标为， 将代入规律，得 的坐标为， 故选B． 【变式训练6-3】如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点…按这样的运动规律，经过第18次运动后，动点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先由前几个点的坐标得到规律为：横坐标为运动次数，纵坐标为1，0，2，0，每4次一循环，然后由求解即可． 【详解】解：第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点， 第3次接着运动到点， ∴第4次运动到点， 第5次接着运动到点， …， ∴横坐标为运动次数，纵坐标为1，0，2，0，每4次一循环， ∵， ∴经过第18次运动后，动点的坐标是． 题型7 求坐标系中满足某条件的动点坐标 【例7】在平面直角坐标系中，点，，过点A作直线轴，点C是直线上的一个动点，当线段长度最小时，点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形，熟练掌握垂线段最短是解题的关键． 根据题意可知点C的纵坐标为5，在利用垂线段最短即可得出当点C的横坐标为2时，线段长度最小，从而得出答案． 【详解】解：点C在直线上，且直线是过点与轴平行的直线， 点C的纵坐标为5， 点， 根据垂线段最短可知，当点C的横坐标为2时，线段长度最小， 点C的坐标为， 故选A． 【变式训练7-1】如图，已知点，动点在轴上，且的面积为，则的坐标为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，再将动点分成在左侧和右侧时，两种情况分别讨论即可求解． 【详解】解：∵，的面积为， ∴，即， 解得：， 当点在左侧时，， 当点在右侧时，， ∵动点在轴上， ∴， 综上可得点坐标为或， 故选：C． 【变式训练7-2】如图，是一个的正方形网格，每个小正方形的边长都为1个单位长度，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点），建立如图的平面直角坐标系．如果m为任意常数，那么随m的变化，动点会经过的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，结合点P的坐标，得出点P在直线上，画出直线的图象，据此进行判断即可． 【详解】解：由题知， 因为点P坐标为， 所以点P在直线上． 如图所示， 显然随着m的变化，点P会经过点A． 故选：A． 【变式训练7-3】如图，在平面直角坐标系中，，，直线轴，垂足为点，点P为直线上一动点，当时，则点P坐标______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，设点P的坐标为，根据点的坐标可得，，；再分点P在点B上方，点P在点B下方，且在x轴上方和点P在x轴下方三种情况，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵，，， ∴，，， 如图所示，当点P在点B上方时， ∵， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 如图所示，当点P在点B下方，且在x轴上方时， ∵， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 如图所示，当点P在x轴下方时， ∵， ∴， 解得（舍去）； 综上所述，点P的坐标为或， 故答案为：或． 题型8 动点与面积综合问题 【例8】如图①，在平面直角坐标系中，，，且满足，将线段AB平移得线段，点A对应点D，点B对应点C，点A的对应点D在x轴上，点B的对应点C在y轴上． (1)直接写出A、B、C三点的坐标； (2)如图②，点P是坐标轴上的一个动点，当三角形的面积是30时，求点P的坐标； (3)如图③，若动点E从点D出发向左运动，同时动点F从点C出发向上运动，两个点的运动速度之比是，运动过程中直线和交于点N，若三角形的面积等于9，求出点N的坐标． 【答案】(1)，， (2)或或或 (3)或 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性求出，，根据到向下平移的距离，求出点坐标即可； （2）求出点D坐标，分别讨论当点P在x轴或y轴的情况，以为未知量，以面积为等式构造方程，求出点P坐标即可； （3）连接，假设点坐标，根据点位置分类讨论，根据不同的割补方法列出关于点坐标的二元一次方程组，求解点坐标即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，， ，， 平移到向下平移了单位，向右平移5个单位， 到向下平移了单位， ； （2）解：由（1）， 当点P在y轴上时， ， ， 解得：， 点P的坐标或； 当点P在x轴上时， ， ， 解得：， 点P的坐标为或； 故点P的坐标或或或． （3）解：， 不在内， 设， ，运动速度之比是， ， 设，， 当在轴上方时，如图： ， ， ， 又， ， 解得：，， ； 当在轴下方时，作轴于，轴于，如图： ， ， ， ， ， 解得：，， ， 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，平移的性质，动点问题与面积，合理利用割补法求三角形面积是本题解题的关键． 【变式训练8-1】如图，在平面直角坐标系中，点，满足．将线段向上平移6个单位长度得到线段（点A，B分别对应点C，D），连接． (1)分别求出a，b的值； (2)如图1，若点E是线段上的一个动点（不与点C，D重合），小智认为：无论点E如何运动，始终成立，你是否同意他的看法？请说明理由； (3)如图2，点F是x轴负半轴上的一个动点，连接，，当点F运动到某个位置时，的面积和四边形的面积相等，试求出此时点F的坐标． 【答案】(1)， (2)成立，理由见解析 (3)F的坐标为 【分析】（1）根据绝对值以及平方的非负性可得，，，即可求解； （2）如图，过点E作，利用平行线的性质，即可求证； （3）先求得四边形的面积为，再求得和四边形的面积，设，分两种情况，表示出的面积，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，． ∴，． （2）解：成立，理由如下： 如图，过点E作， 则． 由平移可得，． ∴． 则． ∵， ∴． （3）解：由题可得，，，，． ∴四边形的面积． 的面积． ∴四边形的面积． 设点F的坐标为．点F在x轴负半轴上时，有两种情况： ①点D在线段的下方时，， ∴， 解得． ∴点F的坐标为． ②点D在线段的上方时，， ∴， 解得． ∵点F在x轴负半轴上， ∴f的值应为负数，不符合题意，舍去． 综上所述，满足条件的点F的坐标为． 【变式训练8-2】如图1，长方形在平面直角坐标系中，点，，． (1)请直接写出D点的坐标_____． (2)如图1，连接，，交于点E，的平分线和的平分线交于点F． ①当的度数为n，的度数为m时，求的度数（用含m、n的式子表示）． ②请直接写出和之间的数量关系． (3)如图2，若长方形以每秒2个单位的速度向下运动，设运动的时间为t秒．在边上取一点G，使得的面积是面积的2倍，连接，若的面积等于的面积，求t的值． 【答案】(1) (2)①；② (3)或 【分析】（1）因为长方形对边平行且相等，点A与D纵坐标相同，点C与D横坐标相同，所以直接根据已知点坐标推导D点坐标； （2）①因为平分，平分，所以先得到两个角平分线分出来的角与m、n的关系；如果过F作x轴平行线，那么可以利用平行线的内错角相等，将转化为两个角的和，进而用m、n表示； ②先根据角的和差关系表示出，再找出与的关系； （3）首先根据运动规则写出运动t秒后B、C、D三点的坐标，因为和同高，面积比等于底与的比，再分别用割补法表示和的面积，根据面积相等列方程求解t． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴，， 且，，， ∴， ∴． （2）解：过点F作轴， ∵轴， ∴轴， ∴，， 又∵的平分线和的平分线交于点F， 且的度数为n，的度数为m ∴，， ∴， ∴， ∴； ②由图可得，， 且，， ∴， 又∵， ∴． （3）解：连接， ∵的面积是面积的2倍， 且，， ∴， ∴，， ∵长方形以每秒2个单位的速度向下运动，设运动的时间为t秒， ∴，，，， ∴， ， ∵， ∴， 整理得， 当时，上式，解得， 当时，上式，解得（舍去）， 当时，上式，解得， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了长方形的性质、平面直角坐标系中点的坐标确定、角平分线的定义、三角形外角性质、图形平移的坐标变化规律以及三角形面积计算等知识点，其中结合图形性质理清点坐标、角度与面积之间的数量关系，对应利用相关性质和公式推导计算是解题的关键． 【变式训练8-3】如图，在平面直角坐标系中，点，，连接，交轴于点，点在第一、三象限的角平分线上，轴． (1)求点的坐标； (2)求的面积； (3)若是轴上的一动点，且的面积是面积的，求点的坐标． 【答案】(1) (2)12 (3)或 【分析】（1）根据点在第一、三象限的角平分线上，得出，求出a的值，即可得出答案； （2）先求出点B的坐标，再得出点C的坐标，最后根据三角形面积公式求出结果即可； （3）先求出，设点P的坐标为，再根据三角形面积公式列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵点在第一、三象限的角平分线上，点， ∴， 解得：， ∴， ∴点A的坐标为； （2）解：∵轴，，， ∴， ∴点B的坐标为， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵的面积是面积的， ∴， 设点P的坐标为，则， 解得：或， ∴点P的坐标为或． 题型9 动点存在性问题 【例9】如图①，平面直角坐标系中，，，直线轴交轴于点，动点在直线，之间（不在直线，上）． (1)若，连接，，求的面积； (2)若，在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图②，点在射线上运动，为轴上点右侧的一点，连接，，，，若始终平分，且，，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2)存在，或； (3)． 【分析】（1）根据得到，根据三角形面积公式计算即可； （2）分类讨论，当点P在y轴正半轴上时，当点P在y轴负半轴上时，根据面积关系列方程求解即可； （3）设，，，则，，根据平行线的性质可得，由（1）可知，即可求出n值，进而得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：同（1）得， ∴， 即． 当点P在y轴正半轴上时，如图，过点P，A，F作轴，轴，轴， 设， ， ， 解得， 则； 当点P在y轴负半轴上时，如图， ， ， 解得， 则； 综上，点的坐标为或； （3）解：设，，，则，， 始终平分， ， ， ， ，即， 由（1）可知，， ，即， ， ， ， ， ∴的值不会变化，． 【变式训练9-1】如图①，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，将先向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段．连接，，． (1)点的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)求四边形的面积； (3)在轴上是否存在一点，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (4)如图②，若是射线上的一个动点，连接，，当点在射线上运动时，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)， (2)20 (3)存在，点的坐标为或 (4)当点在线段上时，；当点在的延长线上时， 【分析】（1）根据坐标的平移法则：左减右加，上加下减，即可得出结果； （2）根据平移的性质，并结合题意计算即可得出结果； （3）由题意可得，，再结合题意求出，从而可得点的横坐标，即可得出结果； （4）分两种情况：当点在线段上时，当点在的延长线上时，分别结合平行线的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，将先向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）解：四边形的面积为； （3）解：由题意可得，， ∵三角形的面积等于三角形面积的一半， ∴， ∴， ∴点的横坐标为或， ∴点的坐标为或； （4）解：如图，当点在线段上时，过点作轴，则， ∴，， ∴； 如图，当点在的延长线上时，过点作轴，则， ∴，， ∴； 综上所述，当点在线段上时，；当点在的延长线上时，． 【变式训练9-2】如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，将线段向右平移得到线段，过点D作轴，垂足为E，点E的坐标为．动点P以每秒2个单位长度的速度匀速从点A出发，沿着向终点D运动，设运动时间为t秒． (1)点C的坐标是，点D的坐标是，的长为，的长为； (2)当点P运动时，求点P的坐标（用含t的式子表示）； (3)如图2，当点P运动到线段上时，连接交于点Q，是否存在点P使得三角形的面积与三角形的面积相等，若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)，，8，4 (2)当时，点P的坐标为；当时，点P的坐标为； (3)存在，点P的坐标为 【分析】（1）先求出，根据平移的性质得到，，进而根据点E的坐标为作答即可； （2）由题意可知动点P运动的路程为，分两种情况求出t的取值范围，即可求出点P的坐标； （3）由题意可知，进而求出的值即可． 【详解】（1）解：∵点A的坐标是，点B的坐标是， ∴， ∵将线段向右平移得到线段， ∴，， ∵点E的坐标为， ∴点D的坐标是，，， ∴， ∴点C的坐标是； （2）解：∵动点P以每秒2个单位长度的速度匀速从点A出发， ∴动点P运动的路程为， 当点P在线段上运动时，，解得， 此时点P的坐标为； 当点P在线段上运动时，，解得， 此时点P的坐标为； （3）解：存在， 如图， ∵， ∴， 即． ∵，， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为． 【变式训练9-3】如图1，在平面直角坐标系中，点，点B在x轴正半轴上，连接、，． (1)直接写出点A、点B的坐标； (2)动点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿的方向运动．设运动时间为t，是否存在某一时刻，若存在，请求出时间t，并说明理由． 【答案】(1)， (2) 解：如图，当时，点在上，过点作于， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵从点出发，以每秒个单位的速度沿的方向运动， ∴， ∴， 解得； 如图，当时，点在线段上， 则， ∴， 解得， 综上，的值为秒或秒． 【分析】（）根据，，求出的长即可得点、点的坐标； （2）先求出，即有，分点在和上两种情况，分别用表示出的长，利用面积法求出中边的高，根据列方程求出，即可得答案． 本题考查坐标与图形、几何图形的动点问题及三角形面积的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵点在轴负半轴上，点在轴正半轴上， ∴，； （2）略 1．如图，在平面直角坐标系中，存在动点P按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)，…，按这样的运动规律，经过第2021次运动后，点P的坐标是（    ） A．(2022，1) B．(2021，0) C．(2021，1) D．(2021，2) 【答案】C 【分析】观察点的坐标变化发现每个点的横坐标与次数相等，纵坐标是1，0，2，0，…4个数一个循环，进而可得经过第2021次运动后，动点P的坐标． 【详解】解：观察点的坐标变化可知： 第1次从原点运动到点（1，1）， 第2次接着运动到点（2，0）， 第3次接着运动到点（3，2）， 第4次接着运动到点（4，0）， 第5次接着运动到点（5，1）， … 按这样的运动规律， 发现每个点的横坐标与次数相等， 纵坐标是1，0，2，0；4个数一个循环， 所以2021÷4＝505…1， 所以经过第2021次运动后， 动点P的坐标是（2021，1）． 故选：C． 【点睛】本题考查了规律型−点的坐标，解决本题的关键是观察点的坐标变化寻找规律． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足．点M的坐标，在y轴的正半轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，则点P的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，非负数的性质，先根据绝对值和平方的非负性求出的值，分别过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，相交于点，则，设，求出，根据题意得到，建立方程求解即可． 【详解】解：∵a，b满足， ∴， ∴， ∴，， 如图，分别过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，相交于点， 则， 设， ∵， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．在平面直角坐标系中，将横、纵坐标之和为6的点称为“幸运点”，已知点，现有以下结论： ①第一象限内有无数个“幸运点”； ②第三象限内不存在“幸运点”； ③若点是“幸运点”且在坐标轴上，则点到直线的距离为8； ④若点是“幸运点”且在第一象限或坐标轴上，将三角形的面积的最大值记为，最小值记为，则． ⑤若点是“幸运点”且在第二象限内，它的横坐标为，三角形的面积记为，则． 其中正确的有（    ） A．①② B．③④ C．②③④⑤ D．①②④⑤ 【答案】D 【分析】本题根据“幸运点”的定义即横纵坐标之和为6，结合平面直角坐标系中象限的坐标特征，点到直线的距离计算，三角形面积公式，逐一判断各结论即可． 【详解】∵ “幸运点”满足横纵坐标之和为6，即对任意“幸运点”，有 ① 第一象限内，满足的点有无数个，故①正确； ② 第三象限内， 则 ，不存在满足条件的点，故②正确； ③ ∵ ， ∴直线为，平行于y轴， ∵点是“幸运点”且在坐标轴上， 若在x轴，则，得，即 ，到的距离为 ； 若在轴，则，得，即 ，到的距离为； ∴点到直线的距离为或，故③错误； ④ ∵ ， ∴ ，平行于轴， 设 ，则，在第一象限或坐标轴上， 故，得， 三角形 的面积 ， 当最大为时，最大， ， 当最小为时，最小， ， ∴ ，故④正确； ⑤ ∵点在第二象限，横坐标为，是“幸运点”， ∴ 的纵坐标为 ， ， 整理得，故⑤正确； 综上，正确的结论为①②④⑤． 4．将平面直角坐标系内某个图形各个点的横坐标、纵坐标都乘 3， 所得图形的面积（    ） A．是原图形的3倍 B．是原图形的9倍 C．不变 D．是原图形的6倍 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中图形缩放的面积变化规律，需明确横、纵坐标同乘一个数时，图形在两个坐标轴方向的缩放比例与面积缩放比例的关系． 【详解】解：∵将图形各个点的横坐标、纵坐标都乘3， ∴图形在轴方向的缩放比例为3，在轴方向的缩放比例也为3， 又∵平面图形缩放后，面积的缩放比例为各坐标轴方向缩放比例的乘积， ∴所得图形的面积是原图形的倍， 故选：B． 5．如图，在平面直角坐标系中有8个边长为1的正方形，线段将这8个正方形分成面积相等的两部分，则点A的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了坐标与图形，三角形的面积．根据题意得到直角三角形的面积，利用三角形的面积公式求出的长是解题的关键． 设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作轴于B，作轴于C，易知，利用三角形的面积公式和已知条件求出即可． 【详解】解：设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作轴于B，作轴于C， ∵正方形的边长为1， ∴， ∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分， ∴两边面积分别是， ∴面积是， ∴， ∴， 则点A的横坐标为． 故选：B． 6．如图是一块不规则的四边形地皮，各顶点坐标分别为，，，（图上一个单位长度表示），则这块地皮的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求点到坐标轴的距离，坐标与图形综合，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据，，，，结合图形，可分别求出三角形（左）、梯形（中）、三角形（右），再求和即可． 【详解】解：∵一块不规则的四边形地皮，各顶点坐标分别为，，，（图上一个单位长度表示）， ∴这块地皮的面积是 ()， 故选：C． 7．已知和两点，且与坐标轴围成的三角形的面积等于20，则a的值为（   ） A．2 B．2或 C．0或2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形性质，根据三角形的面积结合列出关于a的含绝对值符号的一元一次方程是解题的关键．根据点A、B的坐标可找出、的长度，再根据三角形的面积公式结合即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵和， ∴在轴上，在轴上，且，， ∴， 即， 解得：或． 故选：B． 8．定义：任意三点A，B，C的“矩面积”计算方法：“水平底”a是任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h是任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如，三点坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”h＝6，“矩面积”．若，，三点的“矩面积”为20，则______． 【答案】5或 【分析】本题考查坐标与图形的性质，根据矩面积的定义表示出“水平底”a和铅垂高h，利用分类讨论对其铅垂高h进行讨论，从而列出关于m的方程，解出方程即可求解． 【详解】解：∵“水平底”，“矩面积”为20， ∴“铅垂高”， ∴或， ∴或， 故答案为：5或． 9．在平面直角坐标系中，对于任意三点，，的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”为任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”为任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如：三点的坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”．若点，，，则，，三点的“矩面积”的最小值为________． 【答案】4 【分析】本题是新定义：“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”的学习，考查坐标与图形的性质及学生的理解分析能力的培养，解答本题的关键是明确题目中的新定义，利用新定义解答问题． 首先由题意得：，然后知的最小值是，可得“矩面积” 的最小值． 【详解】解：对于点，，， 其“水平底” ， 根据题意得：的最小值为：1， ，，三点的“矩面积”的最小值为4． 故答案为：4． 10．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，，且． (1)直接写出，的值和三角形的面积； (2)设与轴交于点，求三角形的面积； (3)如图2，连接，点在轴上，使三角形与三角形的面积相等，求的值； (4)如图3，点在四边形内部，使三角形的面积是三角形的面积的2倍，且三角形的面积是三角形的面积的2倍，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)或 (4) 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标，完全平方公式和算术平方根的非负性，解一元一次方程求三角形的面积， 对于（1），根据平方和二次根式的非负性求出a，c，即可得出，再求出面积即可； 对于（2），先根据求出，进而得出答案； 对于（3），分三种情况根据面积相等列出方程，求出解，并判断即可； 对于（4），先根据求出点的纵坐标为2，再求出，然后根据求出，则答案可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得． ∵点， ∴点， 则， ∴； （2）解：∵ ， ∴， ， ； （3）解：①当点在线段上时， ，， 即， 解得：； 同理：当在点B上方时，， 解得：； 当在点下方时，， 解得：，不存在． 所以m的值为或8； （4）解：，理由如下： 过点作直线轴，交于，交轴于，交于， ∵， ， 即， 解得：， 因此点的纵坐标为2； 设点的坐标为， ， 解得：， ，同理， ． ， ， 解得：， ． 11．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，其中a，b满足． (1)求的面积； (2)在x轴上求一点P，使得的面积与的面积相等； (3)在y轴上是否存在一点Q，使得的面积与的面积相等？若存在，请写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点 (3)存在，点Q坐标为 或 【分析】本题考查了坐标与图形的性质、解一元一次方程、绝对值，（1）利用非负数的性质求出a，b的值，再利用三角形面积公式计算即可． （2）设点，构建方程求出p的值即可． （3）如图，设交y轴于点N，设、，利用面积法求出点N的坐标，再利用面积法构建方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， 又，， ∴，， ∴，， 过点C作轴于点N， 点， ， ，， ∴， ∴． （2）解：设点． ∵， 解得或 ， 当时，与重合，不合题意，舍去， ∴点． （3）解：如图，连接，设交y轴于点N，设、， ∵， ， ， ∵， ∴， 解得或， ∴点Q坐标为或． 12.如图，在平面直角坐标系中，，把沿射线向右下平移得到，交线段于点M． (1)如果点D的坐标为，则C、E两点的坐标分别为______； (2)连接，在(1)的条件下，的面积等于3，求的面积； (3)在沿射线向右下平移的过程中，的面积能否比的面积大4？若能，请求出此时点M的坐标，若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查坐标与图形，平移的性质，三角形面积． （1）由得到平移方式，即可解答； （2）连接，由（1）知，则轴，得到，进而求出，根据三角形面积公式即可求解； （3）根据题意得到向右平移个单位长度，则向下平移个单位长度后得到，求出，进而得到，；根据的面积比的面积大4，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把沿射线向右下平移得到，即点的对应点为点， ∵， ∴先向右平移3个单位长度，再先向下平移2个单位长度后得到， ∵， ∴，即； （2）解：连接， 由（1）知， 则轴， ∴， ∴， ∴； （3）解：能，， ∵把沿射线向右下平移得到， ∴向右平移个单位长度，则向下平移个单位长度后得到， ∴， ∵， ∴， 由平移的性质得， ∴， ∴，； 当的面积比的面积大4时， 则，即， 解得：， ∴向右平移个单位长度，则向下平移个单位长度后得到， ∴． 13．如图1，在平面直角坐标系中，已知、，过点作轴，垂足为点．点，分别在原点两侧，且，两点间的距离等于个单位长度．      (1)填空：___________，点的坐标为___________； (2)在轴上是否存在一点，使三角形的面积是三角形的面积的，若存在，求符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，过点作轴，垂足为点，线段上有一点，且、满足，点到轴的距离为，点在轴负半轴上，连接交轴于点．当三角形面积与三角形的面积相等时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】（1）根据轴与，写出点和点的坐标即可； （2）设点的坐标为，则，先计算出的面积为，根据和面积之间的关系构造方程，解出，写出点的坐标即可； （3）作轴于点，根据题意可得，，结合解得（负值舍去），则．由点可得，，由可得，利用面积相等计算出，从而确定点的坐标． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∵轴，且点的坐标为， ∴点的坐标为，， ∵，且点在原点的左侧， ∴点的坐标为，即； （2）解：设点的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 整理，得， 解得， ∴点的坐标为或； （3）解：如图，作轴于点， ∵点在线段上，且点到轴的距离为， ∴， ∵， ∴， 解得或（负值，舍去）， ∴点的坐标为， ∵轴于点， ∴， ∵点的坐标为， 又∵轴，轴， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在轴负半轴上， ∴点的坐标为． 14．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段．连接，，． (1)求点C的坐标和三角形的面积； (2)在x轴上是否存在一点D，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点C的坐标为，的面积为10 (2)存在，点D的坐标为或 【分析】（1）直接根据平移规律即可得点C的坐标，再根据三角形的面积公式解答即可； （2）先求出、，再根据三角形的面积等于三角形面积的一半列方程求得，然后再根据点A的坐标确定点D的坐标即可． 【详解】（1）解：根据平移方式可得点C的坐标为； ， ， ∴， 所以的面积为10； （2）解：存在，由（1），点B的坐标为， ∴点B到x轴的距离为4， ∵，， ， ∵点A的坐标为， ∴点D的横坐标为或， ∴点D的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $