专题04 《二元一次方程组》讲义 2025-2026学年人教版七年级数学下册

专题04 二元一次方程组 01 考向领航 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 02 知识建构 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一 二元一次方程的概念 知识点二 二元一次方程组的概念和解法 知识点三 二元一次方程组应用题解题基本步骤 03 题型攻坚 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 题型1 二元一次方程的定义和解 题型2 判断二元一次方程组的定义和解 题型3 已知二元一次方程组的解求参数 题型4 代入消元法 题型5 加减消元法 题型6 特殊解法 题型7 二元一次方程组的复原问题 题型8 构造二元一次方程组求解 题型9 三元一次方程组 题型10 实际问题与二元一次方程组 常考考点 命题风向 1.基础概念：二元一次方程（组）定义、未知数次数要求、方程（组）的解的判定 2.核心解法：代入消元法、加减消元法，根据方程组特征选择简便解法 3.含参方程组：根据方程组解的情况（唯一解、无解、无数解）求参数取值 4.整体思想求值：整体代入、整体加减变形，不解方程求代数式的值 5.同解方程组：两个方程组同解、错解问题，利用公共解求参数 6.实际应用题：行程、工程、利润、配套、方案选型五大经典题型 7.图表与新题型：表格、图像信息列方程组求解，简单新定义运算题型 （1）基础层（选择、填空） 考查二元一次方程定义辨析、方程组解的验证、简单整体求值、基础参数计算。高频陷阱：次数判断失误、漏看未知数系数不为0、整体变形符号出错。 （2）中档解答（必考） 规范解二元一次方程组、错解与同解参数求解、代数式整体求值。重在步骤完整、消元运算准确、格式规范。 （3）拔高压轴 ①含参方程组解的分类讨论；②二元一次方程组综合应用题（方案选择、最值问题）；③方程组与不等式、几何边长结合综合题型。 命题四大固定趋势 （1）考点融合：解法、参数、整体变形混搭考查，极少单独考单一解方程。 （2）重思想方法：整体代入、消元转化是核心解题思想，为考试重点拉分点。 （3）应用题常态化：固定五大生活模型，侧重审题建模能力，不再单纯机械计算。 （4）细节扣分严格：消元计算失误、参数遗漏条件、应用题漏检验、答句不规范。 考情解码： 1.定义核心：二元一次方程需满足含两个未知数、未知数最高次数为1、整式方程三大条件。 2.解法选择：系数有±1优先代入消元；系数成倍数或易凑相反数优先加减消元。 3.整体思想：无需逐一解出未知数，通过两式加减、变形整体代入，快速求值。 4.错解同解套路：错解满足未看错的方程，公共解满足所有方程，联立求参数。 5.含参结论：系数不成比例有唯一解；系数成比例、常数不等无解；系数常数均成比例无数解。 6.应用题步骤：审、设、列、解、验、答，必须检验解是否符合实际题意。 7.核心避坑：未知数系数不能为0、消元时符号统一、方案问题需取整数解。 知识点一 二元一次方程的概念 1．二元一次方程：含有两个未知数，并且含未知数的项的最高次数是1的整式方程，叫做二元一次方程．二元一次方程的一般形式为：． 【例】，，，等都是二元一次方程． 2．二元一次方程的判定： 必须同时满足四个条件： （1）含有两个未知数——“二元”； （2）未知数项的最高次数为1——“一次”； （3）方程两边都是整式——整式方程； （4）未知数的系数不能为0． 【例】，，，等都是二元一次方程； ，，，等都不是二元一次方程． 3．二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 【注】任何一个二元一次方程都有无数个解． 【例】和是方程的解，可以看出有无数个解． 知识点二 二元一次方程组的概念和解法 1．二元一次方程组：由几个一次方程组成并含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组． 【注意】（1）二元一次方程组不一定由几个二元一次方程合在一起． （2）方程可以超过两个． 【例】，，等都是二元一次方程组． 2．二元一次方程组的解：使二元一次方程组的几个方程左、右两边都相等的两个未知数的值（即几个方程的公共解），叫做二元一次方程组的解． 【例】的解是． 3．二元一次方程组解的情况： 一般情况下，一个二元一次方程组只有唯一一组解；但在特殊情况下，二元一次方程组也可能无解或有无数组解． 【例】方程组有无数组解，方程组和无解． 4．二元一次方程组的基本解法 （1）代入消元法： ①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将该方程中的一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，例如； ②把代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出x的值； ④把求得的x的值代回中，求出y的值，从而得出方程组的解； ⑤把这个方程组的解写成的形式． 解方程组： 解： 由②，得，③ 把③代入①，， ∴，得． 把代入③，得． ∴方程组的解为 （2）加减消元法： ①把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数相反或相等； ②把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值，从而得出方程组的解； ⑤把这个方程组的解写成的形式． 解方程组： 解： ①②，得， 解得：． 将代入①，得， 解得． ∴方程组的解是． 5．解方程组的三大解题思想 （1）消元思想；（2）整体思想；（3）换元思想． 知识点三 二元一次方程组应用题解题基本步骤 （1）审：弄清题意，梳理题目中的已知量、未知量，找准题目中两组独立的等量关系，抓取题目关键条件与数量句式； （2）设：一般直接设两个关键未知量为x、y，根据题意合理设元，规范书写单位； （3）列：根据挖掘出的两组等量关系，列出对应的二元一次方程组； （4）解：利用代入消元法或加减消元法求解方程组，得出两个未知数的值； （5）验：检验计算结果是否准确，同时验证结果是否符合生活实际意义（正数、整数、取值范围等）； （6）答：规范书写完整答案，对应题目问题作答。 题型1 二元一次方程的定义和解 【例1-1】若方程是关于x，y的二元一次方程，则nᵐ的值为（     ） A． B．1 C．2026 D． 【例1-2】已知是关于，的二元一次方程，则的值是（    ） A． B． C． D． 识别要点：两个未知数，整式，未知数项次数均为 1；二元一次方程有无数组解，任意给定一个未知数的值，可求出另一个。 【变式训练1-1】若是二元一次方程组的解，则这个方程组可以是（     ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】在平面直角坐标系中可以画出任意一个二元一次方程的图象．如图，因为直线上每个点的坐标都是二元一次方程的解（如点即，这是的一个解），所以直线是二元一次方程的图象．那么直线（经过若干格点）是哪个二元一次方程的图象（     ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】如果方程与下面方程中的一个组成的方程组，其解为，那么这个方程可以是（     ） A． B． C． D． 题型2 判断二元一次方程组的定义和解 【例2-1】若方程组是二元一次方程组，则“”可以是（     ） A． B． C． D． 【例2-2】若 是关于x，y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组，则m的值是（     ） A． B．3 C． D．任意实数 判定技巧：方程组整体共两个未知数，整式方程，未知项次数为 1；方程组的解必须同时满足全部方程。 【变式训练2-1】已知方程，若将它与下列某个方程组成方程组，且该方程组的解为，则这个方程可以是（     ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】方程与下面一个方程组成的方程组的解为，那么这个方程可以是（     ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】一个两位数与它的倒序数之和为132，且这个两位数的两个数字不同．这个两位数的两个数字乘积最大可能是（     ） A．30 B．32 C．35 D．36 题型3 已知二元一次方程组的解求参数 【例3-1】若关于，的二元一次方程组的解为，则多项式可能是（     ） A． B． C． D． 【例3-2】“换元法”是解决数学问题的重要思想方法，若方程组的解是，则方程组的解为（     ） A． B． C． D． 技巧：将方程组的解直接代入原方程，得到关于参数的新方程，求解参数即可。 【变式训练3-1】关于、的二元一次方程组，则下列说法中正确的是（     ） ①当，时，该方程组的解是；②当时，该方程组无解；③当，时，该方程组有无数个解；④当时，该方程组有唯一解． A．②④ B．①③ C．①②④ D．①③④ 【变式训练3-2】已知关于x，y的二元一次方程组，若，则k的值为（    ） A． B．0 C． D．1 【变式训练3-3】已知方程组的解为，则的值为（     ） A． B． C． D． 题型4 代入消元法 【例4-1】下列用代入法解方程组的步骤，其中最简单的是（     ） A．由①，得③，再把③代入② B．由①，得③，再把③代入② C．由②，得③，再把③代入① D．把②代入① 【例4-2】．已知和都是关于、的二元一次方程的解，则、的值为（     ）. A．， B．， C．， D．， 技巧：变形用一个未知数表示另一个，代入另一方程消元化一元；优先选择系数为 ±1 的未知数变形。 【变式训练4-1】．若，则的算术平方根是（     ） A． B．3 C． D．9 【变式训练4-2】定义一种新运算：，若，且关于，的二元一次方程，当，取不同值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，那么公共解为（  　  ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】方程组不能转化为（     ） A． B． C． D． 题型5 加减消元法 【例5-1】若方程组的解满足，则的取值是（     ） A． B． C． D． 【例5-2】已知关于的二元一次方程组的解均为整数，则正整数的值是（     ） A．2或10 B．2或9 C．3或9 D．3或10 技巧：统一同一未知数系数，同减异加消去未知数；优先选用系数最小公倍数小的未知数消元。 【变式训练5-1】．小灵同学在解关于和的二元一次方程组时，利用就将未知数消去了，则和应该满足的条件是（） A． B． C． D． 【变式训练5-2】若，则的值是（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【变式训练5-3】．已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（     ） A． B． C． D． 题型6 特殊解法 【例6-1】已知方程组的解是，则方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【例6-2】关于a，b的二元一次方程组的解是，则关于x、y的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 技巧：观察式子构造整体，直接整体加减代换，避开单独求出 x、y，简化运算。 【变式训练6-1】若关于x、y的方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】若方程组的解是，则方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【变式训练6-3】若方程组的解为，则方程组的解为（     ） A． B． C． D． 题型7 二元一次方程组的复原问题 【例7-1】两位同学在解方程组时，甲同学由正确地解出，乙同学因把写错了解得，则的值为（   ） A．3 B．0 C．1 D．7 【例7-2】数学老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组4名同学每人完成一步．如图，这是4个人合作完成解方程组的过程，合作中自己负责的一步出现错误的同学是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 技巧：把已知解代入残缺方程，求出未知系数，还原完整方程组。 【变式训练7-1】甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了②中的b，解得，则的值为（    ） A．0 B． C．2 D． 【变式训练7-2】在解关于，的方程组时，甲看错①中的，解得，；乙看错②中的，解得，，则和的正确值应是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练7-3】已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为．则乙把②中的b看成的数是（   ） A． B． C．6 D．3 题型8 构造二元一次方程组求解 【例8-1】如下表是当取不同值时对应的整式的值．小明不小心打翻了墨水在纸上，导致表格部分数据看不见，则的值分别为（     ） x 1 2 ax+3b 3 1 A． B． C． D． 【例8-2】对于实数x、y定义新运算：，其中a，b为常数．已知，，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 技巧：依据题干等量关系列出两个独立等式，组成方程组，解出未知数。 【变式训练8-1】定义运算“*”，规定 ，其中a、b为常数，且，，则（   ） A．-3 B．5 C．25 D．29 【变式训练8-2】若，且，，满足方程组，则（   ） A．1 B． C． D． 【变式训练8-3】已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值为（     ） A．0 B．-1 C．1 D．2026 题型9 三元一次方程组 【例9-1】方程的正整数解的个数等价于在排列1，1，1，1，1，1，1形成的6个空隙中，任选一个空用隔板隔离，比如排列1，1↑1，1，1，1，1等价于，排列1，1，1，1，1↑1，1等价于，因为原排列有6个空隙，所以方程共有6个正整数解：类似的，方程的正整数解的个数为（     ） A．24 B．26 C．28 D．30 【例9-2】若三元一次方程组的解使，则的值为（     ） A．1 B．4 C． D． 先解不含参数方程组求出 x、y，再将解代入含参数方程算出参数。 【变式训练9-1】德化，是中国三大古瓷都之一，以“白如玉、明如镜、薄如纸、声如磬”的德化白瓷闻名世界．当地某厂家生产三种经典白瓷：“中国白”茶壶、“象牙白”茶杯、“猪油白”瓷碗．某日，一位陶瓷爱好者来到德化，想了解这三件作品的价格，商家没有直接告诉这三件作品的单价，而是给出了以下两条信息： 信息一：3个茶壶的价格、7个茶杯价格和1个瓷碗价格总和为280元； 信息二：4个茶壶的价格、10个茶杯价格和1个瓷碗价格总和为320元． 这位陶瓷爱好者准备三种陶瓷制品各买2个，则他付的总价是（     ） A．200元 B．250元 C．300元 D．400元 【变式训练9-2】用“※”定义一种新运算：对于任意有理数，规定，其中为常数．已知，则：的值为（     ） A． B．3 C． D．1 【变式训练9-3】某校组织学生假期到北京开展研学活动，现已预定的宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供其团队租住．研学团队的20人准备同时租住这三种客房共7间，若每一个房间都住满，则租房方案有（     ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 题型10 实际问题与二元一次方程组 【例10-1】如图，将四个形状、大小相同的长方形拼成一个大的长方形．若大长方形的周长为28，设小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【例10-2】我国古代数学著作增删算法统宗记载“绳索量竿”问题：一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短尺．设绳索长尺，竿长尺，则符合题意的方程组是（     ） A． B． C． D． 连续两次消元，消去同一个未知数，转化为二元一次方程组求解。 【变式训练10-1】为迎接黎苗族“三月三”传统节日，某校计划购买一批反映黎苗文化的甲、乙两种书籍，用于建设民族文化阅读角．已知购买本甲种书和本乙种书共需元；购买本甲种书和本乙种书共需元．求甲，乙两种书的单价分别为多少元？ 【变式训练10-2】某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，准备购买A，B两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷3顶，则需4600元；若购买A种型号帐篷5顶和B种型号帐篷6顶，则需10000元．求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格． 【变式训练10-3】【发现问题】 某商铺计划整体翻新装修，为兼顾工期、装修劳务费与营业收益，老板对比了甲、乙两支专业装修施工队．已知两队合作施工、单独分段施工的工期与付款金额如下： 【提出问题】 ①甲、乙两队同时开工，天能够全部完工，商店需要合计支付两队劳务费元； ②若先由甲队单独施工天，剩余工程交由乙队单独施工天，也可以完成全部装修，总共需要支付劳务费元． 【分析问题】 经测算：甲队独立完成全部工程需要天，乙队独立完成全部工程需要天．商铺正常营业每日净利润为元，停工装修期间没有营业收入． 请结合以上信息，完成以下实践分析： 【解决问题】 (1)设甲队工作天商店需付费元，乙队工作天商店需付费元，请列出二元一次方程组，并求解甲、乙两队每日劳务费用； (2)分别计算单独聘请甲队、单独聘请乙队完成装修的总花费，对比判断只单独雇佣一支队伍时，哪一个成本更低，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二元一次方程组 01 考向领航 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 02 知识建构 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一 二元一次方程的概念 知识点二 二元一次方程组的概念和解法 知识点三 二元一次方程组应用题解题基本步骤 03 题型攻坚 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 题型1 二元一次方程的定义和解 题型2 判断二元一次方程组的定义和解 题型3 已知二元一次方程组的解求参数 题型4 代入消元法 题型5 加减消元法 题型6 特殊解法 题型7 二元一次方程组的复原问题 题型8 构造二元一次方程组求解 题型9 三元一次方程组 题型10 实际问题与二元一次方程组 常考考点 命题风向 1.基础概念：二元一次方程（组）定义、未知数次数要求、方程（组）的解的判定 2.核心解法：代入消元法、加减消元法，根据方程组特征选择简便解法 3.含参方程组：根据方程组解的情况（唯一解、无解、无数解）求参数取值 4.整体思想求值：整体代入、整体加减变形，不解方程求代数式的值 5.同解方程组：两个方程组同解、错解问题，利用公共解求参数 6.实际应用题：行程、工程、利润、配套、方案选型五大经典题型 7.图表与新题型：表格、图像信息列方程组求解，简单新定义运算题型 （1）基础层（选择、填空） 考查二元一次方程定义辨析、方程组解的验证、简单整体求值、基础参数计算。高频陷阱：次数判断失误、漏看未知数系数不为0、整体变形符号出错。 （2）中档解答（必考） 规范解二元一次方程组、错解与同解参数求解、代数式整体求值。重在步骤完整、消元运算准确、格式规范。 （3）拔高压轴 ①含参方程组解的分类讨论；②二元一次方程组综合应用题（方案选择、最值问题）；③方程组与不等式、几何边长结合综合题型。 命题四大固定趋势 （1）考点融合：解法、参数、整体变形混搭考查，极少单独考单一解方程。 （2）重思想方法：整体代入、消元转化是核心解题思想，为考试重点拉分点。 （3）应用题常态化：固定五大生活模型，侧重审题建模能力，不再单纯机械计算。 （4）细节扣分严格：消元计算失误、参数遗漏条件、应用题漏检验、答句不规范。 考情解码： 1.定义核心：二元一次方程需满足含两个未知数、未知数最高次数为1、整式方程三大条件。 2.解法选择：系数有±1优先代入消元；系数成倍数或易凑相反数优先加减消元。 3.整体思想：无需逐一解出未知数，通过两式加减、变形整体代入，快速求值。 4.错解同解套路：错解满足未看错的方程，公共解满足所有方程，联立求参数。 5.含参结论：系数不成比例有唯一解；系数成比例、常数不等无解；系数常数均成比例无数解。 6.应用题步骤：审、设、列、解、验、答，必须检验解是否符合实际题意。 7.核心避坑：未知数系数不能为0、消元时符号统一、方案问题需取整数解。 知识点一 二元一次方程的概念 1．二元一次方程：含有两个未知数，并且含未知数的项的最高次数是1的整式方程，叫做二元一次方程．二元一次方程的一般形式为：． 【例】，，，等都是二元一次方程． 2．二元一次方程的判定： 必须同时满足四个条件： （1）含有两个未知数——“二元”； （2）未知数项的最高次数为1——“一次”； （3）方程两边都是整式——整式方程； （4）未知数的系数不能为0． 【例】，，，等都是二元一次方程； ，，，等都不是二元一次方程． 3．二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 【注】任何一个二元一次方程都有无数个解． 【例】和是方程的解，可以看出有无数个解． 知识点二 二元一次方程组的概念和解法 1．二元一次方程组：由几个一次方程组成并含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组． 【注意】（1）二元一次方程组不一定由几个二元一次方程合在一起． （2）方程可以超过两个． 【例】，，等都是二元一次方程组． 2．二元一次方程组的解：使二元一次方程组的几个方程左、右两边都相等的两个未知数的值（即几个方程的公共解），叫做二元一次方程组的解． 【例】的解是． 3．二元一次方程组解的情况： 一般情况下，一个二元一次方程组只有唯一一组解；但在特殊情况下，二元一次方程组也可能无解或有无数组解． 【例】方程组有无数组解，方程组和无解． 4．二元一次方程组的基本解法 （1）代入消元法： ①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将该方程中的一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，例如； ②把代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出x的值； ④把求得的x的值代回中，求出y的值，从而得出方程组的解； ⑤把这个方程组的解写成的形式． 解方程组： 解： 由②，得，③ 把③代入①，， ∴，得． 把代入③，得． ∴方程组的解为 （2）加减消元法： ①把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数相反或相等； ②把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值，从而得出方程组的解； ⑤把这个方程组的解写成的形式． 解方程组： 解： ①②，得， 解得：． 将代入①，得， 解得． ∴方程组的解是． 5．解方程组的三大解题思想 （1）消元思想；（2）整体思想；（3）换元思想． 知识点三 二元一次方程组应用题解题基本步骤 （1）审：弄清题意，梳理题目中的已知量、未知量，找准题目中两组独立的等量关系，抓取题目关键条件与数量句式； （2）设：一般直接设两个关键未知量为x、y，根据题意合理设元，规范书写单位； （3）列：根据挖掘出的两组等量关系，列出对应的二元一次方程组； （4）解：利用代入消元法或加减消元法求解方程组，得出两个未知数的值； （5）验：检验计算结果是否准确，同时验证结果是否符合生活实际意义（正数、整数、取值范围等）； （6）答：规范书写完整答案，对应题目问题作答。 题型1 二元一次方程的定义和解 【例1-1】若方程是关于x，y的二元一次方程，则nᵐ的值为（     ） A． B．1 C．2026 D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程的定义，未知数的次数为1且对应系数不为0，求出和的值，再计算得到结果，选出正确选项． 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴，，， 解得 ，， ∴． 【例1-2】已知是关于，的二元一次方程，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据二元一次方程的定义求解，二元一次方程中每个未知数的次数都为1，据此列出关于、的等式，求出、后计算即可． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程 ∴未知数，的次数都为，可得， 解得：， ∴ 识别要点：两个未知数，整式，未知数项次数均为 1；二元一次方程有无数组解，任意给定一个未知数的值，可求出另一个。 【变式训练1-1】若是二元一次方程组的解，则这个方程组可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组解的定义，方程组的解满足方程组中所有方程，因此将代入各选项验证即可． 【详解】解：把代入各选项逐一验证： 代入选项A，第一个方程左边右边， 第二个方程左边，故A错误； 代入选项B，第一个方程左边右边， 第二个方程左边，故B错误； 代入选项C，第一个方程左边右边， 第二个方程左边右边，两个方程都成立，故C正确； 代入选项D，第一个方程左边右边，故D错误． 【变式训练1-2】在平面直角坐标系中可以画出任意一个二元一次方程的图象．如图，因为直线上每个点的坐标都是二元一次方程的解（如点即，这是的一个解），所以直线是二元一次方程的图象．那么直线（经过若干格点）是哪个二元一次方程的图象（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】从图中可得直线经过两个明确的格点：和，将坐标代入选项验证． 【详解】解：选项A ：代入，得，不符合题意； 选项B ：代入，得，不符合题意； 选项C ：代入，得，不符合题意； 选项D ：代入得，成立；代入得，成立，符合题意． 【变式训练1-3】如果方程与下面方程中的一个组成的方程组，其解为，那么这个方程可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知的方程组解代入各选项方程，验证等式是否成立即可得到答案． 【详解】解：将依次代入各选项方程： 选项A：方程左边，右边，左边右边，则A不符合题意； 选项B：方程左边，右边，左边右边，则B不符合题意； 选项C：左边，右边，左边右边，则C不符合题意 选项D：左边，右边，左边右边，则D符合题意． 题型2 判断二元一次方程组的定义和解 【例2-1】若方程组是二元一次方程组，则“”可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据二元一次方程组的定义判断，二元一次方程组需满足：方程组总共含有两个未知数，每个方程都是未知数最高次数为1的整式方程，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项，方程含未知数，方程组共有3个未知数，不符合要求，错误； B选项，方程仅含两个未知数，所有未知数次数都为1，是整式方程，符合要求，正确； C选项，方程中的次数为2，不符合要求，错误； D选项，方程中项的次数为2，不符合要求，错误． 【例2-2】若 是关于x，y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组，则m的值是（     ） A． B．3 C． D．任意实数 【答案】A 【详解】解：原方程组是关于x，y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组， 解得：且 m的值是． 判定技巧：方程组整体共两个未知数，整式方程，未知项次数为 1；方程组的解必须同时满足全部方程。 【变式训练2-1】已知方程，若将它与下列某个方程组成方程组，且该方程组的解为，则这个方程可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组解的定义，方程组的解满足组内每个方程，因此将已知的解代入各选项验证，等式成立的即为所求方程． 【详解】解：将代入选项A，得 ，等式不成立， ∴A错误； 将代入选项B，得 ，等式成立， ∴B正确； 将代入选项C，得 ，等式不成立， ∴C错误； 将代入选项D，得 ，等式不成立， ∴D错误． 【变式训练2-2】方程与下面一个方程组成的方程组的解为，那么这个方程可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“方程组的解满足方程组中的每一个方程”，将已知解代入各选项中的方程，验证方程左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】解：将依次代入各选项的方程， A．左边，右边，，故此选项不符合题意； B．左边，右边，，故此选项不符合题意； C．左边，右边，，故此选项符合题意； D．左边，右边，，故此选项不符合题意． 【变式训练2-3】一个两位数与它的倒序数之和为132，且这个两位数的两个数字不同．这个两位数的两个数字乘积最大可能是（     ） A．30 B．32 C．35 D．36 【答案】C 【分析】先设出两位数的两个数字，根据两数和为132推导得到两个数字的和，再求出最大乘积即可． 【详解】解：由题意得，设这个两位数的十位数字为，个位数字为，，，为整数，且， ∴原两位数为，它的倒序数为， ∵两数的和为132， ∴ ， 当，时，， 当，时，， 当，时，， ∴这个两位数的两个数字乘积最大为35． 题型3 已知二元一次方程组的解求参数 【例3-1】若关于，的二元一次方程组的解为，则多项式可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组解的定义，方程组的解满足所有方程，因此将已知的解代入多项式，计算结果为的即为正确选项． 【详解】解：∵二元一次方程组的解为， ∴将，代入各选项验证： 选项A，，不符合题意； 选项B，，不符合题意； 选项C，，符合题意； 选项D，，不符合题意． 【例3-2】“换元法”是解决数学问题的重要思想方法，若方程组的解是，则方程组的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将待求解方程组整理为与已知解的方程组结构相同的形式，通过换元对应已知的解，进而求出的值． 【详解】解：令，，则原方程组可变形为， 方程组的解是， ，即， 解得． 技巧：将方程组的解直接代入原方程，得到关于参数的新方程，求解参数即可。 【变式训练3-1】关于、的二元一次方程组，则下列说法中正确的是（     ） ①当，时，该方程组的解是；②当时，该方程组无解；③当，时，该方程组有无数个解；④当时，该方程组有唯一解． A．②④ B．①③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】利用消元法结合二元一次方程组解的情况：当方程组系数对应不成比例时有唯一解，系数和常数项对应都成比例时有无数解，系数成比例但常数项不成比例时无解，逐个判断即可得到结果． 【详解】解：对原方程组， 将第一个方程两边乘得，减去第二个方程得， ∴解得：，逐个判定如下： ①当，时， ∴，代入； 解得，故①正确； ②当时，， 此时方程变为， 若，方程组无解； 若，则，原方程组两个方程为同一个方程，方程组有无数解， ∴②错误； ③当，时，原方程组化简后两个方程相同，因此方程组有无数个解，故③正确； ④当时，， ∴可得唯一确定的，对应可得唯一的， ∴方程组有唯一解，故④正确； 综上，①③④正确． 【变式训练3-2】已知关于x，y的二元一次方程组，若，则k的值为（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的计算，通过观察方程组两个方程的特点，将两式相加可整理出含的式子，代入已知条件即可求出的值． 【详解】解：， 得： 提取公因式得 整理得， 解得． 【变式训练3-3】已知方程组的解为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将方程组的解代入原方程组，得到关于、的二元一次方程组，利用加减消元法求出、的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】∵方程组的解为 ∴代入得 由得， 解得 由得， 解得 将，代入得 ． 题型4 代入消元法 【例4-1】下列用代入法解方程组的步骤，其中最简单的是（     ） A．由①，得③，再把③代入② B．由①，得③，再把③代入② C．由②，得③，再把③代入① D．把②代入① 【答案】D 【分析】观察方程组结构，寻找最简便的消元方式，优先利用已有整体形式代入简化计算． 【详解】解：， 方程②已经直接给出的表达式，两个方程都含， ∴直接将②整体代入①，即可消去未知数，无需额外变形得到分式形式，计算步骤最少，是最简单的解法． 【例4-2】．已知和都是关于、的二元一次方程的解，则、的值为（     ）. A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】把两组解分别代入二元一次方程得到关于与的二元一次方程组，解方程组即可得到结果. 【详解】解：和都是二元一次方程的解， 将两组解分别代入方程，得：. 解得. 技巧：变形用一个未知数表示另一个，代入另一方程消元化一元；优先选择系数为 ±1 的未知数变形。 【变式训练4-1】．若，则的算术平方根是（     ） A． B．3 C． D．9 【答案】B 【分析】本题利用非负数的性质求解，算术平方根与绝对值都是非负数，若几个非负数的和为，则每个非负数都为，先求出，的值，再计算，最后求出其算术平方根即可； 【详解】解：∵，，且， ∴ 解得，， 故， ∴的算术平方根是； 【变式训练4-2】定义一种新运算：，若，且关于，的二元一次方程，当，取不同值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，那么公共解为（  　  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据新运算定义得到b与a的关系，代入方程后整理，根据方程对任意a都成立的性质，得到关于x，y的二元一次方程组，求解即可得到公共解． 【详解】解：∵，且， ∴，即， 将代入方程，得，， 整理得：， ∵取不同值时，方程都有公共解，即等式对任意恒成立， ∴， 解得， ∴公共解为． 【变式训练4-3】方程组不能转化为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用代入消元法对原方程组变形，逐一判断选项即可. 【详解】解：原方程组为 ∵由①得 ，将代入②得，∴选项B可由原方程组转化； 化简得，解得，将代入得，∴选项C可由原方程组转化； 将代入选项A左边得 ，与右边相等，∴选项A可由原方程组转化； 用②①得 ，化简得， ∴选项D不能由原方程组转化. 题型5 加减消元法 【例5-1】若方程组的解满足，则的取值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将方程组中两个方程相减，构造出关于的表达式，再结合已知条件求解的值． 【详解】解：记方程组 得． ． 已知， ． 解得． 【例5-2】已知关于的二元一次方程组的解均为整数，则正整数的值是（     ） A．2或10 B．2或9 C．3或9 D．3或10 【答案】B 【分析】先利用加减消元法解方程组，再根据方程组的解均为整数，为正整数，可得是28和70的正公约数，进而求出的值． 【详解】解：， ①②得 ， ∴ ， 将代入②，解得 ， ∵ 方程组的解均为整数，为正整数， ∴ 是28和70的正公约数，且， 28和70的正公约数为，符合条件的或， 当时，； 当时，； ∴ 正整数的值为2或9． 技巧：统一同一未知数系数，同减异加消去未知数；优先选用系数最小公倍数小的未知数消元。 【变式训练5-1】．小灵同学在解关于和的二元一次方程组时，利用就将未知数消去了，则和应该满足的条件是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若消去未知数，则运算后的系数为，计算整理即可得到和满足的条件． 【详解】解：，得： ， 整理得：， 消去了未知数， 的系数为， 即． 【变式训练5-2】若，则的值是（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题利用绝对值和算术平方根的非负性求解，两个非负数的和为0时，每个非负数都等于0，据此列出方程组，再计算得到的值． 【详解】解：∵，，且 ∴，整理得 得： 化简得 故选：C． 【变式训练5-3】．已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，原方程组的解同时满足，可先联立不含的两个方程求出的值，再代入含的方程计算即可． 【详解】解：由题意可得方程组， 将两个方程相加，得， 解得， 把代入，得， 把代入，得 ． 题型6 特殊解法 【例6-1】已知方程组的解是，则方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用整体换元思想，对比两个方程组的结构，将所求方程组中的和看作整体，对应原方程组的未知数，即可求解． 【详解】解：∵已知方程组的解是， 待解方程组与原方程组结构完全相同， ∴可得， 解方程组得． 【例6-2】关于a，b的二元一次方程组的解是，则关于x、y的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对比两个方程组的结构，利用换元思想，将新方程组中看作原方程组的，看作原方程组的，结合已知原方程组的解即可求出和． 【详解】解：关于a，b的二元一次方程组的解是， 方程组中， 解得：． 技巧：观察式子构造整体，直接整体加减代换，避开单独求出 x、y，简化运算。 【变式训练6-1】若关于x、y的方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用整体换元思想，将待解方程组变形为与已知方程组结构相同的形式，对比得到关于的方程组，求解即可. 【详解】解：∵ 方程组的解是， 将方程组两边同时除以， ∴，即， ∴， 解得：. 【变式训练6-2】若方程组的解是，则方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用整体换元思想，将所求方程组中的和分别看作整体，对应原方程组的和，再解关于，的一次方程即可得到结果． 【详解】解：令，，则所求方程组可化为， 方程组的解是， ，， 解得， 【变式训练6-3】若方程组的解为，则方程组的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过换元，令，，利用已知方程组的解得到关于的方程，分别求解后选出对应选项． 【详解】解：设 ∵ ∴，， 解得，， ∴方程组的解为． 题型7 二元一次方程组的复原问题 【例7-1】两位同学在解方程组时，甲同学由正确地解出，乙同学因把写错了解得，则的值为（   ） A．3 B．0 C．1 D．7 【答案】D 【分析】将代入中，得到，解得；将代入中，得，可得二元一次方程组，解得，即可求解． 【详解】解：∵甲同学由正确地解出， ∴； ∴， ∵乙同学因把写错了解得， ∴将代入中，得， ∴可得二元一次方程组，解得， ∴． 【例7-2】数学老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组4名同学每人完成一步．如图，这是4个人合作完成解方程组的过程，合作中自己负责的一步出现错误的同学是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】先根据去分母时，两边都要乘以2判断，再根据代入法求出方程组的解． 【详解】解：丙同学出现错误，去分母时，18应该乘以2，正确的过程如下： ， 解：由①，得， 将③代入②，得， 去分母，得，即， 解得， 将代入③，得． 技巧：把已知解代入残缺方程，求出未知系数，还原完整方程组。 【变式训练7-1】甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了②中的b，解得，则的值为（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据甲看错了方程①中的a，将代入②中可求得b的值，根据乙看错了②中的b，将代入①中可求得a的值，由此可求得的值． 【详解】解：甲看错了①中的a，但②是正确的，所以满足方程②： ∴，解得； 乙看错了②中的b，但①是正确的，所以满足方程①： ∴，解得． ∴． 【变式训练7-2】在解关于，的方程组时，甲看错①中的，解得，；乙看错②中的，解得，，则和的正确值应是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】甲看错①中的，但未看错②中的，因此甲的解满足方程②，可求出正确的；乙看错②中的，但未看错①中的，因此乙的解满足方程①，可求出正确的． 【详解】解：∵甲看错①中的，解得，， ∴将，代入②，得 ， 解得； ∵乙看错②中的，解得，， ∴将，代入①，得 ， 解得； ∴，． 【变式训练7-3】已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为．则乙把②中的b看成的数是（   ） A． B． C．6 D．3 【答案】C 【分析】甲看错方程①中的，因此甲得到的解满足正确的方程②；乙看错方程②中的，因此乙得到的解满足正确的方程①，先联立求出正确的的值，再设乙看错的为，代入乙的解即可求出的值. 【详解】∵ 甲看错方程①中的a，甲得到的解满足正确的方程②， ∴ 代入②得 ③， ∵ 乙看错方程②中的b，乙得到的解满足正确的方程①， ∴ 代入①得 ④， 联立③④，③+④得 ， 设乙把②中的b看成了，将，代入看错的方程② ， 得 ， 整理得 ， 解得 ， 则乙把②中的b看成的数是． 题型8 构造二元一次方程组求解 【例8-1】如下表是当取不同值时对应的整式的值．小明不小心打翻了墨水在纸上，导致表格部分数据看不见，则的值分别为（     ） x 1 2 ax+3b 3 1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表格中给出的完整数据，选取两组x和对应整式的值列出方程组，求解即可得到a和b的值． 【详解】解：由表格可知，当时，， 当时，， ， 得， 将代入， 得，解得， 即． 【例8-2】对于实数x、y定义新运算：，其中a，b为常数．已知，，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据新定义的运算规则，结合已知条件列出关于,的二元一次方程组，解出,后计算的值即可． 【详解】解：∵，且，， ∴， 解得：， ∴． 技巧：依据题干等量关系列出两个独立等式，组成方程组，解出未知数。 【变式训练8-1】定义运算“*”，规定 ，其中a、b为常数，且，，则（   ） A．-3 B．5 C．25 D．29 【答案】C 【分析】根据新定义列出方程组，解方程组求得，代入规定的式子，将代入进而即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得， ∴， ． 【变式训练8-2】若，且，，满足方程组，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】将方程组看作关于a、b的二元一次方程组可求得，然后代入化简即可解答． 【详解】解：将方程组看作关于a、b的二元一次方程组： 可得：，解得：， 将代入可得． 【变式训练8-3】已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值为（     ） A．0 B．-1 C．1 D．2026 【答案】A 【分析】两个方程组的解相同，则该解满足所有方程，先联立不含参数的方程求出，再代入含的方程求出的值，最后计算所求代数式的值即可． 【详解】解：根据题意可得 解得， 将代入， 可得 解得 ∴． 题型9 三元一次方程组 【例9-1】方程的正整数解的个数等价于在排列1，1，1，1，1，1，1形成的6个空隙中，任选一个空用隔板隔离，比如排列1，1↑1，1，1，1，1等价于，排列1，1，1，1，1↑1，1等价于，因为原排列有6个空隙，所以方程共有6个正整数解：类似的，方程的正整数解的个数为（     ） A．24 B．26 C．28 D．30 【答案】C 【分析】仿照题干给出的隔板法思路求解，将9个1排成一排，要分成3个正整数部分，需要在中间空隙中选2个插入隔板，计算选法数量即可得到正整数解的个数． 【详解】解：∵方程的解为正整数， ∴均为大于等于1的正整数， 将9个1排成一排，1，1，1，1，1，1，1，1，1， ∴9个1之间共有个空隙， 要将9个1分成3组，分别对应，需要从8个空隙中任选2个插入隔板， 计算选法总数：从8个空隙中选第一个有8种选法，选第二个有7种选法， ∵两个隔板顺序不影响分组结果， ∴总选法为， ∴方程的正整数解的个数为28． 【例9-2】若三元一次方程组的解使，则的值为（     ） A．1 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】先求解给定的三元一次方程组，得到的值，再代入即可求出的值． 【详解】解：， 得 ， ， 得， 得 得， 把代入得， 整理得， 解得． 先解不含参数方程组求出 x、y，再将解代入含参数方程算出参数。 【变式训练9-1】德化，是中国三大古瓷都之一，以“白如玉、明如镜、薄如纸、声如磬”的德化白瓷闻名世界．当地某厂家生产三种经典白瓷：“中国白”茶壶、“象牙白”茶杯、“猪油白”瓷碗．某日，一位陶瓷爱好者来到德化，想了解这三件作品的价格，商家没有直接告诉这三件作品的单价，而是给出了以下两条信息： 信息一：3个茶壶的价格、7个茶杯价格和1个瓷碗价格总和为280元； 信息二：4个茶壶的价格、10个茶杯价格和1个瓷碗价格总和为320元． 这位陶瓷爱好者准备三种陶瓷制品各买2个，则他付的总价是（     ） A．200元 B．250元 C．300元 D．400元 【答案】D 【分析】设三种瓷器的单价，根据题意列出方程组，通过整体变形计算得到各买2件的总价，不需要分别求出每个未知数的值． 【详解】设茶壶单价为元，茶杯单价为元，瓷碗单价为元， 根据题意，得， 由②①，得， 变形得③， 将③代入①得， 整理得， ∴． ∴三种陶瓷各买2个的总价为（元）． 故选D． 【变式训练9-2】用“※”定义一种新运算：对于任意有理数，规定，其中为常数．已知，则：的值为（     ） A． B．3 C． D．1 【答案】A 【分析】根据新定义可得方程组，利用加减消元法得到，，据此计算的值即可． 【详解】解：，且，，所求为， ∴， 得， ∴， 把代入①得， ∴， ∴． 【变式训练9-3】某校组织学生假期到北京开展研学活动，现已预定的宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供其团队租住．研学团队的20人准备同时租住这三种客房共7间，若每一个房间都住满，则租房方案有（     ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】C 【分析】通过设未知数列方程组，结合未知数为正整数的条件枚举得到方案个数，用到二元一次方程组的整数解求解知识，先消元法得到变量关系，再根据正整数的限制确定所有可行方案． 【详解】解：设租住二人间间，三人间间，四人间间，均为正整数， 由题意得， 由①得③， 将①代入②，得， 整理得，即， 将代入③得， ∵均为正整数， ∴，解得， ∵为正整数， ∴或， 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 因此共有2种租房方案． 题型10 实际问题与二元一次方程组 【例10-1】如图，将四个形状、大小相同的长方形拼成一个大的长方形．若大长方形的周长为28，设小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据长方形的周长公式可得，即，再根据题意可得小长方形的长为其宽的3倍，据此列出方程组即可． 【详解】解：由题意得， ． 【例10-2】我国古代数学著作增删算法统宗记载“绳索量竿”问题：一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短尺．设绳索长尺，竿长尺，则符合题意的方程组是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目给出的两个等量关系，列出二元一次方程组即可得到答案． 【详解】解：设绳索长尺，竿长尺， ∵绳索比竿长尺， ∴可得方程 ， ∵将绳索对半折后量竿，比竿短尺，对半折后绳索长度为， ∴可得方程 ， 因此符合题意的方程组是． 连续两次消元，消去同一个未知数，转化为二元一次方程组求解。 【变式训练10-1】为迎接黎苗族“三月三”传统节日，某校计划购买一批反映黎苗文化的甲、乙两种书籍，用于建设民族文化阅读角．已知购买本甲种书和本乙种书共需元；购买本甲种书和本乙种书共需元．求甲，乙两种书的单价分别为多少元？ 【答案】甲种书的单价是35元，乙种书的单价是30元 【分析】设甲，乙两种书的单价分别为元，元，根据题意列二元一次方程组即可解答． 【详解】解：设甲，乙两种书的单价分别为元，元， 根据题意，得， 解得， 答：甲种书的单价是35元，乙种书的单价是30元． 【变式训练10-2】某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，准备购买A，B两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷3顶，则需4600元；若购买A种型号帐篷5顶和B种型号帐篷6顶，则需10000元．求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格． 【答案】每顶A种帐篷的价格为元，每顶B种帐篷的价格为元 【分析】设每顶A种帐篷的价格为元，每顶B种帐篷的价格为元，根据“若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷3顶，则需4600元；若购买A种型号帐篷5顶和B种型号帐篷6顶，则需10000元”列方程组求解即可． 【详解】解：设每顶A种帐篷的价格为元，每顶B种帐篷的价格为元， 根据题意得：， 解之得． 答：每顶A种帐篷的价格为元，每顶B种帐篷的价格为元． 【变式训练10-3】【发现问题】 某商铺计划整体翻新装修，为兼顾工期、装修劳务费与营业收益，老板对比了甲、乙两支专业装修施工队．已知两队合作施工、单独分段施工的工期与付款金额如下： 【提出问题】 ①甲、乙两队同时开工，天能够全部完工，商店需要合计支付两队劳务费元； ②若先由甲队单独施工天，剩余工程交由乙队单独施工天，也可以完成全部装修，总共需要支付劳务费元． 【分析问题】 经测算：甲队独立完成全部工程需要天，乙队独立完成全部工程需要天．商铺正常营业每日净利润为元，停工装修期间没有营业收入． 请结合以上信息，完成以下实践分析： 【解决问题】 (1)设甲队工作天商店需付费元，乙队工作天商店需付费元，请列出二元一次方程组，并求解甲、乙两队每日劳务费用； (2)分别计算单独聘请甲队、单独聘请乙队完成装修的总花费，对比判断只单独雇佣一支队伍时，哪一个成本更低，并说明理由． 【答案】(1)甲、乙两队每日劳务费用分别为元，元 (2)单独聘请甲队完成装修的总花费更低， 理由：单独聘请甲队完成装修的总花费（元）， 单独聘请乙队完成装修的总花费（元）， ，                        单独聘请甲队完成装修的总花费更低 【分析】（1）根据两队同时施工天的总劳务费和甲单独施工天、乙单独施工天的总劳务费，列出二元一次方程组，解方程组即可得到两队每日劳务费用； （2）分别用“每日劳务费+每日净利润”乘以各自的独立工期，算出单独聘请甲、乙两队的总花费，再比较两个总花费的大小，即可判断哪个成本更低． 【详解】（1）解：由题意列方程组为： ， 解得 ， 答：甲、乙两队每日劳务费用分别为元，元． （2）略 学科网（北京）股份有限公司 $