专题09 规律探索型【重难点培优：知识梳理+5大题型+压轴真题】2025-2026学年人教版七年级下册数学重难点培优专题专练

**基本信息** 聚焦规律探索，整合相交线与平行线、实数、坐标系、方程组四大模块，通过阶梯式题型培养抽象能力与推理意识，适配期末综合突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |相交线与平行线|5题|角度/交点/对顶角数量规律|基于平行线性质，从特殊图形归纳一般数量关系| |实数|9题|数阵/开方/算式规律|结合实数运算，探究数式结构与小数点移动规律| |坐标系|11题|点坐标循环/平移/排列规律|依托坐标系概念，分析点运动的周期性与递推关系| |方程组|5题|幻方/解的规律/格点面积|运用方程组思想，建立数与形的规律模型| |压轴真题|16题（选择/填空/解答）|跨模块综合规律探索|融合多知识点，强化复杂情境下的规律迁移与应用|

专题09 规律探索型 重难点题型分类 【题型1：相交线与平行线中的规律探索 1】 【题型2：实数中的规律探索 3】 【题型3：平面直角坐标系中的规律探索 7】 【题型4：二元一次方程组中的规律探索 10】 【题型5：压轴真题 14】 相交线与平行线中的规律探索 1．在同一平面内，有直线，已知，，，，…，按此规律下去，若，则的值可以是（　　） A．42 B．47 C．63 D．85 2．已知（，且为整数）条直线中只有两条直线平行，且任何三条直线都不交于同一个点．如图，当时，共有2个交点；当时，共有5个交点；当时，共有9个交点；…依此规律，当图中有条直线时，共有交点________个． 3．如图，平行线，被直线所截，分别作和的角平分线，交点记为；分别作和的角平分线，交点记为；分别作和的角平分线，交点记为，按此规律继续操作，则的度数为__________． 4．观察以下图形，寻找对顶角及邻补角．    (1)图（1）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (2)图（2）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (3)图（3）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (4)根据上面的规律，直线条数与对顶角对数之间的关系为∶若n条直线相交于一点，则可形成　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (5)若100条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？ 5．已知：（1），P为平行线内一点，请猜测、、的关系并说明理由． （2）若内部有两个点，，那么，和，又有怎样的数量关系（直接写出结果） （3）内部有n个点呢，你找到了怎样的规律？（直接写出结果） （4）若内部有n个点的位置这样变化，你找到了怎样的规律？（直接写出结果） 实数中的规律探索 1．如图所示为一个按某种规律排列的数阵． 根据数阵规律，第八行第十三个数是( ) A． B． C． D． 2．观察下列各式：，…，根据你发现的规律，若式子（a、b为正整数）符合以上规律，则的平方根是（    ）． A． B．4 C． D． 3．如下表，被开方数a和它的算术平方根的小数点位置移动符合一定的规律，根据规律可得m，n的值分别为（    ） a 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 625000 0.25 0.791 m n 25 79.1 250 791 A．， B．， C．， D．， 4．已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…，则按此规律可推得这一列数中的第个数是________． 5．观察一列无理数：，根据排列规律，知是这列无理数中的第_________数． 6．【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：； … 【规律发现】 （1）计算： ； ； （2）用字母表示出第个等式： ． 【规律应用】 （3）根据上述等式规律，化简：． 7．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… 规律发现： (1)根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①______； ②______． (2)用含（为正整数）的代数式表示出第个等式：______． (3)根据上述规律计算： 8．【实践探究】 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“运用规律求一个正数的算术平方根和立方根”的实践活动，同学们列出了表1中的算术平方根和表2中的立方根如下： 表1： x … 0.0064 0.64 64 6400 640000 … … 0.08 0.8 8 800 80 … 表2： x … 0.000064 0.064 64 64000 64000000 … … 0.04 0.4 4 40 400 … 【探索发现】 （1）根据上述探究，可以得到被开方数和它的算术平方根和立方根之间小数点的变化规律是：若被开方数的小数点向右或向左移动 位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动 位；若被开方数的小数点向右或向左移动 位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动 位． 【规律应用】 （2）请运用上述规律，解答下列问题： ①已知，则 ， ； ②若，求a， b的值． （参考数据：） （3）运用上述规律，你能根据的值求出的值吗？ 请说明理由． 9．学习《实数》之后，在数学活动课上，丁老师出示了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律： … 【实践探究】 （1）按照此规律，①计算：________； ②第n个式子是_______（用含n的式子表示，n是大于等于1整数）； （2）计算：； 【迁移应用】 （3）若符合上述规律，请求出x的值． 平面直角坐标系中的规律探索 1．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按一定的规律移动，依次得到点，，，，，，，，……，根据这个规律，则点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A从依次跳动到，，，，，，，，，，……，按此规律，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中所示排列，即 ，根据这个规律，第2027个点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，一动点从点出发，其顺序按图中“→”方向排列，依次为：，根据这个规律，第2026个点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．如图，将点向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点；将点向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点；将点向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点…按这个规律平移得到点，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，已知，，，；，，，．      （1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将变换成，则的坐标是______，的坐标是______． （2）若按（）找到的规律将进行了次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点有何变化，找出规律，推测的坐标是______，的坐标是______． 7．在平面直角坐标系中，一只小蛤蟆从原点O出发，第一次向上蹦到，第二次向右蹦到，第三次向下蹦到，第四次向右蹦到，第五次向上蹦到，…，按照此规律依次不间断蹦，每次蹦1个单位，其蹦的路线如图所示．那么按照上述规律，点的坐标是______． 8．如图，在平面直角坐标系，横、纵坐标均为整数的点按如下规律依序排列：，，，，，，，，，，，，，，…按这个规律，则是第________个点．    9．如图，在平面直角坐标系中，，将边长为1的若干正方形一边与轴重合按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的水平间距相等，且，则点的坐标为______． 10．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，…根据这个规律探究可得，第88个点的坐标为_______． 11．如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形变换成三角形，第二次将三角形，变换成三角形，第三次将三角形变换成三角形，已知，，，；，，，． (1)观察每次变换前后三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将三角形变换成，则点的坐标为 ，点的坐标为 ． (2)若按（1）题找到的规律，将三角形进行次变换，得到三角形，则点的坐标是 ，的坐标是 ． 二元一次方程组中的规律探索 1．观察下列方程组：，，，，， 若第方程组满足上述方程组的数字规律，则第方程组的解为______． 2．图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的幻方中也有类似于图1的数字之和的这个规律，则的值为_______． 3．按一定规律排列方程组和它的解的对应关系如下： ，，，．…… ，，，．…… (1)依据方程组和它的解的变化规律，将第4个方程组和它的解直接填入横线处． (2)猜想第n个方程组和它的解并验证． (3)若方程组的解是，求m的值，并判断该方程组是否符合（1）中的规律． 4．学习概念：由9个数字组成的一个三行三列的矩阵，其每一行、每一列和两条对角线的数字的和都相等，这就是三级幻方，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数． 探究规律： （1）图1是1~9组成的一个三级幻方，小洁根据图2推出下列四个关系式， ①；②；③；④； 请你用图1中的数验证上述四个式子，其中正确的有______； 应用规律 根据上面的规律，用方程组思想解答下面的问题： （2）如图3，若，求、的值，并把空格中的数填补出来． 5．【问题背景】图中，排列着一些横竖间隔都是1个单位的点，图A、B都是用直线段连接一些点构成的多边形（称为格点多边形），借助图形边上的点数、内部的点数就可以计算格点多边形的面积．请参照下面的探究过程，完成相应的问题． (1)【观察发现】当内部有1个点时，格点多边形边上的点数和面积统计如表． C D E F 边上的点数x 4 8 8 9 多边形面积S 2 4 4 请完成表格，并归纳S与x之间的关系式为：______． (2)当多边形内部有2个点时，在如图的格点图中，自己画两个格点多边形，然后将所画图形边上的点数和面积填写在下面的表格中． 图1 图2 边上的点数x 多边形面积S 归纳S与x之间的关系式为：______． (3)【规律总结】如果设格点多边形内部的点数为y，边上的点数为x，格点多边形的面积为S．试用含x，y的代数式表示S，并用所得规律求出【问题背景】中图形A的面积． (4)【拓展应用】一个格点多边形的面积为19，且边上的点数x是内部点数y的3倍，求出x与y的值．在图中，设计一个符合前面条件且具有轴对称特点的格点多边形． 图1 图2 边上的点数x 6 7 多边形面积S 4 4.5 压轴真题 一、单选题 1．（25-26七年级下·广东中山·月考）如图，长方形中，，第一次平移长方形沿的方向向右平移个单位，得到长方形，第次平移将长方形沿的方向向右平移个单位，得到长方形 ，第次平移将长方形沿的方向平移个单位，得到长方形，若的长度为，则的值为（    ） A．403 B．404 C．405 D．406 2．（25-26七年级上·福建三明·期中）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数），两种运算交替进行，取，则有，按此规律继续计算，则第2025次“F”运算的结果是（   ） A．1 B．3 C．4 D．16 3．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）已知整数满足下列条件：，以此类推，则的值为（　　） A．2024 B．2026 C．1012 D．1013 4．（25-26九年级上·湖南衡阳·月考）将1、、三个数按如图所示方式排列，若规定表示第a排第b列的数，则与表示的两个数的积是（   ） A． B． C．3 D．1 5．（25-26八年级上·河南周口·月考）某计算器中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能． ①：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；②：将屏幕显示的数变成它的倒数；③：将屏幕显示的数变成它的平方． 小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键． 若开始输入的数据为10，那么第2026步之后，显示的结果是（    ） A．0.01 B．0.1 C． D．100 6．（2025·浙江·模拟预测）对于正整数n，符号，例如：，，如果，那么 (     ) A． B．1 C． D．2 7．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，动点从点出发，以每秒3个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点从点出发，以每秒2个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2026次相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·山东日照·期末）在教材综合与实践“确定匀质薄板的重心位置”中，我们发现：如图，把一个平面组合“L”形图形分割成甲、乙两部分，以点B为坐标原点．“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．若，，，，则此“L”形的重心坐标为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，， ，按此规律，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发按图中箭头所示方向运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，第6次运动到点，…，按这样的运动规律，经过2025次运动后，动点的坐标是（    ） A． B． C． D． 11．（2025·重庆·模拟预测）若，其中均为自然数，为正整数，满足，且对于任意的正整数，均有，则下列说法正确的个数是（   ） ①若，则n的最小值与最大值的和为6； ②若不仅为自然数，也可以为负整数，当时， ，当为奇数时， 当为偶数时，，则； ③若M满足，则这样的整式有个． A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 12．（25-26七年级上·湖南株洲·期中）一个四位正整数满足千位上的数字与个位上的数字之和为9，百位上的数字与十位上的数字之和为9，则称为“九九数”．例如：四位正整数2457，是“九九数”．若“九九数”能被11整除，那么满足条件的的最大值与最小值之差为 ． 13．（2026七年级下·全国·专题练习）小可在纸上画了25条直线，，…，．若，，，，…．照此规律，则与的位置关系为 ． 14．（25-26八年级上·四川成都·期末）有人在数轴上按照如图所示的方法“画出”了 按照这个方法继续画下去，画出的第2026个无理数是 ． 三、解答题 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，，，…，．定义：，，，…． (1)由上可知：___________，___________． (2)按此规律类推，试猜想的值，并证明你的猜想． 16．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如我们把记作，读作“2的3次商”．记作，读作“的4次商”．一般地，我们把个相除记作，读作“的次商”． 我们知道，有理数的除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化乘方运算呢？例：． (1)仿照上面的算式，请你尝试将下列各式写成乘方（幂）的形式： ①； ②． (2)想一想：将一个非零有理数的次商写成幂的形式等于______； (3)算一算： 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 规律探索型 重难点题型分类 【题型1：相交线与平行线中的规律探索 1】 【题型2：实数中的规律探索 7】 【题型3：平面直角坐标系中的规律探索 15】 【题型4：二元一次方程组中的规律探索 24】 【题型5：压轴真题 31】 相交线与平行线中的规律探索 1．在同一平面内，有直线，已知，，，，…，按此规律下去，若，则的值可以是（　　） A．42 B．47 C．63 D．85 【答案】D 【分析】本题考查平面内直线位置关系中的规律探究，根据题意，得到（为自然数），，，，再进行判断即可． 【详解】解：∵，，，，…， ∴ ∴从直线开始每条直线与的位置关系依次：两条与垂直，两条与平行，再两条与垂直，两条与平行，…，即每两条变化一次位置关系，4条一个循环， ∴（为自然数），，，， 因为，，，， ∴若，则的值可以是85， 故选D． 2．已知（，且为整数）条直线中只有两条直线平行，且任何三条直线都不交于同一个点．如图，当时，共有2个交点；当时，共有5个交点；当时，共有9个交点；…依此规律，当图中有条直线时，共有交点________个． 【答案】 【分析】首先通过观察图形，找到交点个数与直线条数之间的规律，然后列出n 条直线时，交点个数关于n的代数式即可. 【详解】∵当n=3时，每增加一条直线，交点的个数就增加n−1. 即：当n=3时，共有2个交点； 当n=4时，共有5个交点； 当n=5时，共有9个交点；…， ∴n条直线共有交点2+3+4+…+(n−1)= 个. 故答案为：. 【点睛】本题考查了相交线.解题的关键是，仔细观察图形，发现规律. 3．如图，平行线，被直线所截，分别作和的角平分线，交点记为；分别作和的角平分线，交点记为；分别作和的角平分线，交点记为，按此规律继续操作，则的度数为__________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，数字类规律探究；根据题意得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，    ∵， ∴，， 又∵是和的角平分线， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴； 故答案为：． 4．观察以下图形，寻找对顶角及邻补角．    (1)图（1）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (2)图（2）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (3)图（3）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (4)根据上面的规律，直线条数与对顶角对数之间的关系为∶若n条直线相交于一点，则可形成　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (5)若100条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？ 【答案】(1)2，4 (2)6，12 (3)12，24 (4) (5)可形成9900对对顶角；19800对邻补角 【分析】本题考查有规律性的数学问题，关键是由特殊情况总结出一般规律．由特殊情况总结出一般规律，应用规律即可求解． （1）根据图形直接得出答案即可； （2）根据图形直接得出答案即可； （3）根据图形直接得出答案即可； （4）由特殊情况总结出一般规律； （5）再由（4）得出的规律进行解答即可． 【详解】（1）图①中共有2对对顶角，4对邻补角， 故答案为：2，4； （2）图②中共有6对对顶角，12对邻补角， 故答案为：6，12； （3）图③中共有12对对顶角，24对邻补角， 故答案为：12，24； （4）根据上面的规律，直线条数与对顶角对数之间的关系为：若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角．对邻补角， 故答案为：，； （5）若100条直线相交于一点，则可形成9900对对顶角，19800对邻补角， 5．已知：（1），P为平行线内一点，请猜测、、的关系并说明理由． （2）若内部有两个点，，那么，和，又有怎样的数量关系（直接写出结果） （3）内部有n个点呢，你找到了怎样的规律？（直接写出结果） （4）若内部有n个点的位置这样变化，你找到了怎样的规律？（直接写出结果） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了平行线的性质，以及规律的探索，解题的关键是掌握平行线的性质，正确作出辅助线，注意：两直线平行，同旁内角互补． （1）过点P作，利用平行线的性质得到，，进而求解即可； （2）过点作，过点作，根据平行线的性质得到，，，进而求解即可； （3）利用（1）（2）中的结论，找出规律，求解即可； （4）利用（1）（2）中的方法求出和之间有一个点和2个点时和，的关系，进而找到规律求解即可． 【详解】如图所示，过点P作， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）如图所示，过点作，过点作， ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴ ∴； （3）由（1）（2）可得， 当和之间有一个点P时，； 当和之间有两个点，时，； ∴当和之间有n个点时， ； （4）当和之间有一个点P时，如图所示， 同（1）可得，； 和之间有两个点，时，如图所示， 同（2）可得，； ∴若内部有n个点时， ． 实数中的规律探索 1．如图所示为一个按某种规律排列的数阵． 根据数阵规律，第八行第十三个数是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字的变化规律，根据数字的变化找出规律求值是解本题的关键．找出规律，计算求值即可． 【详解】解：第一行有个数， 第二行有个数， 第三行有个数， ， 第行有个数， 前行包含第行数的总个数为：， 第八行数的个数为：， 前八行包含第八行数的总个数为：， 根据规律，可知第八行的最后一个数为：， ，， 第八行第十三个数是 故选：D． 2．观察下列各式：，…，根据你发现的规律，若式子（a、b为正整数）符合以上规律，则的平方根是（    ）． A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查与实数规律有关的计算，根据已知等式，得到，进而求出的值，再进行求解即可． 【详解】解：∵，…， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是； 故选D． 3．如下表，被开方数a和它的算术平方根的小数点位置移动符合一定的规律，根据规律可得m，n的值分别为（    ） a 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 625000 0.25 0.791 m n 25 79.1 250 791 A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据算术平方根的定义解决此题． 【详解】解：由题意得：从0.0625开始，小数点每向右移动两位，对应算术平方根扩大10倍， 从0.625开始，小数点每向右移动两位，对应算术平方根扩大10倍， ∴可得：6.25的算术平方根为2.5,62.5的算术平方根约为7.91， 故选B． 【点睛】本题主要考查数字类规律探索，算术平方根，熟练掌握原数和平方根的变化规律是解决本题的关键． 4．已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…，则按此规律可推得这一列数中的第个数是________． 【答案】 【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，从而可以得到这一列数中的第2023个数． 【详解】解：一列实数：，，，，，，，，，，… 这些数每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根， 这一列数中的第个数应是， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查实数的规律探索，解题的关键是根据已知的式子发现规律求解． 5．观察一列无理数：，根据排列规律，知是这列无理数中的第_________数． 【答案】1979 【分析】本题考查无理数，新建一列数，找出其中有理数的个数，即可求解． 【详解】解：新建一列数：，共有2022个数， ，， 该列数中包括有理数：，个数为：， ， 无理数列中，是这列无理数中的第1979个数， 故答案为：1979． 6．【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：； … 【规律发现】 （1）计算： ； ； （2）用字母表示出第个等式： ． 【规律应用】 （3）根据上述等式规律，化简：． 【答案】（1）6，17；（2）；（3）110 【分析】本题考查了算术平方根、数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）先计算乘法与加法，再计算算术平方根即可得； （2）根据第①④个等式归纳类推出一般规律即可得； （3）根据上述规律化简，再计算加法即可得． 【详解】解：（1）；， 故答案为：6；17． （2）第①个等式：，即； 第②个等式：，即； 第③个等式：，即； 第④个等式：，即； 归纳类推得：第个等式：， 故答案为：． （3） ． 7．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… 规律发现： (1)根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①______； ②______． (2)用含（为正整数）的代数式表示出第个等式：______． (3)根据上述规律计算： 【答案】(1)①4；②100 (2) (3) 【分析】本题考查了算术平方根、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）①根据已知算式得出规律，即可得出答案；②根据已知算式得出规律，即可得出答案； （2）根据已知算式得出规律，即可得出答案； （3）根据，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：①由题意得：； ②； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 第个等式：； （3）解： ． 8．【实践探究】 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“运用规律求一个正数的算术平方根和立方根”的实践活动，同学们列出了表1中的算术平方根和表2中的立方根如下： 表1： x … 0.0064 0.64 64 6400 640000 … … 0.08 0.8 8 800 80 … 表2： x … 0.000064 0.064 64 64000 64000000 … … 0.04 0.4 4 40 400 … 【探索发现】 （1）根据上述探究，可以得到被开方数和它的算术平方根和立方根之间小数点的变化规律是：若被开方数的小数点向右或向左移动 位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动 位；若被开方数的小数点向右或向左移动 位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动 位． 【规律应用】 （2）请运用上述规律，解答下列问题： ①已知，则 ， ； ②若，求a， b的值． （参考数据：） （3）运用上述规律，你能根据的值求出的值吗？ 请说明理由． 【答案】（1）2，1；3，1；（2）①17.32，0.1442，②，；（3）不能，理由见解析 【分析】（1）根据表格中的数据变化总结算术平方根和立方根的规律即可； （2）①根据（1）中的算术平方根和立方根的规律求解即可； ②根据（1）中的算术平方根和立方根的规律可得，，即可求解； （3）根据根据（1）中的算术平方根和立方根的规律求解即可． 【详解】解：（1）由表格可得，若被开方数的小数点向右或向左移动2位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动1位；若被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位， 故答案为：2，1；3，1； （2）①∵， ∴，， 故答案为：17.32，0.1442； ②∵，， ∴，， ∴，， 故答案为：200，0.8879； （3）∵， ∴，， ∴不能求出的值． 【点睛】本题考查数字规律型、算术平方根的定义、立方根的定义，根据题意总结一个数的算术平方根、立方根的小数点与被开方数的小数点的移动变化规律是解题的关键． 9．学习《实数》之后，在数学活动课上，丁老师出示了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律： … 【实践探究】 （1）按照此规律，①计算：________； ②第n个式子是_______（用含n的式子表示，n是大于等于1整数）； （2）计算：； 【迁移应用】 （3）若符合上述规律，请求出x的值． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【分析】本题考查了算术平方根，数字的变化类，掌握相应的运算法则是关键． （1）根据题干所给式子进行计算，并得出规律即可得解； （2）根据题干所给式子得出规律计算即可； （3）利用（1）中得出的规律，计算即可得解． 【详解】解：（1）①第1个：， 第2个：， 第3个：， 第4个：， ②第n个：， 故答案为：；； （2）、 ； （3）符合上述规律， ， 平面直角坐标系中的规律探索 1．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按一定的规律移动，依次得到点，，，，，，，，……，根据这个规律，则点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先观察平面直角坐标系中坐标的数据，可知、、、……横纵坐标相同，总结出规律，得出纵坐标，然后找出和，和，和，和……横坐标相差的数之间的规律，得出横坐标，即可得解． 【详解】解：根据平面直角坐标系中坐标的数据，可得出 、、、……横纵坐标相同，规律为， ∴的横纵坐标为：， ∴的纵坐标为， ∵和，和，和，和……横坐标相差的数规律是， ∴的横坐标为， ∴的坐标为，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点的规律，解题的关键是找出点的坐标的一般规律． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A从依次跳动到，，，，，，，，，，……，按此规律，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标规律探究，根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由图象与点坐标可知，每跳动10次，点的横坐标增加4，纵坐标按0，1，1，0，0，3，3，0，，循环出现，由，可得，求解作答即可． 【详解】解：由题意知：每跳动10次，点的横坐标增加4，纵坐标按0，1，1，0，0，3，3，0，，循环出现， ， ， 即， 故选：A． 3．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中所示排列，即 ，根据这个规律，第2027个点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标的规律变化，根据图形，观察不难发现，点的个数按照平方数的规律变化，并且横坐标是奇数时，纵坐标逐渐变小，横坐标是偶数时，纵坐标逐渐变大，然后求出与2027最接近的平方数，求解即可． 【详解】解：∵， ∴第2025个点的横坐标为45， ∵， ∴第2027个点在第2026个点的正上方1个单位处， ∴第2027个点的坐标为． 故选：C． 4．如图，在平面直角坐标系中，一动点从点出发，其顺序按图中“→”方向排列，依次为：，根据这个规律，第2026个点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察图形中点的坐标变化规律，发现每4个点为一个循环组，且每组的最后一个点都在轴上．通过计算确定第2026个点所在的组数及位置，结合偶数组结束点的纵坐标规律及奇数组的起始移动规律进行推导． 【详解】解：观察图形可知，点的运动每4个为一组，且每组的最后一个点（即第个点）都在轴上． 第4个点坐标为， 第8个点坐标为， 第12个点坐标为， 第16个点坐标为， 归纳可得第个点的坐标规律：当为奇数时，坐标为；当为偶数时，坐标为． ， 第2026个点位于第507组的第2个位置． 先求第506组结束时的点（即第2024个点），此时为偶数， 第2024个点的坐标为， 即． 观察图形可知，偶数编号组结束后，下一组（奇数编号组）的起始点（第个点）是向下平移1个单位， 第2025个点的坐标为． 又奇数编号组（第1，3，组）的第2个点是由起始点向右平移组号数个单位（第1组右移1，第3组右移3，）， 第507组的第2个点（即第2026个点）是由第2025个点向右平移507个单位， 第2026个点的横坐标为，纵坐标为， 即坐标为． 5．如图，将点向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点；将点向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点；将点向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点…按这个规律平移得到点，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，由此得到点的横坐标为，解答即可． 本题考查了坐标的平移，坐标的规律，求和，熟练掌握规律发现求和方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为， 由此得到点的横坐标为， 设， 故 下式减去上式，得 故横坐标为． 故选：B． 6．如图，在直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，已知，，，；，，，．      （1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将变换成，则的坐标是______，的坐标是______． （2）若按（）找到的规律将进行了次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点有何变化，找出规律，推测的坐标是______，的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，坐标规律，仔细观察图形中点的横坐标的变化并熟悉的指数次幂是解题的关键． （）根据规律直接写出结论； （）由题可得，点的规律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是4；点坐标规律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0，再写出，的坐标即可． 【详解】（）解：∵，，，， ∴的横坐标为：，纵坐标为：， ∴点的坐标为：， 又∵，，，， ∴的横坐标为：，纵坐标为：， ∴点的坐标为：， 故答案为：，； （）解：由，，，，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是， 故的坐标为：， 由，，，，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是， 故的坐标为：， 故答案为：，． 7．在平面直角坐标系中，一只小蛤蟆从原点O出发，第一次向上蹦到，第二次向右蹦到，第三次向下蹦到，第四次向右蹦到，第五次向上蹦到，…，按照此规律依次不间断蹦，每次蹦1个单位，其蹦的路线如图所示．那么按照上述规律，点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，根据图象得出每移动4次图象完成一个循环，结合得出点在第个循环的第4个点的位置，即纵坐标与的相同，为，再根据，，，……，得出，求出的坐标是，即可得解． 【详解】解：由题意得：，，，，，，，，……， ∴每移动4次图象完成一个循环， ∵， ∴点在第个循环的第4个点的位置，即纵坐标与的相同，为， ∵，，，……， ∴， ∴的坐标是， 故答案为：． 8．如图，在平面直角坐标系，横、纵坐标均为整数的点按如下规律依序排列：，，，，，，，，，，，，，，…按这个规律，则是第________个点．    【答案】99 【分析】先根据点的坐标，找出规律，再计算求解． 【详解】解：横纵坐标和是0的有1个点， 横纵坐标和是1的有2个点， 横纵坐标和是2的有3个点， 横纵坐标和是3的有4个点， ， 横纵坐标和是的有个点， ， ， 横纵坐标和是13的有14点，分别为：、、、、、、、、、、、、、、 是第个点， 故答案为：99． 【点睛】本题考查了点的坐标，找到坐标的排列规律是解题的关键． 9．如图，在平面直角坐标系中，，将边长为1的若干正方形一边与轴重合按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的水平间距相等，且，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据横坐标，纵坐标的变化规律，每8个点看作一次循环，再根据点在第253个循环中的第7个点的位置，即可得出点的坐标． 【详解】解：由图及题意可得，第一个正方形中，， 各点的横坐标依次为1，1，2，2，纵坐标依次为0，1，1，0； 第二个正方形中，， 各点的横坐标依次为3，3，4，4，纵坐标依次为0，，，0； 根据纵坐标的变化规律可知，每8个点一次循环， ∵， ∴点在第253个循环中的第7个点的位置，故其纵坐标为， 又∵的横坐标为4，的横坐标为8，的横坐标为12， …， ∴的横坐标为， ∴点的坐标为． 10．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，…根据这个规律探究可得，第88个点的坐标为_______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标的规律问题． 根据题意找出规律，进而根据规律作答即可． 【详解】解：把第一个点作为第一列，，作为第二列， 依此类推，则第一列有一个数，第二列有2个数， 第n列有n个数．则前n列共有个数，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上． 因为， 则第88个点在第13列，由上到下是第10个数． 因而第个点的坐标是． 故答案为：． 11．如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形变换成三角形，第二次将三角形，变换成三角形，第三次将三角形变换成三角形，已知，，，；，，，． (1)观察每次变换前后三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将三角形变换成，则点的坐标为 ，点的坐标为 ． (2)若按（1）题找到的规律，将三角形进行次变换，得到三角形，则点的坐标是 ，的坐标是 ． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】（1）根据题意得出A、B点横纵坐标变化规律，进而得出答案； （2）结合（1）中发现规律得出一般公式即可． 【详解】（1）解：，，； 点横坐标为，纵坐标依次为：2，，， 的纵坐标为：， ， ，，， 点横坐标为0，纵坐标依次为：，，， 的纵坐标为：， ， 点的坐标为，点的坐标为； （2）（2）由（1）得出：，， 点的坐标是，的坐标是． 【点睛】此题考查了规律型：点的坐标，根据题意得出A、B点横纵坐标变化规律是解题关键． 二元一次方程组中的规律探索 1．观察下列方程组：，，，，， 若第方程组满足上述方程组的数字规律，则第方程组的解为______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，数字规律，解二元一次方程组，根据方程组，找出系数和常数项存在的规律，依此类推，即可得到第方程组为，然后解方程组即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由， ， ， ， 则第方程组为， 解得：， 故答案为：． 2．图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的幻方中也有类似于图1的数字之和的这个规律，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，首先由，得到每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，且等于中间的数的3倍，然后在图3的“九宫格”中，第一行相加为：，设第二行中间的数为，则可列出关于的一元一次方程，进而求得的值． 【详解】解：∵， ∴每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，且等于中间的数的3倍， 依题意，第一行相加为： ∴， ∴ 设第二行中间的数为，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 3．按一定规律排列方程组和它的解的对应关系如下： ，，，．…… ，，，．…… (1)依据方程组和它的解的变化规律，将第4个方程组和它的解直接填入横线处． (2)猜想第n个方程组和它的解并验证． (3)若方程组的解是，求m的值，并判断该方程组是否符合（1）中的规律． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，它不符合（1）中的规律 【分析】本题考查规律探索，观察方程组，探索出方程未知数系数、常数与解的关系是解题的关键． （1）根据已知的方程组，观察方程未知数系数、常数与解的关系，确定第4个方程组，求解即可； （2）通过观察，知第n个方程组及其解，将解代入方程组验证； （3）将解代入方程求得参数值，故可知本方程组不符合规律． 【详解】（1）解：解方程组，得； （2）解：猜想第n个方程组为，解为， 验证如下： 把代入得，， 所以成立； （3）解：将代入，解得， 即方程组为，所以它不符合（1）中的规律． 4．学习概念：由9个数字组成的一个三行三列的矩阵，其每一行、每一列和两条对角线的数字的和都相等，这就是三级幻方，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数． 探究规律： （1）图1是1~9组成的一个三级幻方，小洁根据图2推出下列四个关系式， ①；②；③；④； 请你用图1中的数验证上述四个式子，其中正确的有______； 应用规律 根据上面的规律，用方程组思想解答下面的问题： （2）如图3，若，求、的值，并把空格中的数填补出来． 【答案】（1）①②③；（2），．表见解析 【分析】本题考查规律型问题，幻方图等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题． （1）根据有理数的运算法则计算即可解决问题． （2）由幻方的性质求得，再根据题意求得，；再根据规律以及，列方程组求解即可． 【详解】解：（1）①，；①正确； ②，；②正确； ③，；③正确； ④，；④不正确； 故答案为：①②③； （2）根据题意得， ， ； ，即， ∵， ∴，解得， ∴． 填表： 4 9 8 11 7 3 6 5 10 5．【问题背景】图中，排列着一些横竖间隔都是1个单位的点，图A、B都是用直线段连接一些点构成的多边形（称为格点多边形），借助图形边上的点数、内部的点数就可以计算格点多边形的面积．请参照下面的探究过程，完成相应的问题． (1)【观察发现】当内部有1个点时，格点多边形边上的点数和面积统计如表． C D E F 边上的点数x 4 8 8 9 多边形面积S 2 4 4 请完成表格，并归纳S与x之间的关系式为：______． (2)当多边形内部有2个点时，在如图的格点图中，自己画两个格点多边形，然后将所画图形边上的点数和面积填写在下面的表格中． 图1 图2 边上的点数x 多边形面积S 归纳S与x之间的关系式为：______． (3)【规律总结】如果设格点多边形内部的点数为y，边上的点数为x，格点多边形的面积为S．试用含x，y的代数式表示S，并用所得规律求出【问题背景】中图形A的面积． (4)【拓展应用】一个格点多边形的面积为19，且边上的点数x是内部点数y的3倍，求出x与y的值．在图中，设计一个符合前面条件且具有轴对称特点的格点多边形． 【答案】(1)4.5， (2)图见解析，表格见解析， (3)， (4)，图见解析 【分析】（1）由表格的特殊情况找出规律即可得出结论； （2）先按要求画出图形，再由特殊情况找出规律即可得出结论； （3）由（1）（2）得出规律，再用规律求出图形A的面积即可； （4）先根据格点多边形的面积为19，且边上的点数x是内部点数y的3倍，列出方程求出x与y的值，再设计符合条件且具有轴对称特点的格点多边形即可． 【详解】（1）观察表格，当时，； 当时，； ∴多边形的面积＝边上的点数的一半，即， ∴当时，， 故答案是：4.5，； （2） （答案不唯一） 图1 图2 边上的点数x 6 7 多边形面积S 4 4.5 观察表格，当时，； 当时，； ∴多边形的面积＝边上的点数的一半加上1，即， 故答案是：6，7，4，4.5（答案不唯一）； （3）设格点多边形内部的点数为y，边上的点数为x，则格点多边形的面积为， ∵A图形中，，， ∴， 即A图形中的面积为11.5； （4）由题意，得， 解之得． 设计一个符合前面条件且具有轴对称特点的格点多边形如图所示， （答案不唯一） 【点睛】本题主要考查图形规律和应用，一元二次方程组的解法，解题的关键是观察图形，由特殊情况总结规律，并能灵活应用规律解决问题． 压轴真题 一、单选题 1．（25-26七年级下·广东中山·月考）如图，长方形中，，第一次平移长方形沿的方向向右平移个单位，得到长方形，第次平移将长方形沿的方向向右平移个单位，得到长方形 ，第次平移将长方形沿的方向平移个单位，得到长方形，若的长度为，则的值为（    ） A．403 B．404 C．405 D．406 【分析】此题主要考查了平移的性质以及一元一次方程的应用，根据平移的性质得出平移间距离的规律是解题关键． 根据平移的性质得出，，，进而求出和的长，然后根据所求得出数字变化规律，进而得出求出n即可． 【详解】解： ，第1次平移将长方形沿的方向向右平移5个单位，得到长方形，第2次平移将长方形沿的方向向右平移5个单位，得到长方形… ，，， ， 的长为：； ，， ， 解得：． 故选：A． 2．（25-26七年级上·福建三明·期中）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数），两种运算交替进行，取，则有，按此规律继续计算，则第2025次“F”运算的结果是（   ） A．1 B．3 C．4 D．16 【分析】本题考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，能通过计算发现从第5次“F”运算的结果开始，后面的第奇数次“F”运算输出的结果都是1，第偶数次“F”运算输出的结果都是4是解题的关键．根据题意，依次求出第1，2，3，4，…，次“F”运算的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题意知， ∵， ∴第1次“F”运算的结果为3，第2次“F”运算的结果为10，第3次“F”运算的结果为5，第4次“F”运算的结果为16，第5次“F”运算的结果为1，第6次“F”运算的结果为4，第7次“F”运算的结果为1，……， 由此可知，从第5次“F”运算的结果开始，后面的第奇数次“F”运算输出的结果都是1，第偶数次“F”运算输出的结果都是4， ∵2025是奇数， ∴2025次“F”运算的结果为1． 故选：A． 3．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）已知整数满足下列条件：，以此类推，则的值为（　　） A．2024 B．2026 C．1012 D．1013 【分析】本题主要考查了数字类规律的探索，有理数的混合运算，求一个数的绝对值，解题的关键是找出规律． 根据给定示例，找出运算规律，然后直接代入公式计算即可． 【详解】解：∵, , , , , , ... ∴ 当n为偶数时，；当n为奇数时，． ∵ 2025是奇数， ∴ ． 故选：C． 4．（25-26九年级上·湖南衡阳·月考）将1、、三个数按如图所示方式排列，若规定表示第a排第b列的数，则与表示的两个数的积是（   ） A． B． C．3 D．1 【分析】考查知识点：找规律（循环规律、数列求和）、二次根式的乘法运算．解题思想与方法：归纳推理思想，通过分析排列的循环规律和数列求和确定数的位置，再利用二次根式乘法法则计算乘积．解题关键：准确计算某一位置对应的总数字个数，结合循环节长度确定具体数字；明确列数的计数方向（从右往左）．易错点：列数的计数方向容易混淆（误将从左往右计数）；计算总数字个数时数列求和公式应用错误；确定循环节对应数字时余数分析失误． 要解决此题，可按以下步骤进行： 1.确定循环规律：观察到数的排列以1, ,为循环节，每3个数重复一次． 2.计算总数字个数：对于第a排第b列的数，需先计算前排的总数字个数（利用等差数列求和公式，再加上b得到该数的总序号． 3.确定循环节中的数字：用总序号除以循环节长度3，根据余数判断数字（余数为0对应循环节第3个，余数为1对应第1个，余数为2对应第2个）． 4.计算两数的积：根据二次根式乘法法则（此处时，）得出结果． 以为例，前7排总个数为，总序号为，无余数，对应；以为例，总序号为，除以3无余数，对应，最终积为3．． 【详解】数的循环节：1, ,． 排与数的关系：第a排有a个数，列数从右往左计数． 计算前7排的总数字个数：． 第8排第2列的数是第个数．     （无余数），对应循环节第3个数：． 第2025排第2025列的数，是前2024排的总个数加2025，即： 计算其与循环节长度3的关系： 结果为整数，说明对应循环节第3个数：． ． 故选：C． 5．（25-26八年级上·河南周口·月考）某计算器中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能． ①：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；②：将屏幕显示的数变成它的倒数；③：将屏幕显示的数变成它的平方． 小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键． 若开始输入的数据为10，那么第2026步之后，显示的结果是（    ） A．0.01 B．0.1 C． D．100 【分析】本题主要结合计算器的使用考查规律，根据题中的按键顺序确定出显示的数的规律，即可得出结论，找到规律是解题的关键． 分别求出第1，2，3，4，5，6步的结果，进而得出规律，根据规律确定答案即可． 【详解】解：根据题意可得： 第1步：；第2步：；第3步：； 第4步：；第5步：；第6步：； 第7步：；第8步：…… ∵显示的数是六步一个循环， ∴， ∴第2026步之后荧幕显示的数与第四步相同，显示的结果是， 故选：A． 6．（2025·浙江·模拟预测）对于正整数n，符号，例如：，，如果，那么 (     ) A． B．1 C． D．2 【分析】本题考查了新定义，涉及有理数的运算，数字类规律等知识点，难度较大，熟练掌握各知识点是解题的关键． 先确定末尾有4个0，再确定能被9整除，则各个数字之和也能被9整除，即可求解． 【详解】解：在中，的倍数有共4个，因此中，末尾共有4个0，故； ∵中的因数有9， ∴能被9整除，其各位数字之和也能被9整除， ∴是9的倍数，即， ∴， 故选：A． 7．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，动点从点出发，以每秒3个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点从点出发，以每秒2个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2026次相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中坐标的规律问题，掌握点的运动规律，行程问题中的相遇问题的计算方法是解题的关键． 运用行程问题中的相遇问题，根据矩形的周长，确定每次相遇时点的坐标，从而找出规律，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，四边形周长为， 如图，设与轴交于点，与轴交于点，与轴交于点，与轴交于点， ∴，，，， 设点、运动时间为秒， 由题意得，点、第1次相遇时，，解得（秒），则相遇点为， ∵第1次相遇后，点从点按逆时针方向出发，每秒3个单位做环绕运动， 点从点按顺时针方向出发，每秒2个单位做环绕运动，且每次相遇后都按此进行运动， ∴，解得（秒），即每2秒相遇1次，点运动6个单位，点运动4个单位， ∴第2次相遇在点，第3次相遇在点，第4次相遇在点，第5次相遇在点，第6次相遇在点，， ∴每5次相遇点重合一次， ∴， ∴第2026次相遇点的坐标是． 故选：A． 8．（25-26八年级上·山东日照·期末）在教材综合与实践“确定匀质薄板的重心位置”中，我们发现：如图，把一个平面组合“L”形图形分割成甲、乙两部分，以点B为坐标原点．“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．若，，，，则此“L”形的重心坐标为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点坐标的运用．根据题意分别算出，，，，结合重心坐标的计算方法代入计算即可． 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∵以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系， ∴， ∵四边形和都是长方形，点是对角线的交点， ∴，即， ，即， ∴“L”形的重心坐标的计算如下， ，， ∴， 故选：A． 9．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，， ，按此规律，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了图形的坐标变化规律问题，由图可知，从开始，每四个点一次循环，其中点为每次循环的起点，每经过一次循环，起点的横坐标减，纵坐标加，点到点刚刚好经过四次循环，据此解答即可求解，找出点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：由图可知，从开始，每四个点一次循环，其中点为每次循环的起点， 由坐标变化规律可知，每经过一次循环，起点的横坐标减，纵坐标加， ∵，即点到点刚刚好经过四次循环， 又∵， ∴，即， 故选：． 10．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发按图中箭头所示方向运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，第6次运动到点，…，按这样的运动规律，经过2025次运动后，动点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【分析】此题主要考查了点的坐标规律，找出规律是解题的关键． 分析前几次的点的坐标，可得次一循环，进而得出次后点的坐标，即可求解． 【详解】解：第次从原点运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，…… 每次后纵坐标为，横坐标加 ∴经过次运动横坐标为， 经过次运动纵坐标为， ∴经过第次运动后，动点的坐标是， 故选：C． 11．（2025·重庆·模拟预测）若，其中均为自然数，为正整数，满足，且对于任意的正整数，均有，则下列说法正确的个数是（   ） ①若，则n的最小值与最大值的和为6； ②若不仅为自然数，也可以为负整数，当时， ，当为奇数时， 当为偶数时，，则； ③若M满足，则这样的整式有个． A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据多项式的定义，代数式求值，整式的规律探索，不等式的定义，熟练掌握题中多项式的关键信息是解题的关键．根据定义分别得出最小值与最大值即可判断①；分别令，，即可求出和，即可判断②；利用最小为，此时最小为，最小为，结合，得最小为，即，又（因为系数 ），得，则，，，再分别讨论和即可． 【详解】解：要使最小， 则，此时多项式为； 要使最大， ∵对于任意的正整数，均有， ∴相邻系数的差取最小值， ∵， 从开始，依次取，，，，， ∴此时多项式为，； ∴的最小值与最大值的和为， 故说法①正确； 对于， 首先，令，将其代入多项式中， 得， ∴． ∴ ． 令，代入多项式中， 得到 ． 当为奇数时，， ∴， ∴； 当为偶数时，， ∴， ∴ ． 最后，计算的值为，故说法②正确； ∵最小为，对于任意的正整数n，均有， ∴最小为，最小为， ∵， ∴最小为，即， ∵（因为系数 ）， ∴， ∴，，， 则当时， ∵，， ∴， 共个； 当时， ∵，， ∴， 共个； 当时， ∵，， ∴， 共个； 当时， ∵，， ∴， 共个； ∴共有（个）， 故命题③正确． 故选：D． 二、填空题 12．（25-26七年级上·湖南株洲·期中）一个四位正整数满足千位上的数字与个位上的数字之和为9，百位上的数字与十位上的数字之和为9，则称为“九九数”．例如：四位正整数2457，是“九九数”．若“九九数”能被11整除，那么满足条件的的最大值与最小值之差为 ． 【分析】此题考查了数字类规律，二元一次方程的解． 设“九九数”M千位上数字为a，则个位上的数字为，百位上的数字为b，则十位上的数字为，，则，若“九九数”M能被11整除，则能别11整除，再进行分析即可得到答案． 【详解】解：设“九九数”M千位上数字为a， 则个位上的数字为，百位上的数字为b，则十位上的数字为，， 则 若“九九数”M能被11整除，则能别11整除， 则设， ∵， ∴， ∴，则且为整数， 当时，M取得最小值，此时，M取得最小值为， 当时，M取得最大值，此时，M取得最大值为， ∴M的最大值与最小值之差为． 故答案为：． 13．（2026七年级下·全国·专题练习）小可在纸上画了25条直线，，…，．若，，，，…．照此规律，则与的位置关系为 ． 【分析】此题考查了平行线与垂线的关系，注意找到规律：四个一循环，是解此题的关键. 首先根据题意判断与，，，的关系，即可得到规律：四个一循环，即可求解. 【详解】解：， ， ， ， ， ， 同理可得：，其中或与或可能重合， 与的位置关系为平行或重合. 故答案为：平行或重合. 14．（25-26八年级上·四川成都·期末）有人在数轴上按照如图所示的方法“画出”了 按照这个方法继续画下去，画出的第2026个无理数是 ． 【分析】本题考查了无理数，由于有理数仅出现在被开方数为完全平方数的项，通过计算前2025个数中有理数的个数为45个，可得第2026个无理数对应的被开方数． 【详解】解：， 当（为正整数）时，为有理数， ，，，， 第个无理数是，第个无理数是． 故答案为：． 三、解答题 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，，，…，．定义：，，，…． (1)由上可知：___________，___________． (2)按此规律类推，试猜想的值，并证明你的猜想． 【分析】本题主要考查了实数的有关运算、数字变化的规律，能根据题意发现的变化规律是解题的关键． （1）分别求出，，根据定义即可求出，； （2）根据的规律猜想出的表达式，再利用裂项相消法证明该猜想． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：，． （2）猜想：． 证明如下： ． 16．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如我们把记作，读作“2的3次商”．记作，读作“的4次商”．一般地，我们把个相除记作，读作“的次商”． 我们知道，有理数的除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化乘方运算呢？例：． (1)仿照上面的算式，请你尝试将下列各式写成乘方（幂）的形式： ①； ②． (2)想一想：将一个非零有理数的次商写成幂的形式等于______； (3)算一算： 【分析】（1）①根据除方的意义求解； ②根据除方的意义求解； （2）根据除方的意义，将的次商用除法表示出来，写成成幂的形式； （3）用（2）中得到的规律代入求解，再计算即可． 【详解】（1）①解： ； ②解： ； （2）解：的次商为， 故答案为：． （3）解： ． 【点睛】本题考查了有理数幂的概念理解，有理数的乘方运算，含乘方的有理数混合运算，数字类规律探索，新定义下的实数运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 1 / 29 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