重难点05 七年级下册压轴题满分特训（4大模块压轴题讲义）2025-2026学年人教版七年级数学下册

重难点05 七年级下册压轴题满分特训 01 考向领航 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 02 知识建构 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一 七年级下册压轴题通用解题基本步骤与核心思想 知识点二 平行线模块压轴核心考点 知识点三 二元一次方程组与不等式组模块压轴核心考点 知识点四 平面直角坐标系模块压轴核心考点 知识点五 压轴题通用解题策略与失分警示 03 题型攻坚 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 题型1 平行线模块压轴题 题型2 方程组模块压轴题 题型3 不等式模块压轴题 题型4 平面直角坐标系模块压轴题 04 综合演练 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 05 错题复盘 → 集错题，析错因，重订正，常反思 常考考点 命题风向 · 平行线模块几何压轴：涵盖多拐点复合模型推导、平行线与折叠综合、三角板动态旋转探究、等积模型变式应用四大核心方向，侧重角度关系推理、动态过程分析与几何规范证明，是几何类压轴题的核心载体。 · 方程组与不等式组模块代数压轴：包含含参方程组与不等式组综合、不等式组临界值与整数解判定、实际场景方案设计与最值优化、新定义运算与分段计费应用，侧重参数运算、逻辑推导与实际建模，是代数类压轴题的主流考法。 · 平面直角坐标系模块数形结合压轴：覆盖动点与图形变换坐标规律、坐标系内图形面积与动点综合、特殊条件存在性探究、坐标与几何性质融合四大题型，侧重数形结合思想、分类讨论能力与动态问题分析，是区分度最高的压轴模块。 · 跨模块综合应用：常以 “方程组 + 不等式组 + 方案优化”“坐标系 + 面积 + 参数范围” 的形式融合考查，串联多章节知识点，检验知识迁移与综合解题能力。 · 核心数学思想与解题规范：重点考查分类讨论、数形结合、转化化归三大核心思想，同时覆盖端点值验证、实际意义筛选、解答步骤规范等细节考点，是压轴题得分的关键保障。 · 基础层级压轴：以单一模块核心题型独立命题为主，如单组多拐点模型计算、含参不等式组求范围、单动点坐标规律，多设置为选择、填空压轴题，题干条件清晰，侧重核心方法的直接应用，难度中等，保障基础区分度。 · 综合层级压轴：以模块内知识点融合、双知识点联动为主要形式，如平行线折叠 + 角度关系证明、动点运动 + 分段面积计算、含参方程组 + 整数解筛选，常以解答题前半压轴、填空压轴形式出现，考查多步推理与知识整合能力，是分值占比最高的压轴层级。 · 素养导向压轴：依托真实生活情境、动态几何过程、开放性存在设问、新定义规则命题，弱化固定套路，突出数学建模、逻辑推理、归纳探究核心素养；常见形式有几何开放探究题、最优方案设计题、循环规律探究题，是全卷最高区分度题型，贴合中考命题的能力导向。 考情解码： · 模块地位：本专题是七年级下册全册核心区分度内容，承接各章节基础知识点，聚焦能力升级与思想方法落地，同时为八年级一次函数综合、几何进阶压轴奠定思维与方法基础，在初中代数几何学习体系中具备承上启下的关键作用。 · 考频与分值：日常月考、期中期末考试必考，题型覆盖选择压轴、填空压轴、解答压轴三大类，全卷压轴题分值占比 15%–20%；其中解答压轴多为 10 分左右的大题，选填压轴各 1 题，是学生分数梯队分层的核心模块。 · 高频考法：几何类以平行线多拐点模型、折叠综合为高频考法；代数类以含参综合、方案设计最值为核心命题方向；数形结合类以坐标系动点面积、存在性探究为压轴主流；跨模块的 “方程 + 不等式 + 方案” 综合解答题，是期末全卷解答压轴的最常见形式。 · 失分规律：参数临界值未验证导致范围偏差、分类讨论遗漏情况造成漏解、动态过程分段不清出现增解、解答题步骤跳步缺少关键依据、忽略实际意义筛选产生无效解，是压轴题五大核心失分点；其中分类讨论的完整性与端点取舍的严谨性，是拉开顶尖分数段的关键差异。 知识点一 七年级下册压轴题通用解题基本步骤与核心思想 （1）审：通读题干，圈画关键条件与限定要求，识别所属知识模块，明确求解目标，区分客观题（选填）与解答题的答题要求； （2）析：拆解题目结构，匹配对应几何模型、代数题型与解题方法，判断是否需要分类讨论、数形结合，客观题优先规划速解路径，解答题梳理分步推导逻辑； （3）构：构建数学模型，几何题标注辅助线与关键等量关系，代数题建立含参表达式、方程或不等式，完成文字/图形信息向数学表达式的转化； （4）算：客观题选用最优方法简化运算，解答题按逻辑分步推演，保证运算过程严谨，关键步骤留存，核心结论标注清晰； （5）验：验证结果是否符合所有题干条件，端点值、特殊值代入校验，分类讨论确认无遗漏、无增解；解答题同步检查步骤完整性、书写规范性与单位、答句等细节。 核心数学思想：数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想、特殊与一般思想。 知识点二 平行线模块压轴核心考点 1. 多拐点复合模型探究 多个猪蹄、铅笔头、大脚、蛇形模型叠加嵌套，需多次过拐点作平行线，逐层推导角度和差关系；常考多拐点角度求和、角度比值计算、一般结论推导，覆盖选填压轴与几何证明解答压轴。 2. 折叠与平行线综合 结合折叠前后对应角相等、对应边相等的性质，联动平行线内错角、同旁内角关系；考查多折痕折叠后的角度计算、角度关系证明、折叠后落点位置探究，是选填与解答的高频压轴考法。 3. 三角板动态拼接与旋转 三角板绕定点旋转、沿直线平移过程中，结合平行线的判定与性质，求解特定平行位置的旋转角度、角度变化范围、角度定值证明，属于动态几何入门压轴，侧重动态过程分析与分类讨论。 4. 平行线等积模型变式应用 依托同底等高三角形面积相等的性质，结合动点移动、图形拼接，求解面积比值、面积定值、面积最值；解答题常结合面积关系进行几何推理，选填侧重快速转化计算。 5. 几何推理与开放探究 给出基础图形与条件，探究角度间的数量关系并完成证明，或设置条件开放、结论开放类设问，考查逻辑推理与规范书写能力，是解答压轴的主流题型。 知识点三 二元一次方程组与不等式组模块压轴核心考点 1. 含参综合类问题 结合方程组解的正负性、正整数解、解满足不等式（组）等多重条件，求解参数的取值范围、整数参数的个数与最值；是选填压轴最高频考法，解答题也常作为小问出现。 2. 不等式组临界与整数解问题 已知不等式组的有解/无解条件、整数解个数，反求参数取值范围；核心考查端点值的取舍判断，是易失分的经典压轴题型，以选填形式为主，解答题常结合参数综合考查。 3. 方案设计与最值优化 结合实际生活场景（物资调配、销售盈利、租车租房等），通过方程组与不等式组锁定可行方案范围，求解最大利润、最小成本对应的最优方案，是解答压轴的核心题型，也常以选填形式考查方案总数。 4. 新定义与阅读理解类 定义新型运算法则、数学概念或探究规则，结合方程组、不等式组求解参数、解集或特定结果；考查知识迁移与阅读理解能力，是选填压轴的创新考法，也可作为解答压轴的拓展题型。 5. 分段计费与综合应用 以阶梯收费、分段计价为背景，融合方程组与不等式组，求解分段边界、费用最值、数量范围；贴近生活情境，是解答压轴的高频命题方向。 知识点四 平面直角坐标系模块压轴核心考点 1. 动点坐标与图形变换规律 点沿坐标轴、多边形边界循环运动，或图形多次平移、轴对称变换，推导运动周期与坐标变化规律，求解第n次运动/变换后的坐标；是选填压轴经典题型，侧重归纳推理能力。 2. 坐标系内图形面积综合 运用底高法、割补法、铅垂高法，求解不规则图形的面积；结合动点运动建立面积关于参数的表达式，求解面积定值、面积倍数、面积最值对应的参数值，是解答压轴的核心载体。 3. 存在性探究问题 探究坐标系内是否存在点，满足特定面积条件、特殊图形条件（等腰三角形、直角三角形、平行线段等）；需分类讨论所有位置情况，是选填与解答压轴的区分度题型。 4. 动点分段与动态探究 单动点或双动点沿图形边界运动，按运动拐点划分阶段，分段分析图形形状、面积变化规律；考查动态过程分析、分段函数思想与分类讨论能力，是解答压轴的主流考法。 5. 坐标与几何性质综合 结合线段长度、距离关系、平行垂直关系，求解对应点的坐标或证明几何结论；衔接平面几何与坐标系知识，为后续函数几何综合铺垫，是解答压轴的拓展方向。 知识点五 压轴题通用解题策略与失分警示 （一）客观题（选择/填空）速解策略 ① 特殊值法：参数范围、规律探究题代入特殊数值验证，快速排除错误选项或锁定答案； ② 代入验证法：将选项/猜想结果代回题干检验，反向推导正确性，避免正向复杂运算； ③ 排除法：根据题干条件逐一排除明显错误选项，缩小答案范围，提升解题效率； ④ 数形结合法：不等式组画数轴分析端点，坐标系、几何题画示意图辅助分析，直观简化问题。 （二）解答题得分规范要点 ① 步骤分层：按“设元—列关系式—求解—检验—作答”分步书写，关键推导过程不跳步，核心定理、公式标注依据； ② 分类讨论：先说明分类依据，再分情况逐一推导，最后汇总结论，保证逻辑清晰、不重不漏； ③ 格式规范：设元、作答标注单位，方程组、不等式组规范联立，几何证明符合“因为…所以…”的推理格式。 （三）高频失分警示 ① 参数临界值未验证：不等式组、含参方程的端点值未单独检验，导致取值范围多取或漏取； ② 分类讨论遗漏：动点、存在性、图形位置问题未覆盖全部情况，出现漏解； ③ 坐标与长度转换失误：忽略坐标正负导致长度计算错误，未加绝对值，或象限对应符号出错； ④ 隐含条件忽略：实际问题中人数、物品数为正整数，几何图形边长、面积恒为正，易忽略限制产生增解； ⑤ 解答步骤缺失：几何证明缺关键推理依据，应用题漏写检验与答句，造成不必要的步骤失分。 题型1 平行线模块压轴题 【例1】按要求解答下列问题： (1)【问题探究】 如图1，已知，点C、F分别在、上，连接、、，点Q在的延长线上，连接，． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若平分，且，，求的度数． (2)【问题解决】 如图2是某地的田地示意图，田埂，、是两条田间小路，上游点F处有一个灌溉点，沿水渠、、向田地引水，交于点E，交于点G，已知，平分，．求水渠与的夹角的度数．（田埂、水渠、小路的宽度以及灌溉点的大小均忽略不计） 【答案】(1)①，理由： ， ，， ， ， ． ② (2) 【分析】（1）①由平行线的性质及判定即可完成； ②由得，进而求得，再由角平分线的意义可求得，从而求得，最后由平行线的性质即可求解； （2）设，，则，由已知易得，则有，再由平行线的性质可得，利用建立方程即可求解． 【详解】（1）①证明：略； ②解：，， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ． （2）解：， 设，， 则， ， ， ， ， ， ，， ， ， 平分， ， ， ， 解得， 即水渠、的夹角． 【变式训练1-1】【情境】在综合与实践课上，同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动． 【操作】 (1)操作一：如图，利用三角板画平行线：①将含角的三角板的最长边与直线重合，另一块三角板的长直角边与含角的三角板的直角边紧贴；②将含角的三角板沿贴合边平移一段距离，画出最长边所在直线，则．这样画图的依据是________； (2)操作二：如图，已知直线，在直角三角板中，，，，在直角三角板中，，．将两块三角板的一条直角边重合，直角三角板的斜边与直线重合，直角三角板的顶点在直线上．利用图，求的度数； 【探究】操作三：在操作二的基础上，直角三角板固定不动，让直角三角板绕着点按逆时针方向转动，转动角度小于．设直线与交于点． (3)如图，当点恰好落在直线上时，试判断与之间的数量关系，并说明理由； (4)当斜边与直角三角板的某一边平行时，直接写出的度数． 【答案】(1)同位角相等，两直线平行 (2) (3)解：，理由如下： 如图，过点G作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (4)或或 【分析】（1）根据作图方法可知，依据为同位角相等，两直线平行； （2）过点H作，由平行线的性质、，进而得，即可求解； （3）过点G作，由平行线的性质得及 ，由即可得两角的关系； （4）分三种情况讨论，分别画出图形，根据平行线的性质与判定定理即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 由作图方法可知， ∴根据同位角相等，两直线平行可得； （2）解：如图，过点H作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴； （3）略 （4）解：当时，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，如图，设直线交直线于点T，过点H作， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图，过点H作，设直线交直线于点L， ∴，； ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴； 综上，的大小为或或． 【变式训练1-2】【问题背景】 如图，已知，点C是直线，之间的一点，连接，． 【初步探究】 (1)如图1，过点C作，若，，求的度数； (2)【延伸扩展】 如图2，过点C作，，的平分线交于点P，过点P作．若． ①求的度数； ②如图3，，点G为射线上的点，过点G作交延长线于点F，连接．若，求的度数． 【答案】(1) (2)①；②当点F在点P的左侧时，；当点F在点P的右侧时，． 【分析】（1）过点C作，则有，然后得到，然后计算解题； （2）①过点C作，过点P作，求出，，，根据角平分线的定义结合平行线的性质求出 ，由计算即可得到结论； ②由①可得，，然后分点F在点P的左侧和点F在点P的右侧两种情况进行解题． 【详解】（1）解：过点C作， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：①过点C作，过点P作， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵的角平分线交于点P， ∴，， ∴， ∴； ②由①得，，， ∵， ∴， 过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 当点F在点P的左侧时，如图，则， ∴， ∴； 当点F在点P的右侧时，如图， 则， ∴， ∴． 综上所述，当点F在点P的左侧时，；当点F在点P的右侧时，． 【变式训练1-3】已知：直线，A为直线上的一个点． (1)如图1，过点A的直线交于点B，点C在线段的延长线上．点D、E为直线上的两个点，连接，，且满足． ①如图1，若，，则 ； ②如图2，若射线为的角平分线，当时，求的度数． (2)如图3，将点B固定在如图位置，射线从开始，绕A点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕B点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于点I，若直线与直线相交所夹的锐角为30°，请直接写出运动时间t秒（）的值． 【答案】(1)①；②或 (2)运动时间为秒或10秒或14秒． 【分析】（1）①根据平行线的性质求解即可 ； ②分点B在点D的左侧，点B在点E的右侧，两种情况求解即可； （2）设运动时间为秒时，则，，设直线与直线的交点为T，得到方程；或，或，求解即可． 【详解】（1）解：①，， ； ∵， ∴，，， ， ，, ， ， ； ②解：设，，如图，当点B在点D的左侧时， 射线为的角平分线， ， ， ， 同理可得：， ， ， 解得； 当点B在点E的右侧时，如图所示，设，， 射线为的角平分线， ， ， ， ， ， 同理可得， ， ， ， 解得； 综上所述，的度数为或； （2）解：设运动时间为秒时，直线与直线相交所夹的锐角为30°， 如图，，，设直线与直线的交点为T， 过作， 直线， ∴， ，， ， ∴， ， 解得（秒）； 设运动时间为秒时，直线与直线相交所夹的锐角为30°， 如图，，，设直线与直线后的交点为， ， 直线， ， ，， 同理可得：， ， 解得（秒）； 设运动时间为秒时，直线与直线相交所夹的锐角为30°， 如图，设直线与直线的交点为T，与的交点为， 直线， ， ，， 同理可得：， ， 解得（秒）； 综上所述，当直线与直线相交所夹的锐角为30°，运动时间为秒或10秒或14秒． 题型2 方程组模块压轴题 【例2】阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：对于关于x，y的二元一次方程（其中a，b，c为互不相等的常数），若将其x的系数a与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“对称方程”．例如方程的“对称方程”为． (1)写出的“对称方程”_______，以及它们组成的方程组的解为_______； (2)若关于x，y的二元一次方程与其“对称方程”组成的方程组的解为，求的平方根； (3)若关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“对称方程”组成的方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，请直接写出代数式的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据“对称方程”的定义写出“对称方程”并组成方程组求解即可； （2）根据“对称方程”的定义写出“对称方程”并组成方程组求出x，再根据方程组解的定义求出m，再求出y，即可求出n，再求出，即可得解； （3）根据“对称方程”的定义写出“对称方程”并组成方程组求出x，再根据a，b，c的关系即可求出y，再把方程组的解代入方程，即可得解． 【详解】（1）解：的“对称方程”， 它们组成的方程组为， 解得； （2）解：关于x，y的二元一次方程与它的“对称方程”组成的方程组为， 由得，， 解得， ； 将代入①得，， 解得， ． ， 的平方根为． （3）解：是关于x，y的二元一次方程， ， ， ， 关于x，y的二元一次方程与它的“对称方程”组成的方程组为， 由得，， 解得， 将代入①得，， 解得， ， ， ， ∴方程组的解为， 将代入，得，即，， ． 【变式训练2-1】在日常生活和生产实践中经常遇到排队等待的现象，如医院挂号付费、银行办理业务、车站购票等．有时由于排队的人很多，人们将花费很多的时间在等，给他们带来很大影响；如果开设太多窗口又会造成浪费．如何使投入资源较少，而顾客对服务又比较满意，这就需要研究排队问题． (1)某服务机构开设了一个窗口办理业务，并按“先到达，先服务”的方式服务，该窗口每服务一名顾客，已知当窗口开始工作时，已有6名顾客在等待，在窗口开始工作后，又有一位“新顾客”到达，且预计以后每都有一位“新顾客”到达．设表示当窗口开始工作时已经在等待的6位顾客，表示在窗口开始工作后，按先后顺序到达的“新顾客”． 顾客 … 到达时间 0 0 0 0 0 0 1 6 11 16 21 26 … 服务开始时间 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 21 26 … 服务结束时间 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 23 28 … 根据上面的表格， 请你根据“新顾客”的到达时间和前一位顾客的服务结束时间判断 ， 哪一位“新顾客”是第一位到达服务机构而不需要排队的？简要说明理由． (2)在（1）的条件中，当服务机构的窗口开始工作时，如果已经有10位顾客在等待(其他条件不变)，且当“新顾客”离去时，排队现象就此消失了，即为第一位到达后不需要排队的“新顾客”，求的值． (3)当在火车站开始检票时，有a（）名旅客在候车室排队等候检票进站．检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口按固定的速度检票．若开放一个检票口，则需30分钟才能将排队等候的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则需10分钟才能将排队等候的旅客全部检票完毕．如果现在要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以后进站的旅客能够随到随检，至少要同时开放几个检票口？ 【答案】(1) 解：是第一个不需要排队的“新顾客”，因为他到达的时间是，顾客服务结束的时间是； (2)8 (3)至少要同时开放4个检票口 【分析】本题考查一元一次不等式与二元一次方程的应用． （1）分析表格数据即可解答； （2）在第一位不需要排队的“新顾客”到达之前，该窗口已经服务了位顾客，为这些顾客服务共花费了的时间是 的到达时间为，则可得不等式，求出整数解即可解答； （3）设检票开始后每分钟新增加旅客人，检票的速度为每个检票口每分钟检人，至少要同时开放个检票口，列出不等式组，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：在第一位不需要排队的“新顾客”到达之前，该窗口已经服务了位顾客，为这些顾客服务共花费了的时间是 的到达时间为， ， 解得， 又为整数， ， ∴； （3）解：设检票开始后每分钟新增加旅客人，检票的速度为每个检票口每分钟检人，至少要同时开放个检票口． 由题意得 由①，②可得， 把代入③可得， ∵， ∴， 取最小值的整数， ∴， 答：至少要同时开放4个检票口． 【变式训练2-2】图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为． 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如下图，该型号板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 【任务一】拟定裁切方案 （1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，则可裁切靠背板______块． （2）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板，请你设计出所有符合要求的裁切方案： 方案一：裁切靠背板______块和座板______块． 方案二：裁切靠背板______块和座板______块． 方案三：裁切靠背板______块和座板______块． 【任务二】确定搭配数量 （3）现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在上述裁切方案中选定两种，并说出你选定的两种裁切方案分别需要多少块板材． 【答案】（1）30；（2）23，2；16，4；9，6；（3）需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出二元一次方程和二元一次方程组． 任务一：（1）画出图形，即可求解； （2）一张该板材先靠上裁切靠背6块，再设一张该板材裁切靠背板块，座板块，可得：，求出正整数解即可； 任务二：分三种情况讨论，设用张板材裁切靠背16块和座板4块，用张板材裁切靠背9块和座板6块，可得二元一次方程组，解方程组可得答案；或设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背9块和座板6块；或设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背16块和座板4块，同样的方法求解即可． 【详解】解：任务一： （1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，如图， 则可裁切靠背板块． 故答案为：30； （2）一张该板材先靠上裁切靠背6块，如图， 余下的，设一张该板材裁切靠背板块，座板块， 根据题意得：， ， ，为正整数， 或或， 方案一：裁切靠背板23块和座板2块． 方案二：裁切靠背板16块和座板4块． 方案三：裁切靠背板9块和座板6块； 故答案为：23，2；16，4；9，6； 任务二： 设用张板材裁切靠背16块和座板4块，用张板材裁切靠背9块和座板6块， 根据题意得：， 解得：， 张， 需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块． 设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背9块和座板6块， 根据题意得：， 解得：， 张， 需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块． 设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背16块和座板4块， 根据题意得：， 解得：(不合题意，舍去)， 综上，需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块． 【变式训练2-3】某厂生产三种不同型号的电脑，出厂价分别为甲种2000元，乙种2500元，丙种3000元． (1)某商场同时购进该厂两种不同型号的电脑共50台，用去万元，请你分析下该商场的购买方案； (2)若商场销售一台甲种电脑盈利120元，销售一台乙种电脑盈利200元，销售一台丙种电脑盈利300元．在（1）中的购买方案中，哪种方案盈利最多？ (3)若商场准备用12万元（用完）同时购进三种不同型号的电脑共50台，共有多少种购买方案？盈利最多的方案是哪个？ 【答案】(1)方案一：购买甲种20台，乙种30台；方案二：甲种35台，丙种15台 (2)方案二盈利最多 (3)19种；购买甲种29台，乙种2台，丙种19台获利最多 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、代数式求值、二元一次方程组的应用等知识点，理清数量关系以及分类讨论是解题的关键． （1）分购买甲乙，乙丙，甲丙三种情况，分别根据等量关系“两种电视的台数和=50台，买两种电视花去的费用=11.5万元”列一元一次方程求解判断即可； （2）根据（1）得出的方案，分别计算出各方案的利润，然后判断出获利最多的方案即可 ； （3）设购买甲种台，乙种台，丙种台，然后根据等量关系“两种电视的台数和=50台，买两种电视花去的费用=12万元”列三元一次方程组，然后用一个未知数表示出另外两个未知数，然后求出取值范围即可确定方案的种数，最后确定盈利最多的方案即可． 【详解】（1）解：方案一：购买甲、乙两种，设甲种台，则乙种为台，依题意有 ，解得，即购买甲种20台，乙种30台； 方案二：购买甲、丙两种，设甲种台，则丙种为台，依题意有，解得，即购买甲种35台，丙种15台． 方案三：购买乙、丙两种，设乙种台，则丙种为台，依题意有，．不符合题意，舍去． （2）解：方案一盈利：（元）， 方案二盈利：（元）， 所以方案二盈利最多． （3）解：设购买甲种台，乙种台，丙种台， 则，即， 得，即，则，共19种方案． 盈利为， 所以当时，盈利最多，此时． 答：共有19种购买方案，盈利最多的方案是购买甲种29台，乙种2台，丙种19台 题型3 不等式组模块压轴题 【例3】综合与实践． 【实践主题】探究安全通过十字路口的条件． 【问题情境】如图，互相垂直的十字形的路口，长为m米，宽为n米，双向安装红绿灯，红绿灯的作用就是不让双方向的车挤在一起，具体来说就是确保一个方向先过，另一个方向再过，并以此规律循环． 【安全条件】条件一：一般的十字路口，红灯和绿灯的持续时间是不同的，红灯的时间总比绿灯长，例如当东西方向红灯亮时，南北方向的绿灯要经过若干秒才亮，这样才可以确保十字路口的交通安全． 条件二：如图所示，某十字路口东西方向和南北方向的道路宽窄一致．假设当绿灯亮时，骑车人A马上从等待线出发，若他不会与另一方向绿灯亮时马上从等待线出发的机动车B相撞，就意味着可以保证交通安全，所以必须设置合理的红绿灯时间差，才能保证十字路口的通行安全． 【实验数据】根据调查，某十字路口，通过此路口的自行车平均时速为，机动车平均时速为． (1)骑车人A需要骑行______米才能通过此十字路口． (2)若，，，假设此路口红绿灯实际时间差．能保证交通安全吗？ (3)欲保证此十字路口交通安全，请求出红绿灯时间差t应满足的条件． 【答案】(1) (2)此路口红绿灯实际时间差，不能保证交通安全 (3) 【分析】（1）连接，，观察图形发现骑车人A需要骑行通过的路程为，根据线段和差计算即可得答案. （2）根据图形求出机动车B从等待线出发行驶到线时的路程，骑车人A需要骑行通过的路程，把速度统一单位后，代入、、的值，分别求出骑车人通过路口的时间，机动车B从等待线出发行驶到线时的时间，再求出两者时间差，和实际时差比较即可判断能否保证交通安全. （3）要保证此十字路口交通安全，骑车人通过的时间要大于红绿灯时间差与机动车从等待线出发行驶到线时的时间之和，即：，根据条件求出、，即可列不等式，解出即可得红绿灯时间差t应满足的条件. 【详解】（1）解：如图， 连接，，则：骑车人A需要骑行通过的路程为，根据题意得：，， ∴（米）， ∴骑车人A需要骑行的路程为米. （2）解：根据图形得：机动车B从等待线出发行驶到线时的路程为： （米）， 由（1）得：，， ∴骑车人A需要骑行通过的路程为：（米）， 当，时，，（米）， ∴骑车人A需要骑行通过的路程为：（米）， 机动车B从等待线出发行驶到线时的路程为：（米）， ∵， ∴自行车平均时速为， ∴机动车平均时速为， ∴骑车人通过的时间为：， 机动车B从等待线出发行驶到线时的时间为：， ∴红绿灯时间差为：（） ∵， ∴此路口红绿灯实际时间差，不能保证交通安全. （3）解：由（1）得：骑车人需要骑行通过的路程为米， 由（2）得：机动车B从等待线出发行驶到线时的路程为：（米）， ∵自行车平均时速为，机动车平均时速为， ∴自行车平均时速为：，机动车平均时速为， ∴骑车人需要骑行通过的时间为：， 机动车B从等待线出发行驶到线时的时间为：， 要保证此十字路口交通安全，骑车人通过的时间要大于红绿灯时间差与机动车从等待线出发行驶到线时的时间之和，即：， ∴， ∴， ∴要保证此十字路口交通安全，红绿灯时间差t应满足的条件为：. 【变式训练3-1】已知是数轴上两动点，且表示的数分别是，给出如下定义：若且，则称为“海丝数”；特别地，当是整数时，则称它为“海丝整数”． (1)下列三个数：，是“海丝数”的为__________． (2)已知关于的二元一次方程组中的均为“海丝数”，求整数所有可能的取值的和； (3)关于的不等式组的解集中恰好有4个“海丝整数”，若，求的最大值． 【答案】(1)0 (2) (3) 【分析】（1）根据新定义逐一分析即可； （2）先求解，再结合“海丝数”的范围可得或或，再进一步建立不等式组求解即可； （3）先求解，结合新定义可得，可得，可得，结合，进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵且，则称为“海丝数”；特别地，当是整数时，则称它为“海丝整数” 当时，， 解得：或，不符合题意舍去， 当时，（舍去），符合题意， 当时，， 解得：或，不符合题意舍去， 综上：是“海丝数”的为． （2）解：， 解得， ∵为“海丝数”， ∴或或， ∴或或或， ∴或或或， ∴或或或， ∴， ∵， ∴整数所有可能的取值的和为； （3）解：， 由①得， 由②得， ∴， 又∵关于的不等式组的解集中恰好有4个“海丝整数”， ∴．或， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为． 【变式训练3-2】如图，数轴上两点A、B对应的数分别是，1，点P是线段上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q，满足，那么我们把这样的点Q表示的数称为连动数，特别地，当点Q表示的数是整数时我们称为连动整数． (1)在，0，2，3.5四个数中，连动数有______（直接写出结果）； (2)若关于x的不等式组的解集中恰好有4个连动整数，求a的取值范围； (3)若k使得方程组中的x，y均为连动数，直接写出k所有可能的取值． 【答案】(1)，2 (2) (3)或或 【分析】（1）根据连动数的定义即可确定； （2）求得不等式的解，根据连动整数的概念得到关于a的不等式，解不等式即可求得； （3）先表示出x，y的值，再根据连动数的范围求解即可． 【详解】（1）解：∵点P是线段上一动点，点A、点B对应的数分别是，1， 又∵， 设连动数Q表示的数为q， ∴q的范围为或， ∴连动数有，2； （2）解：解不等式组中的每个不等式，得， 由题意得， ∵不等式组的解集中恰好有4个连动整数， ∴四个连动整数为，1，2， ∴， 解得； 即a的取值范围为； （3）解：解，得， 由于x、y都为连动数，则它们都要满足 或， 即或，解得或； 或， 即或，解得或； ∴或或． 【变式训练3-3】十一黄金周（7天）期间，易达一家计划租车一周去旅行，在看过租车公司的方案后，认为有以下两种方案比较适合（注：两种车型的油耗相同）： 周租金/元 平均每天免费行驶（里程/千米） 超出免费里程费用（元/千米） A型 1740 100 B型 2640 220 解决下列问题： (1)如果此次旅行的总行程为800千米，请通过计算说明租用哪种型号的车划算． (2)设本次旅行行程为a千米（a是正整数），请通过计算说明如何根据旅行行程选择省钱的租车方案． 【答案】(1)租用A型车划算 (2)当旅行行程小于千米时选A型车，等于千米时任选，大于千米时选B型车 【分析】本题考查了分段计费问题的应用（租车费用计算）及分类讨论思想，涉及“总费用=周租金+超出免费里程的费用”的分段逻辑；解题的关键是根据行程是否超出免费里程计算两种车型的总费用，（1）问直接代入计算比较，（2）问分情况讨论行程范围确定省钱方案． （1）总行程千米，分别计算A、B型车的总费用：先判断行程是否超免费里程，超出自费部分（总行程天免费里程）超出单价，总费用=周租金+超出自费部分，再比较两者费用； （2）设行程a千米，分、B均不超免费里程）、超、B不超）、、B均超）三种情况，分别列两种车型费用表达式，通过比较大小确定省钱方案． 【详解】（1）解：（1）总行程千米，比较A、B型车费用 ①A型车费用： 7天免费里程千米，，超出千米 总费用元 ②B型车费用： 7天免费里程千米，，无超出费用 总费用元 ∵， ∴租用A型车划算 答：租用A型车划算 （2）根据行程a千米选择省钱方案 7天A免费里程千米，B免费里程千米，分三种情况： ①当时： A型费用元，B型费用元， ∵，选A型 ②当时： A型费用 B型费用元，令，解得 若，选A型 若，两者费用相等，任选 若，选B型 ③当时： A型费用型费用 令，解得（舍去，因 ∵时，，选B型 综上：当时选A型时任选时选B型 答：当旅行行程小于千米时选A型车，等于千米时任选，大于千米时选B型车 题型4 平面直角坐标系模块压轴题 【例4】在平面直角坐标系中，，，且满足，将线段平移得线段．点的对应点在轴上，点的对应点在轴上． (1)如图1，直接写出、、、四个点的坐标； (2)如图2，、分别平分、，求的度数； (3)如图3，连接交轴于点，在坐标轴上是否存在点，使得三角形的面积是三角形的面积的，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，， (2) (3)存在，点坐标为或或或 【分析】（1）利用绝对值以及二次根式的非负性可得的值，从而确定、的坐标，根据平移后对应点的坐标特点可得平移规则从而确定、的坐标； （2）根据平移的性质可得，作利用平行线的性质可得的和为，再作将拆分为的和，结合角平分线即可解答； （3）先通过分割法求得三角形的面积，从而确定三角形的面积，再对点的位置分类讨论，当点在轴上时，以为公共底边用分割法表示三角形的面积列方程求解，当点在轴上时，以为底，以点的纵坐标为高列方程求解即可． 【详解】（1）解：，且，， ，所以点坐标为，点坐标为， 线段平移得线段，点的对应点在轴上，点的对应点在轴上， 平移方式为向左平移5个单位，再向下平移5个单位， 点的坐标为，点的坐标为． （2）解：过点作， ， ， ， ， 过点作， ， ， ， ， 、分别平分、， ， ， ． （3）解：由已知，交轴于点，且点的坐标为， ， 过点作轴， ， 由点的坐标为可知， ， ， 若点在轴上，设点， 所以， ， 解得或， 所以点坐标为或， 若点在轴上，设点， 所以， ， 解得或， 所以点坐标为或， 综上所述，点坐标为或或或． 【变式训练4-1】如图1，平面直角坐标系中，已知点，，其中，满足，将点向右平移24个单位长度得到点． (1)求点和点的坐标； (2)如图1，点为线段上一动点，点从点以2个单位长度/秒的速度向点运动，同时点为线段上一动点，从点以3个单位长度/秒的速度向点运动，设运动的时间为秒（），四边形的面积记为（以下同理表示），若，求的取值范围； (3)如图2，在（2）的条件下，若时在轴上方有一点，满足，则的值为__________． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】（1）由题意利用非负数的性质求出a，b，得出A，B的坐标，由平移的性质可得出答案； （2）由题意得出，则，，结合梯形的面积公式得出关于t的不等式，解不等式可得出答案； （3）根据（2）中结论得两点坐标，再割补法计算即可，注意对点的位置分情况讨论． 【详解】（1）解：∵， ∴，． ∴，， 解得，． ∴，． ∵将点向右平移24个单位长度得到点， ∴． （2）解：由题意，得，， 则，， ∴，， ∵， ∴， 解得． ∵， ∴． （3）解：当时，由（2）知，， 所以点坐标为，点坐标为，已知， ①在直线下方， 当在点左边，过点作,如图1， 所以 所以，所以； 当在点右边，如图2，作, 所以 ， 所以，所以； ②在直线上方， 当在点左边，过点作,过点作，如图3， 所以 ， 所以，所以； 当在点右边，过点作,过点作，如图4， 所以 所以，所以； 综上所述或． 【点睛】本题考查非负数的性质、坐标平移、动点面积问题及分类讨论思想，解题关键是由非负性求定点坐标，用含的式子表示动态线段，借助梯形面积公式建立不等式求范围，对点与直线的相对位置分四类讨论，利用割补法将三角形面积转化为含的代数式，恒等变形求得目标值，分类完整是避免漏解的核心． 【变式训练4-2】在平面直角坐标系中，对于任意两点和，我们定义它们的“横纵差”为：．若，则称，两点互为“平衡点”例如：若点，，则，所以点，不是“平衡点”；若点，，则，所以点，互为“平衡点”． (1)若点的坐标是，下列各点中，与点互为“平衡点”的是 ； ①；②；③ (2)已知点，点，互为“平衡点”，小慧认为这样的点有无数个，请判断小慧的说法是否正确？若正确，请在平面直角坐标系中描出一些符合要求的点，并通过观察，写出你的一个猜想；若错误，请说明理由； (3)已知点，的坐标分别是，，点是轴上的一个动点．当点，互为“平衡点”，三角形的面积为3时，求的值． 【答案】(1)①，③； (2)如图所示：猜想：这样的点在两条直线上. (3)的值为或或或． 【分析】（1）根据新定义逐一判断即可； （2）设，根据新定义可得或，再画图并给出猜想； （3）设点的坐标为，可得，可得或．再进一步求解即可. 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴点，互为“平衡点”． ②∵，， ∴， ∴点，不是互为“平衡点”． ③∵，， ∴， ∴点，互为“平衡点”． （2）解：小慧的说法是正确的．理由：设， 由“平衡点”定义可得：， ∴， ∴或， ∴或， 画图略：猜想：这样的点在两条直线上. （3）解：设点的坐标为． ∵，互为“平衡点”， ∴． 解得或． ∴或． 当时，．解得． 当时，．解得． ∴的值为或或或． 【变式训练4-3】如图，在平面直角坐标系中，，坐标分别为、，且，满足：，现同时将点，分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，分别得到点，的对应点，，连接，，． (1)求，两点的坐标及四边形的面积； (2)点是线段上的一个动点，连接，，当点在上移动时（不与，重合），的值是否发生变化，并说明理由； (3)已知点在轴上，连接、，若的面积与四边形的面积相等，求点的坐标． 【答案】(1)，，四边形的面积； (2)不发生变化；理由见详解； (3)或． 【分析】（1）由，根据非负数的性质得，，则，，由平移得，，即可求得四边形的面积为15； （2）由及三角形内角和定理可推导出，所以，可知的值不发生变化； （3）设点M的坐标为，分三种情况，一是点M在直线的上方，则；二是点M在x轴的下方，且点D在的外部，则；三是点M在x轴的下方，且点D在的内部，则，分别列方程求出符合题意的m的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵点分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，分别得到点的对应点， ∴，， ∴四边形的面积； （2）解：不发生变化，理由：如图1， ∵点分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，分别得到点的对应点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的值不发生变化； （3）解：设点M的坐标为， ∴， 如图2，点M在直线的上方， ∵， ∴， 解得：， 此时点M的坐标为； 如图3，点M在x轴的下方，且点D在的外部， ∵， ∴， ∴解得：，不符合题意，舍去， 如图4，点M在x轴的下方，且点D在的内部， ∵， ∴， 解得， 此时点M的坐标为 综上所述，点M的坐标为或． 1．已知，点A、C分别在直线上． (1)如图1，请直接写出、、三个角满足的数量关系_______． (2)如图2，分别作与的角平分线，交于点F，判断与的数量关系并证明． (3)在图3中分别作与的角平分线，交于点M，过点B作CM的平行线，点N是这条平行线上的一点（且不与点B重合），直接写出与的数量关系___________． 【答案】(1) (2)解：， 证明如下：如图，过点F作， 则， ∵，， ∴， ∴， ∵分别是、的角平分线， ∴，， ∵ 由（1）得，则， ∴，即； (3)或 【分析】（1）过点B作，利用平行线的性质即可得到、、三个角满足的数量关系； （2）过点F作，利用平行线的性质及角平分线得，由（1）得，由此即可得与的数量关系； （3）由平行线的性质及角平分线的意义，结合（1）的结论即可得到与的数量关系． 【详解】（1）解：过点B作，如图， 则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即、、三个角满足的数量关系是； （2）略； （3）解：如图，∵， ∴， ∵分别平分， ∴， ∵， 由（1）知， ∴， ∴当点N在射线上时，； 当点N在射线的反向延长线上时， 则； 综上，与的数量关系是或． 2．如图，，点，分别在，上，点是与之间一点． (1)求证：． (2)如图2，，分别平分，，且，求的度数． (3)如图3，连接，，分别平分，，，请探究和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：如图，过点作， ， ， ∴，， ； (2) (3)解：，理由如下： ， 由（1）得： ， 即， 如图，过点Q作， 同（1）可得： ， ∵，分别平分，， ，， ∴， 即， ∴ 即． 【分析】（1）过点作，根据平行线的判定和性质得到，，即可证明； （2）由（1）得：，求出，根据角平分线的定义得到，过点作，同（1）可得的度数； （3）根据平行线的性质得到，由（1）得：，进而得到，同理，可知，即可得到和的数量关系． 【详解】（1）略； （2）解：由（1）得：， ，， ∴， ∵，分别平分，， ，， ， 如图，过点作， 同（1）可得：； （3）略． 3．已知，点、分别是和上两个定点，的角平分线交于，点是直线上一个动点，且不与点、重合． (1)如图1，当时，请补全图1，已知，则____________； (2)如图2，平分交于，连接，设、、 ． ①当点在线段上，请证明：、与之间满足（不能直接用三角形相关知识）； ②当点在直线上运动时，、与之间的数量关系是否保持①中的结论不变？若不变，请说明理由，若发生改变，请直接写出、与之间所有其他可能的数量关系． 【答案】(1)见解析； (2)①：见解析；②：①中的结论改变，或 【分析】（1）过点P作，根据平行线的判定和性质解答即可； （2）①过点P作，根据平行线的判定和性质解答即可； ②分两种情况，结合平行线的判定和性质解答即可． 【详解】（1）解：补全图形，如下图； 过点P作， ∵， ∴， ∴ ， ∵，即， ∴， ∴； （2）解：①如图，过点P作， ∵， ∴， ∴ ， ∵平分，， ∴， ∵的角平分线为， ∴， ∴， ∵ ，， ∴； ②：①中的结论改变， 如图，当点P在的延长线上时，过点P作， ∵， ∴， ∴ ， ∵平分，， ∴， ∵的角平分线为， ∴， ∴， ∵ ，， ∴； 如图，当点P在的延长线上时，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵的角平分线为， ∴ ， ∴， ∵ ，， ∴， 即； 综上所述，、与之间的数量关系为或． 4．已知关于的方程组，其中，为整数． (1)若方程组有无穷多组解，求实数与的值； (2)当时，方程组是否有整数解？如有，求出整数解；若没有，请说明理由． 【答案】(1)， (2) 解：没有，理由如下： 由（1）得 ∵ ∴ 整理得 ①当时，即， ∵ ∴此时方程组为 则 ∵为整数 ∴原方程没有整数解 ②当时，即，此时， 若时，显然无解， 若时，，代入得 ∵a为整数， ∴不可能为整数， ∴原方程无整数解； 综上：原方程没有整数解 【分析】（1）先把①中的值代入②，使方程变为只含的一元一次方程，根据的系数讨论方程组有无穷多组解时的取值即可； （2）要分类讨论，即和，再结合整数解的问题，进一步分析作答． 本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单． 【详解】（1）解：依题意， 由①得，，③ 将③代入②得， 整理得出，④ ∵方程组有无穷多组解 ∴且时， 即，则， ∴， （2）略 5．下表所示为装运甲、乙、丙三种蔬菜的重量及利润，某汽车公司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售（每辆汽车按规定满载，并且每辆汽车只能装一种蔬菜） 甲 乙 丙 每辆汽车能满装的吨数 2 1 1.5 每吨蔬菜可获得利润（百元） 5 7 4 公司计划用20辆汽车装运甲乙丙三种蔬菜36吨到某地销售（每种蔬菜不少于1车）， (1)试分析：有几种可能的方案？ (2)如何安排装运，可使公司获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)21种 (2)安排装运甲种蔬菜的汽车为18辆，乙种蔬菜的汽车为1辆，装运丙种蔬菜的汽车为1利润，最大利润为193百元 【分析】（1）设装运甲种蔬菜的汽车为x辆，乙种蔬菜的汽车为y辆，则装运丙种蔬菜的汽车为辆，根据题意列出二元一次方程，根据每种蔬菜不少于1车得到不等关系，即可求解； （2）设利润为w元，可以得到出，然后x取（1）中的数值，并根据不等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：设装运甲种蔬菜的汽车为x辆，乙种蔬菜的汽车为y辆，则装运丙种蔬菜的汽车为辆， 根据题意，得， 化简得 ， ∴， ∵每种蔬菜不少于1车， ∴，，， ∴，， ∴当时，，2，3，4，5，6， 当时，，2，3，4，5， 当时，，2，3，4， 当时，，2，3， 当时，，2， 当时，， ∴一共有种方案； （2）解：设利润为w元， 根据题意得 ， 当时，， ∵ ∴， ∴w有最大值为， 当时，， ∵ ∴， ∴w有最大值为， 当时，， ∵， ∴， ∴w有最大值为， 当时，， ∵ ∴， ∴w有最大值为， 当时，， ∵ ∴， ∴w有最大值为， 当时，， ∴， 综上，安排装运甲种蔬菜的汽车为18辆，乙种蔬菜的汽车为1辆，装运丙种蔬菜的汽车为1辆时，公司获得最大利润，最大利润为193百元． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用以及不等式组的应用，明确题意，正确列出方程与不等式，是解答本题的关键． 6．综合与实践 课题 设计裁切方案 素材1 如图1所示是一把学生椅，主要由椅背、椅座及铁架组成，如图2所示是椅背与椅座的尺寸示意图 素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款学生椅，经清点库存发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，现只需在市场上购进某型号板材加工制作该款学生椅的椅背与椅座，再与铁架进行组装．已知该工厂购进的板材长为，宽为（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一块该型号板材的所有裁切方法 方法一：裁切椅背15个和椅座0个； 方法二：裁切椅背8个和椅座________个； 方法三：裁切椅背______个和椅座8个 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进110块该型号板材，最多能制作成多少把学生椅 任务三 解决实际问题 现需要制作2000把学生椅，该工厂仓库现有260个椅座和80个椅背，还需要购买该型号板材多少块（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案 【答案】任务一：4，1；任务二：最多能制作成600把学生椅；任务三：需要购买该型号板材块，裁切方案为：用方法一裁切113块，用方法二裁切1块，用方法三裁切217块． 【分析】任务一：根据板材长为列式计算即可； 任务二：由板材刚好用完，且椅背和椅座数量相等时，能制作最多数量的学生椅，可知方法二和方法三各裁五块，方法一裁一块时刚好配套，此时共用11块板材，能制作成60把学生椅，然后可得答案； 任务三：先计算出还需要多少椅座和椅背，再计算一共需要的总长度，除以300即为需要该型号板材的数量， 假设用方法一裁切x块，用方法二裁切y块，用方法三裁切z块（均为自然数），由题意列出方程组，求解即可． 【详解】解：任务一：由题意得：（个），（个）， 故方法二：裁切椅背8个和椅座4个；方法三：裁切椅背1个和椅座8个； 故答案为：4，1； 任务二：因为方法二可以裁切出椅背8个和椅座4个，方法三可以裁切出椅背1个和椅座8个， 所以方法二和方法三各裁一块时，能得到椅背9个和椅座12个， 又因为当板材刚好用完，且椅背和椅座数量相等时，能制作最多数量的学生椅， 所以方法二和方法三各裁五块，方法一裁一块时刚好配套， 此时共用11块板材，裁出60个椅背和60个椅座，即能制作成60把学生椅， 所以若该工厂购进110块该型号板材，最多能制作成600把学生椅； 任务三：由题意得：需裁出个椅座，个椅背， ∵（块）， ∴恰好全部用完时，需要购买该型号板材块， 假设用方法一裁切x块，用方法二裁切y块，用方法三裁切z块（均为自然数）， 由题意得：， 整理可得：， 当时，则，， 答：需要购买该型号板材块，裁切方案可以是：用方法一裁切113块，用方法二裁切1块，用方法三裁切217块． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和三元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 7．请阅读以下材料，并解决问题： 材料一：我们知道，解不等式组求解集有一口诀：大小小大取中间。对于解集取中间的不等式组（比如：，，，） ， 我们规定其“青一距离”均为， 不等式组的整数解称为不等式组的“求真点”．例如：的“青一距离”， “求真点”为，，0， 1， 2． 材料二：对于两个不等式组成的不等式组，我们求其解集就是分别解这两个不等式，再取其解集公共部分；类似的，对于三个或三个以上的不等式组成的不等式组，我们依然是分别解出每一个不等式，再求出它们解集的公共部分. (1)不等式组的“青一距离” ；“求真点”为 ； (2)若不等式组的“青一距离”，求m的取值范围； (3)若不等式组的“青一距离” ， 此时是否存在实数n使得关于y的不等式组恰有2个“求真点”，若存在，求出n的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；，， (2) (3)或. 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，一元一次不等式组的解法；不等式组的整数解问题； （1）先解不等式组，求出不等式组的解集，根据新定义的含义即可得答案； （2）不等式组的“青一距离”，可得不等式组的解集为：，再分，，讨论即可得答案； （3）根据不等式组的“青一距离” ，得出值，得出不等式组，再表示不等式组的解集，根据恰有2个“求真点”列不等式组求出解集即可得答案． 【详解】（1）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的“青一距离”；“求真点”为，，. （2）解：， 由①得：， 解得：， 由②得：， ∴， 解得：， 由③得：， ∵不等式组的“青一距离”， ∴不等式组的解集为：， ∴当，即， ∴不等式的解集为， ∴， ∴， 解得：， 此时， 当时，即时，不等式③成立， 当时，即， ∴不等式的解集为， ∴， ∴， ∴， 此时：， 综上：. （3）解：∵不等式组的“青一距离” ， ∴， 解得：， ∴化为， 由①得：， 由②得：， ∵关于y的不等式组恰有2个“求真点”， ∴不等式组的解集为：，且有2个整数解， 则存在这样的整数满足： ， 由③得：， 由④得：， 当时，可得：， 此时， 当时，可得：， 此时， 当时，符合题意， 当为另外的整数时，不等式组无解； 综上：或. 8．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为．不等式组的解集为．因为，所以称方程为不等式组，的“相伴方程”． (1)下列方程是不等式组的“相伴方程”的是_____；（填序号） ①；②；③ (2)若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围； (3)若方程都是关于的不等式组的“相伴方程”，其中，求的取值范围． 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解和解一元一次不等式组等知识点，能根据题意得出关于k和m的不等式组是解此题的关键． （1）先分别求出方程的解和不等式组的解集，再逐个判断即可； （2）先分别求出方程的解和不等式组的解集，根据题意得出，再去求不等式组的解集即可； （3）分别求出方程的解，分为两种情况：①当时，求出不等式组的解集，再判断即可；②当时，求出不等式组的解集，再判断即可． 【详解】（1）解：解不等式组，得， 解方程得：； 解方程得：； 解方程得：， ∵，， ∴①②是不等式组的“相伴方程”， 故答案为：①②； （2）解：解不等式组得：， 解方程得：， ∵关于x的方程是不等式组的“相伴方程”， ∴， 解得：， 即k的取值范围是； （3）解：解方程得， 解方程得， ∵方程都是关于x的不等式组的“相伴方程”，， 所以分为两种情况：①当时，则， ∴不等式组为， 此时不等式组的解集是，不符合题意，舍去； ②当时，不等式组的解集是， 所以根据题意得：， 解得：， 所以m的取值范围是． 9．在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：表示点到、轴的距离中的最大值，表示点到、轴的距离中的最大值，若，则称点是点的“倍等距点”．例如：对于点和，，，所以，所以点是点的“3倍等距点”． (1)已知点，，若点为点的“1倍等距点”，则的值为______； (2)已知正方形的四个顶点分别为，，，． ①已知点，若正方形边上存在一点，使得点是点的“2倍等距点”，求的取值范围；（   ） ②已知，，若正方形边上存在一点，线段上存在一点，使得点是点的“2倍等距点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查解一元一次不等式，去绝对值，熟练掌握解一元一次不等式的方法是方法是解题的关键； （1）根据题意，可得，，故，求解即可； （2）①根据题意可得，根据两种临界值求解即可；②设，根据题意，可得，可得，再画图分类求解即可； 【详解】（1）解：根据题意，可得，， 故， 解得：； 故答案为： （2）解：① 点是点的“2倍等距点” ； 则； 根据题意，根据题意，可以找到两个临界情况，作图如下： ∴， 则； ②线段的端点为和， 故， 根据题意，可得， 当时， , 当或时， ∴， 综上：， ∴； 如图所示：当正方形在轴的右边时， ∴， 解得：； 当正方形在轴的左边时，如图： ∴， 解得：； 综上所述：的取值范围为或； 10..在平面直角坐标系中，点，，，满足． (1)求三角形的面积； (2)如图，将点向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点，点在轴上且位于点左侧，连接交于点，连接，若三角形与三角形的面积相等，求点的坐标； (3)动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿轴向下运动，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿轴向左运动，点，同时出发，直线，交于点，在整个运动过程中，当三角形的面积为8时，求出点的坐标． 【答案】(1)4 (2) (3)或 【分析】（1）利用绝对值与算术平方根的非负性即可得解； （2）连接，由三角形与三角形的面积相等，可得，用割补法可求得，即，从而可得点的坐标； （3）分两种情况讨论，易得，因此，设，根据三角形的面积为8，用割补法分别列出方程即可． 【详解】（1）解：，，， ，解得， ，， ； （2）解：如图，连接、作轴，轴，交于点E， 由（1）知，，， 点向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：①当点Q在第三象限时，如图构造长方形， 设运动时间为t秒， ，， ，即， ， 设， ， 解得， ， ②当点Q在第一象限时，如图构造长方形， ，即， ， 设， ， 解得， ， 综上所述，点的坐标为或． 11．如图1，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，交y轴于点D． (1)直接写出点A的坐标 ，B的坐标 ，D的坐标 ； (2)E是射线上一动点，与的角平分线交于点F． ①如图2，当点E在线段上时，若，求的度数； ②如图3，当点E在线段的延长线上时，若，求的度数． (3)在射线上是否存在这样的点E，使，若存在，请直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)①；② (3)存在；点E的坐标为或 【分析】（1）由非负数的性质可求得的值，得A、B的坐标，再由即可求得点D的坐标； （2）①过点F向左作，利用平行线的性质得，过点E向左作，同理得，再由角平分线的性质即可求解； ②过点F向左作，利用平行线的性质得，过点E向左作，同理得，再由角平分线的性质即可求解； （3）分两种情况考虑：①当点E在线段上时；②点E在线段的延长线上时；利用割补方法表示出的面积即可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴；； ∵交y轴于点D，， ∴； （2）解：①过点F向左作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点E向左作， 同理得， ∵， ∴， ∵分别是、的角平分线， ∴， ∴， ∴， 即； ②过点F向左作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点E向左作， 同理得， ∵分别、的角平分线， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：设， ∵；；，， ∴， ①当点E在线段上时，如图； 则，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， 即； ②当点E在线段的延长线上时，如图5； 则，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， 即； 综上，点E的坐标为或． 12．在平面直角坐标系中，对于点，和图形，将图形沿射线方向平移，平移距离为线段的长，得到图形，若点在图形上，则称点为图形关于点的“移动关联点”．如图，点，． (1)若点为线段关于点的“移动关联点”，则点可以是____；，，； (2)已知正方形，点，点，点，点． ①当时，点在上，若点为正方形关于点的“移动关联点”，则点的横坐标的取值范围是____； ②已知点，，点在正方形上，若线段上任意一点，都是线段关于点的“移动关联点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】（1）如图，把线段沿方向平移个单位长度得到线段，再结合图形分析即可； （2）①当，可得点，点，点，，画图可得把正方形沿方向，平移距离为线段的长度，平移后的轨迹为如图所示的阴影部分，不包括正方形内部，再进一步分析即可； ②结合①点落在如图所示的阴影内（包含边界，不包含正方形内部），此时左右两侧的阴影边界之间的水平距离为个单位长度，再进一步分情况讨论即可. 【详解】（1）解：如图，把线段沿方向平移个单位长度得到线段， ∵点，， ∴的中点坐标为， ∴，， ∴的中点坐标为， ∴点为线段关于点的“移动关联点”，则点可以是，. （2）解：①∵正方形，点，点，点，点，， ∴点，点，点，， 把正方形沿方向，平移距离为线段的长度，平移后的轨迹为如图所示的阴影部分，不包括正方形内部； ∵点为正方形关于点的“移动关联点”， ∴点落在轨迹内（包含边界）； ∴点的横坐标的取值范围是. ②∵点在正方形上，线段上任意一点，都是线段关于点的“移动关联点”， 结合①可得：点落在如图所示的阴影内（包含边界，不包含正方形内部）， 此时左右两侧的阴影边界之间的水平距离为个单位长度， 此时平移后即，即， ∴的中点， 当与重合时， ∴， 解得：； 如图，当在阴影边界上时， ∵， ∴阴影端点， 此时，解得：， ∴当时，线段上任意一点，都是线段关于点的“移动关联点”； 如图，当落在阴影部分右边区域，且与边界重合时， 此时点， 的横坐标相等， ∴， ∴， 如图，当落在阴影的最右边边界时，而向右平移个单位时坐标为， ∴， 解得：， ∴当时，线段上任意一点，都是线段关于点的“移动关联点”； 综上：当或时， 线段上任意一点，都是线段关于点的“移动关联点”. 13．如图①，点的坐标为，点在轴上，将三角形沿轴正方向平移，平移后的图形为三角形，点的坐标为，且． (1)________，________，与关系为________，四边形的面积为________； (2)如图②，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点运动，设点的运动时间为秒，回答下列问题： ①当点在上运动时，若点的横坐标与纵坐标相等，则________秒； ②当点在上运动时，点的坐标为________；（用含的式子表示） ③当时，请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，，，； (2)；；，理由见解析． 【分析】（）由非负数的性质得出，，故，，所以，，由平移性质可知，，，然后通过面积公式即可求解； （）由点在上运动，，则的纵坐标为，根据点的横坐标与纵坐标相等，得出，求出的值即可； 当点在上运动，则点的横坐标为，由（）得，，最后列代数式即可； 当时，点在上运动，则过作，则有，然后根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， 由平移性质可知，，，，，， ∴四边形的面积为 ； （2）解：∵点在上运动，， ∴点的纵坐标为， ∵点的横坐标与纵坐标相等， ∴， 解得：； 由平移性质可知，， ∵点在上运动， ∴点的横坐标为， 由（）得，，， ∴，即点的纵坐标为， ∴点的坐标为； ，理由如下： 当时，点在上运动，则过作，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点05 七年级下册压轴题满分特训 01 考向领航 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 02 知识建构 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一 七年级下册压轴题通用解题基本步骤与核心思想 知识点二 平行线模块压轴核心考点 知识点三 二元一次方程组与不等式组模块压轴核心考点 知识点四 平面直角坐标系模块压轴核心考点 知识点五 压轴题通用解题策略与失分警示 03 题型攻坚 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 题型1 平行线模块压轴题 题型2 方程组模块压轴题 题型3 不等式模块压轴题 题型4 平面直角坐标系模块压轴题 04 综合演练 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 05 错题复盘 → 集错题，析错因，重订正，常反思 常考考点 命题风向 · 平行线模块几何压轴：涵盖多拐点复合模型推导、平行线与折叠综合、三角板动态旋转探究、等积模型变式应用四大核心方向，侧重角度关系推理、动态过程分析与几何规范证明，是几何类压轴题的核心载体。 · 方程组与不等式组模块代数压轴：包含含参方程组与不等式组综合、不等式组临界值与整数解判定、实际场景方案设计与最值优化、新定义运算与分段计费应用，侧重参数运算、逻辑推导与实际建模，是代数类压轴题的主流考法。 · 平面直角坐标系模块数形结合压轴：覆盖动点与图形变换坐标规律、坐标系内图形面积与动点综合、特殊条件存在性探究、坐标与几何性质融合四大题型，侧重数形结合思想、分类讨论能力与动态问题分析，是区分度最高的压轴模块。 · 跨模块综合应用：常以 “方程组 + 不等式组 + 方案优化”“坐标系 + 面积 + 参数范围” 的形式融合考查，串联多章节知识点，检验知识迁移与综合解题能力。 · 核心数学思想与解题规范：重点考查分类讨论、数形结合、转化化归三大核心思想，同时覆盖端点值验证、实际意义筛选、解答步骤规范等细节考点，是压轴题得分的关键保障。 · 基础层级压轴：以单一模块核心题型独立命题为主，如单组多拐点模型计算、含参不等式组求范围、单动点坐标规律，多设置为选择、填空压轴题，题干条件清晰，侧重核心方法的直接应用，难度中等，保障基础区分度。 · 综合层级压轴：以模块内知识点融合、双知识点联动为主要形式，如平行线折叠 + 角度关系证明、动点运动 + 分段面积计算、含参方程组 + 整数解筛选，常以解答题前半压轴、填空压轴形式出现，考查多步推理与知识整合能力，是分值占比最高的压轴层级。 · 素养导向压轴：依托真实生活情境、动态几何过程、开放性存在设问、新定义规则命题，弱化固定套路，突出数学建模、逻辑推理、归纳探究核心素养；常见形式有几何开放探究题、最优方案设计题、循环规律探究题，是全卷最高区分度题型，贴合中考命题的能力导向。 考情解码： · 模块地位：本专题是七年级下册全册核心区分度内容，承接各章节基础知识点，聚焦能力升级与思想方法落地，同时为八年级一次函数综合、几何进阶压轴奠定思维与方法基础，在初中代数几何学习体系中具备承上启下的关键作用。 · 考频与分值：日常月考、期中期末考试必考，题型覆盖选择压轴、填空压轴、解答压轴三大类，全卷压轴题分值占比 15%–20%；其中解答压轴多为 10 分左右的大题，选填压轴各 1 题，是学生分数梯队分层的核心模块。 · 高频考法：几何类以平行线多拐点模型、折叠综合为高频考法；代数类以含参综合、方案设计最值为核心命题方向；数形结合类以坐标系动点面积、存在性探究为压轴主流；跨模块的 “方程 + 不等式 + 方案” 综合解答题，是期末全卷解答压轴的最常见形式。 · 失分规律：参数临界值未验证导致范围偏差、分类讨论遗漏情况造成漏解、动态过程分段不清出现增解、解答题步骤跳步缺少关键依据、忽略实际意义筛选产生无效解，是压轴题五大核心失分点；其中分类讨论的完整性与端点取舍的严谨性，是拉开顶尖分数段的关键差异。 知识点一 七年级下册压轴题通用解题基本步骤与核心思想 （1）审：通读题干，圈画关键条件与限定要求，识别所属知识模块，明确求解目标，区分客观题（选填）与解答题的答题要求； （2）析：拆解题目结构，匹配对应几何模型、代数题型与解题方法，判断是否需要分类讨论、数形结合，客观题优先规划速解路径，解答题梳理分步推导逻辑； （3）构：构建数学模型，几何题标注辅助线与关键等量关系，代数题建立含参表达式、方程或不等式，完成文字/图形信息向数学表达式的转化； （4）算：客观题选用最优方法简化运算，解答题按逻辑分步推演，保证运算过程严谨，关键步骤留存，核心结论标注清晰； （5）验：验证结果是否符合所有题干条件，端点值、特殊值代入校验，分类讨论确认无遗漏、无增解；解答题同步检查步骤完整性、书写规范性与单位、答句等细节。 核心数学思想：数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想、特殊与一般思想。 知识点二 平行线模块压轴核心考点 1. 多拐点复合模型探究 多个猪蹄、铅笔头、大脚、蛇形模型叠加嵌套，需多次过拐点作平行线，逐层推导角度和差关系；常考多拐点角度求和、角度比值计算、一般结论推导，覆盖选填压轴与几何证明解答压轴。 2. 折叠与平行线综合 结合折叠前后对应角相等、对应边相等的性质，联动平行线内错角、同旁内角关系；考查多折痕折叠后的角度计算、角度关系证明、折叠后落点位置探究，是选填与解答的高频压轴考法。 3. 三角板动态拼接与旋转 三角板绕定点旋转、沿直线平移过程中，结合平行线的判定与性质，求解特定平行位置的旋转角度、角度变化范围、角度定值证明，属于动态几何入门压轴，侧重动态过程分析与分类讨论。 4. 平行线等积模型变式应用 依托同底等高三角形面积相等的性质，结合动点移动、图形拼接，求解面积比值、面积定值、面积最值；解答题常结合面积关系进行几何推理，选填侧重快速转化计算。 5. 几何推理与开放探究 给出基础图形与条件，探究角度间的数量关系并完成证明，或设置条件开放、结论开放类设问，考查逻辑推理与规范书写能力，是解答压轴的主流题型。 知识点三 二元一次方程组与不等式组模块压轴核心考点 1. 含参综合类问题 结合方程组解的正负性、正整数解、解满足不等式（组）等多重条件，求解参数的取值范围、整数参数的个数与最值；是选填压轴最高频考法，解答题也常作为小问出现。 2. 不等式组临界与整数解问题 已知不等式组的有解/无解条件、整数解个数，反求参数取值范围；核心考查端点值的取舍判断，是易失分的经典压轴题型，以选填形式为主，解答题常结合参数综合考查。 3. 方案设计与最值优化 结合实际生活场景（物资调配、销售盈利、租车租房等），通过方程组与不等式组锁定可行方案范围，求解最大利润、最小成本对应的最优方案，是解答压轴的核心题型，也常以选填形式考查方案总数。 4. 新定义与阅读理解类 定义新型运算法则、数学概念或探究规则，结合方程组、不等式组求解参数、解集或特定结果；考查知识迁移与阅读理解能力，是选填压轴的创新考法，也可作为解答压轴的拓展题型。 5. 分段计费与综合应用 以阶梯收费、分段计价为背景，融合方程组与不等式组，求解分段边界、费用最值、数量范围；贴近生活情境，是解答压轴的高频命题方向。 知识点四 平面直角坐标系模块压轴核心考点 1. 动点坐标与图形变换规律 点沿坐标轴、多边形边界循环运动，或图形多次平移、轴对称变换，推导运动周期与坐标变化规律，求解第n次运动/变换后的坐标；是选填压轴经典题型，侧重归纳推理能力。 2. 坐标系内图形面积综合 运用底高法、割补法、铅垂高法，求解不规则图形的面积；结合动点运动建立面积关于参数的表达式，求解面积定值、面积倍数、面积最值对应的参数值，是解答压轴的核心载体。 3. 存在性探究问题 探究坐标系内是否存在点，满足特定面积条件、特殊图形条件（等腰三角形、直角三角形、平行线段等）；需分类讨论所有位置情况，是选填与解答压轴的区分度题型。 4. 动点分段与动态探究 单动点或双动点沿图形边界运动，按运动拐点划分阶段，分段分析图形形状、面积变化规律；考查动态过程分析、分段函数思想与分类讨论能力，是解答压轴的主流考法。 5. 坐标与几何性质综合 结合线段长度、距离关系、平行垂直关系，求解对应点的坐标或证明几何结论；衔接平面几何与坐标系知识，为后续函数几何综合铺垫，是解答压轴的拓展方向。 知识点五 压轴题通用解题策略与失分警示 （一）客观题（选择/填空）速解策略 ① 特殊值法：参数范围、规律探究题代入特殊数值验证，快速排除错误选项或锁定答案； ② 代入验证法：将选项/猜想结果代回题干检验，反向推导正确性，避免正向复杂运算； ③ 排除法：根据题干条件逐一排除明显错误选项，缩小答案范围，提升解题效率； ④ 数形结合法：不等式组画数轴分析端点，坐标系、几何题画示意图辅助分析，直观简化问题。 （二）解答题得分规范要点 ① 步骤分层：按“设元—列关系式—求解—检验—作答”分步书写，关键推导过程不跳步，核心定理、公式标注依据； ② 分类讨论：先说明分类依据，再分情况逐一推导，最后汇总结论，保证逻辑清晰、不重不漏； ③ 格式规范：设元、作答标注单位，方程组、不等式组规范联立，几何证明符合“因为…所以…”的推理格式。 （三）高频失分警示 ① 参数临界值未验证：不等式组、含参方程的端点值未单独检验，导致取值范围多取或漏取； ② 分类讨论遗漏：动点、存在性、图形位置问题未覆盖全部情况，出现漏解； ③ 坐标与长度转换失误：忽略坐标正负导致长度计算错误，未加绝对值，或象限对应符号出错； ④ 隐含条件忽略：实际问题中人数、物品数为正整数，几何图形边长、面积恒为正，易忽略限制产生增解； ⑤ 解答步骤缺失：几何证明缺关键推理依据，应用题漏写检验与答句，造成不必要的步骤失分。 题型1 平行线模块压轴题 【例1】按要求解答下列问题： (1)【问题探究】 如图1，已知，点C、F分别在、上，连接、、，点Q在的延长线上，连接，． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若平分，且，，求的度数． (2)【问题解决】 如图2是某地的田地示意图，田埂，、是两条田间小路，上游点F处有一个灌溉点，沿水渠、、向田地引水，交于点E，交于点G，已知，平分，．求水渠与的夹角的度数．（田埂、水渠、小路的宽度以及灌溉点的大小均忽略不计） 【变式训练1-1】【情境】在综合与实践课上，同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动． 【操作】 (1)操作一：如图，利用三角板画平行线：①将含角的三角板的最长边与直线重合，另一块三角板的长直角边与含角的三角板的直角边紧贴；②将含角的三角板沿贴合边平移一段距离，画出最长边所在直线，则．这样画图的依据是________； (2)操作二：如图，已知直线，在直角三角板中，，，，在直角三角板中，，．将两块三角板的一条直角边重合，直角三角板的斜边与直线重合，直角三角板的顶点在直线上．利用图，求的度数； 【探究】操作三：在操作二的基础上，直角三角板固定不动，让直角三角板绕着点按逆时针方向转动，转动角度小于．设直线与交于点． (3)如图，当点恰好落在直线上时，试判断与之间的数量关系，并说明理由； (4)当斜边与直角三角板的某一边平行时，直接写出的度数． 【变式训练1-2】【问题背景】 如图，已知，点C是直线，之间的一点，连接，． 【初步探究】 (1)如图1，过点C作，若，，求的度数； (2)【延伸扩展】 如图2，过点C作，，的平分线交于点P，过点P作．若． ①求的度数； ②如图3，，点G为射线上的点，过点G作交延长线于点F，连接．若，求的度数． 【变式训练1-3】已知：直线，A为直线上的一个点． (1)如图1，过点A的直线交于点B，点C在线段的延长线上．点D、E为直线上的两个点，连接，，且满足． ①如图1，若，，则 ； ②如图2，若射线为的角平分线，当时，求的度数． (2)如图3，将点B固定在如图位置，射线从开始，绕A点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕B点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于点I，若直线与直线相交所夹的锐角为30°，请直接写出运动时间t秒（）的值． 题型2 方程组模块压轴题 【例2】阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：对于关于x，y的二元一次方程（其中a，b，c为互不相等的常数），若将其x的系数a与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“对称方程”．例如方程的“对称方程”为． (1)写出的“对称方程”_______，以及它们组成的方程组的解为_______； (2)若关于x，y的二元一次方程与其“对称方程”组成的方程组的解为，求的平方根； (3)若关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“对称方程”组成的方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，请直接写出代数式的值． 【变式训练2-1】在日常生活和生产实践中经常遇到排队等待的现象，如医院挂号付费、银行办理业务、车站购票等．有时由于排队的人很多，人们将花费很多的时间在等，给他们带来很大影响；如果开设太多窗口又会造成浪费．如何使投入资源较少，而顾客对服务又比较满意，这就需要研究排队问题． (1)某服务机构开设了一个窗口办理业务，并按“先到达，先服务”的方式服务，该窗口每服务一名顾客，已知当窗口开始工作时，已有6名顾客在等待，在窗口开始工作后，又有一位“新顾客”到达，且预计以后每都有一位“新顾客”到达．设表示当窗口开始工作时已经在等待的6位顾客，表示在窗口开始工作后，按先后顺序到达的“新顾客”． 顾客 … 到达时间 0 0 0 0 0 0 1 6 11 16 21 26 … 服务开始时间 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 21 26 … 服务结束时间 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 23 28 … 根据上面的表格， 请你根据“新顾客”的到达时间和前一位顾客的服务结束时间判断 ， 哪一位“新顾客”是第一位到达服务机构而不需要排队的？简要说明理由． (2)在（1）的条件中，当服务机构的窗口开始工作时，如果已经有10位顾客在等待(其他条件不变)，且当“新顾客”离去时，排队现象就此消失了，即为第一位到达后不需要排队的“新顾客”，求的值． (3)当在火车站开始检票时，有a（）名旅客在候车室排队等候检票进站．检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口按固定的速度检票．若开放一个检票口，则需30分钟才能将排队等候的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则需10分钟才能将排队等候的旅客全部检票完毕．如果现在要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以后进站的旅客能够随到随检，至少要同时开放几个检票口？ 【变式训练2-2】图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为． 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如下图，该型号板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 【任务一】拟定裁切方案 （1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，则可裁切靠背板______块． （2）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板，请你设计出所有符合要求的裁切方案： 方案一：裁切靠背板______块和座板______块． 方案二：裁切靠背板______块和座板______块． 方案三：裁切靠背板______块和座板______块． 【任务二】确定搭配数量 （3）现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在上述裁切方案中选定两种，并说出你选定的两种裁切方案分别需要多少块板材． 【变式训练2-3】某厂生产三种不同型号的电脑，出厂价分别为甲种2000元，乙种2500元，丙种3000元． (1)某商场同时购进该厂两种不同型号的电脑共50台，用去万元，请你分析下该商场的购买方案； (2)若商场销售一台甲种电脑盈利120元，销售一台乙种电脑盈利200元，销售一台丙种电脑盈利300元．在（1）中的购买方案中，哪种方案盈利最多？ (3)若商场准备用12万元（用完）同时购进三种不同型号的电脑共50台，共有多少种购买方案？盈利最多的方案是哪个？ 题型3 不等式组模块压轴题 【例3】综合与实践． 【实践主题】探究安全通过十字路口的条件． 【问题情境】如图，互相垂直的十字形的路口，长为m米，宽为n米，双向安装红绿灯，红绿灯的作用就是不让双方向的车挤在一起，具体来说就是确保一个方向先过，另一个方向再过，并以此规律循环． 【安全条件】条件一：一般的十字路口，红灯和绿灯的持续时间是不同的，红灯的时间总比绿灯长，例如当东西方向红灯亮时，南北方向的绿灯要经过若干秒才亮，这样才可以确保十字路口的交通安全． 条件二：如图所示，某十字路口东西方向和南北方向的道路宽窄一致．假设当绿灯亮时，骑车人A马上从等待线出发，若他不会与另一方向绿灯亮时马上从等待线出发的机动车B相撞，就意味着可以保证交通安全，所以必须设置合理的红绿灯时间差，才能保证十字路口的通行安全． 【实验数据】根据调查，某十字路口，通过此路口的自行车平均时速为，机动车平均时速为． (1)骑车人A需要骑行______米才能通过此十字路口． (2)若，，，假设此路口红绿灯实际时间差．能保证交通安全吗？ (3)欲保证此十字路口交通安全，请求出红绿灯时间差t应满足的条件． 【变式训练3-1】已知是数轴上两动点，且表示的数分别是，给出如下定义：若且，则称为“海丝数”；特别地，当是整数时，则称它为“海丝整数”． (1)下列三个数：，是“海丝数”的为__________． (2)已知关于的二元一次方程组中的均为“海丝数”，求整数所有可能的取值的和； (3)关于的不等式组的解集中恰好有4个“海丝整数”，若，求的最大值． 【变式训练3-2】如图，数轴上两点A、B对应的数分别是，1，点P是线段上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q，满足，那么我们把这样的点Q表示的数称为连动数，特别地，当点Q表示的数是整数时我们称为连动整数． (1)在，0，2，3.5四个数中，连动数有______（直接写出结果）； (2)若关于x的不等式组的解集中恰好有4个连动整数，求a的取值范围； (3)若k使得方程组中的x，y均为连动数，直接写出k所有可能的取值． 【变式训练3-3】十一黄金周（7天）期间，易达一家计划租车一周去旅行，在看过租车公司的方案后，认为有以下两种方案比较适合（注：两种车型的油耗相同）： 周租金/元 平均每天免费行驶（里程/千米） 超出免费里程费用（元/千米） A型 1740 100 B型 2640 220 解决下列问题： (1)如果此次旅行的总行程为800千米，请通过计算说明租用哪种型号的车划算． (2)设本次旅行行程为a千米（a是正整数），请通过计算说明如何根据旅行行程选择省钱的租车方案． 题型4 平面直角坐标系模块压轴题 【例4】在平面直角坐标系中，，，且满足，将线段平移得线段．点的对应点在轴上，点的对应点在轴上． (1)如图1，直接写出、、、四个点的坐标； (2)如图2，、分别平分、，求的度数； (3)如图3，连接交轴于点，在坐标轴上是否存在点，使得三角形的面积是三角形的面积的，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练4-1】如图1，平面直角坐标系中，已知点，，其中，满足，将点向右平移24个单位长度得到点． (1)求点和点的坐标； (2)如图1，点为线段上一动点，点从点以2个单位长度/秒的速度向点运动，同时点为线段上一动点，从点以3个单位长度/秒的速度向点运动，设运动的时间为秒（），四边形的面积记为（以下同理表示），若，求的取值范围； (3)如图2，在（2）的条件下，若时在轴上方有一点，满足，则的值为__________． 【变式训练4-2】在平面直角坐标系中，对于任意两点和，我们定义它们的“横纵差”为：．若，则称，两点互为“平衡点”例如：若点，，则，所以点，不是“平衡点”；若点，，则，所以点，互为“平衡点”． (1)若点的坐标是，下列各点中，与点互为“平衡点”的是 ； ①；②；③ (2)已知点，点，互为“平衡点”，小慧认为这样的点有无数个，请判断小慧的说法是否正确？若正确，请在平面直角坐标系中描出一些符合要求的点，并通过观察，写出你的一个猜想；若错误，请说明理由； (3)已知点，的坐标分别是，，点是轴上的一个动点．当点，互为“平衡点”，三角形的面积为3时，求的值． 【变式训练4-3】如图，在平面直角坐标系中，，坐标分别为、，且，满足：，现同时将点，分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，分别得到点，的对应点，，连接，，． (1)求，两点的坐标及四边形的面积； (2)点是线段上的一个动点，连接，，当点在上移动时（不与，重合），的值是否发生变化，并说明理由； (3)已知点在轴上，连接、，若的面积与四边形的面积相等，求点的坐标． 1．已知，点A、C分别在直线上． (1)如图1，请直接写出、、三个角满足的数量关系_______． (2)如图2，分别作与的角平分线，交于点F，判断与的数量关系并证明． (3)在图3中分别作与的角平分线，交于点M，过点B作CM的平行线，点N是这条平行线上的一点（且不与点B重合），直接写出与的数量关系___________． 2．如图，，点，分别在，上，点是与之间一点． (1)求证：． (2)如图2，，分别平分，，且，求的度数． (3)如图3，连接，，分别平分，，，请探究和的数量关系，并说明理由． 3．已知，点、分别是和上两个定点，的角平分线交于，点是直线上一个动点，且不与点、重合． (1)如图1，当时，请补全图1，已知，则____________； (2)如图2，平分交于，连接，设、、 ． ①当点在线段上，请证明：、与之间满足（不能直接用三角形相关知识）； ②当点在直线上运动时，、与之间的数量关系是否保持①中的结论不变？若不变，请说明理由，若发生改变，请直接写出、与之间所有其他可能的数量关系． 4．已知关于的方程组，其中，为整数． (1)若方程组有无穷多组解，求实数与的值； (2)当时，方程组是否有整数解？如有，求出整数解；若没有，请说明理由． 5．下表所示为装运甲、乙、丙三种蔬菜的重量及利润，某汽车公司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售（每辆汽车按规定满载，并且每辆汽车只能装一种蔬菜） 甲 乙 丙 每辆汽车能满装的吨数 2 1 1.5 每吨蔬菜可获得利润（百元） 5 7 4 公司计划用20辆汽车装运甲乙丙三种蔬菜36吨到某地销售（每种蔬菜不少于1车）， (1)试分析：有几种可能的方案？ (2)如何安排装运，可使公司获得最大利润？最大利润是多少？ 6．综合与实践 课题 设计裁切方案 素材1 如图1所示是一把学生椅，主要由椅背、椅座及铁架组成，如图2所示是椅背与椅座的尺寸示意图 素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款学生椅，经清点库存发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，现只需在市场上购进某型号板材加工制作该款学生椅的椅背与椅座，再与铁架进行组装．已知该工厂购进的板材长为，宽为（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一块该型号板材的所有裁切方法 方法一：裁切椅背15个和椅座0个； 方法二：裁切椅背8个和椅座________个； 方法三：裁切椅背______个和椅座8个 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进110块该型号板材，最多能制作成多少把学生椅 任务三 解决实际问题 现需要制作2000把学生椅，该工厂仓库现有260个椅座和80个椅背，还需要购买该型号板材多少块（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案 7．请阅读以下材料，并解决问题： 材料一：我们知道，解不等式组求解集有一口诀：大小小大取中间。对于解集取中间的不等式组（比如：，，，） ， 我们规定其“青一距离”均为， 不等式组的整数解称为不等式组的“求真点”．例如：的“青一距离”， “求真点”为，，0， 1， 2． 材料二：对于两个不等式组成的不等式组，我们求其解集就是分别解这两个不等式，再取其解集公共部分；类似的，对于三个或三个以上的不等式组成的不等式组，我们依然是分别解出每一个不等式，再求出它们解集的公共部分. (1)不等式组的“青一距离” ；“求真点”为 ； (2)若不等式组的“青一距离”，求m的取值范围； (3)若不等式组的“青一距离” ， 此时是否存在实数n使得关于y的不等式组恰有2个“求真点”，若存在，求出n的取值范围；若不存在，请说明理由． 8．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为．不等式组的解集为．因为，所以称方程为不等式组，的“相伴方程”． (1)下列方程是不等式组的“相伴方程”的是_____；（填序号） ①；②；③ (2)若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围； (3)若方程都是关于的不等式组的“相伴方程”，其中，求的取值范围． 9．在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：表示点到、轴的距离中的最大值，表示点到、轴的距离中的最大值，若，则称点是点的“倍等距点”．例如：对于点和，，，所以，所以点是点的“3倍等距点”． (1)已知点，，若点为点的“1倍等距点”，则的值为______； (2)已知正方形的四个顶点分别为，，，． ①已知点，若正方形边上存在一点，使得点是点的“2倍等距点”，求的取值范围；（   ） ②已知，，若正方形边上存在一点，线段上存在一点，使得点是点的“2倍等距点”，直接写出的取值范围． 10..在平面直角坐标系中，点，，，满足． (1)求三角形的面积； (2)如图，将点向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点，点在轴上且位于点左侧，连接交于点，连接，若三角形与三角形的面积相等，求点的坐标； (3)动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿轴向下运动，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿轴向左运动，点，同时出发，直线，交于点，在整个运动过程中，当三角形的面积为8时，求出点的坐标． 11．如图1，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，交y轴于点D． (1)直接写出点A的坐标 ，B的坐标 ，D的坐标 ； (2)E是射线上一动点，与的角平分线交于点F． ①如图2，当点E在线段上时，若，求的度数； ②如图3，当点E在线段的延长线上时，若，求的度数． (3)在射线上是否存在这样的点E，使，若存在，请直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由． 12．在平面直角坐标系中，对于点，和图形，将图形沿射线方向平移，平移距离为线段的长，得到图形，若点在图形上，则称点为图形关于点的“移动关联点”．如图，点，． (1)若点为线段关于点的“移动关联点”，则点可以是____；，，； (2)已知正方形，点，点，点，点． ①当时，点在上，若点为正方形关于点的“移动关联点”，则点的横坐标的取值范围是____； ②已知点，，点在正方形上，若线段上任意一点，都是线段关于点的“移动关联点”，直接写出的取值范围． 13．如图①，点的坐标为，点在轴上，将三角形沿轴正方向平移，平移后的图形为三角形，点的坐标为，且． (1)________，________，与关系为________，四边形的面积为________； (2)如图②，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点运动，设点的运动时间为秒，回答下列问题： ①当点在上运动时，若点的横坐标与纵坐标相等，则________秒； ②当点在上运动时，点的坐标为________；（用含的式子表示） ③当时，请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $