专题10.2 消元--解二元一次方程组（4大知识点+ 10大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年人教版七年级数学下学期培优讲义

本讲义聚焦“消元——解二元一次方程组”核心知识点，系统梳理消元思想（转化二元为一元），详解代入消元法（变形、代入等五步表格化步骤）和加减消元法（系数变形、加减等五步表格化步骤），并通过方法选择对比表构建从思想到方法再到应用的学习支架。 该资料以分层题型（基础必考、培优高频、压轴素养）设计为特色，表格化步骤与关键注意点培养数学思维（推理能力），错题问题、同解问题等题型发展创新意识，课中辅助教师高效授课，课后助力学生针对性练习，查漏补缺。

专题10.2 消元--解二元一次方程组 知识点1：消元思想 1.核心：将二元一次方程组转化为一元一次方程，把“二元”化简为“一元”，逐一求解未知数。 2.数学思想：转化思想，化复杂为简单、化未知为已知。 知识点2：代入消元法（代入法） 1.定义：把方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的代数式表示，代入另一个方程实现消元。 2.适用场景：方程组中有未知数的系数为或，或方程含常数项。 3.标准步骤（表格呈现）： 步骤 具体操作 关键注意 ①变形 化为或的形式 仅变形一个方程，不重复操作 ②代入 代入另一个未变形的方程 彻底消去一个未知数 ③求解 解一元一次方程，得一个未知数的值 移项必变号，去括号不漏乘 ④回代 代入变形式求另一个未知数 优先用变形式，计算最简 ⑤写解 联立为 必须用大括号规范书写 知识点3：加减消元法（加减法） 1.定义：同一未知数系数相等或互为相反数时，两方程相加/相减消去该未知数。 2.适用场景：同一未知数系数相等、相反或成整数倍关系。 3.标准步骤（表格呈现）： 步骤 具体操作 关键注意 ①变形 同乘适当数，使系数相等/相反 方程两边所有项同乘，不漏常数项 ②加减 系数相反→相加；系数相同→相减 等号两边同步运算，符号不出错 ③求解 解一元一次方程得一个未知数 系数化为1时留意符号 ④回代 代入简单方程求另一个未知数 选系数最小的方程回代 ⑤写解 联立为 严格规范解的格式 知识点4：两种消元方法的选择对比 消元方法 最优选择条件 计算特点 代入消元法 有未知数系数为 步骤直接，新手易掌握 加减消元法 同一未知数系数相等/相反/成倍数 计算快捷，适合复杂系数 【基础必考题型】 【题型1】用含一个未知数的代数式表示另一个未知数 1.核心知识点 二元一次方程的恒等变形；等式的基本性质。 2.解题方法技巧 ①移项：目标未知数留左侧，其余项右移，移项一定变号； ②化系数为1：两边同除未知数系数，注意负号不遗漏。 【例题1】.（25-26七年级上·安徽合肥·期末）将方程变形，用含的代数式表示，下列表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程，解题的关键是将x看成已知求出y．用含的式子表示，可先移项，再将系数化为1即得答案． 【详解】解：对， 移项，得， 系数化为1，得． 故选：A． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）已知方程，用含的式子表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解二元一次方程，将方程进行正确的变形是解答本题的关键． 将方程通过移项和除法变形为用表示的形式． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 故选：D． 【变式题1-2】.（24-25八年级上·四川成都·期末）把二元一次方程，用含x的代数式表示y，则可以表示为__________． 【答案】 【分析】本题考查了代入法解二元一次方程组；把x当作已知数，y当作未知数，解一元一次方程即可． 【详解】解：由， 移项得：； 故答案为：． 【变式题1-3】.（25-26七年级下·江苏苏州·月考）已知方程，请用关于y的代数式表示x．______． 【答案】 【分析】根据等式的性质进行变形即可． 【详解】解： ， ， ． 【题型2】代入消元法解基础二元一次方程组 1.核心知识点 代入消元法的步骤；一元一次方程求解。 2.解题方法技巧 ①优先选系数为的方程变形； ②变形式严禁代入原方程，避免循环代入。 【例题2】.（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）在解方程组的过程中，将②代入①可得（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的代入消元法，解题思路是将②中y的表达式代入①，再去括号化简即可得到结果． 【详解】解：对于方程组， 将②代入①，得 ， 去括号，得 ． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·河南周口·月考）用代入消元法解 ，代入后所得方程正确的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将第一个方程代入第二个方程，再去括号即可． 【详解】解：， 把①代入②，得 ，即． 故选：A． 【变式题2-2】.（2026七年级下·全国·专题练习）解方程组：． 【答案】 【分析】直接运用代入消元法求解即可． 【详解】解：， 将代入可得：， 解得， 将代入可得：， 所以该方程组的解为． 【变式题2-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）用代入法解方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组、一元一次方程的解法，熟练掌握代入消元法的步骤（变形、代入、求解、回代、写解）是解题的关键． （1）直接将方程组中已用含的式子表示的代入另一个方程，消去求出，再回代求出． （2）先将方程组中其中一个方程变形，用含的式子表示，再代入另一个方程消元，依次求出和的值． （3）先将方程组中系数较简单的方程变形，用含的式子表示，代入另一个方程消去求出，再回代求出． （4）先将方程组中的方程变形，用含的式子表示，代入另一个方程消元求解，再回代得到另一个未知数的值． 【详解】（1）解：把①代入②，得， 解得． 把代入①，得． 所以方程组的解为 （2）解：由①，得③， 把③代入②，得， 解得． 把代入③，得． 所以方程组的解为 （3）解：由②，得③， 把③代入①，得， 解得． 把代入③，得． 所以方程组的解为 （4）解：由①，得③， 把③代入②，得， 解得． 把代入③，得． 所以方程组的解为 【题型3】加减消元法直接求解 1.核心知识点 加减消元的基本规则；系数相反/相同的消元逻辑。 2.解题方法技巧 ①系数互为相反数→两式相加直接消元； ②系数相同→两式相减消元，相减时全项变号。 【例题3】.（25-26七年级下·河南周口·月考）已知方程组，则等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组，加减消元法，根据，运用得，方程两边同时除以3，得出，即可作答． 【详解】解：∵， ∴得， ∴． 【变式题3-1】.（2026·浙江湖州·一模）关于和的二元一次方程组的解是__________． 【答案】 【详解】解： ①②得， 即 解得：， 将代入①得， 解得： ∴方程组的解为： 【变式题3-2】.（25-26七年级下·福建泉州·月考）解方程组，下列做法正确的是（   ） A．将①代入②，消去x B．将①代入②，消去y C．，消去x D．，消去y 【答案】A 【分析】利用代入消元法和加减消元法，对各个选项的做法进行判断即可． 【详解】①代入②得：，， 消去了， A选项的做法正确，B选项的做法错误； 得：，不能消和， C，D选项的做法均错误， 【变式题3-3】.（25-26七年级下·山东聊城·月考）解方程组： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)用加减消元法解方程组即可； (2)首先，将方程①按照去分母，去括号，移项，合并同类项的方法整理成整式方程，再按照加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：，得，解得， 把代入②，得，解得， ∴原方程组的解为； （2）解：将①整理，得， ，得，解得， 把代入②，得，解得， ∴原方程组的解为． 【培优高频题型】 【题型4】错解问题求方程组字母系数 1.核心知识点 方程组解的定义；错解仅满足未看错的方程。 2.解题方法技巧 ①看错系数的解→代入没看错的方程； ②联立方程，求解字母系数。 【例题4】.（25-26八年级上·陕西西安·月考）甲、乙两名同学在讨论方程的解时，甲得出一组正确的解为，乙将a与b的位置看错了，得出一组解为，求原方程中a，b的值． 【答案】， 【分析】本题考查了二元一次方程的解． 将代入得到，将代入得到，求解方程组即可． 【详解】解：将代入得到， 乙将a与b的位置看错了，得出一组解为， 则将代入得到， 可得， ，得， 解得． 将代入①，得， 解得． 【变式题4-1】.（25-26六年级上·上海普陀·月考）甲、乙两位同学解方程组，甲抄错了方程①，解得，乙把方程②抄错了，解得，求、的值及原方程组的解． 【答案】，，原方程组的解为 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用． 首先根据甲看错了①得，然后根据乙看错了②得，进而解方程组求得a、b值，得到原方程组为，然后利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：根据题意，把代入中，得 把代入中，得 得，解得 将代入③，得，解得， ∴原方程组为 得，，解得 将代入②，得，解得 ∴原方程组的解为． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·江西九江·月考）下面是小贤同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组：． 解：①，得，③第一步 ②，得，④第二步 ③＋④，得，解得，第三步 把代入①，得，第四步 ∴原方程组的解为，第五步 (1)小贤求解二元一次方程组的方法叫作______法，以上求解步骤中，第______步开始出现错误． (2)请写出此题正确的解答过程． 【答案】(1)加减消元；四； (2)见解析． 【分析】本题考查了加减消元法，二元一次方程组的错解复原问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据所给的解题过程确定解法，从中找出错误步骤； （2）利用加减消元求解即可． 【详解】（1）解：小贤求解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，以上求解步骤中，第四步开始出现错误， 故答案为：加减消元；四． （2）解：①，得，③ ②，得，④ ③④，得， 解得：， 把代入①，得， ∴原方程组的解为． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·全国·周测）小红与小明两人共同解关于，的二元一次方程组在计算过程中，他们都出现了错误．根据下面的对话，试求出，的正确值，并计算的值． 【答案】，；0 【分析】小明看错了方程①中的，但他的解对于方程②是成立的，因此可以代入方程②求出的值； 小红看错了方程②中的，但她的解对于方程①是成立的，因此可以代入方程①求出的值； 最后将、的值代入代数式计算结果． 【详解】解：将代入②，得，解得． 将代入①，得，解得． 故． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的错解问题，解题关键是明确：看错某个方程的系数，意味着该解对于另一个未看错系数的方程是成立的，从而代入求解． 【题型5】同解方程组求字母参数 1.核心知识点 同解方程组的公共解满足所有方程。 2.解题方法技巧 ①联立不含字母的两个方程，求出公共解； ②公共解代入含参方程，计算参数值。 【例题5】.（25-26七年级下·四川内江·月考）已知关于x，y的方程组和的解相同，求代数式的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据题意可得x、y是方程组的解，解方程组求出x、y的值，进而得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵关于x、y的方程组的解和的解相同， ∴x、y是方程组的解， 解方程组，得， 将代入另外两个方程得：，解得， ∴． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·陕西西安·期末）已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了二元一次方程组，解二元一次方程组，代数式求值，掌握解二元一次方程组的步骤是关键． （1）根据题意，联立新的方程组，，解方程组即可； （2）把（1）中的解代入联立的方程组，求出、的值，再代入即可求解． 【详解】（1）解：二元一次方程组与方程组有相同的解， 联立方程组得，， 得，，解得， 把代入得，，解得， 这两个方程组相同的解为：； （2）根据题意，把代入方程组， 得， 得，，解得， 把代入得，，解得， 方程组的解为， ． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·江苏苏州·月考）已知方程组和有相同的解，求a、b的值． 【答案】， 【分析】将两个方程组的第一个方程联立求出x和y的值，再代入另外两个方程得到关于a和b的二元一次方程组，从而求出a、b的值． 【详解】解：∵方程组和有相同的解， ∴①和③联立方程组得：， 解得：， 将代入②和④，并联立方程组得：， 解得：， 即a、b的值分别为、7． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·四川达州·期末）已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解是使每个方程左右两边相等的未知数的值． （1）根据已知条件，重新把不含a、b的两个方程联立成方程组，利用加减消元法求出x、y的值即可； （2）把（1）中求出的，分别代入和，得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b，再代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 得：， 得：， 解得： 把代入得：， ∴相同的解为：； （2）把（1）中所求的，分别代入和得： ， 得：， 得：， 解得：， 把代入得：， ∴． 【题型6】系数轮换型方程组加减巧解 1.核心知识点 加减消元灵活运用；整体简化思想。 2.解题方法技巧 ①形如，两式相加得，两式相减得； ②联立简化方程，快速得解。 【例题6】.（25-26七年级下·山东东营·月考）已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程组的解代入方程组，通过加减法求出的值，再根据算术平方根的定义即可求解． 【详解】解：∵是二元一次方程组的解， ∴， ，得， ∴ ∴的算术平方根为． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·福建漳州·期末）已知关于，的方程组，如果，那么的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查已知式子的值，求二元一次方程组的参数，将方程组转化为与相关的式子，代入计算即可． 【详解】解： 得， ∵， ∴， 解得， 故选B． 【变式题6-2】.（2026·山东枣庄·一模）若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为______． 【答案】4 【分析】将两个方程相加，可得，结合列出关于k的方程，即可求解． 【详解】解： 得，， ， ， ， ． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·广东梅州·期末）关于x、y的方程组，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，解题的关键是掌握二元一次方程组的特殊解法． 通过将两个方程相加，消去参数a，直接求出的值． 【详解】解：将方程组中的两个方程相加，得，即， 故答案为：． 【压轴素养题型】 【题型7】整体换元解同构二元一次方程组 1.核心知识点 同构方程组的结构特征；整体换元思想；二元一次方程组解的定义。 2.解题方法技巧 ①对标已知方程组，将新方程重组为同构形式； ②设整体为新元，直接套用已知解列简易方程； ③解简易方程得原未知数的值。 【例题7】.（25-26七年级上·福建莆田·期末）若关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解是_____． 【答案】 【分析】利用整体换元思想，将所求方程组变形后结合已知原方程组的解求解． 【详解】解：将方程组整理变形得：， ∵关于，的二元一次方程组的解为， ∴， ∴． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·浙江金华·月考）若关于的二元一次方程组的解为，则方程组的解为__________． 【答案】 【分析】换元法解方程组即可. 【详解】解：∵关于的二元一次方程组的解为， ∴方程组即的解满足， 解得. 【变式题7-2】.（25-26八年级上·全国·假期作业）已知方程组的解是，老师让同学们解方程组，小聪先觉得这道题好像条件不够，后将方程组中的两个方程两边同除以5，整理得，运用换元思想，得，所以方程组的解为．现给出方程组的解是，请你写出方程组的解__． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，分析阅读数学材料的能力，能够读懂阅读材料，分析清楚示范材料是解题的关键． 根据示例运用换元思想和整体思想可列出简易方程，再解方程即可解答． 【详解】方程组的解是， 由方程组得，， 解得，， 故答案为：． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·山东东营·月考）本册教材页中，我们曾探究过二元一次方程组的换元法：简单说：把方程组里某一个复杂的式子，用一个新字母代替，让方程变简单，再解．本质就是“简化式子”，再变回原来的未知数． (1)【知识累计】解方程组； (2)【拓展提高】运用换元法可以解下列方程组： 解方程组 解：设，原方程组可变为 由（1）中的解可得新方程组__________，解得_________， (3)【能力运用】已知关于x，y的方程组的解为， 求关于m、n的方程组的解． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）根据（1）和题意可得方程组，解之即可得到答案； （3）仿照题（2）求解即可． 【详解】（1）解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； （2）解：由（1）得， 解得； （3）解：设，则方程组可变为， ∵关于x，y的方程组的解为 ∴得新方程组， 解得． 【题型8】含参二元一次方程组的特殊解与参数综合 1.核心知识点 含参二元一次方程组消元求解 特殊解（和定值、相反数、整数解、固定解）的条件转化 新定义运算与方程组的结合应用 2.解题方法技巧 整体加减等特殊式，简化参数计算 含参方程固定解：分离参数，令参数系数为0求解 整数解：分析分母因数，确定参数的整数值 新定义：转化为常规方程组，再结合特殊解条件求参 【例题8】.若二元一次方程组的解满足方程，则k为（   ） A．2020 B．2022 C．2024 D．2026 【答案】B 【分析】本题利用加减消元法，将方程组两个方程相加凑出的含的表达式，再结合已知条件求解． 【详解】解：， 将得， 整理得， 两边同除以得， ， ， ． 【变式题8-1】.对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数，已知，． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组的解x，y互为相反数，求m的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新定义可得方程组，解之即可得到答案； （2）根据（1）所求和新定义可得，解方程组得到，根据相反数的定义得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，且，， ∴， ∴； （2）解：∵，且， ∴ 得，解得， 把代入②得，解得， ∴关于x、y的方程组的解为， ∵关于x，y的方程组的解x，y互为相反数， ∴， ∴， ∴． 【变式题8-2】.已知关于的方程组． (1)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解； (2)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（）由固定的解与无关，可得，代入可得固定的解； （）求出方程组中的值，根据恰为整数，也为整数，可确定的值． 【详解】（1）解：， 整理得， ∵该方程的解与的取值无关， ∴且， 解得：， 即固定的解为； （2）解：方程组， 得：， ∴， ∴， ∵恰为整数，也为整数， ∴或， 故或． 【变式题8-3】.已知关于x，y的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解． (2)若方程组的解满足，求的值． 【答案】(1)，，； (2) 【分析】（1）根据正整数解的定义进行解答即可； （2）求出方程组的解，再代入进行计算即可． 【详解】解：（1）方程， 当时，， 当时，， 当时，， 则方程的正整数解有，，； （2）方程组的解为， 把代入得，， 解得． 【题型9】含参二元一次方程组有解/无解的讨论 1.核心知识点 含参消元；一元一次方程解的分类。 2.解题方法技巧 ①消元后化为形式； ②分三类讨论：（唯一解）、（无数解）、（无解）。 【例题9】.已知关于，的二元一次方程组无解，请写出一组符合条件的，的值：________． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，根据关于，的二元一次方程组无解，直接得出a、b的值即可． 【详解】解：∵关于，的二元一次方程组无解， ∴，即且 ∴，． 故答案为：，（答案不唯一）． 【变式题9-1】.关于x，y的方程组有唯一解，则k应满足的条件为（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据题意得到，进而求解即可． 【详解】因为方程组有唯一解， 所以，得． 故选：D． 【变式题9-2】.选择一组a，c的值，使方程组①有无数组解；②无解；③有唯一的解． 【答案】①当时，方程组有无数组解；②当时，方程组无解；③当，不论c取何值时，方程组有唯一的解 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组解的定义．根据①当时，方程组有无数组解（因为两个方程等效）；②当时，方程组无解（因为两个方程矛盾）；③当（即）时，方程组有唯一的解，且唯一的解为． 【详解】解：①当时，方程组有无数组解，解得． ②当时，方程组无解，解得． ③当时，方程组有唯一的解，即当时，不论c取何值，原方程组都有唯一的解． 【变式题9-3】.二元一次方程组有可能无解．例如方程组无解，原因是将①×2，得，它与②式存在矛盾，导致原方程组无解．若关于的方程组无解，求必须满足的条件． 【答案】且 【分析】本题考查二元一次方程组的求解．根据题意可知，方程组无解，则方程组内左边相同，右边不同，据此即可解答． 【详解】解：， ，得， 由题意知，且，解得且． 【题型10】新定义型二元一次方程组问题 1.核心知识点 新定义转化；方程组综合应用。 2.解题方法技巧 ①把新定义翻译为常规数学关系； ②用代入/加减法求解，验证符合新定义。 【例题10】.定义：关于的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，例如：与互为“对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“对称二元一次方程”； (2)关于的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程，解二元一次方程组，新定义． （1）根据“对称二元一次方程”的定义即可得解； （2）根据“对称二元一次方程”的定义可得关于的二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：方程的“对称二元一次方程”是； （2）解：由题意得， 解得， 即． 【变式题10-1】.定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义方程，涉及解一元一次方程及二元一次方程组等知识，理解“和谐方程”的定义是解决问题的关键． （1）先分别解出方程与方程，再由“和谐方程”定义得到求解即可确定答案； （2）设另一个方程的解为，由题意及“和谐方程”定义列方程组；求解即可得到答案． 【详解】（1）解：解得；解得； 关于的方程与方程是“和谐方程”， ， 解得； （2）解：设另一个方程的解为， 其中一个解为，“和谐方程”的两个解的差为4， ， 则或； 两个方程为“和谐方程”， ； 当时，解得； 当时，解得； 的值为． 【变式题10-2】.阅读与理解． 阅读下面的素材，完成给定的任务． 素材一：二阶行列式是由矩阵的元素按照特定规则计算出的一个数值，其运算规则是．例如：． 素材二：克莱姆法则是一种用行列式求解方程组的方法，适用于方程的个数等于未知数个数且系数行列式不为零的情况．例如：对于二元一次方程组，如果系数行列式，记，，则该方程组的解为，． 任务： (1)仿照素材一，用含的代数式表示：________，若的值为3，则的值为________． (2)用“克莱姆法则”求解二元一次方程组． 【答案】(1)，9 (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组、一元一次方程，正确理解克莱姆法则是解题关键． （1）根据二阶行列式的法则即可得，再建立一个关于的一元一次方程，解方程即可得； （2）根据克莱姆法则分别求出，，的值，由此即可得． 【详解】（1）解：， ∵的值为3， ∴， 解得， 故答案为：，9． （2）解：， 系数行列式， ，， 则方程组的解为，， 即方程组的解为． 【变式题10-3】.阅读与思考 新定义：规定用一组有序数对表示一个点，通常用括号和逗号将两个数隔开来表示，第一个数叫做点的横坐标，第二个数叫做点的纵坐标．如点． ①已知点，且、为有理数． 当、满足时，就称点为“理想点”． 例如：点，令，得 不是“理想点”； 点，令，得 是“理想点”． ②已知点，且为有理数．当满足时，就称点为“开心点”．反之，当点为“开心点”时，则． 认真阅读上面材料，完成下面问题： (1)请仿照上述材料中①的方法判断点是否为“理想点”． (2)已知是二元一次方程组的解，若点是“开心点”，求的值． 【答案】(1)点不是“理想点” (2) 【分析】本题考查新定义，以及二元一次方程组的解法；解题关键是理解新定义以及样例的解法，解二元一次方程组时，先观察再选择合适方法求解． （1）仿照材料中①的方法，列出方程即可判断； （2）先解出二元一次方程组的解，再根据定义，列出求解． 【详解】（1）解：令得， ∵， ∴点不是“理想点”． （2）由①+②，得， 解得， 将代入②，得， ∴， ∵点是“开心点”， ∴， ∴， 解得． 答：的值为． 易错点 1.代入消元时，将变形式代入原变形方程，出现循环代入得恒等式。 2.加减消元时，方程两边乘倍数漏乘常数项，或相减时符号出错。 3.去括号/去分母时，忽略负号，括号内项未全部变号。 4.书写方程组的解时，未用大括号联立，或未知数顺序颠倒。 5.错解问题中，将错解代入看错的方程，导致计算错误。 6.含参方程组讨论时，遗漏的特殊情况，错判解的个数。 重点 1.理解消元思想，熟练掌握代入法、加减法的完整步骤。 2.能根据方程组系数特点，快速选择最优消元方法。 3.会化简含分母、括号的复杂二元一次方程组。 4.能利用方程组的解求字母系数，解决错解、同解问题。 5.用消元法解决基础实际应用问题。 难点 1.灵活选用消元方法，快速简化复杂方程组。 2.整体思想、换元思想在特殊方程组中的应用。 3.含参数二元一次方程组的解的情况分类讨论。 4.从创新情境、跨学科背景中提取等量关系建模。 5.新定义题型中，将陌生规则转化为常规方程组问题。 【对应练习题】 一、单选题 1．由关于的二元一次方程组，可得与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用代入消元法消去参数m，整理即可得到x与y的关系. 【详解】解： 把①代入②，得， 整理，得. 2．方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方程组运用加减法求解即可． 【详解】解： 得，， 解得， 把代入①得：， 解得， 所以，方程组的解为． 3．如果与互为相反数，那么x，y的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相反数的定义得到两个代数式的和为0，利用平方和绝对值的非负性列出二元一次方程组，解方程组即可得到x，y的值． 【详解】∵与互为相反数， ∴， ∵任意实数的平方和任意实数的绝对值都是非负数，几个非负数的和为0，则每个非负数都为0， ∴， 整理得， 由①得，代入②得 ， 展开得， 解得， 将代入得， 即． 二、填空题 4．由可以得到用含的式子表示为___________． 【答案】 【分析】利用等式的基本性质对原式变形即可求解． 【详解】解：， 移项得， 等式两边同时除以，得． 5．已知关于x，y的二元一次方程组的解均为整数，若k为正整数，则满足条件的k值个数为________． 【答案】3 【详解】解：， 由②得， 将代入①得， 整理得，即， ∵关于x，y的二元一次方程组的解均为整数， ∴或， 解得或或13或， ∵k为正整数， ∴或或13，共3个． 6．已知关于x，y的二元一次方程组的解，同时也是方程的解，则____． 【答案】 【分析】先根据方程组得出，再根据得出，求出k的值即可． 【详解】解：， 得：， 又∵， ∴， 解得：， ∴k的值为． 三、解答题 7．解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用加减消元法求解即可； （2）先整理方程组，再用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， ∴原方程组的解是； （2）解：原方程整理得： 得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， ∴原方程组的解是． 8．解下列方程组并完成相应任务 (1) (2)下面是小华同学解方程组的过程，请你观察计算过程，回答下面问题． 解：得：③   第一步 得：               第二步 将代入②得：．        第三步 所以该方程的解是         第四步 ①这种求解二元一次方程组的方法叫做______________；其中第一步这样做的依据是_______________； ②第_________步开始出现了错误，请你写出方程组正确的解___________________． 【答案】(1) (2)①加减消元法，等式的基本性质2；②第二步， 【分析】（1）加减消元法解方程组即可； （2）①根据等式的性质，作答即可；②根据加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， ，得，解得； 把代入①，得，解得； ∴； （2）解：①这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，其中第一步这样做的依据是等式的基本性质2； ②第二步出错； 得：③ 得：，解得； 将代入②得，解得． 所以该方程组的解是． 9．阅读理解： 【知识背景】在现代高等代数领域中，可以将关于x，y的二元一次方程组的系数排成一个表，这种由数排成的表叫做矩阵． 例如：二元一次方程组可以写成矩阵的形式． 【知识应用】 (1)将二元一次方程组写成矩阵形式为______； (2)二元一次方程组写成矩阵形式为，则______，______； (3)若矩阵所对应的二元一次方程组的解为，求a与b的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查了矩阵的定义，二元一次方程组的解，以及代数式求值等知识，理解矩阵的定义是解题的关键． （1）根据矩阵的定义即可得出答案． （2）先移项，然后根据矩阵的定义即可得出答案． （3）根据矩阵的定义得出二元一次方程组，然后代入二元一次方程组的解，即可得出a，b的值． 【详解】（1）解：二元一次方程组写成矩阵形式为：， （2）解：二元一次方程组即写成矩阵形式为 ∴ （3）∵矩阵所对应的二元一次方程组为， 把代入方程组可得出：． 解得：． 10．【阅读理解】 （Ⅰ）《九章算术》在方程方面的研究颇有建树．下图所示的算筹图呈现了两个二元一次方程组，把它们写成我们现在的方程组是与   （Ⅱ）对于二元一次方程组，我们可以将的系数和相应的常数项排成一个数表，通过运算使数表变为，即可求得该方程组的解为 例：用数表求解二元一次方程组的过程如下： 所以原方程组的解为 【解决问题】 (1)直接写出如图表示的关于x，y的二元一次方程组：________；    (2)分别按照常规方法和数表求解（1）中你写出的二元一次方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得第一个数是x的系数，第二个数是y的系数，后面的数是等号右边的常数项，且一个短竖算筹表示1，一个短横算筹表示10”，短竖算筹和短横算筹构成的数，短横算筹表示5，一个短竖算筹表示1，它们的和就是该数，解得即可； （2）用加减消元法和数表法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，第一个方程中，x的系数为1，y的系数为5，常数项是17，第二个方程中，x的系数为1，y的系数为2，常数项是14， 故方程组为：； （2）解：常规方法： ，得， 解得． 将代入①，得， 解得． 故原方程组的解为 数表： 所以原方程组的解为 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.2 消元--解二元一次方程组 知识点1：消元思想 1.核心：将二元一次方程组转化为一元一次方程，把“二元”化简为“一元”，逐一求解未知数。 2.数学思想：转化思想，化复杂为简单、化未知为已知。 知识点2：代入消元法（代入法） 1.定义：把方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的代数式表示，代入另一个方程实现消元。 2.适用场景：方程组中有未知数的系数为或，或方程含常数项。 3.标准步骤（表格呈现）： 步骤 具体操作 关键注意 ①变形 化为或的形式 仅变形一个方程，不重复操作 ②代入 代入另一个未变形的方程 彻底消去一个未知数 ③求解 解一元一次方程，得一个未知数的值 移项必变号，去括号不漏乘 ④回代 代入变形式求另一个未知数 优先用变形式，计算最简 ⑤写解 联立为 必须用大括号规范书写 知识点3：加减消元法（加减法） 1.定义：同一未知数系数相等或互为相反数时，两方程相加/相减消去该未知数。 2.适用场景：同一未知数系数相等、相反或成整数倍关系。 3.标准步骤（表格呈现）： 步骤 具体操作 关键注意 ①变形 同乘适当数，使系数相等/相反 方程两边所有项同乘，不漏常数项 ②加减 系数相反→相加；系数相同→相减 等号两边同步运算，符号不出错 ③求解 解一元一次方程得一个未知数 系数化为1时留意符号 ④回代 代入简单方程求另一个未知数 选系数最小的方程回代 ⑤写解 联立为 严格规范解的格式 知识点4：两种消元方法的选择对比 消元方法 最优选择条件 计算特点 代入消元法 有未知数系数为 步骤直接，新手易掌握 加减消元法 同一未知数系数相等/相反/成倍数 计算快捷，适合复杂系数 【基础必考题型】 【题型1】用含一个未知数的代数式表示另一个未知数 1.核心知识点 二元一次方程的恒等变形；等式的基本性质。 2.解题方法技巧 ①移项：目标未知数留左侧，其余项右移，移项一定变号； ②化系数为1：两边同除未知数系数，注意负号不遗漏。 【例题1】.（25-26七年级上·安徽合肥·期末）将方程变形，用含的代数式表示，下列表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）已知方程，用含的式子表示为（   ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（24-25八年级上·四川成都·期末）把二元一次方程，用含x的代数式表示y，则可以表示为__________． 【变式题1-3】.（25-26七年级下·江苏苏州·月考）已知方程，请用关于y的代数式表示x．______． 【题型2】代入消元法解基础二元一次方程组 1.核心知识点 代入消元法的步骤；一元一次方程求解。 2.解题方法技巧 ①优先选系数为的方程变形； ②变形式严禁代入原方程，避免循环代入。 【例题2】.（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）在解方程组的过程中，将②代入①可得（    ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·河南周口·月考）用代入消元法解 ，代入后所得方程正确的是 （   ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（2026七年级下·全国·专题练习）解方程组：． 【变式题2-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）用代入法解方程组： (1) (2) (3) (4) 【题型3】加减消元法直接求解 1.核心知识点 加减消元的基本规则；系数相反/相同的消元逻辑。 2.解题方法技巧 ①系数互为相反数→两式相加直接消元； ②系数相同→两式相减消元，相减时全项变号。 【例题3】.（25-26七年级下·河南周口·月考）已知方程组，则等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式题3-1】.（2026·浙江湖州·一模）关于和的二元一次方程组的解是__________． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·福建泉州·月考）解方程组，下列做法正确的是（   ） A．将①代入②，消去x B．将①代入②，消去y C．，消去x D．，消去y 【变式题3-3】.（25-26七年级下·山东聊城·月考）解方程组： (1) (2)． 【培优高频题型】 【题型4】错解问题求方程组字母系数 1.核心知识点 方程组解的定义；错解仅满足未看错的方程。 2.解题方法技巧 ①看错系数的解→代入没看错的方程； ②联立方程，求解字母系数。 【例题4】.（25-26八年级上·陕西西安·月考）甲、乙两名同学在讨论方程的解时，甲得出一组正确的解为，乙将a与b的位置看错了，得出一组解为，求原方程中a，b的值． 【变式题4-1】.（25-26六年级上·上海普陀·月考）甲、乙两位同学解方程组，甲抄错了方程①，解得，乙把方程②抄错了，解得，求、的值及原方程组的解． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·江西九江·月考）下面是小贤同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组：． 解：①，得，③第一步 ②，得，④第二步 ③＋④，得，解得，第三步 把代入①，得，第四步 ∴原方程组的解为，第五步 (1)小贤求解二元一次方程组的方法叫作______法，以上求解步骤中，第______步开始出现错误． (2)请写出此题正确的解答过程． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·全国·周测）小红与小明两人共同解关于，的二元一次方程组在计算过程中，他们都出现了错误．根据下面的对话，试求出，的正确值，并计算的值． 【题型5】同解方程组求字母参数 1.核心知识点 同解方程组的公共解满足所有方程。 2.解题方法技巧 ①联立不含字母的两个方程，求出公共解； ②公共解代入含参方程，计算参数值。 【例题5】.（25-26七年级下·四川内江·月考）已知关于x，y的方程组和的解相同，求代数式的值． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·陕西西安·期末）已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·江苏苏州·月考）已知方程组和有相同的解，求a、b的值． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·四川达州·期末）已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解． (2)求的值． 【题型6】系数轮换型方程组加减巧解 1.核心知识点 加减消元灵活运用；整体简化思想。 2.解题方法技巧 ①形如，两式相加得，两式相减得； ②联立简化方程，快速得解。 【例题6】.（25-26七年级下·山东东营·月考）已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为（   ） A． B． C． D． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·福建漳州·期末）已知关于，的方程组，如果，那么的值是（  ） A． B． C． D． 【变式题6-2】.（2026·山东枣庄·一模）若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为______． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·广东梅州·期末）关于x、y的方程组，则的值为______． 【压轴素养题型】 【题型7】整体换元解同构二元一次方程组 1.核心知识点 同构方程组的结构特征；整体换元思想；二元一次方程组解的定义。 2.解题方法技巧 ①对标已知方程组，将新方程重组为同构形式； ②设整体为新元，直接套用已知解列简易方程； ③解简易方程得原未知数的值。 【例题7】.（25-26七年级上·福建莆田·期末）若关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解是_____． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·浙江金华·月考）若关于的二元一次方程组的解为，则方程组的解为__________． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·全国·假期作业）已知方程组的解是，老师让同学们解方程组，小聪先觉得这道题好像条件不够，后将方程组中的两个方程两边同除以5，整理得，运用换元思想，得，所以方程组的解为．现给出方程组的解是，请你写出方程组的解__． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·山东东营·月考）本册教材页中，我们曾探究过二元一次方程组的换元法：简单说：把方程组里某一个复杂的式子，用一个新字母代替，让方程变简单，再解．本质就是“简化式子”，再变回原来的未知数． (1)【知识累计】解方程组； (2)【拓展提高】运用换元法可以解下列方程组： 解方程组 解：设，原方程组可变为 由（1）中的解可得新方程组__________，解得_________， (3)【能力运用】已知关于x，y的方程组的解为， 求关于m、n的方程组的解． 【题型8】含参二元一次方程组的特殊解与参数综合 1.核心知识点 含参二元一次方程组消元求解 特殊解（和定值、相反数、整数解、固定解）的条件转化 新定义运算与方程组的结合应用 2.解题方法技巧 整体加减等特殊式，简化参数计算 含参方程固定解：分离参数，令参数系数为0求解 整数解：分析分母因数，确定参数的整数值 新定义：转化为常规方程组，再结合特殊解条件求参 【例题8】.若二元一次方程组的解满足方程，则k为（   ） A．2020 B．2022 C．2024 D．2026 【变式题8-1】.对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数，已知，． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组的解x，y互为相反数，求m的值； 【变式题8-2】.已知关于的方程组． (1)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解； (2)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【变式题8-3】.已知关于x，y的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解． (2)若方程组的解满足，求的值． 【题型9】含参二元一次方程组有解/无解的讨论 1.核心知识点 含参消元；一元一次方程解的分类。 2.解题方法技巧 ①消元后化为形式； ②分三类讨论：（唯一解）、（无数解）、（无解）。 【例题9】.已知关于，的二元一次方程组无解，请写出一组符合条件的，的值：________． 【变式题9-1】.关于x，y的方程组有唯一解，则k应满足的条件为（        ） A． B． C． D． 【变式题9-2】.选择一组a，c的值，使方程组①有无数组解；②无解；③有唯一的解． 【变式题9-3】.二元一次方程组有可能无解．例如方程组无解，原因是将①×2，得，它与②式存在矛盾，导致原方程组无解．若关于的方程组无解，求必须满足的条件． 【题型10】新定义型二元一次方程组问题 1.核心知识点 新定义转化；方程组综合应用。 2.解题方法技巧 ①把新定义翻译为常规数学关系； ②用代入/加减法求解，验证符合新定义。 【例题10】.定义：关于的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，例如：与互为“对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“对称二元一次方程”； (2)关于的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，求的值． 【变式题10-1】.定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值． 【变式题10-2】.阅读与理解． 阅读下面的素材，完成给定的任务． 素材一：二阶行列式是由矩阵的元素按照特定规则计算出的一个数值，其运算规则是．例如：． 素材二：克莱姆法则是一种用行列式求解方程组的方法，适用于方程的个数等于未知数个数且系数行列式不为零的情况．例如：对于二元一次方程组，如果系数行列式，记，，则该方程组的解为，． 任务： (1)仿照素材一，用含的代数式表示：________，若的值为3，则的值为________． (2)用“克莱姆法则”求解二元一次方程组． 【变式题10-3】.阅读与思考 新定义：规定用一组有序数对表示一个点，通常用括号和逗号将两个数隔开来表示，第一个数叫做点的横坐标，第二个数叫做点的纵坐标．如点． ①已知点，且、为有理数． 当、满足时，就称点为“理想点”． 例如：点，令，得 不是“理想点”； 点，令，得 是“理想点”． ②已知点，且为有理数．当满足时，就称点为“开心点”．反之，当点为“开心点”时，则． 认真阅读上面材料，完成下面问题： (1)请仿照上述材料中①的方法判断点是否为“理想点”． (2)已知是二元一次方程组的解，若点是“开心点”，求的值． 易错点 1.代入消元时，将变形式代入原变形方程，出现循环代入得恒等式。 2.加减消元时，方程两边乘倍数漏乘常数项，或相减时符号出错。 3.去括号/去分母时，忽略负号，括号内项未全部变号。 4.书写方程组的解时，未用大括号联立，或未知数顺序颠倒。 5.错解问题中，将错解代入看错的方程，导致计算错误。 6.含参方程组讨论时，遗漏的特殊情况，错判解的个数。 重点 1.理解消元思想，熟练掌握代入法、加减法的完整步骤。 2.能根据方程组系数特点，快速选择最优消元方法。 3.会化简含分母、括号的复杂二元一次方程组。 4.能利用方程组的解求字母系数，解决错解、同解问题。 5.用消元法解决基础实际应用问题。 难点 1.灵活选用消元方法，快速简化复杂方程组。 2.整体思想、换元思想在特殊方程组中的应用。 3.含参数二元一次方程组的解的情况分类讨论。 4.从创新情境、跨学科背景中提取等量关系建模。 5.新定义题型中，将陌生规则转化为常规方程组问题。 【对应练习题】 一、单选题 1．由关于的二元一次方程组，可得与的关系是（    ） A． B． C． D． 2．方程组的解是（　　） A． B． C． D． 3．如果与互为相反数，那么x，y的值是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 4．由可以得到用含的式子表示为___________． 5．已知关于x，y的二元一次方程组的解均为整数，若k为正整数，则满足条件的k值个数为________． 6．已知关于x，y的二元一次方程组的解，同时也是方程的解，则____． 三、解答题 7．解方程组 (1) (2) 8．解下列方程组并完成相应任务 (1) (2)下面是小华同学解方程组的过程，请你观察计算过程，回答下面问题． 解：得：③   第一步 得：               第二步 将代入②得：．        第三步 所以该方程的解是         第四步 ①这种求解二元一次方程组的方法叫做______________；其中第一步这样做的依据是_______________； ②第_________步开始出现了错误，请你写出方程组正确的解___________________． 9．阅读理解： 【知识背景】在现代高等代数领域中，可以将关于x，y的二元一次方程组的系数排成一个表，这种由数排成的表叫做矩阵． 例如：二元一次方程组可以写成矩阵的形式． 【知识应用】 (1)将二元一次方程组写成矩阵形式为______； (2)二元一次方程组写成矩阵形式为，则______，______； (3)若矩阵所对应的二元一次方程组的解为，求a与b的值． 10．【阅读理解】 （Ⅰ）《九章算术》在方程方面的研究颇有建树．下图所示的算筹图呈现了两个二元一次方程组，把它们写成我们现在的方程组是与   （Ⅱ）对于二元一次方程组，我们可以将的系数和相应的常数项排成一个数表，通过运算使数表变为，即可求得该方程组的解为 例：用数表求解二元一次方程组的过程如下： 所以原方程组的解为 【解决问题】 (1)直接写出如图表示的关于x，y的二元一次方程组：________；    (2)分别按照常规方法和数表求解（1）中你写出的二元一次方程组． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $