5.2 平面向量基本定理及坐标表示（精讲）备战2027年高考数学一轮复习精讲精练全国通用

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量基本定理及坐标表示核心考点，以定理内涵、坐标运算、共线条件为知识主线，通过知识复习系统梳理基底概念、坐标运算规则及共线判定方法，结合六大类典型例题构建“考点—方法—应用”的复习框架，助力学生突破向量表示与运算难点。 讲义采用分层典例教学与建模思维训练策略，如典例一通过三角形中点、三等分点问题培养几何直观与抽象能力，典例五结合坐标方程求解参数强化运算推理，设置基础到综合的梯度训练，有效提升学生用数学语言表达向量关系的能力，为教师把控复习节奏提供精准素材支撑。

5.2 平面向量基本定理及坐标表示（精讲） 第一部分：知识复习 1．平面向量基本定理 (1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. (2)基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 2．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. 3．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. [常用结论] 1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. 2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为. 3．已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则点G的坐标为. 第二部分：典型例题 典例一：平面向量基本定理的应用 1．（广东清远市2025-2026学年第二学期高一供题训练数学试卷）如图，在中，D，E分别为，的中点，记，，则（     ） A． B． C． D． 2．（福建厦门市2025-2026学年第二学期高一年级数学练习）在中，点，满足，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·广东珠海·期末）在平行四边形中，设，，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·河南南阳·期末）如图，在中，点B关于点A的对称点为C，D在线段OB上，且，DC和OA相交于点E．若，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·四川广安·期末）如图，中，点N为边的中点，点M在边上，且，以为一组基底，则（   ）    A． B． C． D． 6．（25-26高三上·广东深圳·期中）如图，在矩形中，，，分别为，的中点，为中点，则（     ） A． B． C． D． 典例二：平面向量的坐标表示 7．（25-26高三上·福建泉州·期末）已知向量，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·浙江温州·期末）已知向量，，则（     ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·山东·阶段检测）已知，，，则点的坐标为________． 10．（25-26高三上·四川绵阳·期中）已知点，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为______. 11．（25-26高三上·上海宝山·期中）已知点，，若点满足，则点的坐标为______． 12．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知向量，则（   ） A． B． C． D． 典例三：由向量线性运算结果求参数 13．（25-26高三上·辽宁·期中）已知向量，，． (1)若与共线，求k； (2)若，求． 14．（25-26高三上·广东湛江·期末）已知平行四边形的三个顶点，，的坐标分别为，，，则点的坐标是____________． 15．（2026·陕西咸阳·模拟预测）向量，，，，则（   ） A． B．2 C． D． 16．（25-26高三上·宁夏银川·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，． (1)O为坐标原点，是否存在常数t，使得？ (2)设梯形，且，，求点D的坐标． 17．（25-26高三上·湖南·阶段检测）平面向量，，且，则（    ） A． B．2 C． D．3 18．（25-26高三上·辽宁·期中）在平行四边形中，分别是的中点，若，则______，______． 典例四：由坐标判断是否共线 19．（25-26高三上·安徽马鞍山·期末）若，是同一平面内两个不共线向量，则下列各组向量不能作为该平面的基底的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 20．（25-26高三上·江苏淮安·阶段检测）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 21．（25-26高三上·安徽滁州·阶段检测）（多选）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 22．（25-26高三上·广东河源·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，，，． (1)求向量，的坐标； (2)判断向量与是否共线，并说明理由； (3)若，求点的坐标． 典例五：由向量平行求参数 23．（25-26高三上·河北廊坊·期末）已知向量， ，且，则（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高三上·重庆·期末）已知向量. (1)若，求实数的值； (2)已知三点共线，若，，，求实数的值. 25．（25-26高三上·重庆·期末）设向量，若，则_____； 26．（25-26高三上·河北保定·期末）已知向量，，若，则实数（     ） A． B． C． D． 27．（广东肇庆市2025-2026学年高一第二学期末学业水平达标检测数学试题）已知平面向量，，若与共线，则（    ） A．0 B．1 C．或1 D．0或1 28．（25-26高二下·贵州铜仁·期末）已知向量，，若，则（    ） A． B．0 C． D．8 典例六：由坐标解决三点共线问题 29．（25-26高三上·天津·期末）已知，，，若，，三点共线，则（     ） A． B． C． D． 30．（25-26高三上·上海徐汇·期末）已知点，，，．若 ，， 三点共线，求 的值． 31．（25-26高三上·辽宁营口·阶段检测）记坐标原点为，已知，，若，，三点共线，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 32．（25-26高三·全国·一轮复习）已知点，，，为坐标原点，则与的交点的坐标为________． 33．（25-26高三上·宁夏石嘴山·期中）如图所示，已知直角梯形，，，过点作于点，为的中点，建立恰当的坐标系用向量的方法证明： (1)； (2)三点共线． 34．（25-26高三上·山西阳泉·期中）设向量，，. (1)求，与夹角的余弦值； (2)若， ，求的值； (3)若，，，求证：A，，三点共线. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2 平面向量基本定理及坐标表示（精讲） 第一部分：知识复习 1．平面向量基本定理 (1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. (2)基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 2．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. 3．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. [常用结论] 1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. 2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为. 3．已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则点G的坐标为. 第二部分：典型例题 典例一：平面向量基本定理的应用 1．（广东清远市2025-2026学年第二学期高一供题训练数学试卷）如图，在中，D，E分别为，的中点，记，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量的线性运算，由平面向量的基本定理求解. 【详解】在中，D，E分别为，的中点，，， 所以， ， . 2．（福建厦门市2025-2026学年第二学期高一年级数学练习）在中，点，满足，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，， 可得：，， 所以， 所以，故. 3．（25-26高三上·广东珠海·期末）在平行四边形中，设，，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用平行四边形法则表示对角线，根据三等分点得到，再由为中点使用中线向量公式，代入化简求出的线性表达式． 【详解】 ， ， ． 4．（25-26高三上·河南南阳·期末）如图，在中，点B关于点A的对称点为C，D在线段OB上，且，DC和OA相交于点E．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量基本定理，同一基底的系数对应相等，所以可建立关于和的方程组，求解得到. 【详解】因为点关于点的对称点为，所以是线段的中点，根据向量中点公式： 整理得： ， 由线段比例得的表达式：已知在线段上，且，因此： ， 利用三点共线列方程 三点共线，因此存在实数使得. 因为， 已知，因此， 代入得： ， 因为与不共线，根据平面向量基本定理， ， 先解得，代入第一个方程得. 5．（25-26高三上·四川广安·期末）如图，中，点N为边的中点，点M在边上，且，以为一组基底，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 6．（25-26高三上·广东深圳·期中）如图，在矩形中，，，分别为，的中点，为中点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】矩形中，，分别为，的中点，为中点， 故 . 典例二：平面向量的坐标表示 7．（25-26高三上·福建泉州·期末）已知向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以. 8．（25-26高三上·浙江温州·期末）已知向量，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得， 9．（25-26高三上·山东·阶段检测）已知，，，则点的坐标为________． 【答案】 【详解】因为，，设， 所以 ， ， 而 ，所以，， 解得，， 因此. 10．（25-26高三上·四川绵阳·期中）已知点，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为______. 【答案】 【分析】设点的坐标为，依题意可得，即可得到方程组，解得即可. 【详解】点，点在线段的延长线上，且， 设点的坐标为，则，，且， 即，解得， 所以点的坐标为． 11．（25-26高三上·上海宝山·期中）已知点，，若点满足，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】设出点的坐标，得出，，利用即可求出点的坐标. 【详解】由题意，，， 设点的坐标为， ∴，， ∵点满足， ∴，解得， ∴. 12．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为向量，则. 典例三：由向量线性运算结果求参数 13．（25-26高三上·辽宁·期中）已知向量，，． (1)若与共线，求k； (2)若，求． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据平面共线向量的坐标表示建立关于的方程，解之即可； （2）根据平面向量的线性运算的坐标表示建立关于的方程组，解之即可. 【详解】（1）由题得， 因为与共线，所以，解得． （2）， 则，解得． 14．（25-26高三上·广东湛江·期末）已知平行四边形的三个顶点，，的坐标分别为，，，则点的坐标是____________． 【答案】 【详解】设点的坐标是，则，， 因为四边形为平行四边形，则， 可得，解得，即. 15．（2026·陕西咸阳·模拟预测）向量，，，，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】因为，，则， 且，所以． 16．（25-26高三上·宁夏银川·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，． (1)O为坐标原点，是否存在常数t，使得？ (2)设梯形，且，，求点D的坐标． 【答案】(1)不存在，理由见解析； (2). 【分析】（1）将向量相等转化成向量的坐标对应相等，即可转化成方程是否有解的问题； （2）将的关系转化成的关系，利用坐标列方程求解即可. 【详解】（1）由，，， 得， 从而， 由，得，即，无解 即不存在常数t，使得. （2）设D的坐标， 则，， ，，知， 从而，解得， 即D的坐标为. 17．（25-26高三上·湖南·阶段检测）平面向量，，且，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】根据向量减法的坐标运算可得. 【详解】因为，，所以，所以，解得. 故选：B. 18．（25-26高三上·辽宁·期中）在平行四边形中，分别是的中点，若，则______，______． 【答案】 /0.4 【分析】如图设与相交于点，根据共线可得，又，可得，再利用向量线性运算即得. 【详解】设与相交于点，如图， 设，又， 所以，即， 所以，解得， ， 即， 所以，． 故答案为：； 典例四：由坐标判断是否共线 19．（25-26高三上·安徽马鞍山·期末）若，是同一平面内两个不共线向量，则下列各组向量不能作为该平面的基底的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】利用平面向量的基本定理和基底的概念逐项判断即可. 【详解】对于A选项，因为不存在，使得，所以该组向量可以作为该平面的基底，故A错误； 对于B选项，不存在，使得，所以该组向量可以作为该平面的基底，故B错误； 对于C选项， 不存在，使得，所以该组向量可以作为该平面的基底，故C错误； 对于D选项，因为，所以该组向量不可以作为该平面的基底，故D正确. 20．（25-26高三上·江苏淮安·阶段检测）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】两个向量若不共线即可作为一组基底，所以找出不共线的向量组即可. 【详解】对于A，因为，，所以，则，共线，故A错误； 对于B，因为，，所以，则，共线，故B错误； 对于C，因为，，所以，则，共线，故C错误； 对于D，因为，，所以，则，不共线，故D正确. 21．（25-26高三上·安徽滁州·阶段检测）（多选）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】CD 【详解】基底向量由不共线的非零向量组成， 选项A：为零向量，A选项错误； 选项B：，共线，B选项错误； 选项C：，不共线，且不为零向量，C选项正确； 选项D：，不共线，且不为零向量，D选项正确. 22．（25-26高三上·广东河源·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，，，． (1)求向量，的坐标； (2)判断向量与是否共线，并说明理由； (3)若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)不共线，理由如下， 因为，所以向量与不共线. (3) 【详解】（1）因为点，，，， 所以，. （2）略 （3）由题意得，， 而，则， 设，则， 得到，解得，故. 典例五：由向量平行求参数 23．（25-26高三上·河北廊坊·期末）已知向量， ，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为向量， ，且， 所以， 解得. 24．（25-26高三上·重庆·期末）已知向量. (1)若，求实数的值； (2)已知三点共线，若，，，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量垂直的数量积为0，结合向量数量积的运算律，以及向量的坐标运算，列出方程求解即可； （2）由向量的加减、数乘运算求得，的坐标，利用共线向量的坐标运算求得实数的值. 【详解】（1）因为，所以，， 因为，所以，所以， 所以，解得； （2）因为，，， 所以， ， 因为三点共线，所以， 所以，解得. 25．（25-26高三上·重庆·期末）设向量，若，则_____； 【答案】 【分析】利用平面向量共线的坐标运算列方程，求解参数的值. 【详解】向量，且， 则有 ，解得. 26．（25-26高三上·河北保定·期末）已知向量，，若，则实数（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为向量，，且，则，解得. 27．（广东肇庆市2025-2026学年高一第二学期末学业水平达标检测数学试题）已知平面向量，，若与共线，则（    ） A．0 B．1 C．或1 D．0或1 【答案】C 【详解】因为平面向量，， 则，， 若与共线，则，解得. 28．（25-26高二下·贵州铜仁·期末）已知向量，，若，则（    ） A． B．0 C． D．8 【答案】C 【详解】因为向量，，则， 若，则，解得． 典例六：由坐标解决三点共线问题 29．（25-26高三上·天津·期末）已知，，，若，，三点共线，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知，，， 则， 由，，三点共线， 则，共线，故， 解得． 30．（25-26高三上·上海徐汇·期末）已知点，，，．若 ，， 三点共线，求 的值． 【答案】 【分析】设，根据题目条件得到方程组，求出答案 【详解】设，则， 其中， 因为，所以， 所以，故 因为三点共线，所以， 故，即， 故，解得. 31．（25-26高三上·辽宁营口·阶段检测）记坐标原点为，已知，，若，，三点共线，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由三点共线得关系，进而将表示为的二次式，由二次函数性质求最值. 【详解】不妨设，则， 由三点共线可得，即，， 此时， 当且仅当时等号成立． 即的最小值为． 32．（25-26高三·全国·一轮复习）已知点，，，为坐标原点，则与的交点的坐标为________． 【答案】 【详解】解法一：由三点共线，可设， 则， 又因为， 由，共线，得，解得， 所以，所以点的坐标为． 解法二：设点，则，因为，且与共线， 所以，即． 又因为，，且，共线，所以，解得，所以点的坐标为． 33．（25-26高三上·宁夏石嘴山·期中）如图所示，已知直角梯形，，，过点作于点，为的中点，建立恰当的坐标系用向量的方法证明： (1)； (2)三点共线． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）以为原点建立平面直角坐标系，先求出各点坐标，再写出向量 与的坐标，验证它们满足线性倍数关系（即存在实数使 ），且无公共点，即可证两直线平行。 （2）在同一坐标系中，写出向量与的坐标，验证它们满足线性倍数关系（即存在实数使），且两向量有公共点，即可证三点共线． 【详解】（1） 如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 已知， 则，，，，，， ，， 所以，即与共线， 又因为与无公共点，所以； （2）由（1）得，， 所以，即与共线， 又因为与有公共点，所以三点共线． 34．（25-26高三上·山西阳泉·期中）设向量，，. (1)求，与夹角的余弦值； (2)若， ，求的值； (3)若，，，求证：A，，三点共线. 【答案】(1) ， (2)2 (3) 证明：由，，， 则，所以， 而有公共点，则A，，三点共线. 【分析】（1）先求出的坐标，再根据模的坐标表示求解即可，根据向量夹角余弦的坐标表示求解即可； （2）根据列方程组求解即可； （3）先求出，可得，进而求证即可. 【详解】（1）由，，得， 则， 而与夹角的余弦值为. （2）由，， 得， 因为，， 所以，解得，则. （3）略 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $