第02讲 矩形的性质与判定（3大知识点+10大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2026年暑假北师大版数学九年级上册

第02讲 矩形的性质与判定（3大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 矩形性质理解 典型例题二 矩形的判定定理理解 典型例题三 添一条件使四边形是矩形 典型例题四 求矩形在坐标系中的坐标 典型例题五 斜边的中线等于斜边的一半 典型例题六 矩形与折叠问题 典型例题七 证明四边形是矩形 典型例题八 根据矩形的性质与判定求角度 典型例题九 根据矩形的性质与判定求线段长 典型例题十 根据矩形的性质与判定求面积 知识点01 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 要点：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 【即时训练】 1．（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·宁夏银川·一模）如图，长为6，宽为4的矩形中阴影部分的面积是___________． 知识点02 矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 要点： （1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 【即时训练】 1．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在矩形中，对角线和相交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，矩形对角线相交于点O，，则的度数为__．    知识点03 矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 要点：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，添加下列一个条件，能判定平行四边形是菱形的是(　　) A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，用一张矩形纸片折出一个正方形，只需把一个角沿折痕翻折上去，使和边上的重合，则展开铺平后所得的四边形就是一个正方形，判断的依据是______________________． 【典型例题一 矩形性质理解】 【例1】（24-25八年级下·全国·单元测试）下列说法：①矩形是轴对称图形；②矩形是中心对称图形；③矩形的对角线相等；④矩形的对角线互相垂直；⑤矩形的每条对角线平分一组对角．其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，在教学过程中，王老师为了更加直观地让学生体验四边形不具有稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，向右拉动框架，给出了如下结论： ①拉动后的四边形为平行四边形； ②拉动前后四边形对角线的长度不变； ③拉动前后四边形的面积不变； ④拉动前后四边形的周长不变． 其中正确的结论是（　　） A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④ 【例3】（25-26八年级下·新疆昌吉·期中）矩形的对角线具备的核心性质是__________． 【例4】（2026·河北沧州·二模）如图，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，则__________°． 1．（2026·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，是的中点，连接、、，请找出图中与全等的三角形并证明． 2．（2026·河南洛阳·二模）如图，矩形中，，为对角线． (1)求作的垂直平分线，使得点，分别落在边，上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)根据（1）中作图条件，连接，，求证：四边形是菱形． 3．（25-26八年级下·江苏淮安·期中）请用无刻度的直尺（即直尺只具有连线的功能）作图： (1)基本演练：图1是三个完全相同的平行四边形，请用无刻度的直尺画一条直线l将平行四边形面积平分．（请用三种不同的方法） (2)灵活运用：如图2是由两个矩形组合而成的图形，请准确作出一条直线l，将下面图形的面积平分（请用两种不同的方法） 【典型例题二 矩形性质理解】 【例1】（24-25八年级下·浙江台州·期末）下列命题中，不成立的是（    ） A．三个角都是直角的四边形是矩形 B．对角互补的平行四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 【例2】（25-26九年级上·河北邯郸·期中）活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的四边形，现要判断这个四边形是否为矩形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量两组对边是否分别平行 C．测量是否有三个角是直角 D．测量对角线是否互相垂直 【例3】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）当停车场的闸门由抬起变为平放状态时，图中的平行四边形变成了我们熟悉的矩形，判断的依据是___________． 【例4】（24-25八年级下·吉林长春·期中）判断下列命题的真假（在横线上填“真”或“假”） （1）对角线互相平分的四边形是平行四边形．________命题 （2）一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形．________命题 （3）对角互补的平行四边形是矩形．________命题 （4）三个角都相等的四边形是矩形．________命题 （5）一组邻边相等的四边形是菱形．________命题 （6）对角线互相平分且垂直的四边形是菱形．________命题 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段检测）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，分别按要求画出图形． (1)在图1中画出一个以为边的矩形，且点C和点D均在格点上； (2)在图2中画出一个以为对角线的菱形，且点E和点F均在格点上． 2．（24-25九年级上·江苏·阶段检测）工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行： （1）先截出两对符合规格的铝合金窗料，如图（1），使； （2）摆放成如图（2）的四边形，则这时窗框的形状是______形，根据的数学道理是：______； （3）将直角尺靠紧窗框的一个角，如图（3），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时，如图（4），说明窗框合格，这时窗框是______，根据的数学道理是：______． 3．（2025·广西贵港·二模）请阅读下列材料，完成相应的任务： 工人师傅在做门窗或矩形零件时，他是这样做的：首先利用卷尺（有刻度）测量两组对边的长度是否分别相等，其次利用卷尺测量该门窗的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形． 我有如下思考：工人师傅的做法究竟是依据什么原理得到四边形是矩形？．已知在四边形中，，，．求证：四边形是矩形． 证明：…… 任务： (1)上述做法是依据了矩形的一个判定定理： (2)补全材料中的证明过程； (3)利用卷尺（有刻度）能否用另外一种方法判定四边形是矩形？（简要写出测量方法）． 【典型例题三 添一条件使四边形是矩形】 【例1】（25-26八年级下·广东云浮·阶段检测）如图，在下列条件中，能够判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·云南昆明·期中）战国时期《考工记》详细记载了用几何方法校验轮轴支架为平行四边形的技术：“凡察车之道，必自载于地者始也．合矩以为方，中规乃行”．随后通过实用技术的不断进步，总结出了校验矩形的方法，如图，下列条件能判定是矩形的是（     ） A． B． C． D． 【例3】（25-26八年级下·广东潮州·期中）如图，在中，相交于点O，，则当______时，四边形是矩形． 【例4】（24-25八年级下·河南南阳·期末）小华在复习四边形的相关知识时，绘制了如图所示的框架图，则②号箭头处可以添加的条件是______．（写出一种即可）    1．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，四边形是平行四边形，是对角线上的点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)要使四边形是矩形，需添加______（一个条件），理由是______． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知四边形为平行四边形，于点，点为上一点，连接，请你添加一个条件，使得四边形为矩形．（不再添加其他线条和字母） (1)你添加的条件是__________； (2)根据你添加的条件，写出证明过程． 3．（24-25九年级上·广东深圳·期中）大新同学在学习北师大版九上第一章《特殊平行四边形》，通过习题1.4的第4题，知道了“如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．大新设计了一个新的游戏机：如图1，用点表示灯泡，外圈8个灯泡平均分布在大圆内，内圈8个灯泡也平均分布在同一个圆心的小圆上，亮着的4个灯泡形成平行四边形．规定每一次4个灯泡亮，若形成某个特殊平行四边形，可换取对应的五角星★数；示例：图1，可获得★．    (1)如果其中亮起的3个灯号为A、V、E三点，则第4个亮着的灯号为哪一点时，获得的★数？请在图2上画出对应的图形． (2)如果获得★，其中亮起的2个灯号为A、E两点，则另外2个亮着的灯号可能为哪两个？并请在图3上画出所有的可能的情况． 【典型例题四 求矩形在坐标系中的坐标】 【例1】（24-25九年级上·辽宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点O是坐标原点，点A、C的坐标分别是，，点B在第一象限，则点B的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，平面直角坐标系中，长方形OABC，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点B（6，3），现将△OAB沿OB翻折至△OA′B位置，OA′交BC于点P．则点P的坐标为（　　） A．（，3） B．（，3） C．（，3） D．（） 【例3】（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）已知点A、B、C的坐标分别是、、，那么以点A、B、C为顶点的矩形的第四个顶点D的坐标是_________． 【例4】（25-26八年级下·北京延庆·期中）如图，四边形是矩形，点O，A，B的坐标分别为，，，则点C的坐标为_____． 1．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知长方形的长为，宽为，轴，点的坐标为． (1)分别写出点、、的坐标； (2)若直线与长方形有交点，求的取值范围． 2．（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点C、A、D的坐标分别为，，，动点M从点A出发，沿方向在线段上匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时动点N从点C出发，沿方向在x轴上匀速运动，速度为每秒2个单位长度．设运动时间为（）． (1)则点B的坐标为______； (2)当时，t的值为______，此时点N的坐标为______； (3)若以点A、D、M、N为顶点的四边形面积为12，求点M的坐标． (4)在x轴上是否存在点N，使得是等腰三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（24-25八年级下·河南南阳·期末）综合与实践： 一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点与原点重合，顶点、分别在轴、轴上，，，为边上一动点，连接，将沿折叠，点落在点处． (1)如图1，连接，当点在线段上时，线段的长度是 ； (2)如图2，当点与点 重合时，沿将折叠得，与轴交于点，求的面积； (3)是否存在点，使得点到矩形的两条较长边的距离之比为，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【典型例题五 斜边的中线等于斜边的一半】 【例1】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图．在中，，是斜边的中点，连接，若，，则线段的长度为（   ） A．25 B．12.5 C．12 D．13 【例2】（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在中，、分别是、的中点，点在上，且，若，，则的长为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【例3】（25-26八年级下·甘肃金昌·期中）如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则两点间的距离是_______． 【例4】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，，分别是，，的中点，连接，，已知，则的长为________． 1．（25-26九年级下·广东河源·期中）如图，在中，是的中点，，．求证：四边形为菱形． 2．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在中，，为的中点，过点作于点，点在的延长线上，且，在的延长线上截取，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的周长． 3．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）在学习矩形的性质时，我们由“矩形的对角线相等且互相平分”，可以推导出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一重要结论．数学活动课上，小明尝试用尺规作图的方法，作图探究并验证这一结论． 如图，已知，．小明同学设计如下作图步骤：作的垂直平分线交于点D，垂足为点E，连接． (1)请根据小明同学设计的步骤，用无刻度的直尺和圆规在图中完成作图过程（要求：保留作图痕迹，不写作法）． (2)请根据（1）中作图，证明：． (3)如图2，已知，点E、F分别为的中点，，．求的长． 【典型例题六 矩形与折叠问题】 【例1】 （25-26九年级上·吉林·期中）如图把一张矩形纸片沿对角线翻折，点的对应点为，与相交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·贵州毕节·期中）在学习了特殊的平行四边形后，小安将一张矩形纸片按如图所示的方式对折两次后，沿虚线剪开，他剪下来的这个直角三角形纸片完全展开后的形状一定是（    ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．三角形 【例3】（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）如图，将矩形沿折叠得到，折叠后与交于点E，已知，则的大小为______． 【例4】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，将长方形沿折叠（折线交于，交于，点的对应点分别是交于，再将四边形沿折叠，点、的对应点分别是、，交于，若，则______，______． 1．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图，在矩形中，将沿着折叠，使点与点重合，过点作交线段于点，连接和． (1)求证：； (2)求证：四边形为菱形； (3)连接交于点，若，，求线段的长． 2．（25-26八年级下·江西上饶·期中）如图1，在矩形中，，点O为矩形对角线的交点，点 E 为边上任意一点，连接并延长，与边交于点 F． (1)观察：线段和有什么数量关系?并进行证明； (2)操作：如图2，聪聪连接、后发现，四边形的形状一定是 ；当的长为 时，四边形是菱形； (3)探究：受聪聪的启发，明明对图形进一步操作，将图2中 与 分别沿与进行翻折，点 A 与点C分别落在矩形内的点、处，连接、，如图3，请你判断四边形的形状，并证明你的结论． 3．（25-26八年级下·吉林·期中）综合与实践：折纸中的数学． 【主题】四边形与折纸 【素材】如图①，一张矩形纸片． 【实践操作1】 步骤一：将矩形纸片上下对折，折痕为： 步骤二：然后左右对折，折痕为： 步骤三：将原纸片展开还原后，如图②所示得到四边形． 【实践探索1】 (1)①四边形的形状为___________； ②求四边形的边上的高． 【实践操作2】 步骤一：将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕分别交和边于点、点，交对角线于点O； 步骤二：将原纸片展开还原后，连接，．如图③所示，得到四边形． 【实践探索2】 (2)判断四边形的形状，并加以证明． 【典型例题七 证明四边形是矩形】 【例1】（25-26八年级下·河北廊坊·期中）如图，已知四边形是平行四边形． 嘉嘉：当时，它是菱形； 琪琪：当时，它是矩形． 对于他俩的说法，正确的是（   ） A．只有嘉嘉对 B．只有琪琪对 C．他俩都对 D．他俩都错 【例2】（24-25八年级下·广东江门·阶段检测）一个木匠要制作矩形的踏板，他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形的踏板．这样做最直接的道理是（   ） A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．两组对边分别相等的四边形是矩形 【例3】 （24-25八年级下·全国·课后作业）四边形中，交于O，给出条件①；②；③；④．其中能推得四边形是矩形的是（填序号）___________． 【例4】（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，且，，则的度数是_____°． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，、是的两条直径，四边形是矩形吗？证明你的结论． 2．（25-26八年级下·吉林长春·期中）已知：如图，在中，．求作：以为对角线的矩形． 作法：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线与交于点D； ②以点A为圆心，的长为半径画弧；再以点C为圆心，的长为半径画弧，两弧在的右侧交于点E； ③连接． 四边形为所求的矩形． (1)根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）； (2)求证：四边形是矩形． 3．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)如图2，在四边形中，，四边形是垂美四边形吗？______（是、否） (2)如图1，四边形是垂美四边形，请证明． (3)如图3，在中，，点F为斜边的中点，分别以为底边，在外部作等腰三角形和等腰三角形，连接，分别交于点．试猜想四边形的形状，并说明理由． 【典型例题八 根据矩形的性质与判定求角度】 【例1】（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，△ABO是等边三角形，若AC＝8cm，则平行四边形ABCD的面积是（    ）cm2 ． A．16 B．4 C．8 D．16 【例2】（24-25八年级下·广西贵港·期末）为了研究特殊四边形，刘老师制作了这样一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C，B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，课上，刘老师右手拿住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2），观察所得到的四边形，下列结论：①∠BCA＝45°；②AC的长度变小；③AC＝BD；④AC⊥BD．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例3】（24-25八年级下·上海·期中）如图，在矩形中，，点在上，且，则________． 【例4】 （24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为______度．    1．（25-26九年级上·江西九江·期末）如图，四边形是菱形，是边上的高，请仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作边上的高； (2)在图2中，作边上的高． 2．（2025·山东·模拟预测）解决以下问题： 【尝试与感悟】 (1)如图1，已知，用直尺和圆规求作点D，使四边形面积是面积的2倍； (2)如图2，在矩形中，点E在边上，，在延长线确定点F，使四边形与矩形的面积相等，画出示意图，并说明理由； 【迁移与应用】 (3)如图3，五边形花园中，，，，，，，，，点F在边上，．计划在花园中过点F修一条直路（路的宽度不计），使道路通往上的点Q处，且平分花园的面积．请确定点Q的位置，并求出道路的长． 3．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）已知，中，是边的中线． 阅读：学习全等三角形知识后，我们知道，当出现三角形的中线时，通常用倍长中线构造“X”型全等的方法来解决问题． 如图1，延长到点E，使，连接，则有以下两个常见结论：①； ②．利用这两个结论解决下列问题． (1)如图1，若，直接写出的取值范围为：__________； (2)如图2，在中，．求证：． (3)如图3，点G在的上方，点F在的延长线上，连接，若．求证：． 【典型例题九 根据矩形的性质与判定求线段长】 【例1】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在四边形中，对角线交于点．（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例2】（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，点D从点A出发沿着线段运动到点B，过点D作于于F，连接，在整个运动过程中，下列关于线段长度变化的描述中，正确的是（   ） A．先变短后变长 B．先变长后变短 C．一直变短 D．始终保持不变 【例3】（24-25八年级下·新疆喀什·期中）如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高的树顶飞到另一棵高的树顶上，若两棵树相距，则小鸟至少要飞_____．    【例4】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，，点P和点Q分别从点B和点D同时出发，按逆时针方向沿矩形的边运动．点P和点Q的速度分别为和，则最快________s后，四边形为矩形． 1．（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在中，，，是的中点，是线段延长线上一动点，过点作，与线段的延长线交于点，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是矩形，，，求的值； (3)若，试判断四边形是什么样的四边形，并证明你的结论． 2．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）在一节数学活动课上，王老师在黑板上画出了一个四边形，如图1，，．并提出问题：利用尺规作图作出，交于点E．经过同学们分组讨论，展示了下面甲、乙两组的作图：    解答下面问题： (1)请你分别判断甲组、乙组的做法是否正确？ (2)请从（1）中任选一个你作出的判断，通过推理，说明你判断的理由； (3)请你用不同于甲组和乙组的方法，在图1中，用尺规作图作出，交于点E．（保留作图痕迹，不写作法） 3．（25-26八年级下·山西吕梁·期中）阅读与思考 认真阅读材料，并完成相应的任务． 勾股定理的拓展探究   勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古代《周髀算经》中就有“勾三、股四、弦五”的记载．如图1，在中，，分别以，，为边向外作正方形，正方形，正方形，其面积分别为，，． 在此基础上，同学们作了进一步探究： 佳琪同学的探究思路：如图2，在四边形中，，分别以，，，为边向外作正方形，其面积分别为，，，，探究这四个面积之间的等量关系． 知夏同学的探究思路：如图3，在如图1的基础上，分别以，为边向外作正方形，其面积分别为， ，探究，，的等量关系．为探究它们的关系，过点G作于点Q，结合全等三角形的有关知识和勾股定理，计算出，即可求出，…… 任务： (1)在图1中，直接写出，，之间的等量关系：_____； (2)在图2中，写出，，，之间的等量关系，并证明； (3)在图3中，直接写出，，之间的等量关系：_____． 【典型例题十 根据矩形的性质与判定求面积】 【例1】（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图所示，在矩形中，E，F，G，H分别为边，，，的中点，若，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·全国·单元测试）矩形中，，交于M，交于N，在上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是（    ）    A．10 B．5 C． D． 【例3】 （24-25八年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，的坐标分别为，，，，，，，则四边形的面积为___． 【例4】（2025七年级·全国·模拟预测）如图，六边形的面积为______． 1．（24-25八年级下·山东烟台·期中）如图，在中，，是边上的中线，过点A作的平行线，过点B作的平行线，两直线交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点O，若，，求四边形的面积． 2．（24-25八年级下·广西百色·期末）【操作与思考】 已知：矩形． 【动手操作】以下是小华完成的尺规作图的过程． 第1步：分别以点A，B为圆心，以大于长为半径，在两侧作弧，分别交于点E，F； 第2步：作直线； 第3步：在的右侧，以点A为圆心，以长为半径作弧，交直线于点G，连接． 【解决问题】根据小华的尺规作图步骤，完成以下问题： （1）填空： ． （2）过点D作，交直线于点H． 求证：四边形是平行四边形； 【数学思考】（3）在（2）的条件下，设平行四边形的面积为，矩形的面积为，请问与存在有何种数量关系？请写出来，并说明理由． 3．（2025·宁夏银川·模拟预测）综合与实践： 问题背景：在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相关问题的研究，下面是创新小组在操作纸片过程中研究的问题，请你解决这些问题，如图，，其中，，，． 操作与发现： （1）如图，创新小组将两张三角形纸片按如图所示的方式放置后，经过观察发现四边形是矩形，请你证明这个结论． 操作与探究： （2）创新小组在图的基础上，将纸片沿方向平移至如图的位置，其中点与的中点重合，连接，，经过探究后发现四边形是菱形，请你证明这个结论． （3）创新小组在图的基础上又进行了探究，将纸片绕点逆时针旋转至与平行的位置，如图所示，连接，，创新小组经过观与推理后发现四边形是矩形，请你证明这个结论． 提出问题： （4）请你参照以上操作，在图的基础上，通过平移或旋转构造出的图形，在图中画出这个图形，标明字母，说明构图方法，写出你发现的结论，不必证明． 1．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，的对角线交于点，以下条件不能证明是菱形的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河北保定·二模）如图，四边形中，．求证：四边形是矩形．下面是打乱顺序的证明过程，则正确的步骤排序应为（     ） ① ② ③四边形是矩形 ④四边形是平行四边形 ⑤， A．①④③⑤② B．②④⑤①③ C．⑤④①②③ D．⑤④②①③ 3．（2026·湖南岳阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，轴于点，以为圆心、的长为半径画弧，交于点；再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·广东·二模）如图1所示（图中各角均为直角），动点 P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线匀速运动，的面积y随点 P运动的时间x（秒）变化的函数关系图象如图2所示，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）宽与长的比是（约）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，我们可以折叠出一个黄金矩形．第一步，在一张矩形纸片的一端利用图的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步，如图，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平，折痕是；第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图中所示的处，折痕为；第四步，如图，展平纸片，按照所得的点折出，使．得到矩形，若，则的值是多少（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）四边形ABCD的对角线相交于点O，且，则当OD的长为________时，四边形ABCD是矩形． 7．（25-26九年级下·陕西·期中）如图，在菱形中，对角线、交于点，过点作，交的延长线于点，连接．若菱形的面积为，，则的长为___________． 8．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图，法国数学家瓦里尼翁发现，顺次连接四边形各边中点E，F，G，H得到的平行四边形与原四边形关系密切，因此平行四边形也被称为瓦里尼翁平行四边形．已知瓦里尼翁平行四边形是矩形，则原四边形的对角线，满足的关系是_____． 9．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图1：）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．问题解决：如图2，点M是矩形的对角线上一点，过点M作分别交，于点E、F，连接，．若，则图中阴影部分的面积和为__________． 10．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的边OA 在x轴上，OC在y轴上，OA=1，OC=2，对角线 AC的垂直平分线交AB 于点E，交AC于点D．若y轴上有一点P（不与点C重合），能使△AEP是以为 AE 为腰的等腰三角形，则点 P的坐标为____． 11．（24-25九年级上·山东青岛·阶段检测）已知：中，是上一点，求作：矩形，使在边上，在边上． 12．（25-26八年级下·吉林松原·期中）如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，E、F在上，且满足． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：． 13．（25-26八年级下·上海·期中）已知矩形，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，在边上取一点，将沿翻折，点D恰好落在边上的点处． (1)求线段长； (2)如图2，将图1翻折后的矩形沿轴正半轴向上平移个单位，点是坐标平面内的点，如果以为顶点的四边形为菱形，请求出点、G的坐标． 14．（25-26八年级下·山西吕梁·期中）项目化学习 佳琪同学在数学活动课上进行项目式学习实践探究，相关信息如下： 课题 测量放风筝时风筝离地面的垂直高度 抽象模型    测量数据 ①水平距离米； ②风筝线米； ③手到地面的距离米； 说明 点A，B，C，D在同一平面内，； 若想要风筝沿方向再上升11米，且长度不变，佳琪同学应再放出多少米的线？ 15．（24-25八年级下·全国·单元测试）（1）我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形(如图1)，这个矩形称为赵爽弦图，其验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边 a，b 与斜边c 满足关系式称为勾股定理． 证明：∵大正方形面积表示为，又可表示为S= ， ∴ ∴ ， 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； （2）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形(如图2)，也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程； （3）如图3所示， ，请你添加适当的辅助线证明结论    学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 矩形的性质与判定（3大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 矩形性质理解 典型例题二 矩形的判定定理理解 典型例题三 添一条件使四边形是矩形 典型例题四 求矩形在坐标系中的坐标 典型例题五 斜边的中线等于斜边的一半 典型例题六 矩形与折叠问题 典型例题七 证明四边形是矩形 典型例题八 根据矩形的性质与判定求角度 典型例题九 根据矩形的性质与判定求线段长 典型例题十 根据矩形的性质与判定求面积 知识点01 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 要点：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 【即时训练】 1．（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵在矩形中，对角线与相交于点O， ∴， 由矩形的性质不能得到，，． 2．（2026·宁夏银川·一模）如图，长为6，宽为4的矩形中阴影部分的面积是___________． 【答案】 【分析】观察图形可知，阴影部分由两个三角形组成，这两个三角形的底边都在矩形的下边上，且底边之和等于矩形的长，高均等于矩形的宽，利用三角形面积公式及乘法分配律即可求解． 【详解】解：设左边阴影三角形的底为，右边阴影三角形的底为，高为， 由图可知，两个阴影三角形的底边之和等于矩形的长，即， 两个阴影三角形的顶点都在矩形的上边上，底边都在矩形的下边上， 两个阴影三角形的高均等于矩形的宽，即， ． 知识点02 矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 要点： （1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 【即时训练】 1．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在矩形中，对角线和相交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的对角线相等． 根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，故C符合题意， 而A、B、D根据矩形的性质均不能证明，故不符合题意 故选：C． 2．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，矩形对角线相交于点O，，则的度数为__．    【答案】/30度 【分析】根据矩形的性质和等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线相交于点O， ∴，， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质、等边三角形的性质、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键． 知识点03 矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 要点：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，添加下列一个条件，能判定平行四边形是菱形的是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的判定、矩形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．由菱形的判定、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、， ， ∴平行四边形是菱形，故选项符合题意； B、四边形是平行四边形，， 平行四边形是矩形，故选项不符合题意； C、，四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形，故选项不符合题意； D、四边形是平行四边形，， 平行四边形还是平行四边形，故选项不符合题意． 故选：A． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，用一张矩形纸片折出一个正方形，只需把一个角沿折痕翻折上去，使和边上的重合，则展开铺平后所得的四边形就是一个正方形，判断的依据是______________________． 【答案】有一组邻边相等的矩形是正方形 【分析】首先根据矩形的性质可知、为直角，折叠后可得为直角且，由此可判定四边形是矩形，又因为该矩形的一组邻边与相等，根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”即可判定四边形是正方形． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵将沿折痕翻折，使与边上的重合， ∴，， ∴四边形中， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形． 【典型例题一 矩形性质理解】 【例1】（24-25八年级下·全国·单元测试）下列说法：①矩形是轴对称图形；②矩形是中心对称图形；③矩形的对角线相等；④矩形的对角线互相垂直；⑤矩形的每条对角线平分一组对角．其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查矩形的轴对称性、中心对称性及对角线的性质，需逐个判断每个说法的正误，统计正确说法的数量来确定答案． 【详解】解：∵矩形沿对边中点的连线折叠后直线两旁的部分能完全重合，∴矩形是轴对称图形，①正确； ∵矩形绕对角线的交点旋转后能与自身重合，∴矩形是中心对称图形，②正确； 根据矩形的性质，矩形的对角线相等，③正确； 矩形的对角线不一定互相垂直，只有特殊的矩形(正方形)对角线才垂直，④错误； 矩形的对角线不平分一组对角，只有菱形或正方形的对角线平分一组对角，⑤错误； 综上，正确的说法有①②③，共3个， 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，在教学过程中，王老师为了更加直观地让学生体验四边形不具有稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，向右拉动框架，给出了如下结论： ①拉动后的四边形为平行四边形； ②拉动前后四边形对角线的长度不变； ③拉动前后四边形的面积不变； ④拉动前后四边形的周长不变． 其中正确的结论是（　　） A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定和性质、平行四边形的周长、面积等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．根据平行四边形的判定方法即可判断①正确，观察图形即可判断．可得②错误，由底不变，高变小可得③错误． 根据平行四边形性质即可判断④正确． 【详解】解：∵两组对边的长度分别相等， ∴四边形是平行四边形，故①正确， ∵向右扭动框架， ∴的长度变大，故②错误， ∵平行四边形的底不变，高变小了， ∴平行四边形的面积变小，故③错误， ∵平行四边形的四条边不变， ∴四边形的周长不变，故④正确． 故所有正确的结论是①④． 故选：B． 【例3】（25-26八年级下·新疆昌吉·期中）矩形的对角线具备的核心性质是__________． 【答案】互相平分、长度相等 【分析】根据矩形对角线的性质得出结论即可． 【详解】解：∵矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，同时具备特有的性质， ∴根据矩形的性质可知，矩形的对角线相等且互相平分． 【例4】（2026·河北沧州·二模）如图，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，则__________°． 【答案】130 【分析】设交于，根据题意可得，，再由四边形内角和求出，进而得到即可． 【详解】解：设交于， 由题可知，， ， 在四边形中，， ， ． 1．（2026·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，是的中点，连接、、，请找出图中与全等的三角形并证明． 【答案】，见解析 【详解】解：．证明如下， 四边形为矩形， ，． 是中点， ． ． 2．（2026·河南洛阳·二模）如图，矩形中，，为对角线． (1)求作的垂直平分线，使得点，分别落在边，上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)根据（1）中作图条件，连接，，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)作图见解析 (2)见解析 【分析】（1）分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线可得线段的垂直平分线，由此即可得； （2）先根据矩形的性质、平行线的性质可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，最后根据菱形的判定即可得证； 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求； （2）证明：如图，连接，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 3．（25-26八年级下·江苏淮安·期中）请用无刻度的直尺（即直尺只具有连线的功能）作图： (1)基本演练：图1是三个完全相同的平行四边形，请用无刻度的直尺画一条直线l将平行四边形面积平分．（请用三种不同的方法） (2)灵活运用：如图2是由两个矩形组合而成的图形，请准确作出一条直线l，将下面图形的面积平分（请用两种不同的方法） 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）方法一：取一条对角线所在的直线；方法二：取另一条对角线所在的直线；方法三：取对角线的交点，过点的一条直线； （2）方法一：取两个矩形对角线的交点，连接所在的直线；方法二：将原图形补全为一个大矩形，取大矩形和所补矩形对角线的交点，连接所在的直线． 【详解】（1）解：直线即为所求，如图： （2）解：直线即为所求，如图： 【典型例题二 矩形性质理解】 【例1】（24-25八年级下·浙江台州·期末）下列命题中，不成立的是（    ） A．三个角都是直角的四边形是矩形 B．对角互补的平行四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理的知识，利用矩形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、三个角都是直角的四边形是矩形，成立，不符合题意； B、对角互补的平行四边形是矩形，成立，不符合题意； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，成立，不符合题意； D、对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形的对角线相等但不是矩形，故该命题不成立，符合题意． 故选：D． 【例2】（25-26九年级上·河北邯郸·期中）活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的四边形，现要判断这个四边形是否为矩形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量两组对边是否分别平行 C．测量是否有三个角是直角 D．测量对角线是否互相垂直 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定定理，根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得解，熟练掌握矩形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：∵有三个角是直角的四边形是矩形， ∴现要判断这个四边形是否为矩形，可以测量是否有三个角是直角， 故选：C． 【例3】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）当停车场的闸门由抬起变为平放状态时，图中的平行四边形变成了我们熟悉的矩形，判断的依据是___________． 【答案】有一个角是直角的平行四边形为矩形 【分析】因为闸门抬起变平放时，平行四边形的一个内角变为直角，所以可依据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”来判断． 【详解】解：∵停车场闸门的结构对边始终平行，本身是平行四边形； ∴闸门放平后，平行四边形出现了一个直角，根据矩形的判定定理，此时该平行四边形成为矩形． 【例4】（24-25八年级下·吉林长春·期中）判断下列命题的真假（在横线上填“真”或“假”） （1）对角线互相平分的四边形是平行四边形．________命题 （2）一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形．________命题 （3）对角互补的平行四边形是矩形．________命题 （4）三个角都相等的四边形是矩形．________命题 （5）一组邻边相等的四边形是菱形．________命题 （6）对角线互相平分且垂直的四边形是菱形．________命题 【答案】 真 假 真 假 假 真 【分析】本题主要考查了命题真假的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判断定理，是解题的关键．根据平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形，此命题是真命题； 故答案为：真； （2）一组对边平行且另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，原命题是假命题； 故答案为：假； （3）对角互补的平行四边形是矩形，此命题是真命题； 故答案为：真； （4）三个角都相等的四边形不一定是矩形，原命题是假命题； 故答案为：假； （5）一组邻边相等的平行四边形是菱形，原命题是假命题； 故答案为：假； （6）对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，此命题是真命题． 故答案为：真． 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段检测）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，分别按要求画出图形． (1)在图1中画出一个以为边的矩形，且点C和点D均在格点上； (2)在图2中画出一个以为对角线的菱形，且点E和点F均在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图的应用与设计，掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键． （1）根据矩形的判定作图即可； （2）根据菱形的判定作图即可． 【详解】（1）解：如图所示，矩形即为所求； （2）如图所示，菱形即为所求； 2．（24-25九年级上·江苏·阶段检测）工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行： （1）先截出两对符合规格的铝合金窗料，如图（1），使； （2）摆放成如图（2）的四边形，则这时窗框的形状是______形，根据的数学道理是：______； （3）将直角尺靠紧窗框的一个角，如图（3），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时，如图（4），说明窗框合格，这时窗框是______，根据的数学道理是：______． 【答案】（2）平行四边形；两组对边分别相等的四边形为平行四边形（3）矩形，有一个角为直角的平行四边形为矩形 【分析】本题考查了平行四边形和矩形的判定，根据平行四边形的判定，两组对边分别相等的四边形为平行四边形，即可得出（2）的结论，当把一个角变为直角时，根据一个角为直角的平行四边形为矩形即可得出（3）的结论． 【详解】解：（2）如图所示： ∵， ∴四边形为平行四边形．（两组对边分别相等的四边形为平行四边形） （3）如图所示： 由（2）知四边形为平行四边形， ∵为直角， ∴四边形为矩形．（有一个角为直角的平行四边形为矩形） 3．（2025·广西贵港·二模）请阅读下列材料，完成相应的任务： 工人师傅在做门窗或矩形零件时，他是这样做的：首先利用卷尺（有刻度）测量两组对边的长度是否分别相等，其次利用卷尺测量该门窗的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形． 我有如下思考：工人师傅的做法究竟是依据什么原理得到四边形是矩形？．已知在四边形中，，，．求证：四边形是矩形． 证明：…… 任务： (1)上述做法是依据了矩形的一个判定定理： (2)补全材料中的证明过程； (3)利用卷尺（有刻度）能否用另外一种方法判定四边形是矩形？（简要写出测量方法）． 【答案】(1)对角线相等的平行四边形是矩形 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定方法，是解题的关键： （1）根据对角线相等的平行四边形是矩形，进行作答即可； （2）先证明四边形是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可； （3）根据勾股定理定理逆定理，得到四边形的一个内角是直角，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可。 【详解】（1）解：判定定理为：对角线相等的平行四边形是矩形；理由见（2） （2）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． （3）首先利用卷尺测量两组对边长度是否相等，确保形状是平行四边形；然后再量一条对角线的长度，如果一组邻边长度的平方和等于对角线长度的平方时，就确保了它是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 【典型例题三 添一条件使四边形是矩形】 【例1】（25-26八年级下·广东云浮·阶段检测）如图，在下列条件中，能够判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题已知四边形是平行四边形，需根据矩形的判定定理，逐一分析每个选项的条件能否推出该平行四边形为矩形． 【详解】解：已知四边形是平行四边形． 选项A：， ∵四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）， 不能够判定为矩形，故A项不符合题意． 选项B：， 仅由，无法推出平行四边形中有一个角为直角或对角线相等，不能判定其为矩形．故B项不符合题意． 选项C：， ∵四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），不能够判定为矩形，故C项不符合题意． 选项D：， ∵四边形是平行四边形，且 ∴平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），故D项符合题意． 【例2】（24-25八年级下·云南昆明·期中）战国时期《考工记》详细记载了用几何方法校验轮轴支架为平行四边形的技术：“凡察车之道，必自载于地者始也．合矩以为方，中规乃行”．随后通过实用技术的不断进步，总结出了校验矩形的方法，如图，下列条件能判定是矩形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的判定定理判断即可． 【详解】解：对角线相等的平行四边形是矩形， 在中，，可得四边形是矩形， 故选：D． 【例3】（25-26八年级下·广东潮州·期中）如图，在中，相交于点O，，则当______时，四边形是矩形． 【答案】6 【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得，再根据平行四边形的对角线互相平分，可得． 【详解】解：当是矩形时，， ． 【例4】（24-25八年级下·河南南阳·期末）小华在复习四边形的相关知识时，绘制了如图所示的框架图，则②号箭头处可以添加的条件是______．（写出一种即可）    【答案】有一个角为直角（答案不唯一） 【分析】根据矩形的判定即可得出答案． 【详解】解：∵有一个角为直角的平行四边形是矩形， ∴需要添加的条件是：有一个角为直角； 故答案为：有一个角为直角（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了矩形的判定方法：①有一个角的直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形． 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，四边形是平行四边形，是对角线上的点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)要使四边形是矩形，需添加______（一个条件），理由是______． 【答案】(1)见解析 (2)（不唯一）；对角线相等的平行四边形是矩形． 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接对角线交对角线于点，由，，即可得出结论； （）根据“对角线相等的平行四边形是矩形”即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接对角线交对角线于点，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，是对角线上的点，， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形； （2）解：要使四边形是矩形，需添加（不唯一），理由如下： 由（）知，四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形） 故答案为：（不唯一），对角线相等的平行四边形是矩形． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知四边形为平行四边形，于点，点为上一点，连接，请你添加一个条件，使得四边形为矩形．（不再添加其他线条和字母） (1)你添加的条件是__________； (2)根据你添加的条件，写出证明过程． 【答案】(1)；；； (2)证明见解析． 【分析】（）根据题意添加条件即可； （）先得到四边形是平行四边形，然后再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行推理； 本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，掌握矩形的判定定理是解题的关键． 【详解】（1）；；； 故答案为：；；； （2）， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； ， ∵四边形为平行四边形， ∴，即， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； ， ∵四边形为平行四边形， ∴，，即， ∵， ∴，即 ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； 3．（24-25九年级上·广东深圳·期中）大新同学在学习北师大版九上第一章《特殊平行四边形》，通过习题1.4的第4题，知道了“如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．大新设计了一个新的游戏机：如图1，用点表示灯泡，外圈8个灯泡平均分布在大圆内，内圈8个灯泡也平均分布在同一个圆心的小圆上，亮着的4个灯泡形成平行四边形．规定每一次4个灯泡亮，若形成某个特殊平行四边形，可换取对应的五角星★数；示例：图1，可获得★．    (1)如果其中亮起的3个灯号为A、V、E三点，则第4个亮着的灯号为哪一点时，获得的★数？请在图2上画出对应的图形． (2)如果获得★，其中亮起的2个灯号为A、E两点，则另外2个亮着的灯号可能为哪两个？并请在图3上画出所有的可能的情况． 【答案】(1)第4个亮着的灯号为点，见解析 (2)可能为或，见解析 【分析】本题考查了菱形的判定，矩形的判定．熟练掌握菱形、矩形的判定条件是解题的关键． （1）根据四边都相等的四边形是菱形求解即可； （2）根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形求解即可． 【详解】（1）解：由菱形四边都相等，可知第4个亮着的灯号为点，如图1，菱形即为所求；    （2）解：由题意知，只能为矩形的对角线， ∴矩形的另外一条对角线上的点为或， ∴可能为或，如图3，矩形、即为所求；    【典型例题四 求矩形在坐标系中的坐标】 【例1】（24-25九年级上·辽宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点O是坐标原点，点A、C的坐标分别是，，点B在第一象限，则点B的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得出点B的坐标即可． 【详解】解：∵四边形OABC是矩形， ∴OC=AB，CB=OA， ∵点A，C的坐标分别是（6，0），（0，3）， ∴AB=3，OA=6， ∴点B坐标为（6，3）， 故选：B． 【点睛】此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质得出点B的坐标． 【例2】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，平面直角坐标系中，长方形OABC，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点B（6，3），现将△OAB沿OB翻折至△OA′B位置，OA′交BC于点P．则点P的坐标为（　　） A．（，3） B．（，3） C．（，3） D．（） 【答案】A 【分析】由折叠的性质和矩形的性质证出OP=BP，设OP=BP=x，则PC=6﹣x，再用勾股定理建立方程9+（6﹣x）2=x2，求出x即可． 【详解】∵将△OAB沿OB翻折至△OA′B位置，OA′交BC于点P， ∴∠A'OB=∠AOB， ∵四边形OABC是矩形， ∴BC∥OA， ∴∠OBC=∠AOB， ∴∠OBC=∠A'OB， ∴OP=BP， ∵点B的坐标为（6，3）， ∴AB=OC=3，OA=BC=6， 设OP=BP=x，则PC=6﹣x， 在Rt△OCP中，根据勾股定理得，OC2+PC2=OP2， ∴32+（6﹣x）2=x2， 解得：x=， ∴PC=6﹣=， ∴P（，3）， 故选：A． 【点睛】此题主要考查折叠和矩形的性质以及利用勾股定理构建方程，熟练掌握，即可解题. 【例3】（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）已知点A、B、C的坐标分别是、、，那么以点A、B、C为顶点的矩形的第四个顶点D的坐标是_________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、坐标与图形性质，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．以为对角线确定点D的位置，据此可得． 【详解】解：点A、B、C的坐标分别是、、， ∴，，， 如图所示， 当为对角线时，以点A、B、C为顶点的四边形是矩形，， ∴点D的坐标为， 故答案为：． 【例4】（25-26八年级下·北京延庆·期中）如图，四边形是矩形，点O，A，B的坐标分别为，，，则点C的坐标为_____． 【答案】 【分析】根据矩形的性质可知对边平行且相等，结合点、的坐标即可确定点的横纵坐标． 【详解】解：因为四边形是矩形， 所以，，且，， 因为点的坐标为，点的坐标为， 所以，， 所以，， 因为点在第一象限，则点的横坐标为，纵坐标为， 所以点的坐标为． 1．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知长方形的长为，宽为，轴，点的坐标为． (1)分别写出点、、的坐标； (2)若直线与长方形有交点，求的取值范围． 【答案】(1)、、 (2) 【分析】本题考查坐标与图形，矩形的性质，函数图像上点的坐标特征， （1）根据矩形的性质及轴可得轴，再由平移的性质可得结论； （2）确定当直线分别经过点和时所对应的的值，可得结论； 确定直线经过特殊点所对应的的值是解题的关键． 【详解】（1）解：∵长方形的长为，宽为， ∴，，，，， ∵轴， ∴轴， ∴轴， ∵点的坐标为， ∴点向右平移得到点，再向上平移得到点；点向上平移得到点， ∴、、； （2）当直线经过点时， 得：， 解得：； 当直线经过点时， 得：， 解得：； ∴直线与长方形有交点，的取值范围为． 2．（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点C、A、D的坐标分别为，，，动点M从点A出发，沿方向在线段上匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时动点N从点C出发，沿方向在x轴上匀速运动，速度为每秒2个单位长度．设运动时间为（）． (1)则点B的坐标为______； (2)当时，t的值为______，此时点N的坐标为______； (3)若以点A、D、M、N为顶点的四边形面积为12，求点M的坐标． (4)在x轴上是否存在点N，使得是等腰三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)或 (4)，，， 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，坐标与图形，四边形的面积，解题的关键是理解题意，学会利用分类讨论的思想解决问题． （1）直接根据点和的坐标可得结论； （2）先得，证明四边形是平行四边形，则，列方程可解答； （3）分两种情况：①当时，②当时，根据梯形的面积公式列方程可解答． （4）分三种情况：当时，当时，当时，分别画图求解． 【详解】（1）解：∵， ， ∵四边形是矩形， ， ． （2）解：∵ 四边形是矩形， ， 当时，四边形是平行四边形， ， ， ， ， ． （3）解：分两种情况： ①当时，点在边上，四边形是梯形， ， ∴以点为顶点的四边形的面积， ， ， ； ②当时，点在的延长线上， ∴以 点为顶点的四边形的面积， ， ， 综上，点的坐标为或． （4）解：∵， ∴， 当时，如图，点， 则， ∴， ∴． 当时，如图，点， 则， ∴， ∴， ∴． 当时，如图，点， 则点在线段的垂直平分线上， 则， ∴． 综上，点N的坐标为，，，． 【点睛】该题考查了矩形的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是利用数形结合思想解答． 3．（24-25八年级下·河南南阳·期末）综合与实践： 一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点与原点重合，顶点、分别在轴、轴上，，，为边上一动点，连接，将沿折叠，点落在点处． (1)如图1，连接，当点在线段上时，线段的长度是 ； (2)如图2，当点与点 重合时，沿将折叠得，与轴交于点，求的面积； (3)是否存在点，使得点到矩形的两条较长边的距离之比为，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】此题考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形，解题的关键是根据题意分情况讨论． （1）首先根据勾股定理求出，然后根据折叠的性质得到，最后根据线段的和差即可求解； （2）首先根据平行线的性质和折叠的性质得到，设，则，在中，根据勾股定理求出，得到，然后利用三角形面积公式求解即可； （3）过点作交于点，交于点，根据题意得到，然后分两种情况讨论：和，分别根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，， ， 由折叠的性质得， ， 故答案为：； （2）四边形是矩形， ， ， 由折叠得：， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ； （3）如图所示，过点作交于点，交于点， ， ， 四边形是矩形， ， 当时，，， 由折叠得：， ， ， 点的坐标为； 当时，，， 由折叠得：， ， ， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 【典型例题五 斜边的中线等于斜边的一半】 【例1】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图．在中，，是斜边的中点，连接，若，，则线段的长度为（   ） A．25 B．12.5 C．12 D．13 【答案】C 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直接利用的长度求解即可． 【详解】解：在中，，是斜边的中点， ， ． 【例2】（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在中，、分别是、的中点，点在上，且，若，，则的长为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】D 【分析】先根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半求出，进而得出，再根据中位线的性质得出答案． 【详解】解：∵点是的中点，， ∴是斜边的中线， ∴， ∴， ∵点D，E是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 【例3】（25-26八年级下·甘肃金昌·期中）如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则两点间的距离是_______． 【答案】6 【详解】解：利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得： ． 【例4】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，，分别是，，的中点，连接，，已知，则的长为________． 【答案】8 【分析】先由是的中位线求出，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴． ∵是的中点，， ∴． 1．（25-26九年级下·广东河源·期中）如图，在中，是的中点，，．求证：四边形为菱形． 【答案】证明：，， 四边形是平行四边形， 在中，，为的中点， ， 四边形为菱形． 【分析】先根据两组对边分别相等判定四边形是平行四边形，再利用直角三角形斜边中线的性质证明一组邻边相等，进而根据菱形的判定定理证得四边形为菱形． 【详解】略 2．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在中，，为的中点，过点作于点，点在的延长线上，且，在的延长线上截取，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先利用“一组对边平行且相等”证明四边形是平行四边形，再通过“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”分别证明和都等于的一半，从而得到，最后根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”完成证明即可； （2）先在中利用勾股定理求出斜边的长度，再根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”求出菱形的边长，最后利用“菱形周长边长”即可计算出四边形的周长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴，即， 在中，，是中点， ∴， 在中，是中点， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：在中，，， ∴， ∵是中点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形的周长． 3．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）在学习矩形的性质时，我们由“矩形的对角线相等且互相平分”，可以推导出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一重要结论．数学活动课上，小明尝试用尺规作图的方法，作图探究并验证这一结论． 如图，已知，．小明同学设计如下作图步骤：作的垂直平分线交于点D，垂足为点E，连接． (1)请根据小明同学设计的步骤，用无刻度的直尺和圆规在图中完成作图过程（要求：保留作图痕迹，不写作法）． (2)请根据（1）中作图，证明：． (3)如图2，已知，点E、F分别为的中点，，．求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据垂直平分线作图步骤，作出的垂直平分线即可； （2）由（1）知，垂直平分，根据垂直平分线性质，以及等腰三角形性质推出，进而推出，再结合等腰三角形性质推出，即可证明． （3）连接，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”推出，再利用中点性质求出，最后利用勾股定理求解，即可解题． 熟练掌握垂直平分线作图步骤，垂直平分线性质，直角三角形性质，以及等腰三角形性质是解答本题的关键． 【详解】（1）解：如图即为所求． （2）解：由（1）知，垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． （3）解：连接． 在中，， ∵点E是的中点，， ∴， 同理． ∴． ∵点F是的中点，， ∴，． 在中，， ∴． 【典型例题六 矩形与折叠问题】 【例1】 （25-26九年级上·吉林·期中）如图把一张矩形纸片沿对角线翻折，点的对应点为，与相交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题）、矩形的性质，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．由翻折可得，由可得，推出即可求解． 【详解】解：由翻折可得， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选项D不符合题意； 矩形， ， ， ， ， 故选项A不符合题意； 根据现有条件无法证明选项BC； 故选：D． 【例2】（25-26九年级上·贵州毕节·期中）在学习了特殊的平行四边形后，小安将一张矩形纸片按如图所示的方式对折两次后，沿虚线剪开，他剪下来的这个直角三角形纸片完全展开后的形状一定是（    ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．三角形 【答案】B 【分析】本题考查菱形的判定，折叠的性质，矩形的性质．通过折叠的过程可以得出该四边形的四边相等，继而进行判断即可． 【详解】解：由折叠的性质可得，展开后的图形为四边形，四边形的四边都与相等， 即四边形的四边相等， 故剪下来的直角三角形纸片完全展开后的形状是菱形， 故选B． 【例3】（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）如图，将矩形沿折叠得到，折叠后与交于点E，已知，则的大小为______． 【答案】 【分析】由直角三角形的性质得到，由平行线的性质推出，由折叠的性质得到，于是得到，即可求出结果． 本题考查平行线的性质，折叠问题，解题的关键是由平行线的性质推出，由折叠的性质得到 【详解】解：在矩形中，， ， ， ， 由折叠的性质得到：， ， ， 故答案为： 【例4】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，将长方形沿折叠（折线交于，交于，点的对应点分别是交于，再将四边形沿折叠，点、的对应点分别是、，交于，若，则______，______． 【答案】 /70度 /75度 【分析】本题考查了矩形的性质以及折叠，利用折叠的性质得到，根据平行求出；根据折叠求出，减去即可． 【详解】解：长方形沿折叠 和平行 根据折叠可知， 故答案为：；． 1．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图，在矩形中，将沿着折叠，使点与点重合，过点作交线段于点，连接和． (1)求证：； (2)求证：四边形为菱形； (3)连接交于点，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，进而得到，可知，由翻折的性质可得，，根据等角对等边得到，可知； （2）证明四边形是平行四边形，根据可知平行四边形是菱形； （3）连接交于，根据菱形的性质得到，，根据等面积法求出，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， 由翻折的性质可得，， ， ， ， ； （2）证明：，， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形； （3）解：如图，连接交于． 四边形是菱形， ，， ，，， ， ， ， ， 根据勾股定理得． 2．（25-26八年级下·江西上饶·期中）如图1，在矩形中，，点O为矩形对角线的交点，点 E 为边上任意一点，连接并延长，与边交于点 F． (1)观察：线段和有什么数量关系?并进行证明； (2)操作：如图2，聪聪连接、后发现，四边形的形状一定是 ；当的长为 时，四边形是菱形； (3)探究：受聪聪的启发，明明对图形进一步操作，将图2中 与 分别沿与进行翻折，点 A 与点C分别落在矩形内的点、处，连接、，如图3，请你判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)，证明见解析 (2)平行四边形； (3)四边形是平行四边形，证明见解析 【分析】（1）连接，证明，根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）根据矩形的性质得到，，则可证明，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形；根据菱形的性质得到，设，则，根据勾股定理列出方程，解方程即可； （3）连接，根据全等三角形的性质、折叠的性质得到，，根据平行四边形的判定定理证明即可． 【详解】（1）解：，证明如下： 如图所示，连接， 点为矩形对角线的交点， 点在上，且， 四边形是矩形， ， ，， 在和中， ， ； （2）解：四边形是矩形， ，，； 由（1）得， ∴， ， 又∵，即， 四边形是平行四边形； 当四边形是菱形时，， 设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴； （3）解：四边形是平行四边形，证明如下： 如图所示，连接， 由（1）得，， ∵四边形是矩形， ∴， ， ， 由折叠的性质可知，，，，， ，，， ∴， ∵， ， ， ， 又∵， 四边形是平行四边形． 3．（25-26八年级下·吉林·期中）综合与实践：折纸中的数学． 【主题】四边形与折纸 【素材】如图①，一张矩形纸片． 【实践操作1】 步骤一：将矩形纸片上下对折，折痕为： 步骤二：然后左右对折，折痕为： 步骤三：将原纸片展开还原后，如图②所示得到四边形． 【实践探索1】 (1)①四边形的形状为___________； ②求四边形的边上的高． 【实践操作2】 步骤一：将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕分别交和边于点、点，交对角线于点O； 步骤二：将原纸片展开还原后，连接，．如图③所示，得到四边形． 【实践探索2】 (2)判断四边形的形状，并加以证明． 【答案】(1)①菱形；② (2)四边形是菱形，证明见解析 【分析】（）①由折叠可知对角线互相垂直且平分，据此即可得解； ②先求出菱形的面积和边长，再利用等面积即可得解； （）由折叠可得，，由矩形可得，从而有，进而可证，则有，再根据菱形的判定即可求证． 【详解】（1）解：①由折叠可知：与互相垂直平分， ∴四边形为菱形； ②由折叠可得：，，，， ∴， 又， 菱形边长， ∴， 设边上的高为， 则有， ∴， ∴菱形的边上的高为； （2）解：四边形是菱形，证明如下：如图③， 由折叠可得：，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形． 【典型例题七 证明四边形是矩形】 【例1】（25-26八年级下·河北廊坊·期中）如图，已知四边形是平行四边形． 嘉嘉：当时，它是菱形； 琪琪：当时，它是矩形． 对于他俩的说法，正确的是（   ） A．只有嘉嘉对 B．只有琪琪对 C．他俩都对 D．他俩都错 【答案】C 【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形；有一个角是直角的平行四边形是矩形，判断即可． 【详解】解：四边形是平行四边形，， 四边形是菱形，故嘉嘉说法正确，符合题意； ∵四边形是平行四边形，有一个角是直角， 四边形是矩形，故琪琪说法正确，符合题意； 综上，他俩都对． 【例2】（24-25八年级下·广东江门·阶段检测）一个木匠要制作矩形的踏板，他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形的踏板．这样做最直接的道理是（   ） A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．两组对边分别相等的四边形是矩形 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形和矩形判定，掌握平行四边形和矩形的判定是解题的关键． 根据平行四边形和矩形判定即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴这样做最直接的道理是有一个角是直角的平行四边形是矩形， 故选：． 【例3】 （24-25八年级下·全国·课后作业）四边形中，交于O，给出条件①；②；③；④．其中能推得四边形是矩形的是（填序号）___________． 【答案】③ 【分析】由矩形的判定、平行四边形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可． 【详解】①∵AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； ②， 不能判定四边形ABCD是矩形，不符合题意； ③∵OA＝OB＝OC＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，符合题意； ④， 不能推出四边形ABCD是矩形，不符合题意； 故答案为：③． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的判定、平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【例4】（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，且，，则的度数是_____°． 【答案】50 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和矩形的判定，首先根据题意平行四边形是矩形，进而求出的度数． 【详解】解：∵平行四边形对角线相交于点O，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴． 故答案为：50． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，、是的两条直径，四边形是矩形吗？证明你的结论． 【答案】四边形是矩形． 证明如下：、是的两条直径， ， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． 【分析】由题意得，可证四边形是平行四边形，结合，即可得证． 【详解】略 2．（25-26八年级下·吉林长春·期中）已知：如图，在中，．求作：以为对角线的矩形． 作法：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线与交于点D； ②以点A为圆心，的长为半径画弧；再以点C为圆心，的长为半径画弧，两弧在的右侧交于点E； ③连接． 四边形为所求的矩形． (1)根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）； (2)求证：四边形是矩形． 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据题意作图即可； （2）先根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明四边形为平行四边形，由三线合一得，进而可证平行四边形是矩形． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）证明：由作图可知， ∴四边形为平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)． 由作图可知，平分， 又∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)． 3．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)如图2，在四边形中，，四边形是垂美四边形吗？______（是、否） (2)如图1，四边形是垂美四边形，请证明． (3)如图3，在中，，点F为斜边的中点，分别以为底边，在外部作等腰三角形和等腰三角形，连接，分别交于点．试猜想四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)是 (2)证明见解析 (3)四边形是矩形，理由见解析 【分析】（1）连接、，根据垂美四边形的判定定理证明即可； （2）根据垂美四边形的定义和勾股定理证明即可； （3）根据点为斜边的中点，可得，再根据和是等腰三角形，可得，，再由（1）可得，，从而判定四边形是矩形． 【详解】（1）解：连接、，如图： ， ∴点在线段的垂直平分线上， ， ∴点在线段的垂直平分线上， ， ∴四边形是垂美四边形； （2）证明：， ， ，， ； （3）解：四边形是矩形，理由如下： 如图，连接， ∵点为斜边的中点， ， 和是等腰三角形， ，， 由（1）可得，，， ， ， ∴四边形是矩形． 【典型例题八 根据矩形的性质与判定求角度】 【例1】（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，△ABO是等边三角形，若AC＝8cm，则平行四边形ABCD的面积是（    ）cm2 ． A．16 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质和等边三角形的性质证得AC=BD=8，AB=4，进而证得四边形ABCD为矩形，利用勾股定理求得BC即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=OC，BO=OD， ∵△ABO是等边三角形，AC=8cm， ∴AO=OB=AB=4cm， ∴AC=BD， ∴四边形是ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°， ∴在Rt△ABC中，BC=， ∴平行四边形ABCD的面积是AB·BC= ×4= (cm2)， 故答案为：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解答的关键． 【例2】（24-25八年级下·广西贵港·期末）为了研究特殊四边形，刘老师制作了这样一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C，B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，课上，刘老师右手拿住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2），观察所得到的四边形，下列结论：①∠BCA＝45°；②AC的长度变小；③AC＝BD；④AC⊥BD．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据平行四边形和矩形的性质即可判断． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， 又∵AB⊥BC， AB与BC不一定相等， ∴∠BCA不一定45°，故①错误； AC的长度变小，故②正确； ∵四边形ABCD是平行四边形， 又∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，故③正确； 矩形对角线不垂直，故④错误； 综上，正确的有②③，共2个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和平行四边形的性质，弄清图形变化后的变量和不变量是解答此题的关键． 【例3】（24-25八年级下·上海·期中）如图，在矩形中，，点在上，且，则________． 【答案】15° 【分析】根据矩形性质得出∠A＝∠BCD＝90°，AD＝BC=BE，根据，得出∠BEA＝30°＝∠EBC，求出∠ECB的度数，即可求出答案． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠BCD＝90°，AD＝BC=BE，AD∥BC， ∵， ∴∠BEA＝30°， ∵AD∥BC， ∴∠EBC＝∠BEA＝30°， ∵=BC， ∴∠ECB＝（180°−∠EBC）＝75°， ∵∠BCD＝90°， ∴90°−75°＝15°， 故答案为：15°． 【点睛】本题考查了矩形性质，三角形的内角和定理，平行线性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质的应用，解此题的关键是求出∠ABC和∠EBA的度数，题目比较好，是一道综合性比较强的题目． 【例4】 （24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为______度．    【答案】60 【分析】想办法求出，利用平行四边形的性质即可解决问题． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故答案为：60． 【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题． 1．（25-26九年级上·江西九江·期末）如图，四边形是菱形，是边上的高，请仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作边上的高； (2)在图2中，作边上的高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质： （1）连接交于点K，作线段，并延长交于点F，即可； （2）连接，交于点M，作线段，并延长交于点G，即可． 【详解】（1）解：如图，高即为所求； 理由：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴，即是边上的高； （2）解：如图，高即为所求． 理由：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，即是边上的高． 2．（2025·山东·模拟预测）解决以下问题： 【尝试与感悟】 (1)如图1，已知，用直尺和圆规求作点D，使四边形面积是面积的2倍； (2)如图2，在矩形中，点E在边上，，在延长线确定点F，使四边形与矩形的面积相等，画出示意图，并说明理由； 【迁移与应用】 (3)如图3，五边形花园中，，，，，，，，，点F在边上，．计划在花园中过点F修一条直路（路的宽度不计），使道路通往上的点Q处，且平分花园的面积．请确定点Q的位置，并求出道路的长． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，理由见解析 (3) 【分析】（1）分别以点C、A为圆心，为半径画弧，两条弧交于点D，连接，即为所求（作法不唯一）； （2）连接，过点B作交的延长线于F，连接，则点F即为所求； （3）连接，作于P，作于M，作交的延长线于G，连接EG，则，可得四边形为矩形，求出，，，根据，求出，∴，得 方程（），解得，即得（m）． 【详解】（1）如图，分别以点C、A为圆心，为半径画弧，两条弧交于点D， 连接， 即为所求（作法不唯一）； （2）连接，过点B作交的延长线于F， 连接， 则点F即为所求． 理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图，连接，作于P，作于M，作交的延长线于G，连接EG． 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴∠， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （）， ∵直线将五边形的面积平分， ∴ （）， ∴ （）， ∴， ∴（m）． 3．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）已知，中，是边的中线． 阅读：学习全等三角形知识后，我们知道，当出现三角形的中线时，通常用倍长中线构造“X”型全等的方法来解决问题． 如图1，延长到点E，使，连接，则有以下两个常见结论：①； ②．利用这两个结论解决下列问题． (1)如图1，若，直接写出的取值范围为：__________； (2)如图2，在中，．求证：． (3)如图3，点G在的上方，点F在的延长线上，连接，若．求证：． 【答案】(1)1，5 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质． （1）先证明，推出，，根据三角形的三边关系得到，进而推出； （2）延长至点F，使，连接，可得，推出，求出，同理，得到四边形是矩形，即可证得； （3）连接，延长至点E，使，则，，由此得到，,再证明，得到，推出，由，得到，求出即可． 【详解】（1）证明：如图， ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴． ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）延长至点F，使，连接， 可得， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （3）如图，连接，延长至点E，使， 则，． ∴，, ∵． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【典型例题九 根据矩形的性质与判定求线段长】 【例1】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在四边形中，对角线交于点．（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题主要考查平行四边形，菱形，矩形的判定和性质，掌握菱形，矩形的判定和性质是关键． 根据题意得到，四边形是平行四边形，结合菱形，矩形的判定和性质求解即可． 【详解】 解：∵， ∴四边形是平行四边形， A．若时，平行四边形是菱形， 不能判定，故不符合题意； B．若时，平行四边形是菱形， ∴，故符合题意； C．若时，平行四边形是矩形， 不能证明，故不符合题意； D．若时，平行四边形是矩形， 不能证明，故不符合题意． 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，点D从点A出发沿着线段运动到点B，过点D作于于F，连接，在整个运动过程中，下列关于线段长度变化的描述中，正确的是（   ） A．先变短后变长 B．先变长后变短 C．一直变短 D．始终保持不变 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质．连接，证明四边形是矩形，可得，由垂线段最短可得当时，最短，则线段的值最小，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可得当时，最短，则线段的值最小， ∴点D从点A出发沿着线段运动到点B的过程中，则线段的值大小变化情况是先变短后变长． 故选：A． 【例3】（24-25八年级下·新疆喀什·期中）如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高的树顶飞到另一棵高的树顶上，若两棵树相距，则小鸟至少要飞_____．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，矩形的性质与判定，过点作于C，则可证明四边形矩形得到的长，再求出的长，最后利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于C，    ∵， ∴四边形矩形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ， 则小鸟至少要飞， 故答案为：． 【例4】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，，点P和点Q分别从点B和点D同时出发，按逆时针方向沿矩形的边运动．点P和点Q的速度分别为和，则最快________s后，四边形为矩形． 【答案】5 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，掌握其判定方法和性质的运用是关键，根据题意，只需，即，由此即可求解． 【详解】解：四边形为矩形， ， 设最快后，四边形为矩形， 要使四边形为矩形， 只需，即， 解得， 故最快后，四边形为矩形， 故答案为：． 1．（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在中，，，是的中点，是线段延长线上一动点，过点作，与线段的延长线交于点，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是矩形，，，求的值； (3)若，试判断四边形是什么样的四边形，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)四边形是矩形，证明见解析． 【分析】（1）判断出，即可得出结论； （2）根据矩形的性质，证明为等边三角形，即可得出结论； （3）利用等边三角形的性质及（1）的结论证明，继而可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴； （3）解：四边形是矩形， ∵四边形是平行四边形． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 2．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）在一节数学活动课上，王老师在黑板上画出了一个四边形，如图1，，．并提出问题：利用尺规作图作出，交于点E．经过同学们分组讨论，展示了下面甲、乙两组的作图：    解答下面问题： (1)请你分别判断甲组、乙组的做法是否正确？ (2)请从（1）中任选一个你作出的判断，通过推理，说明你判断的理由； (3)请你用不同于甲组和乙组的方法，在图1中，用尺规作图作出，交于点E．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)甲组正确；乙组正确 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据平行四边形和矩形的判定与性质，结合全等三角形的判定与性质判断即可； （2）根据平行四边形和矩形的判定与性质，结合全等三角形的判定与性质证明即可； （3）利用过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可． 【详解】（1）解：甲组正确；乙组正确． （2）解：若选“甲组正确”， 理由：如题图所示，∵， ∴， ∴，即， 由甲组的尺规作图可知，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，故甲组作法正确． 若选“乙组正确”， 理由：如图，连接，． 由乙组的尺规作图可知，． ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，故乙组作法正确．    （3）解：如图所示，．    3．（25-26八年级下·山西吕梁·期中）阅读与思考 认真阅读材料，并完成相应的任务． 勾股定理的拓展探究   勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古代《周髀算经》中就有“勾三、股四、弦五”的记载．如图1，在中，，分别以，，为边向外作正方形，正方形，正方形，其面积分别为，，． 在此基础上，同学们作了进一步探究： 佳琪同学的探究思路：如图2，在四边形中，，分别以，，，为边向外作正方形，其面积分别为，，，，探究这四个面积之间的等量关系． 知夏同学的探究思路：如图3，在如图1的基础上，分别以，为边向外作正方形，其面积分别为， ，探究，，的等量关系．为探究它们的关系，过点G作于点Q，结合全等三角形的有关知识和勾股定理，计算出，即可求出，…… 任务： (1)在图1中，直接写出，，之间的等量关系：_____； (2)在图2中，写出，，，之间的等量关系，并证明； (3)在图3中，直接写出，，之间的等量关系：_____． 【答案】(1) (2)．证明见解析 (3) 【分析】（1）根据勾股定理及正方形面积即可求解； （2）连接，根据勾股定理及正方形面积即可求解； （3）延长交于点，过点作于点，延长交于点O，利用全等三角形的判定和性质得出 ，， 同理得：，，设，然后结合图形，利用勾股定理及正方形的面积即可得出结果． 【详解】（1）解：∵在中，，分别以，，为边向外作正方形，正方形，正方形，其面积分别为，，． ∴，且， ∴； （2），理由如下： 连接，如图所示：    在和中，，， ∴， ∵， ∴； （3）如图，延长交于点，过点作于点，延长交于点O， ∴，四边形为矩形，    根据题意可得，即， ， ∵, ， ， 同理得：， ， 设， ， 根据勾股定理可得，即， ，即， ∵， 即， ∴ ∴． 【典型例题十 根据矩形的性质与判定求面积】 【例1】（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图所示，在矩形中，E，F，G，H分别为边，，，的中点，若，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质推出，得到平行四边形，推出，，同理得到，，推出，根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：连接、， ∵矩形， ∴，， ∵H、F分别为边、的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 同理，， ∵， ∴， ∴四边形的面积是 ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查对矩形的性质，平行四边形的性质和判定，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出、的长和是解此题的关键． 【例2】（24-25八年级下·全国·单元测试）矩形中，，交于M，交于N，在上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是（    ）    A．10 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】先证明四边形是矩形，得到，同理可得，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可证， ∴ ， 故选B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键． 【例3】 （24-25八年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，的坐标分别为，，，，，，，则四边形的面积为___． 【答案】 【分析】根据已知得出四边形是矩形，进而即可求解． 【详解】解：∵点，，，的坐标分别为，，，，，，， ∴的纵坐标相同，的纵坐标相同，则轴， 又的横坐标相同，的横坐标相同，则轴，，则 ∴四边形是平行四边， 又， ∴四边形是矩形， ∴四边形的面积为 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形，矩形的性质与判定，根据题意得出四边形是矩形是解题的关键． 【例4】（2025七年级·全国·模拟预测）如图，六边形的面积为______． 【答案】135 【分析】本题考查坐标与图形，矩形的判定，三角形面积公式，过点A作轴，交的延长线于点N，延长交x轴于点M，构造矩形，矩形的面积减去，，，的面积即为六边形的面积． 【详解】解：如图，过点A作轴，交的延长线于点N，延长交x轴于点M， ，， 轴， 又轴，x轴轴， 四边形为矩形， ，，，均为直角三角形， 六边形的面积 ， 故答案为：135． 1．（24-25八年级下·山东烟台·期中）如图，在中，，是边上的中线，过点A作的平行线，过点B作的平行线，两直线交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点O，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）只要证明四边形是平行四边形，且即可； （2）利用等腰三角形的性质与矩形的性质求出，，进而即可求出面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，是边上的中线， ∴，即， ∴四边形是矩形． （2）解：∵，是边上的中线， ∴． 由（1）知，四边形是矩形，， ∴， 在中，． ∴． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质、等腰三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法． 2．（24-25八年级下·广西百色·期末）【操作与思考】 已知：矩形． 【动手操作】以下是小华完成的尺规作图的过程． 第1步：分别以点A，B为圆心，以大于长为半径，在两侧作弧，分别交于点E，F； 第2步：作直线； 第3步：在的右侧，以点A为圆心，以长为半径作弧，交直线于点G，连接． 【解决问题】根据小华的尺规作图步骤，完成以下问题： （1）填空： ． （2）过点D作，交直线于点H． 求证：四边形是平行四边形； 【数学思考】（3）在（2）的条件下，设平行四边形的面积为，矩形的面积为，请问与存在有何种数量关系？请写出来，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】本题主要考查尺规作垂线，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，矩形的性质的综合，掌握矩形的性质，平行四边形的判定和性质，垂直平分线的性质是解题的关键． （1）由作图知，是线段的垂直平分线，，得到，推出是等边三角形，于是得到结论； （2）根据矩形的性质得到，推出，得到四边形是平行四边形； （3）设与交于M，根据矩形和平行四边形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：由作图知，是线段的垂直平分线，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ 故答案为：30； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （3）解：，理由如下： 如图，设与交于O， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的性质，线段垂直平分线的性质，正确的识别图形是解题的关键． 3．（2025·宁夏银川·模拟预测）综合与实践： 问题背景：在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相关问题的研究，下面是创新小组在操作纸片过程中研究的问题，请你解决这些问题，如图，，其中，，，． 操作与发现： （1）如图，创新小组将两张三角形纸片按如图所示的方式放置后，经过观察发现四边形是矩形，请你证明这个结论． 操作与探究： （2）创新小组在图的基础上，将纸片沿方向平移至如图的位置，其中点与的中点重合，连接，，经过探究后发现四边形是菱形，请你证明这个结论． （3）创新小组在图的基础上又进行了探究，将纸片绕点逆时针旋转至与平行的位置，如图所示，连接，，创新小组经过观与推理后发现四边形是矩形，请你证明这个结论． 提出问题： （4）请你参照以上操作，在图的基础上，通过平移或旋转构造出的图形，在图中画出这个图形，标明字母，说明构图方法，写出你发现的结论，不必证明． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、菱形的知识、矩形的知识，解（1）的关键是判断四边形是平行四边形；解（2）的关键是判断出；解（3）的关键是判断出是等边三角形；（4）画出图形是解答关键． （1）利用平行四边形的判断方法先判断出四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）先求出，再判断出四边形是平行四边形，进而判断出，即可得出结论； （3）先求出，进而判断出是等边三角形，即可判断出四边形是平行四边形，即可得出结论； （4）把平移的长度可得到四边形为平行四边形． 【详解】（1）证明：， ，， 在四边形中，，， 四边形是平行四边形， ， ∴平行四边形是矩形； （2）证明：在中，， ， 与平移可知，，， 四边形是平行四边形， ，， ， 点与的中点重合，， ， ， 在平行四边形中，， 平行四边形是菱形； （3）证明：在中，， ，点是中点，， ，， ， ， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ， 在四边形中，，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形； （4）解：构图方法： 如图所示，将向下平移的长度，得到四边形为平行四边形．理由如下， 由平移可得：，， 四边形为平行四边形． 1．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，的对角线交于点，以下条件不能证明是菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的判定定理分别证明即可． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形，， ∴是菱形； B、四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 是菱形； C、四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 是菱形； D、∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形，故不能证明为菱形． 2．（2026·河北保定·二模）如图，四边形中，．求证：四边形是矩形．下面是打乱顺序的证明过程，则正确的步骤排序应为（     ） ① ② ③四边形是矩形 ④四边形是平行四边形 ⑤， A．①④③⑤② B．②④⑤①③ C．⑤④①②③ D．⑤④②①③ 【答案】C 【分析】首先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明结论成立． 【详解】证明：⑤，， ④四边形是平行四边形， ①， ②， ③四边形是矩形， 正确的顺序是⑤④①②③． 3．（2026·湖南岳阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，轴于点，以为圆心、的长为半径画弧，交于点；再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意确定点、的坐标，利用尺规作图的性质得出平分，结合角平分线的性质及全等三角形判定得出，设点坐标构建方程求解即可． 【详解】解：连接， 点的坐标为，轴，轴，， ，，，．四边形是矩形 以为圆心、的长为半径画弧交于点， ． 在中，， 点的坐标为． 由作图可知，平分，即． 点在上，轴， 点的横坐标为， 设，则． 平分， ∴ 又∵ ， ，． ∴． 在： ， 解得． 点的坐标为． 4．（2026·广东·二模）如图1所示（图中各角均为直角），动点 P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线匀速运动，的面积y随点 P运动的时间x（秒）变化的函数关系图象如图2所示，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据题意，得，延长交于点M，且，得到四边形，都是矩形，根据平行线的判定和性质，三角形的面积，求解即可； 【详解】解：当时，点P在上运动，此时，根据图象，得当时，， 设，根据题意，得， ，， 解得， 故， A，B选项都是错误的； 图中各角均为直角， ， ， ，， ， 当时，点P在上运动，此时，， 根据图象，得时，， 根据图象，得点P在上运动了（秒），点P在上运动了（秒）， 故，， 延长交于点M，且， ， 故四边形，都是矩形， 故，， 故选项C错误，选项D正确； 5．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）宽与长的比是（约）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，我们可以折叠出一个黄金矩形．第一步，在一张矩形纸片的一端利用图的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步，如图，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平，折痕是；第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图中所示的处，折痕为；第四步，如图，展平纸片，按照所得的点折出，使．得到矩形，若，则的值是多少（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠的性质可知正方形的边长为，折痕平分正方形，从而求出和的长，利用勾股定理求出的长，由折叠性质可得，进而求出的长，最后计算比值即可． 【详解】解： 第一步折出一个正方形，且， 正方形的边长为，即， 第二步折痕把正方形折成两个相等的矩形， 为的中点， ， 在中，， ， 第三步把折到处， ， 第四步，四边形为矩形， ， ． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）四边形ABCD的对角线相交于点O，且，则当OD的长为________时，四边形ABCD是矩形． 【答案】2.5 【分析】本题考查了矩形的判定，能正确运用知识点进行推理是解此题的关键． 根据矩形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：当时，四边形是矩形． 理由如下：，且， ， 即， 四边形是平行四边形， 又，， ， 四边形是矩形． 故当时，四边形是矩形． 故答案为：． 7．（25-26九年级下·陕西·期中）如图，在菱形中，对角线、交于点，过点作，交的延长线于点，连接．若菱形的面积为，，则的长为___________． 【答案】12 【分析】由菱形的性质可得，，，根据菱形的面积公式计算得出，再由直角三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∵菱形的面积为， ∴， ∴， ∵，， ∴． 8．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图，法国数学家瓦里尼翁发现，顺次连接四边形各边中点E，F，G，H得到的平行四边形与原四边形关系密切，因此平行四边形也被称为瓦里尼翁平行四边形．已知瓦里尼翁平行四边形是矩形，则原四边形的对角线，满足的关系是_____． 【答案】 【分析】先判定四边形是平行四边形，再结合矩形的内角为直角的性质，即可推出原四边形对角线满足的条件． 【详解】解：根据三角形中位线定理可得：，，，，，， ，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ，即 ，， ． 9．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图1：）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．问题解决：如图2，点M是矩形的对角线上一点，过点M作分别交，于点E、F，连接，．若，则图中阴影部分的面积和为__________． 【答案】24 【分析】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，明确题意、根据已知结论入手进行分析成为解答本题的关键．如图，过点作于，交于，由可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点M作于H，交于G， ∵四边形是矩形，， ∴四边形、四边形、四边形、四边形都是矩形， ∴， ∴， ，，，，， ∵， ∴， ∴，即图中阴影部分的面积和为， 故填：． 10．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的边OA 在x轴上，OC在y轴上，OA=1，OC=2，对角线 AC的垂直平分线交AB 于点E，交AC于点D．若y轴上有一点P（不与点C重合），能使△AEP是以为 AE 为腰的等腰三角形，则点 P的坐标为____． 【答案】，或 【分析】设AE=m，根据勾股定理求出m的值，得到点E（1，），设点P坐标为（0，y），根据勾股定理列出方程，即可得到答案． 【详解】∵对角线 AC的垂直平分线交AB 于点E， ∴AE=CE， ∵OA=1，OC=2， ∴AB=OC=2，BC=OA=1， ∴设AE=m，则BE=2-m，CE=m， ∴在Rt∆BCE中，BE2+ BC2=CE2，即：（2-m）2+12=m2， 解得：m=， ∴E（1，）， 设点P坐标为（0，y）， ∵△AEP是以为 AE 为腰的等腰三角形， 当AP=AE，则(1-0)2+(0-y)2= (1-1)2+(0-)2，解得：y=， 当EP=AE，则(1-0)2+(-y)2= (1-1)2+(0-)2，解得：y=， ∴点 P的坐标为，，， 故答案是：，，． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，勾股定理，矩形的性质，垂直平分线的性质，掌握勾股定理，列出方程，是解题的关键． 11．（24-25九年级上·山东青岛·阶段检测）已知：中，是上一点，求作：矩形，使在边上，在边上． 【答案】见详解 【分析】本题考查作图--复杂作图，矩形的判定，尺规作垂线，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据要求作出图形即可． 【详解】解：如图，矩形即为所求， 12．（25-26八年级下·吉林松原·期中）如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，E、F在上，且满足． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，，再根据推得，即可得证； （2）由可推得，则平行四边形是矩形，即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：由（1）可知，四边形是平行四边形， 则，， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴． 13．（25-26八年级下·上海·期中）已知矩形，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，在边上取一点，将沿翻折，点D恰好落在边上的点处． (1)求线段长； (2)如图2，将图1翻折后的矩形沿轴正半轴向上平移个单位，点是坐标平面内的点，如果以为顶点的四边形为菱形，请求出点、G的坐标． 【答案】(1) (2)，或， 或，． 【分析】（1）由矩形的性质得，，由折叠性质得，则，由勾股定理求出，则，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）分三种情况讨论，由菱形的性质得，根据题意作出相应图形，然后结合菱形的性质求解即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，，， 由折叠性质得：，， ， 由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， 即：， 解得：； （2）如图， 当四边形为菱形， ， ∴， 矩形平移距离， 即， 设交轴于，如图所示： ，轴， ， 四边形是矩形， ，， ， 点的坐标为． 若四边形是菱形， ， ， ， ， ∴， ， 的坐标为； 当四边形是菱形， ，，， ，， 点的坐标为， 综上所述：，或， 或，． 14．（25-26八年级下·山西吕梁·期中）项目化学习 佳琪同学在数学活动课上进行项目式学习实践探究，相关信息如下： 课题 测量放风筝时风筝离地面的垂直高度 抽象模型    测量数据 ①水平距离米； ②风筝线米； ③手到地面的距离米； 说明 点A，B，C，D在同一平面内，； 若想要风筝沿方向再上升11米，且长度不变，佳琪同学应再放出多少米的线？ 【答案】佳琪同学应该再放出7米的线 【分析】过点D作于点E，假设风筝沿方向再上升11米到达点F，连接，根据题意可知：四边形为矩形，米，米，米，米，结合图形利用勾股定理求解即可 【详解】解：过点D作于点E，假设风筝沿方向再上升11米到达点F，连接， 根据题意可知：四边形为矩形，米，米，米，米． 在中， 根据勾股定理可得： 米． 米． 在中， 根据勾股定理可得： 米． 米 答：佳琪同学应该再放出7米的线． 15．（24-25八年级下·全国·单元测试）（1）我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形(如图1)，这个矩形称为赵爽弦图，其验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边 a，b 与斜边c 满足关系式称为勾股定理． 证明：∵大正方形面积表示为，又可表示为S= ， ∴ ∴ ， 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； （2）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形(如图2)，也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程； （3）如图3所示， ，请你添加适当的辅助线证明结论    【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法． （1）根据四个全等的直角三角形的面积＋中间小正方形的面积=大正方形的面积，构造等量关系，然后化简即可证得； （2）根据四个全等的直角三角形的面积＋中间小正方形的面积=大正方形的面积，代入数值，即可证明； （3）作辅助线，构建矩形，根据矩形的面积可得结论． 【详解】（1）证明：∵大正方形面积表示为，又可表示为， ∴． ∴， ∴， 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 故答案为：，，； （2）证明：由图得，大正方形面积=， 整理得，， 即 ； （3）如图，过A作，过E作于F，交的延长线于D，则四边形是矩形，    ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $