专题1.3 矩形的性质与判定（高效培优讲义）数学新教材北师大版九年级上册

本讲义聚焦矩形的性质与判定核心知识点，衔接平行四边形知识，系统梳理矩形“四角直角、对角线相等”的性质，“定义法、三角直角、对角线相等的平行四边形”的判定方法，及直角三角形斜边中线定理，构建从基础到推论的学习支架。 资料以“知识点+题型”梯度设计，含即学即练、典例变式及中考真题，通过折叠、动点等综合题型培养几何直观与推理能力，配套逻辑图辅助梳理。课中助教师分层教学，课后学生可通过真题演练查漏补缺，强化应用意识。

专题1.3 矩形的性质与判定 教学目标 1.熟练掌握矩形两条核心性质：四个角都是直角、对角线相等且互相平分。 2.掌握矩形三大判定方法：①定义法；②三个角是直角的四边形；③对角线相等的平行四边形。 3.掌握矩形重要推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，并能用于计算与证明。 4.类比菱形学习方法，自主探究矩形性质，培养类比迁移的几何学习能力。感受图形变换的规律性与几何严谨性，培养严谨推理的数学素养。 教学重难点 1.重点 （1）矩形的性质定理（四角为直角、对角线相等）的理解与应用。 （2）矩形三种判定方法的熟练运用。 （3）直角三角形斜边中线定理的应用。 2.难点 （1）区分平行四边形判定与矩形判定的条件差异，避免乱用定理。 （2）灵活选择最优判定方法解决综合证明题。 （3）斜边中线模型在折叠、求值、几何综合题中的灵活迁移。 知识点01 矩形的性质定理 性质定理1:矩形的四个角都是直角。 性质定理2:矩形的对角线相等。 推理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 注意:矩形具有平行四边形的一切性质（即对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分）。 【即学即练】 1.（2025·山西吕梁·三模）如图，在矩形中，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵矩形，∴，，， ∵O为中点，∴，故选项A、B、C正确，不符合题意； 无法得出，故选项D错误，符合题意；故选：D． 2．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在矩形中，、相交于点，平分交于点．若，则的度数为(    )    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在矩形中，，，， ∵平分，， ，∴，． ，，又，为等边三角形，，∴， ∵，∴，．故选：C． 3．（2026·陕西西安·一模）如图，在矩形中，平分交于点，连接，点为的中点，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：矩形，，，，，， 平分，，，， ，，点为的中点，． 4．（25-26八年级下·重庆·课后作业）下列说法中，正确的有（    ） ①平行四边形和矩形都是中心对称图形；②矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形； ③矩形是轴对称图形，连接两组对边中点的线段是它的对称轴；④矩形具有平行四边形的所有性质． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】平行四边形和矩形都是中心对称图形，①说法正确； 矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，②说法正确； ∵对称轴是直线，而连接两组对边中点的线段是线段，不是直线，∴③说法错误； 矩形具有平行四边形的所有性质，④说法正确.综上，正确的说法有①②④，共3个 知识点02 矩形的判定定理 判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形； 判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形 注意: 矩形的判定方法除了教材中的判定1和判定2，我们还可以根据其他条件推导出判定1或判定2，如： 判定3：有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义法）； 判定4：对角线互相平分且相等的四边形是矩形。 【即学即练】 1．（25-26九年级上·四川成都·期末）要使如图所示的成为矩形，需增加的一个条件可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：已知四边形是平行四边形， ∵若，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可得平行四边形是矩形； 而选项B中、选项C中、选项D中均是平行四边形本身具有的性质，无法通过这些条件判定其为矩形．故选：A． 2．（25-26八年级下·广东·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．有一个角是直角，两条对角线相等的四边形是矩形 B．一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形 【答案】D 【详解】解：A、有一个角是直角且对角线相等的四边形不一定是矩形，该选项说法错误，不符合题意； B、一组对边平行且有一个角是直角的四边形不一定是矩形（如直角梯形），该选项说法错误，不符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是矩形，该选项说法错误，不符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，该选项说法正确，符合题意；故选：D． 3．（24-25八年级下·广西南宁·月考）如图，在平行四边形中，，，过点A作，垂足为E，，则与之间的距离为（   ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，设与之间的距离为， ∵，∴平行四边形的面积， ∴，∴，∴与之间的距离为．故选：A． 4．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在四边形中，，，E为边上一点，，连接、． (1)求证：四边形是矩形；(2)若平分，，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)4． 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是矩形； （2）解：由（1）知，四边形是矩形，∴， ∵，∴，∵平分，∴，∴， ∴，∴，∴， 题型01 矩形性质的理解 【典例1】（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是矩形，∴，， ∴∴不一定正确，故A不符合题意； ，不一定正确，故B不符合题意； 不一定正确，故C不符合题意；一定正确，故D符合题意，故选：D． 【变式1】（2026·四川成都·模拟预测）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．四条边相等 B．四个内角都相等 C．对角线互相平分 D．中心对称图形 【答案】B 【详解】A选项：四条边相等，菱形具有；B选项：四个内角都相等，矩形具有； C选项：对角线互相平分，菱形和矩形都具有；D选项：矩形、菱形都是中心对称图形．故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·福建南平·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，且，．下列推断错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，∴四边形是平行四边形． ∵矩形的对角线，相交于点，∴， ∴∴四边形是菱形，∴，故A正确， ∴，，故C，D正确，没有条件得出B选项．故选：B． 【变式3】（25-26八年级下·山东·期中）下列说法：①矩形是轴对称图形；②矩形是中心对称图形；③矩形的对角线相等；④矩形的对角线互相垂直；⑤矩形的每条对角线平分一组对角．其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵矩形沿对边中点的连线折叠后直线两旁的部分能完全重合，∴矩形是轴对称图形，①正确； ∵矩形绕对角线的交点旋转后能与自身重合，∴矩形是中心对称图形，②正确； 根据矩形的性质，矩形的对角线相等，③正确； 矩形的对角线不一定互相垂直，只有特殊的矩形(正方形)对角线才垂直，④错误； 矩形的对角线不平分一组对角，只有菱形或正方形的对角线平分一组对角，⑤错误； 综上，正确的说法有①②③，共3个，故选：C． 【变式4】（25-26九年级上·广东深圳·月考）下列性质中，矩形不一定具有的性质是（    ） A．四边相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角相等 【答案】A 【详解】解：根据矩形的性质可知，矩形的对边相等，对角线相等而且互相平分、四个角等于，但矩形的邻边不一定相等，故A符合题意，B不符合题意，C不符合题意，D不符合题意， 故选：A． 题型02 运用矩形的性质求解（角度、长度、坐标等） 【典例1】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，在矩形中，对角线与交于点O，点E在边上，连接交于点F．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，∵四边形是矩形，∴，，， ∵，∴，∴是等边三角形，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴． 【变式1】（2026·河南周口·一模）如图，在矩形中，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，则的值为（　　） A．5 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接，∵在矩形中， ∴，，，， ∴，∴，∴，∴， ∴，∴． 【变式2】（25-26八年级下·江苏·期中）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 则四边形、四边形、四边形、四边形为矩形，， ，，，， ，，， ，． 【变式3】（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由轴，，，不妨设，，由矩形， 故点E是与的中点，且，故，或， 同一点的坐标是相同的，故，故， 故故，解得，故，故选：A． 【变式4】（25-26九年级上·广东·期末）在矩形中，过的中点作，交于E，交于F，连接、．若，，则的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】解：四边形是矩形，， 是的中点，，在和中，，，， 又，四边形是菱形， ，，是等边三角形，， ，，，，．故选：A． 题型03 直角三角形斜边上的中线是斜边的一半 【典例1】（2026·河南平顶山·三模）如图，中，，E，F分别为和的中点，是边上的高，连接，．若，则的长为（     ） A．5 B．6 C．10 D．12 【答案】A 【详解】解：为的中点，且，．． 由题意，得是的中位线，． 【变式1】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中， 为斜边上的中线，点是上方一点，连接 、、，且 ，若 ， ，则 的长为（     ） A．2 B． C．3 D．7 【答案】B 【详解】解：在中， 为斜边 上的中线， ，， ，，在 中，． 【变式2】（25-26八年级下·江苏扬州·期末）如图，在中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接、，则下列个结论：①；②；③，其中一定成立的是____________（填序号）． 【答案】①②③ 【详解】解：，，，，， ，是的中点，，，，①结论正确； 如图，延长交的延长线于点， ，，，又，，， ，，，在中，点是的中点， ，②结论正确；如图，过点作交于点， ，，，， ，，，， ， ，③结论正确． 【变式3】（2025·江苏扬州·二模）如图是一张矩形纸片，点M是对角线的中点，点E在边上，把沿直线折叠，使点C落在对角线上的点F处，连接，．若，则 度． 【答案】18 【详解】解：连接，如图所示，设， 四边形是矩形，，是中点，， ，，， 沿直线折叠，点C落在对角线上的点F处，，， ，，，，， ，，， ，，．故答案为：18． 【变式4】（25-26八年级下·绵阳市·校考期末）如图，在中，于点，于点，为的中点．(1)求证：是等腰三角形；(2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵，，为的中点， ∴，，∴，∴是等腰三角形； （2）∵，∴，∵，∴． 题型04矩形的判定条件（添加条件型） 【典例1】（25-26九年级上·山西太原·期中）如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，∵四边形是平行四边形，对角线相交于，∴， ， ∵，∴，∴，∴平行四边形为矩形， 故A能判定，该选项不符合题意； B、，∴平行四边形为矩形，故B能判定，该选项不符合题意； C、∴是直角三角形， ， ∴平行四边形为矩形，故C能判定，该选项不符合题意； D、添加， 不能判定或， ∴平行四边形不一定是矩形，故D不能判定，该选项符合题意．故选： D． 【变式1】（25-26九年级上·陕西榆林·月考）在中，连接，再添加一个条件，可以判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A：∵ ，四边形是平行四边形， ∴ 平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），不能判定为矩形； 选项B：∵ ，四边形是平行四边形， ∴ 平行四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）； 选项C：∵ ，四边形是平行四边形， ∴ 平行四边形是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形），不能判定为矩形； 选项D：∵ 平行四边形中本身就有（平行四边形对角相等）， ∴ 此条件不能判定为矩形．故选：B． 【变式2】（2025·河南周口·三模）如图所示，线段的端点B在直线上，过线段上的一点O作的平行线，分别交和的平分线于点C，D，连接，要使四边形为矩形，则可添加下列条件中的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：添加条件为：，理由如下：∵，∴， ∵平分，∴，∴， ∴，同理可证：，∴， ∵，∴，∴四边形是平行四边形， ∵，∴平行四边形是矩形．故选：A． 【变式3】（2025·河北邢台·三模）如图1是多媒体上展示的一道数学题，淇淇的部分作图过程如图2所示，接下来淇淇以点C为圆心，长为半径作弧交射线于点D，连接，则四边形即为所求．对于淇淇得到的四边形，下列说法正确的是（   ） A．四边形一定是平行四边形 B．当时，四边形一定是矩形 C．四边形一定不是平行四边形 D．当时，四边形是平行四边形 【答案】B 【详解】解：平分．， ，，， ．以点为圆心，长为半径作弧交射线于点，点会有两个位置，右侧的点可以使四边形为平行四边形，左侧的点使四边形为梯形，四边形可能是平行四边形． 当时，点仅会有一个位置，故四边形一定是矩形，故选B． 【变式4】（25-26九年级上·福建三明·期末）若添加一个条件，能使是矩形，则这个条件可以是___________．（写出一个符合要求的即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：四边形是平行四边形， 当时，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可得：四边形是矩形； 四边形是平行四边形，当时，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得：四边形是矩形．故答案为：（答案不唯一） 题型05证明四边形是矩形 【典例1】（2025·陕西汉中·一模）如图，在中，、分别为边、的中点，连接，过点作交边于点，点在的延长线上，且．连接． (1)求证：四边形是矩形；(2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵D，E分别为的中点， ∴是的中位线，∴，即， ∵，∴四边形是平行四边形，又∵，∴平行四边形是矩形； （2）解：∵，是的中位线，∴， ∵四边形是矩形，∴；，∴， 在中，，∴，∴，∴， ∴，∴矩形的面积． 【变式1】（24-25八年级下·贵州黔东南·期中）如图，四边形中，对角线、相交于点，，，且．(1)求证：四边形是矩形．(2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：，，四边形是平行四边形． ，四边形是矩形． （2）解：，，． 又矩形中，，∴是等边三角形，． 【变式2】（25-26八年级下·重庆南川·期中）如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， (1)求证：四边形是矩形．(2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：，，， 在和中，，，， ∵四边形是平行四边形，，，∴四边形是矩形； （2）解：由（1）得：四边形是矩形，，，， 在直角三角形中，，． 【变式3】（25-26八年级下·江苏盐城·月考）如图，O是菱形对角线与的交点，，．过点C作，过点B作，与相交于点E． (1)求的长；(2)求证：四边形为矩形． 【答案】(1)(2)证明见详解 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，∴， ∴在中，． （2）证明：∵，，∴四边形为平行四边形， 又∵，即，∴平行四边形为矩形，即四边形为矩形． 【变式4】（25-26九年级上·河南平顶山·期末）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，E是边的中点，过点E作于点F，于点G． (1)求证：四边形是矩形；(2)若，，则的长为______． 【答案】(1)见解析(2)5 【详解】（1）证明：四边形是菱形，对角线，相交于点O，   ，即，，， ，，，四边形是矩形； （2）解：如图，连接， 四边形是菱形，，，，，， 在中，， E是边的中点，， 四边形是矩形，，故答案为：． 题型06矩形的性质与判定综合运用（选填题） 【典例1】（九年级上·四川成都·期末）在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分交BC于点E，．连接OE，则下面的结论：①是等边三角形；②是等腰三角形；③；④；⑤，其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，∴∠AEB＝45°， ∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝BE， ∵∠CAE＝15°，∴∠ACE＝∠AEB−∠CAE＝45°−15°＝30°，∴∠BAO＝90°−30°＝60°， ∵矩形ABCD中：OA＝OB＝OC＝OD，∴△ABO是等边三角形，△COD是等边三角形，故①正确； ∴OB＝AB，又∵ AB＝BE，∴OB＝BE，∴△BOE是等腰三角形，故②正确； 在Rt△ABC中∵∠ACB=30°∴BC＝AB，故③错误； ∵∠OBE＝∠ABC−∠ABO＝90°−60°＝30°＝∠ACB，∴∠BOE＝（180°−30°）＝75°， ∴∠AOE＝∠AOB＋∠BOE＝60°＋75°＝135°，故④错误； ∵AO＝CO，∴，故⑤正确；故选：B． 【变式1】（25-26八年级下·吉林长春·期中） 如图，在中，．以的三边为边，在边同侧分别作三个等边三角形：、、．给出下面四个结论： ①；②四边形是平行四边形；③当时，四边形是矩形；④当为钝角时，若，点到边的距离为1，则五边形的面积为．上述结论中，正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【详解】解：∵、是等边三角形．∴， ∴，即，∴，故①正确； 同理可证，，∴， ∴∴四边形是平行四边形；故②正确； 当时，∵∴， ∴四边形不可能是矩形；故③错误； ∵，，∴，过点作于点， ∵是等边三角形，∴，， ∴，∴， ∴五边形的面积为，故④正确；综上，正确的有①②④． 【变式2】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，连接，分别以点A和点C为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，直线分别交于点E、F，连接．给出下面四个结论：①；②四边形是菱形；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是 __________．    【答案】①②④ 【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，故①正确； ∴，由作法得：垂直平分，∴， ∴，∴，∴，∴四边形平行四边形， ∵，∴四边形是菱形，故②正确；∴，故③错误； ∵四边形是菱形，∴，∴， ∴，故④正确；故答案为：①②④ 【变式3】如图，已知矩形ABCD中，点E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折后得到△GBE，延长BG交CD于点F，连接EF，若AB=6，BC=4，则下列说法中正确的个数有（   ） ①△DEF≌△GEF；②GF：GB＝3：2；③；④S△BCF：S△DFE＝1：1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵E是AD的中点，∴， ∵沿BE折叠后得到， ∴，，∴， ∵在矩形ABCD中，∴，∴， ∵在和中，，∴，故①正确， ∴，设，则，， 在中，，解得x＝4，∴，故②错误， ∴．故③正确， ∵∴．故④正确．故选：C． 题型07矩形的性质与判定综合运用（解答题） 【典例1】（25-26八年级下·山西临汾·期末）综合与探究 问题情境在四边形专题复习课上，老师以矩形旋转为载体设计探究题： 将矩形绕点顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点，，的对应点分别为点，，，设直线与直线交于点． 数学思考(1)猜想与的数量关系，并证明； 实践探究(2)如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点重合），连接．求证：四边形是平行四边形； 拓展延伸(3)在矩形绕点顺时针旋转的过程中，若，，当，，三点在同一条直线上时，请直接写出的值． 【答案】(1)， 证明：如图，连接， 四边形与四边形都是矩形，， ，即． 由旋转可知：， 又，．． (2)证明：如图，连接，由旋转可知：， 四边形是矩形，，，． 又，，，． ，，四边形是平行四边形． （3）解：①当点、在的同侧时，如图3， 根据旋转的性质可得，，，， ，在中，， ． ②当点、在的异侧时，如图4， 同理可得，，，，， ．综上，的值为或． 【变式1】（24-25九年级下·湖北黄石·期中）如图，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点正好落在边上，连接，，且交于． (1)求证：平分；(2)过作于，补全图形，并证明：为中点； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）证明：在矩形中，，， 由旋转得，，，平分； （2）证明：由（1）得平分，，，， 由旋转得，，，， 又，，，即为中点； （3）解：，，中，， ，， 中，，． 【变式2】（2026·四川巴中·模拟预测）已知点E，F分别在矩形纸片的边、所在直线上，连接，将矩形纸片沿折叠，点A落在处，点B落在'处．当，时，请解决下列问题： (1)如图1，若点恰好与点D重合，与相交于点O，连接、，求的长； (2)如图2，若点恰好在边上时，交于点G，且满足，求证：； (3)若点在边所在直线上，且满足，求的长． 【答案】(1)的长为(2)见解析(3)的长为5或3 【详解】（1）解：设，则，由折叠的性质可知， 在中，，∴，解得，∴； （2）证明：由折叠的性质可知，， 在和中， ，∴，∴，∴， 在和中， ，∴，∴，∴； （3）解：①当在的延长线上时，如图①，由，设，则， ∵，∴，∴，∴，∴，， 设，则，在中，， ∴，解得，∴； ②当在线段时，如图②，设，则，由折叠的性质可知， ∵，，∴，在中，， ∴，解得，∴，综上，的长为5或3． 题型08矩形中的折叠问题 【典例1】（2025·湖南·模拟预测）已知点，分别在矩形纸片的边，上，连接，将矩形纸片沿折叠． (1)如图①，若点恰好落在点处，与相交于点，连接，． ①判断四边形的形状，并证明你的结论；②若，，求折痕的长； (2)如图②，若点恰好落在边上的点处，点落在点处，交于点，且． ①求证：；②若，，求的长． 【答案】(1)①四边形是菱形，证明见解析；②(2)①见解析；②6 【详解】（1）①四边形是菱形． 证明如下：由折叠的性质，得，，， 四边形是矩形，，，， ，，四边形是菱形． ②四边形是矩形，，，，， 设，则， ，，解得，， ，． （2）①四边形是矩形，，， 由折叠的性质，得，，，， 在和中，，， ，，． ②设，，，，， 由折叠的性质，得，，，， ，，，解得，． 【变式1】（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，且与相交于点，则的长是（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【详解】解：矩形中，，，，， 折叠，，，，设，则， 在中，，，解得：，即的长是5． 【变式2】（25-26八年级下·河南漯河·期末）在折纸活动中，小强将一张矩形纸片（如图1）进行了两次折叠，第一次将沿折叠，使点A的对应点E落在上（如图2）；第二次将沿折叠，点B的对应点为G （ 如图3）．若点G落在的边上，且， 则的长为___________． 【答案】2或 【详解】解：∵纸片是矩形，∴，， ∵第一次将沿折叠，使点A的对应点E落在上， ∴，，， ∵第二次将沿折叠，点B的对应点为G， ∴，， 分以下两种情况：如图，当点E和点G重合时，； 如图，当点G落在上时，则于点G， ∵，，∴，∴， ∴，∴； 综上所述：的长为2或． 【变式3】（2025·四川德阳·模拟预测）如图，在矩形中，，，是的中点，是动点，将沿翻折，得到，则的最小值是 ． 【答案】/-1+ 【详解】解：∵四边形为矩形，∴，， ∵是的中点，∴，如图，连接， ， 由勾股定理可得：，由折叠的性质可得：， ∵，∴当、、在同一直线上时，最小，为，故答案为：． 【变式4】（25-26九年级下·广东深圳·月考）数学课上老师让学生们折矩形纸片．由于折痕所在的直线不同，折出的图形也不同，所以各个图形中所隐含的“基本图形”也不同．我们可以通过发现基本图形，来研究这些图形中的几何问题． (1)问题解决：如图1， 将矩形纸片沿直线折叠，使得点与点重合，点落在点的位置，连接，线段交于点，则： ①与的关系为 ，线段与线段的关系为 ，小强量得，则 ． ②小丽说：“图1中的四边形是菱形”，请你帮她证明． (2)拓展延伸：如图2，矩形纸片中，，，小明将矩形纸片沿直线折叠，点落在点的位置，交于点，请你直接写出线段的长： ． (3)综合探究：如图3， 是一张矩形纸片，，在矩形的边上取一点（不与和点重合），在边上取一点（不与和点重合），将纸片沿折叠，使线段与线段交于点，得到，请你确定面积的取值范围 ． 【答案】(1)①全等，线段与线段互相垂直平分，；②见解析(2)(3) 【详解】（1）解：∵矩形纸片沿直线折叠，使得点C与点A重合，点D落在点的位置， ∴，∴， ∵垂直平分线段， ∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∴线段与线段互相垂直平分． ∵，∴，∴四边形是菱形， ∴，∴，∵，∴； （2）∵四边形是矩形，∴， 由翻折的性质可知，， ∵，∴，∴，∴， 设，在中，∵， ∴，解得，∴，∴． （3）如图3，当点B与点D重合时，的面积最大，作于H，则， 由题意得：，设，则；在中，由勾股定理得：， 解得：；由（1）知：， ∴，∴的面积的最大值为1.3， 的最小值为1，∴的面积的最小值为，∴． 题型09矩形与最值问题 【典例1】（25-26八年级下·江苏苏州·校考期末）如图，，动点A和C分别在射线OP、OQ上运动，且，作，且．在运动过程中，OB的最大距离是（    ） A．5cm B． C． D．3cm 【答案】B 【详解】解：取AC中点D，连接BD，OD， ∵，D为AC中点，∴，， 在中，，∴， 由图像可知，当B，O，D三点共线时，等号成立， ∴OB的最大距离是．故选：B． 【变式1】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在矩形中，点P在边上运动（可与端点重合），连接，E、F分别为、的中点，连接，若，则线段的最小值为 ． 【答案】5 【详解】解：如图，连接，∵四边形是矩形，∴，， ∵E、F分别为的中点，∴是的中位线，∴，∴当最小时，有最小值， ∵当P、D重合时，最小，有最小值，∴， ∴的最小值为5．故答案为：5． 【变式2】（25-26八年级下·四川绵阳·期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是（　　） A．2.5 B．2.4 C．2.2 D．2 【答案】B 【详解】如图，连接CD． 由题意可知四边形CEDF为矩形，∴EF=CD，∴线段CD的最小值=线段EF的最小值． 由垂线段最短可知当时CD最短，即此时CD为边AB上的高． ∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴． ∵，即∴，∴EF的最小值是2.4．故选B． 【变式3】（25-26八年级下·重庆·期末）如图，矩形中，，，是的中点，线段在上左右滑动，若，则的最小值是（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】B 【详解】如图，作关于的对称点，在上截取，然后连接交于，在上截取，此时的值最小， ， ，四边形是平行四边形，，， ，，为边的中点，，， 由勾股定理得：即的最小值为．故选：B． 【变式4】（25-26八年级下·浙江·期末）如图，在矩形中，，，是边上一点，，是直线上一动点，将线绕点逆时针旋转得到线段，连接，，则的最小值是________． 【答案】 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，延长交于点，延长至点，使，连接，∵在矩形中，，，， ∴，，，∴，， ∴，∴四边形是矩形，∴，， ∴，，∴是的垂直平分线，∴， ∵是直线上一动点，∴， ∴当点，，三点共线时，取最小值， 在中，，，， ∴的最小值是．故答案为：． 题型10 矩形与动点问题 【典例1】（2025·江西赣州·一模）在矩形中，，，点是折线上的动点（不与两点重合），当的长为整数时，则的长是 ． 【答案】或或 【详解】解：如图所示，以为原点建立坐标系，则，，，． 折线包括线段、和． ①当时，在上，坐标为，此时由勾股定理得； ②当时，在上，坐标为，此时由勾股定理得；   ③当时，可在上或上，若可在上，由勾股定理得； 若可在上，此时的坐标为，由勾股定理得．   综上所述，当为整数时，的长为．故答案为：或或． 【变式1】（25-26八年级下·河南·期末）如图1，四边形ABCD中，，∠B＝90°，AC＝AD．动点P从点B出发沿折线B﹣A﹣D﹣C方向以1单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则AD等于（    ） A．5 B． C．8 D．2 【答案】B 【详解】解：当t＝3时，点P到达A处，即AB＝3；过点A作AE⊥CD交CD于点E，如图所示： ∵，∠B＝90°，∴， ∴，∴则四边形ABCE为矩形，∴， ∵AC＝AD，∴DE＝CECD，∴，∴， 当S＝15时，点P到达点D处，则SCD•BCBC＝3×BC＝15，则BC＝5， 由勾股定理得，故B正确．故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，，点O为对角线的中点，动点P从点A出发，沿向终点C运动．连结，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点E，顺次连结O、P、B、E四个点，组成四边形． (1)______；(2)求证：；(3)当四边形的面积为20时，求出此时的长． (4)在点P运动过程中，当四边形是菱形时，请直接写出此时的值． 【答案】(1)5(2)证明见解析(3)或(4)或 【详解】（1）解：在矩形中，，∴，，∴， ∵点O为对角线的中点，∴，故答案为：5 （2）证明：∵点P关于的对称点为点E，∴垂直平分，∴， ∵，∴； （3）解：∵，∴∵四边形的面积为20，∴， ∵点O为对角线的中点，∴，， 当点P在边上时，过点O作，如图， ∵，∴，∴， ∵，∴，即，∴， ∴，∴； 当点P在边上时，过点O作于点G， ∵，∴，∴， ∵，∴，即，∴， ∴，∴；综上所述，的长为或； （4）解：设，如图，当点P在边上时，设交于点N， ∵四边形是菱形，∴， ∵，∴，由（2）得：，， 在中，，∴，解得：，即； 当点P在边上时，延长交于点M，∵四边形是菱形，∴， ∵，∴，由（2）得：，， 在中，，∴，解得：，即； 综上所述，的值为或． 【变式3】（25-26九年级上·成都·校考期末）如图，在矩形中，，，P点在边上以每秒的速度从A向D运动，点Q在边上，以每秒的速度从C点出发，在C、B间往返运动，两点同时出发，P点到达D点时同时停止，在这段时间内，有如下说法： ①该过程中，会出现4次的时刻； ②该过程中，会出现3次四边形和四边形同时为矩形的时刻； ③该过程中，当：时，四边形和四边形的面积比为6∶5； ④该过程中，矩形和面积比的最大值为4∶3． 上述说法正确的是______（填序号）． 【答案】①②##②① 【详解】解：①∵矩形中，，∴， ∵，，∴四边形是平行四边形， ∴，∴Q从C到B往返一次就可以得到一次平行， ∵P的速度是/秒，∴两点运动的时间为，∴Q运动的路程为， ∴Q从C到B往返一次得到一次平行的次数为次， ∴会出现4次的时刻，故①正确； ②∵在矩形中，，∴． 当四边形为矩形时，． 当时，，解得，，∴当时，四边形和四边形同时为矩形； 当时，，解得 t=4，∴当时，四边形和四边形同时为矩形； 当时，，解得 ，∴当时，四边形和四边形同时为矩形； 当时，，解得，，此时，四边形不为矩形； 综上所述，当t为或4或时，四边形和四边形同时为矩形， 即该过程中，会出现3次四边形和四边形同时为矩形的时刻，故②正确； ③当时，， ∴，， ∴四边形和四边形的面积比为，故③错误； ④当时，矩形和面积比取最大值为：，故④错误；故答案为：①②． 题型11 矩形与旋转问题 【典例1】（2025·山东青岛·一模）在数学课上，老师让同学们动手操作，将一个矩形绕其一个顶点旋转．小明在旋转的过程中发现，随着旋转角度的变化可以研究很多数学问题．如图，已知矩形，，将矩形绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形，点B的对应点是点G，点C的对应点是点F，点D的对应点是点E，连接． (1)如图①，当时，______；如图②，当时，______； (2)如图③，当边经过点B时，______；(3)如图④，当点F落在的延长线上时，______． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：如图1，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点， ， 当时，，是等边三角形，∴； 如图2，当时，由旋转的性质可得：， 在 中，根据勾股定理可得：，故答案为：； （2）解：如图3，由旋转的性质可得：， ∵四边形和都是矩形，，， 在中，根据勾股定理可得：，， 在中，根据勾股定理可得：，∴的长为； （3）解：如图4，连接， 由旋转的性质可得：， ∵四边形和都是矩形，， ∵点落在的延长线上，在和中 ，， ∴，，∴， ∵，∴垂直平分， ∴∴，∴． 【变式1】（2025·山东聊城·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为，∴， ∵四边形是矩形，∴， ∵将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形， ∴，，∴轴，∴点的坐标为，故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·广东·校考期末）如图，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，当时，的大小为______． 【答案】60°或300° 【详解】如图，当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上， 分两种情况讨论：①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M， ∵GC=GB，∴GH⊥BC，∴四边形ABHM是矩形，∴AM=BH= AD= AG， ∴GM垂直平分AD，∴GD=GA=DA，∴△ADG是等边三角形，∴∠DAG=60°，∴旋转角α=60°； ②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形， ∴∠DAG=60°，∴旋转角α=360°-60°=300°．故答案为60°或300°． 【变式3】（25-26九年级上·广东江门·月考）如图，在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形． (1)如图，当点落在的延长线上时，求的长；(2)如图，当点在上时，连接、，求证：四边形是平行四边形；(3)当旋转到时，求点到直线的距离． 【答案】(1)．(2)见解析；(3)或． 【详解】（1）解：连接， 在矩形中，．，，由旋转可知，． 在中，，∴．∴． （2）解：连接，设与交于点． ∵四边形是矩形，∴，，，∴，∴． ∵矩形绕点顺时针旋转得到矩形，∴，，， ∴．，∴，∴． 又∵，∴四边形是平行四边形． （3）解：情况一：当点在的下方时，如图，连接，过点作于，连接交于， ∵四边形是矩形，∴，，∴， 由旋转可得，，，，， ∵，∴∴∴点、、三点共线， ∵∴∴∴点到的距离等于线段的长度， 在中，即∴ ∴，，∴点到的距离为， 情况二：当点在的上方时，如图，连接，过点作于，连接交于，连接， 同理可得，，，∴点到的距离为， 综上，点到的距离为或． 1．（25-26九年级上·河南开封·期末）矩形是特殊的平行四边形，下面是矩形具有而平行四边形不具有的性质的是（   ） A．矩形的对角线互相平分 B．矩形的对边相等 C．矩形的对边平行 D．矩形的四个角相等 【答案】D 【详解】解：、∵矩形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分，∴矩形与平行四边形都具有，不符合题意； 、∵矩形的对边相等，平行四边形的对边相等，∴矩形与平行四边形都具有，不符合题意； 、∵矩形的对边平行，平行四边形的对边平行，∴矩形与平行四边形都具有，不符合题意； 、∵矩形是特殊的平行四边形，除具备平行四边形的所有性质外，还具有四个角均为直角（即四个角相等）的性质，∴矩形具有而平行四边形不具有，符合题意；故选：． 2.（25-26九年级上·广东佛山·期中）要检测一个四边形是不是矩形，下列方案可行的是（    ） A．任选三个角并测量角度 B．测量对角线长度 C．测量四条边的长度 D．测量两条对角线是否垂直 【答案】A 【详解】解：A、由三个角为直角得到另外一个角也为直角，故可得到四边形为矩形，正确，符合题意； B、测量对角线长度，若对角线相等，该四边形不一定是矩形，也可能是等腰梯形，错误，不符合题意； C、测量四条边的长度，只能得出四边形是平行四边形或菱形，错误，不符合题意； D、测量两条对角线是否垂直，不能检测一个四边形是不是矩形，错误，不符合题意；故选：A． 3．（25-26九年级上·江西抚州·月考）下列说法中，正确的是（    ） A．四边相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对边相等的平行四边形是矩形 【答案】C 【详解】解：A、四边相等的四边形是菱形，不一定是矩形，故A不符合题意； B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，不一定是矩形，故B不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，故C符合题意； D、对边相等是平行四边形的性质，平行四边形的对边都相等，所以对边相等不能作为判定平行四边形是矩形的条件，故D不符合题意.故选：C. 4. （25-26九年级上·成都·校考期末）如图，要使平行四边形为矩形，则可添加下列哪个条件（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．∵四边形是平行四边形，∴， 再添加也无法判断平行四边形为矩形，故A错误； B．∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，∴添加，无法判断四边形是矩形，故B错误； C．∵有一组邻边相等的平行四边形是菱形，∴添加无法判断四边形是矩形，故C错误； D．∵四边形是平行四边形，∴，，∵，∴， ∴平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）， ∴添加能够使平行四边形为矩形，故D正确．故选：D． 5．（2025·陕西·一模）如图，在矩形中，是对角线的中点，连接，若，则边的长为（   ） A．2 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【详解】四边形为矩形，是对角线的中点， ∵，∴在中，∴故选：B． 6．（2025·广东广州·二模）在矩形中，，，对角线交于点O，点A关于的对称点为，连接交于点E，连接，则的长为（   ） A．1.2 B．1.4 C．1.6 D．1.8 【答案】B 【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，， ∴，∴，∴， ∵点关于的对称点为，∴，， ∴，，∴， ∴，∴， ∵，，∴是的中位线，∴，故选：B． 7．（25-26九年级上·山西·校考期末）已知：如图，矩形中，，对角线相交于点O，点P是线段上任意一点，且于点E，于点F，则等于（　　） A．6 B．5 C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，如图，在矩形中，， ∴， ， ∴，， , ∴．故选：C． 8．（25-26九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【详解】解：如图，连接，，点F是的中点，， ，，四边形是矩形，， E是的中点，，，是等边三角形， ，，， ，，四边形是平行四边形，， ，，，， ， ，,故选：A． 9．（25-26九年级上·广西·校考期末）如图，点是中斜边不与，重合上一动点，分别作于点，作于点，点是的中点，若，，当点在上运动时，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，如图所示：，于点，于点， 四边形是矩形，，，与互相平分， 点是的中点，，当时，最小 ∵，，，故选：B． 10. （25-26九年级上·湖北·校考期末）如图，在矩形，对角线与相交于点O，于点O，交于点E，若的周长为8，，则的长为（　　） A．2 B．5.5 C．5 D．4 【答案】C 【详解】解：∵四边形是矩形，∴， ∵，∴，∵的周长为8，∴， ∴，∴，∴．故选：C． 11．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，矩形的对角线相交于点，为上的一点，，，则的周长为__________． 【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，，∴， 的周长为．故答案为：． 12. （25-26九年级上·山东·校考期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形中，，，将沿对角线翻折，使点落在处，与轴交于点，则点的坐标为______． 【答案】 【详解】解：由题意可知：，， 设，则，又∵∴∴ 在中，，即解得： ∴点的坐标为故答案为 13．（25-26九年级上·湖南·校考期末）已知矩形的对角线相交于点，平分交矩形的边于点，若，则的度数为__________． 【答案】70°或110° 【详解】如图,AE平分∠BAD，∴∠DAE=45°，∵∠CAE=10°，∴∠DAO=35°， ∵AO=DO，∴∠ADO=∠DAO=35°∴∠AOB=∠ADO+∠DAO=70°； 如图，∠DAE=45°，∴∠DAO=∠DAE+∠CAE=55°，同理∠ADO=∠DAO=55° ∴∠AOB=∠ADO+∠DAO=110°；故的度数为70°或110°. 14. （25-26九年级上·广东·校考期末）如图，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN，交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F．给出下列信息：①MN∥BC；②OE=OC；③OF=OC． (1)请在上述3条信息中选择其中一条作为条件，证明：OE=OF；(2)在（1）的条件下，连接AE、AF，当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由． 【答案】(1)选择①，证明见解析(2)当点O在边AC上运动到的中点时，四边形AECF是矩形，理由见解析 【解析】（1）选择①MN∥BC； 证明：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE=∠BCE，∠ACF=∠DCF， ∵MN∥BC，∴∠CEF=∠BCE，∠CFE=∠DCF， ∴∠CEF=∠ACE，∠CFE=∠ACF，∴OC=OE，OC=OF，∴OE=OF； （2）当点O在边AC上运动到的中点时，四边形AECF是矩形，理由如下： ∵点O为AC的中点，∴OA=OC，∵OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形， 由（1）得：OE=OF=OC，∴OE=OF=OC=OA，即AC=EF，∴四边形AECF是矩形． 15.（25-26八年级下·天津津南·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点为坐标原点，顶点，的坐标分别为，．将矩形沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处，折痕与边交于点．(1)填空：点的坐标为________，的长为________；(2)求的长及直线的解析式；(3)若为轴上一动点，当的周长最小时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)，5(2)；(3) 【详解】（1）解：∵矩形的顶点为坐标原点，顶点，的坐标分别为，， ∴，，，，，∴，∴． （2）解：∵矩形沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处，折痕与边交于点， ∴，，∴， 设，则，根据勾股定理，得， ∴，解得，∴，∴， 设的解析式为，∴解得．故的解析式为； （3）解：根据题意，得是定长，的周长为， 当取得最小值时，的周长最小， 作点B关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，此时取得最小值， 设直线的解析式为，把，代入， 得：，解得直线的解析式为； 当时，，解得，故； 1. （25-26八年级下·广西·期末）如图，在长方形中，=4， =8，点是边上一点，且，点是边上一动点，连接，，则下列结论：① ；②当时，平分 ； ③△周长的最小值为15 ；④当时，平分.其中正确的个数有（        ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】∵，设BE=x，则AE=8-x，在Rt△ABE中AE2=AB2+BE2, 即（8-x）2=42+x2,解得x=3，故① 正确； 当时，∵EC=5∴AP∥EC,AP=CE，∴四边形APCE为平行四边形。 又AE=EC，∴四边形APCE为菱形，故可得到平分 ，②正确； 作C点关于直线AD的对称点C’，则PC=PC’ ∴△周长的最小值为EC+EC’=5+，故③错误； 过点A作AH⊥PE，PG⊥BC，∴AB=PG=4 ∵∴PD==GC∴EG=5-=故EP== 又S△AEP=AP×PG=EP×AH即××4=××AH∴AH=4=AB， ∴平分，④正确；故选B. 2. （25-26八年级下·四川绵阳·期末）如图，∠MON＝90°，长方形ABCD的顶点B、C分别在边OM、ON上，当B在边OM上运动时，C随之在边ON上运动，若CD＝5，BC＝24，运动过程中，点D到点O的最大距离为_____. 【答案】 【详解】取BC的中点E，连接OD、OE、DE，如图所示： ∵∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大 ∵CD＝5，BC＝24，∠MON＝90°∴ ∴OD的最大值为：∴点D到点O的最大距离为故填：. 3．（山东省济南市2024-2025学年九年级下期中）如图，在矩形纸片中，，，E为中点，F为边上一点，连接，将沿翻折，点D的对应点为，G为边上一点，连接，将沿翻折，点B的对应点恰好也为，则______． 【答案】/ 【详解】如图所示，连接，， ∵四边形是矩形，，，E为中点， ∴，，，， 由翻折得，，∴∴， ∵∴ ∴∴点G，，D三点在同一条直线上 ∵∴∵由折叠得，∴ ∴∴∴．故答案为：． 4．（25-26八年级下·山西朔州·期末）如图，在梯形中，，，E是梯形内部一点，连接，，，点P，Q分别是边，的中点，连接．若，，，则线段的长为__________． 【答案】 【详解】解：如图，连接，连接并延长交于点F． ∵点P是边的中点，∴，∵， ∴为等腰三角形，且点P是边的中点，∴，即， 在中，． ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 在与中，，∴，∴，． ∵∴四边形为矩形， ∴，，． 在中，由勾股定理得． ∵点P，Q分别是边，的中点，为的中位线，所以． 5．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）综合与实践：数学张老师带领学生探究矩形的旋转，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现．如图1，四边形是一张矩形纸片，，．先将边向上翻折，使与重合，折痕为（如图2），沿裁开得到两个矩形．矩形保持不动，将矩形绕点逆时针旋转，点的对应点为． (1)如图3，小聪将矩形的顶点旋转至边上，连接交于点． ①则的长为______；②求证：． (2)如图4，小明继续旋转矩形，他发现，当点落在的延长线上时，点、、在同一条直线上，小明的发现正确吗？请说明理由． (3)小红在小明的基础上继续探究，连接交于点，延长交的延长线于点，小红说她可以计算出的长，则______． 【答案】（1）解：①∵四边形是矩形，，， ∴，，，∵将边向上翻折，使与重合，折痕为， ∴，，，由旋转可得，， 在中，，∴． ②证明：如图，连接，过点作于点， ∵，，∴， 由①可知，，∵，∴， 在和中，，∴，∴． (2)小明的发现正确，理由如下：如图，连接， 由折叠得：四边形和四边形是全等的矩形， ∴，，，， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴四边形是平行四边形，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，∴点，，在同一条直线上． （3）解：如图，连接，， 由（2）知：，，三点共线，四边形是平行四边形， ∴，，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，，∴， ∵，∴，∴， 设，则，在中，， ∴，解得，∴，∴． 6．（25-26八年级下·河南周口·期末）问题发现如图1，矩形中，，点分别为边、对角线的中点，连接． (1)猜想：之间的数量关系是_________； 类比迁移(2)如图2，将图1中的绕点旋转到图2位置，小丽认为（1）中的结论还成立，并尝试延长交于点，连接．请你根据小丽的思路补全图形，并给出证明． 拓展应用(3)若（2）中的点在直线上，且，其他条件不变，请直接写出的长． 【详解】（1）解：．∵四边形是矩形，∴， ∵点分别为边的中点，∴， ∵中：，∴； (2)如图，证明：∵矩形中，，∴，∵是中点，∴， 又∵，，∴，． ∵图1中，点分别为边、对角线的中点，∴分别是的中位线， ∴，∴四边形是平行四边形， ∵矩形中，，∴四边形是矩形，，， ∵∴垂直平分， ∵矩形中，，∴中：，∴； （3）解：的长为或．分两种情况：①当在之间时，如图2， ∵，，∴．设，则， ∵，∴，解得； ②当在上方时，如图3，∵，，∴．设，则， ∵，∴，解得．综上可知，的长为或． 7．（25-26九年级下·成都·开学考试）在矩形中，E为边上异于A、D的一个动点，将沿折叠，点A的对应点为F． (1)如图1，若设，则 （用含的式子表示）；当点F恰好是的中点时，则 度． (2)如图2，交于点M，且平分．①求证：是等腰三角形． ②当时，求的长．③若设，求证：． 【答案】(1)，30(2)①见解析；②；③见解析 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，∴， 由翻折可知：， ∴，∴； ∵点F恰好是的中点，，∴是的垂直平分线，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴度．故答案为：，30． （2）①证明：如图2，延长交于点N， ∵平分，∴，由翻折可知：，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵四边形是矩形，∴，∴， ∵，∴，∴，∴是等腰三角形； ②解：∵四边形是矩形，∴， ∵，∴，设，则， ∴，如图2，过点E作于点Q，则四边形是矩形， ∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∵，∴， 在中，，根据勾股定理得：， ∴，∴或（舍去），∴的长为． ③证明：由①得，∴，由折叠可得， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∵， ∴． 1 / 54 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 矩形的性质与判定 教学目标 1.熟练掌握矩形两条核心性质：四个角都是直角、对角线相等且互相平分。 2.掌握矩形三大判定方法：①定义法；②三个角是直角的四边形；③对角线相等的平行四边形。 3.掌握矩形重要推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，并能用于计算与证明。 4.类比菱形学习方法，自主探究矩形性质，培养类比迁移的几何学习能力。感受图形变换的规律性与几何严谨性，培养严谨推理的数学素养。 教学重难点 1.重点 （1）矩形的性质定理（四角为直角、对角线相等）的理解与应用。 （2）矩形三种判定方法的熟练运用。 （3）直角三角形斜边中线定理的应用。 2.难点 （1）区分平行四边形判定与矩形判定的条件差异，避免乱用定理。 （2）灵活选择最优判定方法解决综合证明题。 （3）斜边中线模型在折叠、求值、几何综合题中的灵活迁移。 知识点01 矩形的性质定理 性质定理1:矩形的四个角都是直角。 性质定理2:矩形的对角线相等。 推理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 注意:矩形具有平行四边形的一切性质（即对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分）。 【即学即练】 1.（2025·山西吕梁·三模）如图，在矩形中，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在矩形中，、相交于点，平分交于点．若，则的度数为(    )    A． B． C． D． 3．（2026·陕西西安·一模）如图，在矩形中，平分交于点，连接，点为的中点，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·重庆·课后作业）下列说法中，正确的有（    ） ①平行四边形和矩形都是中心对称图形；②矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形； ③矩形是轴对称图形，连接两组对边中点的线段是它的对称轴；④矩形具有平行四边形的所有性质． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点02 矩形的判定定理 判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形； 判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形 注意: 矩形的判定方法除了教材中的判定1和判定2，我们还可以根据其他条件推导出判定1或判定2，如： 判定3：有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义法）； 判定4：对角线互相平分且相等的四边形是矩形。 【即学即练】 1．（25-26九年级上·四川成都·期末）要使如图所示的成为矩形，需增加的一个条件可以是（  ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·广东·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．有一个角是直角，两条对角线相等的四边形是矩形 B．一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形 3．（24-25八年级下·广西南宁·月考）如图，在平行四边形中，，，过点A作，垂足为E，，则与之间的距离为（   ） A． B．6 C． D． 4．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在四边形中，，，E为边上一点，，连接、． (1)求证：四边形是矩形；(2)若平分，，，求的长． 题型01 矩形性质的理解 【典例1】（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·四川成都·模拟预测）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．四条边相等 B．四个内角都相等 C．对角线互相平分 D．中心对称图形 【变式2】（25-26九年级上·福建南平·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，且，．下列推断错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级下·山东·期中）下列说法：①矩形是轴对称图形；②矩形是中心对称图形；③矩形的对角线相等；④矩形的对角线互相垂直；⑤矩形的每条对角线平分一组对角．其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4】（25-26九年级上·广东深圳·月考）下列性质中，矩形不一定具有的性质是（    ） A．四边相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角相等 题型02 运用矩形的性质求解（角度、长度、坐标等） 【典例1】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，在矩形中，对角线与交于点O，点E在边上，连接交于点F．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2026·河南周口·一模）如图，在矩形中，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，则的值为（　　） A．5 B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·江苏·期中）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26九年级上·广东·期末）在矩形中，过的中点作，交于E，交于F，连接、．若，，则的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 题型03 直角三角形斜边上的中线是斜边的一半 【典例1】（2026·河南平顶山·三模）如图，中，，E，F分别为和的中点，是边上的高，连接，．若，则的长为（     ） A．5 B．6 C．10 D．12 【变式1】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中， 为斜边上的中线，点是上方一点，连接 、、，且 ，若 ， ，则 的长为（     ） A．2 B． C．3 D．7 【变式2】（25-26八年级下·江苏扬州·期末）如图，在中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接、，则下列个结论：①；②；③，其中一定成立的是____________（填序号）． 【变式3】（2025·江苏扬州·二模）如图是一张矩形纸片，点M是对角线的中点，点E在边上，把沿直线折叠，使点C落在对角线上的点F处，连接，．若，则 度． 【变式4】（25-26八年级下·绵阳市·校考期末）如图，在中，于点，于点，为的中点．(1)求证：是等腰三角形；(2)若，，求的长度． 题型04矩形的判定条件（添加条件型） 【典例1】（25-26九年级上·山西太原·期中）如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·陕西榆林·月考）在中，连接，再添加一个条件，可以判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·河南周口·三模）如图所示，线段的端点B在直线上，过线段上的一点O作的平行线，分别交和的平分线于点C，D，连接，要使四边形为矩形，则可添加下列条件中的（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·河北邢台·三模）如图1是多媒体上展示的一道数学题，淇淇的部分作图过程如图2所示，接下来淇淇以点C为圆心，长为半径作弧交射线于点D，连接，则四边形即为所求．对于淇淇得到的四边形，下列说法正确的是（   ） A．四边形一定是平行四边形 B．当时，四边形一定是矩形 C．四边形一定不是平行四边形 D．当时，四边形是平行四边形 【变式4】（25-26九年级上·福建三明·期末）若添加一个条件，能使是矩形，则这个条件可以是___________．（写出一个符合要求的即可） 题型05证明四边形是矩形 【典例1】（2025·陕西汉中·一模）如图，在中，、分别为边、的中点，连接，过点作交边于点，点在的延长线上，且．连接． (1)求证：四边形是矩形；(2)若，，，求四边形的面积． 【变式1】（24-25八年级下·贵州黔东南·期中）如图，四边形中，对角线、相交于点，，，且．(1)求证：四边形是矩形．(2)若，求的度数． 【变式2】（25-26八年级下·重庆南川·期中）如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， (1)求证：四边形是矩形．(2)若，求的度数． 【变式3】（25-26八年级下·江苏盐城·月考）如图，O是菱形对角线与的交点，，．过点C作，过点B作，与相交于点E． (1)求的长；(2)求证：四边形为矩形． 【变式4】（25-26九年级上·河南平顶山·期末）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，E是边的中点，过点E作于点F，于点G． (1)求证：四边形是矩形；(2)若，，则的长为______． 题型06矩形的性质与判定综合运用（选填题） 【典例1】（九年级上·四川成都·期末）在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分交BC于点E，．连接OE，则下面的结论：①是等边三角形；②是等腰三角形；③；④；⑤，其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1】（25-26八年级下·吉林长春·期中） 如图，在中，．以的三边为边，在边同侧分别作三个等边三角形：、、．给出下面四个结论： ①；②四边形是平行四边形；③当时，四边形是矩形；④当为钝角时，若，点到边的距离为1，则五边形的面积为．上述结论中，正确结论的序号是______． 【变式2】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，连接，分别以点A和点C为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，直线分别交于点E、F，连接．给出下面四个结论：①；②四边形是菱形；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是 __________．    【变式3】如图，已知矩形ABCD中，点E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折后得到△GBE，延长BG交CD于点F，连接EF，若AB=6，BC=4，则下列说法中正确的个数有（   ） ①△DEF≌△GEF；②GF：GB＝3：2；③；④S△BCF：S△DFE＝1：1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型07矩形的性质与判定综合运用（解答题） 【典例1】（25-26八年级下·山西临汾·期末）综合与探究 问题情境在四边形专题复习课上，老师以矩形旋转为载体设计探究题： 将矩形绕点顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点，，的对应点分别为点，，，设直线与直线交于点． 数学思考(1)猜想与的数量关系，并证明； 实践探究(2)如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点重合），连接．求证：四边形是平行四边形； 拓展延伸(3)在矩形绕点顺时针旋转的过程中，若，，当，，三点在同一条直线上时，请直接写出的值． 【变式1】（24-25九年级下·湖北黄石·期中）如图，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点正好落在边上，连接，，且交于．(1)求证：平分；(2)过作于，补全图形，并证明：为中点；(3)若，，求的长． 【变式2】（2026·四川巴中·模拟预测）已知点E，F分别在矩形纸片的边、所在直线上，连接，将矩形纸片沿折叠，点A落在处，点B落在'处．当，时，请解决下列问题：(1)如图1，若点恰好与点D重合，与相交于点O，连接、，求的长； (2)如图2，若点恰好在边上时，交于点G，且满足，求证：； (3)若点在边所在直线上，且满足，求的长． 题型08矩形中的折叠问题 【典例1】（2025·湖南·模拟预测）已知点，分别在矩形纸片的边，上，连接，将矩形纸片沿折叠．(1)如图①，若点恰好落在点处，与相交于点，连接，． ①判断四边形的形状，并证明你的结论；②若，，求折痕的长； (2)如图②，若点恰好落在边上的点处，点落在点处，交于点，且． ①求证：；②若，，求的长． 【变式1】（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，且与相交于点，则的长是（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式2】（25-26八年级下·河南漯河·期末）在折纸活动中，小强将一张矩形纸片（如图1）进行了两次折叠，第一次将沿折叠，使点A的对应点E落在上（如图2）；第二次将沿折叠，点B的对应点为G （ 如图3）．若点G落在的边上，且， 则的长为___________． 【变式3】（2025·四川德阳·模拟预测）如图，在矩形中，，，是的中点，是动点，将沿翻折，得到，则的最小值是 ． 【变式4】（25-26九年级下·广东深圳·月考）数学课上老师让学生们折矩形纸片．由于折痕所在的直线不同，折出的图形也不同，所以各个图形中所隐含的“基本图形”也不同．我们可以通过发现基本图形，来研究这些图形中的几何问题． (1)问题解决：如图1， 将矩形纸片沿直线折叠，使得点与点重合，点落在点的位置，连接，线段交于点，则： ①与的关系为 ，线段与线段的关系为 ，小强量得，则 ． ②小丽说：“图1中的四边形是菱形”，请你帮她证明． (2)拓展延伸：如图2，矩形纸片中，，，小明将矩形纸片沿直线折叠，点落在点的位置，交于点，请你直接写出线段的长： ． (3)综合探究：如图3， 是一张矩形纸片，，在矩形的边上取一点（不与和点重合），在边上取一点（不与和点重合），将纸片沿折叠，使线段与线段交于点，得到，请你确定面积的取值范围 ． 题型09矩形与最值问题 【典例1】（25-26八年级下·江苏苏州·校考期末）如图，，动点A和C分别在射线OP、OQ上运动，且，作，且．在运动过程中，OB的最大距离是（    ） A．5cm B． C． D．3cm 【变式1】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在矩形中，点P在边上运动（可与端点重合），连接，E、F分别为、的中点，连接，若，则线段的最小值为 ． 【变式2】（25-26八年级下·四川绵阳·期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是（　　） A．2.5 B．2.4 C．2.2 D．2 【变式3】（25-26八年级下·重庆·期末）如图，矩形中，，，是的中点，线段在上左右滑动，若，则的最小值是（    ） A．5 B． C．6 D． 【变式4】（25-26八年级下·浙江·期末）如图，在矩形中，，，是边上一点，，是直线上一动点，将线绕点逆时针旋转得到线段，连接，，则的最小值是________． 题型10 矩形与动点问题 【典例1】（2025·江西赣州·一模）在矩形中，，，点是折线上的动点（不与两点重合），当的长为整数时，则的长是 ． 【变式1】（25-26八年级下·河南·期末）如图1，四边形ABCD中，，∠B＝90°，AC＝AD．动点P从点B出发沿折线B﹣A﹣D﹣C方向以1单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则AD等于（    ） A．5 B． C．8 D．2 【变式2】（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，，点O为对角线的中点，动点P从点A出发，沿向终点C运动．连结，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点E，顺次连结O、P、B、E四个点，组成四边形．(1)______；(2)求证：；(3)当四边形的面积为20时，求出此时的长．(4)在点P运动过程中，当四边形是菱形时，请直接写出此时的值． 【变式3】（25-26九年级上·成都·校考期末）如图，在矩形中，，，P点在边上以每秒的速度从A向D运动，点Q在边上，以每秒的速度从C点出发，在C、B间往返运动，两点同时出发，P点到达D点时同时停止，在这段时间内，有如下说法： ①该过程中，会出现4次的时刻；②该过程中，会出现3次四边形和四边形同时为矩形的时刻；③该过程中，当：时，四边形和四边形的面积比为6∶5； ④该过程中，矩形和面积比的最大值为4∶3．上述说法正确的是______（填序号）． 题型11 矩形与旋转问题 【典例1】（2025·山东青岛·一模）在数学课上，老师让同学们动手操作，将一个矩形绕其一个顶点旋转．小明在旋转的过程中发现，随着旋转角度的变化可以研究很多数学问题．如图，已知矩形，，将矩形绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形，点B的对应点是点G，点C的对应点是点F，点D的对应点是点E，连接． (1)如图①，当时，______；如图②，当时，______； (2)如图③，当边经过点B时，______；(3)如图④，当点F落在的延长线上时，______． 【变式1】（2025·山东聊城·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·广东·校考期末）如图，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，当时，的大小为______． 【变式3】（25-26九年级上·广东江门·月考）如图，在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形． (1)如图，当点落在的延长线上时，求的长；(2)如图，当点在上时，连接、，求证：四边形是平行四边形；(3)当旋转到时，求点到直线的距离． 1．（25-26九年级上·河南开封·期末）矩形是特殊的平行四边形，下面是矩形具有而平行四边形不具有的性质的是（   ） A．矩形的对角线互相平分 B．矩形的对边相等 C．矩形的对边平行 D．矩形的四个角相等 2.（25-26九年级上·广东佛山·期中）要检测一个四边形是不是矩形，下列方案可行的是（    ） A．任选三个角并测量角度 B．测量对角线长度 C．测量四条边的长度 D．测量两条对角线是否垂直 3．（25-26九年级上·江西抚州·月考）下列说法中，正确的是（    ） A．四边相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对边相等的平行四边形是矩形 4. （25-26九年级上·成都·校考期末）如图，要使平行四边形为矩形，则可添加下列哪个条件（    ） A． B． C． D． 5．（2025·陕西·一模）如图，在矩形中，是对角线的中点，连接，若，则边的长为（   ） A．2 B．5 C．6 D．8 6．（2025·广东广州·二模）在矩形中，，，对角线交于点O，点A关于的对称点为，连接交于点E，连接，则的长为（   ） A．1.2 B．1.4 C．1.6 D．1.8 7．（25-26九年级上·山西·校考期末）已知：如图，矩形中，，对角线相交于点O，点P是线段上任意一点，且于点E，于点F，则等于（　　） A．6 B．5 C． D． 8．（25-26九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 9．（25-26九年级上·广西·校考期末）如图，点是中斜边不与，重合上一动点，分别作于点，作于点，点是的中点，若，，当点在上运动时，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 10. （25-26九年级上·湖北·校考期末）如图，在矩形，对角线与相交于点O，于点O，交于点E，若的周长为8，，则的长为（　　） A．2 B．5.5 C．5 D．4 11．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，矩形的对角线相交于点，为上的一点，，，则的周长为__________． 12. （25-26九年级上·山东·校考期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形中，，，将沿对角线翻折，使点落在处，与轴交于点，则点的坐标为______． 13．（25-26九年级上·湖南·校考期末）已知矩形的对角线相交于点，平分交矩形的边于点，若，则的度数为__________． 14. （25-26九年级上·广东·校考期末）如图，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN，交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F．给出下列信息：①MN∥BC；②OE=OC；③OF=OC． (1)请在上述3条信息中选择其中一条作为条件，证明：OE=OF；(2)在（1）的条件下，连接AE、AF，当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由． 15.（25-26八年级下·天津津南·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点为坐标原点，顶点，的坐标分别为，．将矩形沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处，折痕与边交于点．(1)填空：点的坐标为________，的长为________；(2)求的长及直线的解析式；(3)若为轴上一动点，当的周长最小时，请直接写出点的坐标． 1. （25-26八年级下·广西·期末）如图，在长方形中，=4， =8，点是边上一点，且，点是边上一动点，连接，，则下列结论：① ；②当时，平分 ； ③△周长的最小值为15 ；④当时，平分.其中正确的个数有（        ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2. （25-26八年级下·四川绵阳·期末）如图，∠MON＝90°，长方形ABCD的顶点B、C分别在边OM、ON上，当B在边OM上运动时，C随之在边ON上运动，若CD＝5，BC＝24，运动过程中，点D到点O的最大距离为_____. 3．（山东省济南市2024-2025学年九年级下期中）如图，在矩形纸片中，，，E为中点，F为边上一点，连接，将沿翻折，点D的对应点为，G为边上一点，连接，将沿翻折，点B的对应点恰好也为，则______． 4．（25-26八年级下·山西朔州·期末）如图，在梯形中，，，E是梯形内部一点，连接，，，点P，Q分别是边，的中点，连接．若，，，则线段的长为__________． 5．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）综合与实践：数学张老师带领学生探究矩形的旋转，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现．如图1，四边形是一张矩形纸片，，．先将边向上翻折，使与重合，折痕为（如图2），沿裁开得到两个矩形．矩形保持不动，将矩形绕点逆时针旋转，点的对应点为． (1)如图3，小聪将矩形的顶点旋转至边上，连接交于点． ①则的长为______；②求证：． (2)如图4，小明继续旋转矩形，他发现，当点落在的延长线上时，点、、在同一条直线上，小明的发现正确吗？请说明理由． (3)小红在小明的基础上继续探究，连接交于点，延长交的延长线于点，小红说她可以计算出的长，则______． 6．（25-26八年级下·河南周口·期末）问题发现如图1，矩形中，，点分别为边、对角线的中点，连接． (1)猜想：之间的数量关系是_________； 类比迁移(2)如图2，将图1中的绕点旋转到图2位置，小丽认为（1）中的结论还成立，并尝试延长交于点，连接．请你根据小丽的思路补全图形，并给出证明． 拓展应用(3)若（2）中的点在直线上，且，其他条件不变，请直接写出的长． 7．（25-26九年级下·成都·开学考试）在矩形中，E为边上异于A、D的一个动点，将沿折叠，点A的对应点为F． (1)如图1，若设，则 （用含的式子表示）；当点F恰好是的中点时，则 度． (2)如图2，交于点M，且平分．①求证：是等腰三角形． ②当时，求的长．③若设，求证：． 26 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $