25.2.4一元二次方程的根与系数的关系（分层作业，8大知识点）数学新教材人教版九年级上册

25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 知识点一 直接套用公式求值 1．（25-26九年级下·四川南充·期中）一元二次方程两根之积为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程的两个根为,，利用计算即可． 【详解】解：一元二次方程中，， 则方程的两根之积为． 2．（2026·湖北孝感·一模）已知方程的两个根分别是，，则的值是（   ） A．5 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】解：∵方程的两个根分别是，， ∴． 3．（2026·安徽合肥·一模）关于的一元二次方程的两个根是,，则的值为（   ） A．5 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，代入计算即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个根是,， ，， ． 4．（2026·天津和平·二模）若，是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，． 知识点二 简单代数式变形代入求值 1．（2026年5月山西阳泉市部分学校中考二模九年级数学试卷）若一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，再将所求代数式通分变形，代入计算即可得到结果． 【详解】解：对于一元二次方程，两根满足， 在方程中，，， ∴， 又 代入， 得 2．（25-26八年级下·广西崇左·期中）若，是方程的两个根，则的值为（    ） A．6 B． C．10 D． 【答案】A 【分析】根据根与系数的关系求出的值，即可求出的值． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·山东淄博·期中）已知，且，，则的值为___________． 【答案】/ 【分析】由题意可得、是一元二次方程的两个不相等的实数根，由一元二次方程根与系数的关系可得，，再将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵，且，， ∴、是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴． 4．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）若实数、满足，且，则的值是（    ） A． B．3 C．1 D． 【答案】B 【分析】整理等式确定是同一个一元二次方程的两个不相等的实根，再利用根与系数的关系求出和，最后通分计算目标代数式即可． 【详解】解：实数，满足， ，且， 整理第二个等式得， 和是一元二次方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系，可得，， ． 知识点二 基础逆用与单参计算 1．（25-26八年级下·广西崇左·期中）已知关于x的方程有一个实数根为，求它的另一个根及m的值． 【答案】方程的另一个根是0，m的值为0或2 【分析】设方程的另一个根为，根据一元二次方程根与系数的关系得到，求得，再 把代入方程求出m的值即可． 【详解】解：设方程的另一个根为， ∵关于x的方程有一个实数根为， ∴， 解得， 把代入方程得，， 解得，， ∴方程的另一个根是0，m的值为0或2． 2．（2026·四川眉山·一模）已知关于的方程的一个根是5，则它的另一个根是___________ 【答案】 【详解】解：设方程 的两根为，， 根据根与系数的关系可得， 已知其中一个根为，设， 则另一个根． 3．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根． 【答案】，方程的另一个根为 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系．利用根与系数的关系，通过两根之积快速求出另一根，再由两根之和求出的值． 【详解】解：设方程的另一个根为， 对于一元二次方程，根据根与系数的关系： ， 解得， 即，方程的另一个根为． 4．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）已知：关于的方程． (1)若方程总有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)若该方程的一个根为3，求的值及该方程的另一根． 【答案】(1) (2)的值为1时，该方程的另一根为1，的值为5时，该方程的另一根为9 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的定义及解法等知识． （1）根据题意得到，即可求出； （2）设方程的一个根为3，求出，分和两种情况解出一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：∵方程总有两个不相等的实数根， ∴， ∴； （2）解：∵ 方程的一个根为3， ∴， 解得，， 当时，原方程化为， 解得，， ∴另一根为1； 当时，原方程化为， 解得， ∴另一根为9； ∴的值为1时，该方程的另一根为1，的值为5时，该方程的另一根为9． 知识点一 高阶代数式变形求值 1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）一元二次方程的两个根分别是，，那么代数式的值为______． 【答案】 【分析】先化为一般形式，再利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与积，将代数式完全平方公式变形，再代入求值，即可求解． 【详解】解：化为一般形式为 ∵一元二次方程的两个根分别是，， ∴ ∴ 2．（2026·山东东营·一模）若，是方程的两根，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式展开整理，代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴，， ∴ ． 3．（2026·广西桂林·一模）若方程的两个根是和，则的值是（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．先对所求代数式因式分解，再利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入计算即可得到结果. 【详解】解：∵一元二次方程的两个根是和，其中， ∴由根与系数的关系可得 ，， 对所求式子因式分解得 将，代入得 原式． 4．（2026·四川南充·一模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用． （1）问根据方程有两个不相等的实数根，得到判别式，建立关于的不等式求解范围． （2）问利用完全平方公式变形将转化为，结合根与系数的关系代入，得到关于的一元二次方程，再结合第(1)问得到的范围舍去不符合的解，得到的值． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：对于一元二次方程，由根与系数的关系可得，， ，， ∴， 整理得， 解得， 由（1）得 舍去， 因此． 知识点二 含参数结合判别式综合题 1．（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）已知关于的方程的两个不相等的实数根为，若，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系，以及方程有两个不相等的实数根时，即可求解． 【详解】解：∵关于的方程的两个不相等的实数根为， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∵， ∴． 2．（2026·湖南娄底·模拟预测）关于的方程的两个实数根为、，若，则_______． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程有两个实数根，利用根的判别式确定的取值范围，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，整理已知等式后代入两根之和与两根之积，解关于的一元二次方程，最后根据的取值范围舍去不符合题意的解即可得到结果． 【详解】关于的方程有两个实数根 ∴， 整理得，， 解得：， ∵关于的方程的两个实数根为、， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 整理得，， 解得：，， ∵， 不符合题意，舍去 ∴． 3．（25-26八年级下·浙江台州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)若是该方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或1 【分析】（1）由题意知，，然后作答即可； （2）由题意知，，，由得，则，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵关于的一元二次方程， ∴ ， ∴， ∴该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得或． 即的值为或1． 4．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）若关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算即可； （2）利用一元二次方程的根与系数关系，代入所给的等式即可求值． 【详解】（1）解：关于x的一元二次方程有实数根， ， ； （2）解：，，， ， 整理得， 解得或， ， ． 知识点三 根的定义+韦达定理综合 1．（25-26九年级下·山东东营·期中）已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（   ） A．2025 B．2026 C．2024 D．2021 【答案】A 【分析】先利用根的定义得到关于m的关系式，再结合根与系数的关系得到两根之和，将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】∵ 是方程的根， 代入方程得： ，整理得 ． ∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． ∴． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）若是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】D 【分析】首先根据方程根的定义和根与系数的关系得到，，然后将变形后整体代入求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根 ∴， ∴ ∴ ． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）一元二次方程的两个实数根分别是、，则（    ） A． B． C．7 D．10 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求式子降次变形，再结合一元二次方程两根之和的关系计算即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根分别是、， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 4．（25-26九年级下·黑龙江·期中）已知和是关于的方程的两个根，则的值为_____． 【答案】 【分析】先根据方程的解满足方程以及根与系数的关系求得，，再代值求解即可． 【详解】解：∵和是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ． 知识点一 两根非对称式求值 1．（2026·江苏宿迁·二模）设是方程的两个根，则代数式的值等于（    ） A． B．4 C． D．12 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根的概念和根与系数的关系，得到，，，然后通过将高次项降次后得到，然后代入求值． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，，， ∴，， ∵， ∴原式 ． 2．（2026·四川成都·一模）若a，b是一元二次方程的两个实数根，则_______． 【答案】 【分析】由，是一元二次方程的两个实数根，则、，再化简得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：a，b是一元二次方程的两个实数根， ，， ，，则， ∴ ． 3．（25-26九年级上·四川成都·期末）已知m是一元二次方程的一个根，则的值是 _________ ． 【答案】2024 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义和代数式求值，熟知方程解的定义、灵活应用整体思想是关键． 由m是方程的根，得，进而表示m³，并利用方程变形得到，代入求值． 【详解】解：因为m是一元二次方程的一个根，所以，即． 则． 因此，． 由， 两边除以，得， 即． 所以，原式 ． 故答案为：2024． 知识点二 双方程根系关联问题 1．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知：的两个实数根为、；方程的两个实数根为、，且，则_____． 【答案】 【分析】由根与系数的关系可得：，，得：，从而推出，解得，，再根据，解得或，可知（舍去），，将和联立，解得，，从而求得，，根据，求得，即可求解． 【详解】解：由根与系数的关系可得：，， 得：， 又， ，解得，， ∵方程有两个实数根， ，即，解得或； （舍去），， ∴， ，联立， 解得，， 又， 解得，， 又， 解得， ∴． 2．（2026·山东德州·一模）两个非零实数，满足，，且，则的值为______． 【答案】 【分析】根据题意，可知，是一元二次方程的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系得到两根和与两根积，再将所求式子变形，代入计算即可． 【详解】解：由题意得，，满足方程，且，因此，是一元二次方程的两个不相等的实数根． 根据根与系数的关系可得：，． ，． ． 对所求式子变形得：． 将，，代入得：． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知实数，满足，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知，实数，满足，根据根与系数的关系得到、，据此逐项判断即可． 【详解】解：由题意得，，，则，， 设实数，满足， 由根与系数关系得：、， 故A、B选项错误； ， 故C选项正确； ， 故D选项错误． 4．（25-26八年级下·浙江·期中）已知关于的一元二次方程：（）． (1)判断是否是方程的根，并说明理由； (2)现有一个关于的一元二次方程：，若方程，仅有一个相同的根，求证：； (3)若，方程的两实数根，满足，求，的值． 【答案】(1)不是，见解析 (2)见解析 (3)， 【分析】（1）把代入方程求解即可； （2）根据题意可得，则有，然后分类进行求解即可； （3）由题意易得，，则有，，然后根据进行分类求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得，不成立， 故不是方程的根． （2）证明：由题意，得， 则，即， 当时，方程，完全相同，不合题意， 当时，则，故（舍去），， 把代入，得． （3）解：由题意及一元二次方程根与系数的关系得，， ∵， ∴，， ∵， ∴． 当时，，可得，， ∴， 此时，舍去． 当时，即， 可得， ∴． 综上所述，，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 知识点一 直接套用公式求值 1．（25-26九年级下·四川南充·期中）一元二次方程两根之积为（    ） A． B． C．2 D． 2．（2026·湖北孝感·一模）已知方程的两个根分别是，，则的值是（   ） A．5 B． C．3 D． 3．（2026·安徽合肥·一模）关于的一元二次方程的两个根是,，则的值为（   ） A．5 B． C．2 D． 4．（2026·天津和平·二模）若，是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 知识点二 简单代数式变形代入求值 1．（2026年5月山西阳泉市部分学校中考二模九年级数学试卷）若一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值为（    ） A． B． C． D．2 2．（25-26八年级下·广西崇左·期中）若，是方程的两个根，则的值为（    ） A．6 B． C．10 D． 3．（25-26八年级下·山东淄博·期中）已知，且，，则的值为___________． 4．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）若实数、满足，且，则的值是（    ） A． B．3 C．1 D． 知识点二 基础逆用与单参计算 1．（25-26八年级下·广西崇左·期中）已知关于x的方程有一个实数根为，求它的另一个根及m的值． 2．（2026·四川眉山·一模）已知关于的方程的一个根是5，则它的另一个根是___________ 3．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根． 4．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）已知：关于的方程． (1)若方程总有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)若该方程的一个根为3，求的值及该方程的另一根． 知识点一 高阶代数式变形求值 1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）一元二次方程的两个根分别是，，那么代数式的值为______． 2．（2026·山东东营·一模）若，是方程的两根，则的值为_____． 3．（2026·广西桂林·一模）若方程的两个根是和，则的值是（   ） A．4 B．2 C． D． 4．（2026·四川南充·一模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，求实数的值． 知识点二 含参数结合判别式综合题 1．（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）已知关于的方程的两个不相等的实数根为，若，则的值为_____． 2．（2026·湖南娄底·模拟预测）关于的方程的两个实数根为、，若，则_______． 3．（25-26八年级下·浙江台州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)若是该方程的两个实数根，且，求的值． 4．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）若关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 知识点三 根的定义+韦达定理综合 1．（25-26九年级下·山东东营·期中）已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（   ） A．2025 B．2026 C．2024 D．2021 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）若是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 3．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）一元二次方程的两个实数根分别是、，则（    ） A． B． C．7 D．10 4．（25-26九年级下·黑龙江·期中）已知和是关于的方程的两个根，则的值为_____． 知识点一 两根非对称式求值 1．（2026·江苏宿迁·二模）设是方程的两个根，则代数式的值等于（    ） A． B．4 C． D．12 2．（2026·四川成都·一模）若a，b是一元二次方程的两个实数根，则_______． 3．（25-26九年级上·四川成都·期末）已知m是一元二次方程的一个根，则的值是 _________ ． 知识点二 双方程根系关联问题 1．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知：的两个实数根为、；方程的两个实数根为、，且，则_____． 2．（2026·山东德州·一模）两个非零实数，满足，，且，则的值为______． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知实数，满足，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·浙江·期中）已知关于的一元二次方程：（）． (1)判断是否是方程的根，并说明理由； (2)现有一个关于的一元二次方程：，若方程，仅有一个相同的根，求证：； (3)若，方程的两实数根，满足，求，的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $