25.2.2公式法-解一元二次方程（分层作业，8大知识点）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦“公式法”，分层覆盖概念识别、运算应用到综合拓展，梯度合理，强化运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|一元二次方程a、b、c识别，求根公式识记|选择填空为主，巩固概念抽象，培养符号意识| |技能应用|公式法解方程，根的判别式基础应用|解答题强化运算推理，提升推理能力| |综合拓展|含参方程根的情况，实际问题建模，方法择优|结合实际情境与创新题型，发展应用意识与创新思维|

25.2.2 公式法 知识点一 一元二次方程一般形式与a、b、c识别 1．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）用公式法解方程时，a，b，c的值依次是（　　） A．0，，5 B．1，，5 C．1，5， D．1，， 【答案】D 【分析】先将方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据一般形式确定a，b，c的值即可． 【详解】解：方程移项整理，得， 则，，． 2．（25-26九年级上·贵州毕节·月考）用公式法解方程时，a，b，c的值分别为（   ） A．2，6，3 B．2，， C．，6， D．2，6， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，公式法解一元二次方程，首先要把方程化成一般形式，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：∵原方程， 移项得， ∴，，． 故选：B． 3．（25-26九年级上·湖北咸宁·月考）用求根公式解一元二次方程时，其中，，的值分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了求根公式法解一元二次方程． 先移项，再找出，，的值即可． 【详解】， ， 则，，． 故选：B． 4．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）用公式法解一元二次方程时，首先要确定a，b，c的值，下列选项正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的定义，将方程化为一般形式后确定、、的值． 【详解】解：∵原方程为，移项得， ∴，，． 故选：D． 知识点二 一元二次方程求根公式识记 1．（25-26八年级下·安徽淮南·月考）下列一元二次方程的根可以根据计算得出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据求根公式确定二次项系数，一次项系数和常数项即可． 【详解】解：根据求根公式可得， 可得， 所以对应的一元二次方程为． 2．（25-26九年级上·福建厦门·期中）关于x的一元二次方程的根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的求根公式，熟记求根公式是解题的关键．直接应用一元二次方程求根公式，代入对应系数计算． 【详解】解：方程 中，，一次项系数为，常数项为． 代入求根公式 ，得： 与选项 A 一致， 故选：A． 3．（25-26九年级上·河北唐山·期末）用公式法解关于的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式与方程的对应关系，将题目给出的根的表达式与求根公式对比，确定、、的值，从而得到原方程． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为()，其求根公式为． 题目中给出的根的表达式为，与求根公式对比可得： ，故； ，故； ，故． 因此，该一元二次方程为； 故选：C． 4．（25-26九年级上·新疆·期末）若一个一元二次方程的根为， 则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式， 通过比较给定根表达式与求根公式，确定二次项系数a、一次项系数b和常数项c的值，从而得到方程． 【详解】解：∵一元二次方程求根公式为 ， 给定根为， ∴，故， ，故， 又， ∴，代入，得，即，故， 因此方程为， 即， 故选：C． 知识点三 公式法解一元二次方程 1．（25-26八年级上·浙江·寒假作业）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了利用公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握利用公式法解一元二次方程的步骤． 先写出，然后求出根的判别式的值，再代入求根公式求解，最后写答案即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴，； （2）解：， ， ， ， ∴． 2．（25-26九年级上·山东聊城·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）方程运用配方法解答即可； （2）方程运用公式法解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴； （2）解：， 这里． 即 3．（25-26八年级上·上海闵行·期末）解方程：． 【答案】 ， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据公式法计算即可． 【详解】解： ∴， ∴， ∴，． 4．（25-26八年级下·山东淄博·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用配方法解方程即可． （2）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 即，， ， ； （2）解：原方程整理，得，， ， ， ， ． 知识点四 利用根的判别式判断方程根的情况 1．（25-26八年级下·山东淄博·期中）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】当时方程有两个不相等的实数根，当时方程有两个相等的实数根，当时方程没有实数根，计算判别式的值后即可判断根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程 ，可得系数 ，，． ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根． 2．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）下列一元二次方程中，没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于一元二次方程，当时方程有两个不相等的实数根，当时方程有两个相等的实数根，当时方程没有实数根，将各方程整理为一般形式后计算判别式即可判断． 【详解】解：A． ∵ ∴，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B．，整理得 ∵ ∴，方程有两个相等的实数根，不符合题意； C．，整理得 ∵ ∴，方程没有实数根，符合题意； D．，整理得 ∵ ∴，方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 3．（2026·安徽阜阳·二模）下列方程中，有两个相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个相等的实数根，计算各选项的判别式即可求解． 【详解】解：选项A、方程的判别式为， 则方程没有实数根，不符合题意； 选项B、方程的判别式为， 则方程有两个相等的实数根，符合题意； 选项C、方程的判别式为， 则方程没有实数根，不符合题意； 选项D、方程的判别式为， 则方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 4．（25-26八年级下·山东青岛·期中）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，可通过判别式判断根的情况． 【详解】解： 方程 中，，， 该一元二次方程没有实数根． 知识点一 利用根的判别式判断含参方程根的情况 1．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有一实数根为3，求m的值； (2)求证：无论m取何值，方程总有实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）直接把代入到原方程中得到关于的方程，解方程即可得到答案； （2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可． 【详解】（1）解：方程有一实数根为3， ∴， 解得； （2）证明：∵关于x的一元二次方程 ， 无论取何值，方程总有实数根． 2．（25-26九年级下·山东滨州·期中）关于x的一元二次方程根的情况为_____________． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】根据一元二次方程根的判别式，计算判别式的值，由判别式的符号即可判断方程根的情况． 【详解】解：∵，可得 ，，， ∴ ∴方程有两个不相等的实数根． 3．（2026·湖南长沙·模拟预测）关于x的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个相等的实数根 B．无实数根 C．无法确定 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【详解】解：对于一元二次方程 ，可得 ，， ∵ 又∵ 无论取何值，都有 ∴ ∴ 方程有两个不相等的实数根． 4．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知关于x的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的一个根是3，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据判别式解题即可； （2）将代入方程求解． 【详解】（1）证明： ， ∴方程总有两个实数根； （2）解：由题意知，， ， ， 解得． 知识点二 根据方程根的情况求参数 1．（2026·陕西西安·模拟预测）当____________时，关于的一元二次方程有两个相等的实数根． 【答案】 【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到，列出方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，解得． 2．（2026·江苏南通·一模）关于的方程没有实数根，若为整数，则的最大值是（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路是根据方程无实数根得到判别式小于0，求出k的取值范围，再确定k的最大整数值． 【详解】解：对于一元二次方程，方程无实数根时判别式． ∵原方程为 ∴，， 代入得 ∵方程没有实数根 ∴ 解不等式得 又∵k为整数 ∴k的最大值为 3．（25-26八年级下·山东淄博·期中）已知关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（   ） A．且 B． C． D． 【答案】D 【分析】分情况讨论，根据一元二次方程和一元一次方程的定义，以及根的判别式解答即可． 【详解】解：根据题意得，方程有实数根 当时，该方程为一元二次方程， 判别式， 解得：， ， ， 当方程为一元二次方程时，m的取值范围是且； 当时，该方程可化为为， ， 解得， 此时， 当时，方程为一元一次方程，此时方程也有实数根， 综上所述，m的取值范围是． 4．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为0，即，根据根的判别式可得，据此求解即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程，且有两个实数根， ∴，即． 解得且． 知识点三 直接开方法、配方法与公式法择优选用 1．（25-26八年级下·山东泰安·期中）按要求解下列方程： (1)（配方法）； (2)（公式法）． 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解：移项，得． 方程两边同时除以，得． 配方，方程两边同时加，得， 即． 由平方根的意义，得． 所以，． （2）∵，，． ∴， 所以． 所以，． 2．（25-26八年级下·浙江台州·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据直接开平方法求出解； （2）先确定，再根据求根公式求出解． 【详解】（1）解：， 开方，得， 解得，； （2）解：， ∵，，， ∵， ∴， 解得，． 3．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ∴ ∴ 解得：， （2）解： ∵， ∴ 解得：， 4．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）用因式分解法解方程即可； （2）通过公式法求解一元二次方程，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：， ，，， ， ， ，． 知识点四 实际问题列方程结合公式法求解 1．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）某商家推出一款玩具，成本为40元/个，当售价定为70元/个时平均每天可售出60个．该商家决定采取降价措施以提升销量，试销一段时间后发现，该款玩具的单价每降2元，平均每天可多售出10个．商家为了尽快减少库存，且希望平均每天盈利2160元．求每个玩具应降价多少元？ 【答案】每个玩具应降价12元 【分析】本题考查一元二次方程在销售问题中的实际应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设出降价金额后，分别表示出降价后单个玩具的利润和每天的销售量，根据总盈利等于单个利润乘以销售量建立方程求解，再结合“尽快减少库存”的要求对所得的解进行取舍即可． 【详解】解：设每个玩具应降价元，则降价后每个玩具的利润为元，平均每天的销售量为个， 根据题意列方程得：， 整理得：， 解得：或， 因为商家需要尽快减少库存，降价越多销售量越大， 因此取， 答：每个玩具应降价12元． 2．（25-26九年级上·湖北咸宁·期末）某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有人． (1)填空：根据题意，可列方程： ； (2)我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由． 【答案】(1) (2)多边形对角线可以有27条，即多边形的边数为9 【分析】（1）设参加聚会的同学共有人，每个人与其他个人握手，所有到会同学都互相握一次手，因此总次数为，根据共握手45次，列出方程即可． （2）设多边形的边数为，对角线数量为27，依题意可以得到方程，解方程即可． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设参加聚会的同学共有人，每个人与其他个人握手，所有到会同学都互相握一次手，因此总次数为，根据共握手45次， 列出方程为：， 故答案为：． （2）解：设多边形的边数为，对角线数量为27 依题意可以得到方程 化简为 解得或 因为为正整数，所以 答：多边形对角线可以有27条，即多边形的边数为9． 3．（25-26八年级下·浙江温州·期中）交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”．某商店销售一批头盔，进价为每顶50元，售价为每顶78元，平均每周可售出200顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于68元．经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．设每顶头盔降价元，平均每周的销售量为顶． (1)每顶头盔降价元后，每顶头盔的利润是________元，销售量为________顶（用含的代数式表示）． (2)若该商店希望平均每周获得7200元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？ 【答案】(1)； (2)每顶头盔应降价10元 【分析】（1）根据利润售价进价，列出代数式即可得到每顶头盔的利润；再利用平均每周的销售量，即可得到销售量； （2）利用每周的销售利润每顶的销售利润每周的销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可求出的值，再结合降价后每顶头盔的售价不高于元，即可确定结论． 【详解】（1）解：∵进价为每顶50元，原售价为每顶78元， ∴每顶头盔降价x元后，每顶头盔的利润是元； ∵售价为每项78元，平均每周可售出200顶，每降价2元，平均每周可多售出40顶， ∴销售量顶； （2）解：由题意得     ，， 每顶售价不高于68元，且， 答：每顶头盔应降价10元． 4．（25-26九年级上·河南驻马店·月考）在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少___________米/秒，从开始到滚动了秒后小球的速度为___________米/秒； (2)小球滚动24米用了多少秒？ 【答案】(1)2， (2)4秒 【分析】本题考查了一元二次方程在匀变速直线运动中的应用，涉及平均速度公式、路程公式．解题用到的思想是方程思想，方法是根据题意建立速度、时间、路程的数量关系，通过列方程求解；解题关键是理解匀变速直线运动中平均速度的计算方法（初末速度的算术平均数）以及路程公式即的应用；易错点是在求解时间时，忽略小球停止运动的时间限制（5秒），导致误选不符合实际的解． （1）根据“速度均匀减少”的特点，用初速度与停止时的速度差除以时间可求每秒速度减少量；再根据速度减少规律，得出t秒后的速度表达式． （2）先根据平均速度公式求出时间段内的平均速度，再结合路程公式即建立关于时间t的一元二次方程，求解后结合小球停止时间的限制，舍去不符合实际的解，得到最终时间． 【详解】（1）根据题意，小球平均每秒速度减少量为：（米/秒）． 从开始滚动t秒后，速度减少了米/秒，所以此时速度为：（米/秒）． 故答案为：2，． （2）根据题意，平均速度． 因为运动路程即，且米， 解得，． 因为小球5秒后停止运动，不符合实际情况，舍去． 答：小球滚动24米用了4秒． 1．（25-26九年级上·山东济宁·期末）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． ⑤存在实数，使得 其中正确的是（） A．①②④ B．①②④⑤ C．①②③④⑤ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式，正确的变形是解题的关键．根据一元二次方程根与判别式的关系、根的定义及代数变形逐一判断各命题． 【详解】解：∵若，则是方程的根，此时判别式，当方程有两个相等的实数根时，；当方程有两个不同的实根时，， ∴判别式，故①正确； ∵方程有两个不等实根，则其判别式，即， ∴方程的判别式，故②正确； ∵若c是方程的根，则，即，当时，不一定为0，故③错误； ∵是方程的根，则，， ，故④正确； ∵存在实数使，如取，则需，取即可(若，取，)，故⑤正确． 综上，正确的是①②④⑤． 故选：B． 2．（25-26九年级上·福建漳州·期末）定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的有_____（填正确的序号）． 【答案】 ①②③ 【分析】本题考查新定义和一元二次方程，根据倒方程的定义，分别验证每个结论的正确性： ①通过代入求解； ②利用判别式即可； ③通过判别式得到，代入倒方程判别式可得； ④举反例说明不成立． 【详解】解：结论①，原方程 的倒方程为 ， 将 代入得 ， 解得 ， 故①正确； 结论②，当 时， 判别式 ， 两个方程均有两个不相等的实数根， 故②正确； 结论③， 原方程无解， ， 即 ， 倒方程判别式 ， 倒方程无解， 故③正确； 结论④， 举反例说明，当 时，原方程为， 若要其有两个不相等的实数根，则其判别式：， 即， 原方程 的倒方程为 ，，， 倒方程为，是一元一次方程， 只有一个根， 故④错误． 故答案为①②③． 3．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知分别为满足条件的最大整数，关于的方程没有实数根，而方程有两个不相等的实数根． (1)求的值； (2)试判断关于的方程的根的情况； (3)若为完全平方式，求常数的值． 【答案】(1)， (2)方程没有实数根 (3) 【分析】本题整体利用一元二次方程根的判别式求解； （1）分别根据两个方程的根的情况列不等式，得到，，再取各自范围内的最大整数即可； （2）代入，计算判别式，根据判别式的符号判断根的情况； （3）根据完全平方式对应一元二次方程判别式为0，代入，整理求解即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程没有实数根， ∴， 解得， ∵是满足条件的最大整数， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∵是满足条件的最大整数， ∴； （2）解：将代入方程，得方程为， 其判别式 ， ∴方程没有实数根； （3）解：把代入得， ∵为完全平方式， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得， 计算该方程的判别式得， ∴ ． 4．（25-26八年级下·浙江台州·期中）对于一元二次方程，下列说法正确的是_______． ①若，则； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若2026是方程的一个根，则一定是的一个根； ④若是一元二次方程的根，则． 【答案】①③④ 【分析】对每个说法，结合一元二次方程的根的定义、判别式、方程变形等知识逐一分析判断． 【详解】解：①当时，代入方程得，说明方程有一个根为，因此判别式， 故①正确； ②方程是一元一次方程（），只有一个实数根，不可能有两个根， 故②错误； ③把代入，得， 两边同时除以，得，即， ∴一定是的一个根， 故③正确； ④∵是方程的根， ∴，即， ∴， 故④正确； 故答案为：①③④． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2.2 公式法 知识点一 一元二次方程一般形式与a、b、c识别 1．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）用公式法解方程时，a，b，c的值依次是（　　） A．0，，5 B．1，，5 C．1，5， D．1，， 2．（25-26九年级上·贵州毕节·月考）用公式法解方程时，a，b，c的值分别为（   ） A．2，6，3 B．2，， C．，6， D．2，6， 3．（25-26九年级上·湖北咸宁·月考）用求根公式解一元二次方程时，其中，，的值分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）用公式法解一元二次方程时，首先要确定a，b，c的值，下列选项正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 知识点二 一元二次方程求根公式识记 1．（25-26八年级下·安徽淮南·月考）下列一元二次方程的根可以根据计算得出的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·福建厦门·期中）关于x的一元二次方程的根是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北唐山·期末）用公式法解关于的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·新疆·期末）若一个一元二次方程的根为， 则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 知识点三 公式法解一元二次方程 1．（25-26八年级上·浙江·寒假作业）解方程： (1)； (2)． 2．（25-26九年级上·山东聊城·期末）解方程： (1)； (2)． 3．（25-26八年级上·上海闵行·期末）解方程：． 4．（25-26八年级下·山东淄博·期中）解方程： (1) (2) 知识点四 利用根的判别式判断方程根的情况 1．（25-26八年级下·山东淄博·期中）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 2．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）下列一元二次方程中，没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·安徽阜阳·二模）下列方程中，有两个相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·山东青岛·期中）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 知识点一 利用根的判别式判断含参方程根的情况 1．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有一实数根为3，求m的值； (2)求证：无论m取何值，方程总有实数根． 2．（25-26九年级下·山东滨州·期中）关于x的一元二次方程根的情况为_____________． 3．（2026·湖南长沙·模拟预测）关于x的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个相等的实数根 B．无实数根 C．无法确定 D．有两个不相等的实数根 4．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知关于x的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的一个根是3，求m的值． 知识点二 根据方程根的情况求参数 1．（2026·陕西西安·模拟预测）当____________时，关于的一元二次方程有两个相等的实数根． 2．（2026·江苏南通·一模）关于的方程没有实数根，若为整数，则的最大值是（   ） A．1 B．0 C． D． 3．（25-26八年级下·山东淄博·期中）已知关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（   ） A．且 B． C． D． 4．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 知识点三 直接开方法、配方法与公式法择优选用 1．（25-26八年级下·山东泰安·期中）按要求解下列方程： (1)（配方法）； (2)（公式法）． 2．（25-26八年级下·浙江台州·期中）解方程： (1) (2) 3．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）解方程： (1)； (2)． 4．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）解下列方程： (1) (2) 知识点四 实际问题列方程结合公式法求解 1．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）某商家推出一款玩具，成本为40元/个，当售价定为70元/个时平均每天可售出60个．该商家决定采取降价措施以提升销量，试销一段时间后发现，该款玩具的单价每降2元，平均每天可多售出10个．商家为了尽快减少库存，且希望平均每天盈利2160元．求每个玩具应降价多少元？ 2．（25-26九年级上·湖北咸宁·期末）某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有人． (1)填空：根据题意，可列方程： ； (2)我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由． 3．（25-26八年级下·浙江温州·期中）交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”．某商店销售一批头盔，进价为每顶50元，售价为每顶78元，平均每周可售出200顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于68元．经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．设每顶头盔降价元，平均每周的销售量为顶． (1)每顶头盔降价元后，每顶头盔的利润是________元，销售量为________顶（用含的代数式表示）． (2)若该商店希望平均每周获得7200元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？ 4．（25-26九年级上·河南驻马店·月考）在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少___________米/秒，从开始到滚动了秒后小球的速度为___________米/秒； (2)小球滚动24米用了多少秒？ 1．（25-26九年级上·山东济宁·期末）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． ⑤存在实数，使得 其中正确的是（） A．①②④ B．①②④⑤ C．①②③④⑤ D．①②③ 2．（25-26九年级上·福建漳州·期末）定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的有_____（填正确的序号）． 3．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知分别为满足条件的最大整数，关于的方程没有实数根，而方程有两个不相等的实数根． (1)求的值； (2)试判断关于的方程的根的情况； (3)若为完全平方式，求常数的值． 4．（25-26八年级下·浙江台州·期中）对于一元二次方程，下列说法正确的是_______． ①若，则； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若2026是方程的一个根，则一定是的一个根； ④若是一元二次方程的根，则． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $