第二章 实数 单元测试卷 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册第二章实数单元卷，通过选择、填空、解答题覆盖实数概念、运算及应用，融合数学文化与实际情境，适配单元复习，培养抽象能力、运算能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数大小比较、二次根式定义、平方根与立方根概念|结合《九章算术》“面”考查无理数，新定义运算（⊗）体现模型意识| |填空题|6/18|无理数识别、非负性应用、海伦-秦九韶公式|以秦九韶公式计算三角形面积，考查数学文化与数据意识| |解答题|8/72|二次根式混合运算、代数式化简求值、实际问题（木工裁料）|通过拼图（5×1长方形拼正方形）发展几何直观，阅读理解题（分母有理化）培养推理能力|

第二章 实数 单元测试卷 2026-2027学年北师大版八年级数学上册 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列实数中，最大的数是（　　） A．﹣1 B． C．|﹣2| D．3 2．下列式子中，是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．下列说法中错误的是（　　） A．9的算术平方根是3 B．的平方根是±2 C．8的立方根为2 D．立方根等于本身的数是1和0 4．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．在《九章算术》一书中，对开方开不尽的数起了一个名字，叫做“面”，这是中国传统数学对无理数的最早记载，下面符合“面”的描述的数是（　　） A． B．1 C．0 D． 6．现定义一种新运算：对任意实数a，b，规定a⊗b＝2a+b﹣ab，若x⊗3＝1，则x的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知y，则xy的值为（　　） A．8 B．﹣8 C．9 D． 8．a，b在数轴上的位置如图所示，化简代数式的结果等于（　　） A．﹣a﹣b+1 B．a﹣b+3 C．a+b﹣1 D．﹣a+b﹣3 9．已知：是整数，则满足条件的最小正整数n的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．5 【解答】解：∵2是整数， ∴最小正整数n的值是：5． 故选：D． 10．对任意两个正实数a，b，定义新运算a☆b为：a☆b，则下列等式：①1☆2；②3☆；③（a☆b）•（b☆a）＝1；④a2☆b3，其中成立的是（　　） A．①② B．②③ C．②③④ D．①②③④ 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．在实数：0，，，π，中，无理数有 　　 个． 12．已知|x﹣2y|0，则x﹣y的值为 　　 ． 13．我国南宋著名数学家秦九韶和古希腊几何学家海伦分别提出利用三角形的三边求面积的公式并加以证明，人们把这个公式称为海伦﹣秦九韶公式．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p，那么三角形的面积S．若△ABC的三边长分别为4，5，7，利用海伦﹣秦九韶公式可求出△ABC的面积为　　 ． 14．已知x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，则x+y的值为 　　 ． 15．对于任意不相等的两个实数a、b，定义一种运算※如下：a※b，如3※2，那么（7※5）×（﹣2※50）＝　　 ． 16．观察下列等式：2，3，请用含n（n≥2且n为整数）的等式表示上述规律为 　　 ． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．计算：（1）； （2）． （3）2（1）2． 18．（1）分别计算：；． （2）若，求x的值． 19．已知x，求x2﹣3xy+y2的值． 20．若a，b为实数，且b，求a+b﹣3的平方根． 21．如图，木工从一个大正方形木板上裁去面积分别为48cm2和50cm2的两个小正方形木料． （1）裁去的两块正方形木料的边长分别为　　 cm和　　 cm； （2）求剩余木料（阴影部分）的面积； （3）如果木工想从剩余的木料中裁出长为7cm，宽为1.5cm的长方形木条，最多可以裁出　　 块这样的木条． 22．先观察下列等式： ①； ②； ③； ④；… （1）请你写出第5个等式：　　 ． （2）经过观察，写出满足上述各式规律的一般化公式．（用字母n表示，n是大于1的整数） 23．如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法． （1）图2中A、B两点表示的数分别为　　 ，　　 ； （2）请你参照上面的方法： 把图3中5×1的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长a＝　　 ．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙） 24．阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：（2）（2）＝1，（）（）＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样理解，如，7+4．像这样，通过分子、分母同乘同一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫作分母有理化． 解决问题： （1）4的有理化因式可以是 　　 ，分母有理化得 　　 ． （2）①已知x，y，求x2+y2的值． ②求的值． 参考答案 第二章 实数 单元测试卷 2026-2027学年北师大版八年级数学上册 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列实数中，最大的数是（　　） A．﹣1 B． C．|﹣2| D．3 【解答】解：|﹣2|＝2， ∵﹣1|﹣2|＜3， ∴所给的实数中，最大的数是3． 故选：D． 2．下列式子中，是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意得，，不是二次根式， ∵π﹣4＜0， ∴不是二次根式， 是二次根式， 故选：B． 3．下列说法中错误的是（　　） A．9的算术平方根是3 B．的平方根是±2 C．8的立方根为2 D．立方根等于本身的数是1和0 【解答】解：A．9的算术平方根是3，说法正确，故选项A不符合题意； B．由，而4的平方根是±2，即的平方根是±2，说法正确，故选项B不符合题意； C．由于23＝8，所以8的立方根是2，说法正确，故选项C不符合题意； D．立方根等于本身的数是1、0和﹣1，说法错误，故选项D符合题意； 故选：D． 4．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、，故此选项运算错误，不符合题意； B、，故此选项运算错误，不符合题意； C、，故此选项运算错误，不符合题意； D、，故此选项运算正确，符合题意； 故选：D． 5．在《九章算术》一书中，对开方开不尽的数起了一个名字，叫做“面”，这是中国传统数学对无理数的最早记载，下面符合“面”的描述的数是（　　） A． B．1 C．0 D． 【解答】解：， ∵是开方开不尽的数，即是无理数，1，0，都是有理数， ∴符合“面”的描述的数是， 故选：A． 6．现定义一种新运算：对任意实数a，b，规定a⊗b＝2a+b﹣ab，若x⊗3＝1，则x的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：∵a⊗b＝2a+b﹣ab，x⊗3＝1， ∴x⊗3＝2x+3﹣3x＝1， 解得x＝2． 故选：B． 7．已知y，则xy的值为（　　） A．8 B．﹣8 C．9 D． 【解答】解：∵y， ∴x＝3，y＝﹣2， ∴xy＝3﹣2． 故选：D． 8．a，b在数轴上的位置如图所示，化简代数式的结果等于（　　） A．﹣a﹣b+1 B．a﹣b+3 C．a+b﹣1 D．﹣a+b﹣3 【解答】解：由数轴得﹣1＜a＜0，2＜b＜3， ∴2﹣b＜0，a+1＞0， ∴ ＝|2﹣b|﹣|a+1| ＝b﹣2﹣（a+1） ＝b﹣2﹣a﹣1 ＝b﹣a﹣3， 故选：D． 9．已知：是整数，则满足条件的最小正整数n的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．5 【解答】解：∵2是整数， ∴最小正整数n的值是：5． 故选：D． 10．对任意两个正实数a，b，定义新运算a☆b为：a☆b，则下列等式：①1☆2；②3☆；③（a☆b）•（b☆a）＝1；④a2☆b3，其中成立的是（　　） A．①② B．②③ C．②③④ D．①②③④ 【解答】解：∵1☆2， ∴①不成立； ∵3☆3， ∴②成立； ∵（a☆b）•（b☆a）1， ∴③成立； ∵a2☆b3， ∴④成立． ∴成立的是：②③④． 故选：C． 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．在实数：0，，，π，中，无理数有 　2　 个． 【解答】解：0，2是整数，是分数，它们不是无理数； ，π是无限不循环小数，它们均为无理数，共2个； 故答案为：2． 12．已知|x﹣2y|0，则x﹣y的值为 　﹣2　 ． 【解答】解：∵|x﹣2y|0，而|x﹣2y|≥0，0， ∴x﹣2y＝0，y+2＝0， 解得x＝﹣4，y＝﹣2， ∴x﹣y＝﹣4+2＝﹣2， 故答案为：﹣2． 13．我国南宋著名数学家秦九韶和古希腊几何学家海伦分别提出利用三角形的三边求面积的公式并加以证明，人们把这个公式称为海伦﹣秦九韶公式．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p，那么三角形的面积S．若△ABC的三边长分别为4，5，7，利用海伦﹣秦九韶公式可求出△ABC的面积为　4　 ． 【解答】解：由题意，∵△ABC的三边长分别为4，5，7， ∴． ∴． 故答案为：4． 14．已知x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，则x+y的值为 　14　 ． 【解答】解：∵x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3， ∴x﹣2＝4，2x+y+7＝27， 解得：x＝6，y＝8， 则x+y＝6+8＝14． 故答案为：14． 15．对于任意不相等的两个实数a、b，定义一种运算※如下：a※b，如3※2，那么（7※5）×（﹣2※50）＝　　 ． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 16．观察下列等式：2，3，请用含n（n≥2且n为整数）的等式表示上述规律为 　n　 ． 【解答】解：∵2， 3， … ∴n（n≥2且n为整数）， 故答案为：n． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．计算：（1）； （2）． （3）2（1）2． 【解答】解：（1）原式＝3﹣21﹣9+1+2 ＝﹣4； （2）原式＝126 ． （3）（1）﹣12+|2|﹣（3）0 ＝﹣1+21 ； 18．（1）分别计算：；． （2）若，求x的值． 【解答】解：（1）27； ±±9； ； ； （2）x2﹣1＝0， x2＝1， x2， 所以x＝±． 19．已知x，求x2﹣3xy+y2的值． 【解答】解：∵x， ∴x+y＝2，xy＝3﹣2＝1， ∴原式＝（x+y）2﹣5xy ＝12﹣5×1 ＝7． 20．若a，b为实数，且b，求a+b﹣3的平方根． 【解答】解：由题意得：a2﹣1≥0，1﹣a2≥0，且a+1≠0， 解得：a＝1， 则b， ∴a+b﹣3＝1+（）﹣3＝9， ∵9的平方根是±3， ∴a+b﹣3的平方根是±3． 21．如图，木工从一个大正方形木板上裁去面积分别为48cm2和50cm2的两个小正方形木料． （1）裁去的两块正方形木料的边长分别为　　 cm和　5　 cm； （2）求剩余木料（阴影部分）的面积； （3）如果木工想从剩余的木料中裁出长为7cm，宽为1.5cm的长方形木条，最多可以裁出　8　 块这样的木条． 【解答】解：（1）根据算术平方根的定义解答可得： ，， ∴裁去的两块正方形木料的边长分别为和， 故答案为：，； （2）大正方形的边长为， ∴剩余木料（阴影部分）的面积； （3）∵，， ∵4×1.5＜6.9，7＜7.1， ∴最多可以裁出4+4＝8块这样的木条， 故答案为：8． 22．先观察下列等式： ①； ②； ③； ④； … （1）请你写出第5个等式：　6　 ． （2）经过观察，写出满足上述各式规律的一般化公式．（用字母n表示，n是大于1的整数） 【解答】解：（1）第5个等式：6． 故答案为：（1）6； （2）（n+1）（n≠1，且n为整数）． 23．如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法． （1）图2中A、B两点表示的数分别为　　 ，　　 ； （2）请你参照上面的方法： 把图3中5×1的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长a＝　　 ．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙） 【解答】解：（1）由题意知，OB＝OA， ∴A、B两点表示的数分别为，， 故答案为：，； （2）①如图， ∴a， 故答案为：； 24．阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：（2）（2）＝1，（）（）＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样理解，如，7+4．像这样，通过分子、分母同乘同一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫作分母有理化． 解决问题： （1）4的有理化因式可以是 　4　 ，分母有理化得 　　 ． （2）①已知x，y，求x2+y2的值． ②求的值． 【解答】解：（1）4的有理化因式可以是4， ， 故答案为：4，； （2）①当x2，y2时， x2+y2＝（x+y）2﹣2xy ＝（22）2﹣2×（2）×（2） ＝16﹣2×1 ＝14． ② 1 1． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $