第11讲 盈亏问题初步——比较法与差额思想(讲义)-2025-2026学年四年级数学下册人教版

【人教版】小学四年级下册奥数培优讲义·第11讲盈亏问题初步——比较法与差额思想前言 华罗庚说："宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。" 同学们，你们在生活中有没有遇到过分东西的情况？比如分糖果、分书本、分玩具……有时候会多出来（叫"盈"），有时候会不够（叫"亏"）。 盈亏问题是一类非常经典的数学应用题，早在古代就有了。这类问题看起来复杂，其实只要掌握了"比较法"，找到两次分配的差额，就能轻松解决！ 这一讲，我们就一起来探索盈亏问题的奥秘，掌握比较法这把神奇的数学钥匙！ 【教学目标】 一、知识与技能 理解盈亏问题的基本结构和特点；掌握比较法解题的基本步骤和方法；能运用比较法解决各类盈亏问题 二、过程与方法 经历"比较→找差→求总→验证"的解题过程；培养对比分析和逻辑推理能力；学会将实际问题转化为盈亏问题模型 三、情感态度与价值观 感受数学思想方法的广泛应用；体会"比较"在数学中的重要作用；培养勇于探索、善于思考的学习品质 【教学重难点】 重点：掌握比较法解盈亏问题的基本步骤 难点：理解两次分配的差额原因，掌握不同类型盈亏问题的公式 【高频易错总提示】 易错点1：一盈一亏型，盈亏总额是"盈+亏"，不是相减！ 易错点2：两盈型，盈亏总额是"大盈-小盈"，不是相加！ 易错点3：两亏型，盈亏总额是"大亏-小亏"，不是相加！ 易错点4："有几人分不到"要转换成亏多少，不能直接用人数算！ 易错点5："恰好多出一辆车"要转换成亏多少人，不能直接用车数算！ 一、知识点总结 1. 什么是盈亏问题 盈亏问题是把一定数量的东西分给一定数量的人，由两种分配方案产生不同的盈亏数，反过来求出分配的总人数与被分配东西的总数量。 基本特征： 有两种不同的分配方案 分配的总人数不变 被分配的总数量不变 两种方案结果不同（有盈有亏） 2. 核心方法：比较法 比较法是解盈亏问题最基本、最重要的方法。 【基本思路】 比较：比较两种分配方案，看结果相差多少 找差：分析为什么会有这个差，找出两次分配数的差 求总：用总差额 ÷ 每人差额 = 总人数 验证：把结果代入原题，验证是否正确 3. 五大常考题型 题型 特点 盈亏总额 公式 一盈一亏型 一次多了，一次少了 盈 + 亏 人数 = (盈+亏) ÷ 两次分配差 两盈型 两次都多了 大盈 - 小盈 人数 = (大盈-小盈) ÷ 两次分配差 两亏型 两次都少了 大亏 - 小亏 人数 = (大亏-小亏) ÷ 两次分配差 一盈一尽型 一次多了，一次正好 盈数 人数 = 盈数 ÷ 两次分配差 一亏一尽型 一次少了，一次正好 亏数 人数 = 亏数 ÷ 两次分配差 4. 通用解题四步法 【盈亏问题解题口诀：比→找→求→验】 1. 比：比较两种方案，算总差额 2. 找：找两次分配数的差 3. 求：总差额 ÷ 分配差 = 人数 4. 验：代入原题，验证对不对 5. 小技巧集锦 技巧1：一盈一亏用加法，两盈两亏用减法 技巧2："几人分不到" → 转换成亏多少（人数×每人分的） 技巧3："多出一辆车" → 转换成亏多少人（空车能坐的人数） 亏的人数 = 空车可坐人数 = 每车人数 × 1 技巧4：购物型盈亏 → 把"每人出多少钱"看成"每人分多少钱" 技巧5：复杂题目先转化，变成标准盈亏问题再计算 二、经典例题 标注说明：★基础 / ★★提升 / ★★★拔高 / ★★★★挑战 【例1 一盈一亏型】★基础 【题目】 小朋友分糖果，若每人分4粒则多9粒；若每人分5粒则少6粒。问：有多少个小朋友？分多少粒糖？ 【解题思路】 这是最基本的盈亏问题——一盈一亏型。 我们来比较两种分配方案：第一种每人分4粒，多9粒；第二种每人分5粒，少6粒。 为什么会从"多9粒"变成"少6粒"呢？因为每人多分了1粒。 【完整解析】 第一步：比较两种方案，算总差额 第一种方案：多9粒（盈9粒） 第二种方案：少6粒（亏6粒） 两种方案相差：9 + 6 = 15（粒） 注意：一盈一亏，差额是"盈+亏"，不是相减！ 第二步：找两次分配数的差 每人分的数量差：5 - 4 = 1（粒） 第三步：求总人数 每人相差1粒，一共相差15粒，说明有多少个小朋友呢？ 小朋友人数：15 ÷ 1 = 15（人） 第四步：求糖果总数 用第一种方案算：4×15 + 9 = 69（粒） 第五步：验证 用第二种方案验证：5×15 - 6 = 69（粒）✓ 两种方案结果一样！ 答：有15个小朋友，分69粒糖。 📝随堂小练1 幼儿园老师给小朋友分饼干。如果每人分4块，则多出10块；如果每人分6块，则少2块。问：有多少个小朋友？有多少块饼干？ 【方法总结】 一盈一亏型解题步骤： 1. 算总差额：盈 + 亏 2. 算分配差：第二次每人分的 - 第一次每人分的 3. 总差额 ÷ 分配差 = 人数 4. 用其中一种方案算总数 5. 用另一种方案验证 公式：人数 = (盈 + 亏) ÷ 两次分配差 口诀：一盈一亏用加法，加起来后除以差。 【例2 一亏一尽型】★★提升 【题目】 小朋友分糖果，每人分10粒，正好分完；若每人分16粒，则有3个小朋友分不到糖果。问：有多少粒糖果？ 【解题思路】 这道题不是一盈一尽，是一亏一尽型（方案 1 正好分完、方案 2 不足），第一种方案正好分完（不盈不亏），第二种方案有3个小朋友分不到，也就是"亏"了。 关键是把"有3个小朋友分不到"转换成亏了多少粒糖。 【完整解析】 第一步：把"3人分不到"转换成亏多少 如果每人分16粒，有3个小朋友分不到，说明什么？ 说明如果要让每个小朋友都分到16粒，还缺：16×3 = 48（粒） 也就是亏了48粒。 第二步：比较两种方案，算总差额 第一种方案：正好分完（盈0粒，亏0粒） 第二种方案：亏48粒 两种方案相差：0 + 48 = 48（粒） 第三步：找两次分配数的差 每人分的数量差：16 - 10 = 6（粒） 第四步：求总人数 小朋友人数：48 ÷ 6 = 8（人） 第五步：求糖果总数 用第一种方案算：10×8 = 80（粒） 第六步：验证 用第二种方案验证：8个小朋友，每人16粒，需要128粒，只有80粒，所以有(128-80)÷16=3人分不到 ✓ 正确！ 答：有80粒糖果。 📝随堂小练2 老师给同学们分练习本。如果每人分4本，则正好分完；如果每人分6本，则有2个同学分不到练习本。问：有多少个同学？有多少本练习本？ 【方法总结】 "几人分不到"型解题关键： 1. 先转换："几人分不到" → 亏了多少（人数×每人分的数量） 2. 再比较：两种方案的总差额 3. 算分配差：两次每人分的数量差 4. 求人数：总差额 ÷ 分配差 5. 求总数：用其中一种方案计算 6. 验证：用另一种方案验证 关键：先把"几人分不到"转换成"亏多少"，就变成标准盈亏问题了！ 【例3 两亏型】★★提升 【题目】 老师去买儿童小提琴，若买7把，则所带的钱差110元；若买5把，则所带的钱还差30元。问：儿童小提琴多少钱一把？老师带了多少钱？ 【解题思路】 这道题是"两亏"型——两次都不够。 买7把差110元，买5把差30元。为什么差的钱变少了呢？因为少买了2把。 【完整解析】 第一步：比较两种方案，算总差额 第一种方案：买7把，差110元（大亏） 第二种方案：买5把，差30元（小亏） 两种方案相差：110 - 30 = 80（元） 注意：两亏型，差额是"大亏-小亏"，不是相加！ 第二步：找两次分配数的差 买的数量差：7 - 5 = 2（把） 第三步：求单价 少买2把，就少差80元，说明2把小提琴80元。 小提琴单价：80 ÷ 2 = 40（元/把） 第四步：求老师带的钱 用第二种方案算：40×5 - 30 = 170（元） 第五步：验证 用第一种方案验证：40×7 - 110 = 170（元）✓ 两种方案结果一样！ 答：儿童小提琴40元一把，老师带了170元钱。 📝随堂小练3 王老师买笔记本。如果买8本，则带的钱差30元；如果买5本，则带的钱差6元。问：一本笔记本多少钱？王老师带了多少钱？ 【方法总结】 两亏型解题步骤： 1. 算总差额：大亏 - 小亏 2. 算分配差：两次分配的数量差 3. 总差额 ÷ 分配差 = 份数（人数/本数） 4. 用其中一种方案算总数 5. 用另一种方案验证 公式：份数 = (大亏 - 小亏) ÷ 两次分配差 口诀：两亏两盈用减法，大的减小除以差。 三、拓展例题 标注说明：★★★拔高 / ★★★★挑战 【拓展1 两盈型】★★★拔高 【题目】 老师给小朋友分苹果，如果每人分3个，则多16个苹果；如果每人分5个，则多4个苹果。问：有多少个小朋友？有多少个苹果？ 【解题思路】 这道题是"两盈"型——两次都多了。 每人分3个，多16个；每人分5个，多4个。为什么多的数量变少了呢？因为每人多分了2个。 【完整解析】 第一步：比较两种方案，算总差额 第一种方案：多16个（大盈） 第二种方案：多4个（小盈） 两种方案相差：16 - 4 = 12（个） 注意：两盈型，差额是"大盈-小盈"，不是相加！ 第二步：找两次分配数的差 每人分的数量差：5 - 3 = 2（个） 第三步：求总人数 每人相差2个，一共相差12个，说明有多少个小朋友呢？ 小朋友人数：12 ÷ 2 = 6（人） 第四步：求苹果总数 用第一种方案算：3×6 + 16 = 34（个） 第五步：验证 用第二种方案验证：5×6 + 4 = 34（个）✓ 两种方案结果一样！ 答：有6个小朋友，有34个苹果。 📝随堂小练4 工人们搬书。如果每人搬18箱，则多出6箱；如果每人搬21箱，则少3箱。问：有多少个工人？共有多少箱书？ 【方法总结】 两盈型解题步骤： 1. 算总差额：大盈 - 小盈 2. 算分配差：两次每人分的数量差 3. 总差额 ÷ 分配差 = 人数 4. 用其中一种方案算总数 5. 用另一种方案验证 公式：人数 = (大盈 - 小盈) ÷ 两次分配差 口诀：两盈用减法，大盈减小盈，除以分配差，就是总人数。 【拓展2 乘车变型】★★★拔高 【题目】 红星小学去春游。如果每辆车坐60人，那么有15人上不了车；如果每辆车多坐5人，那么恰好多出一辆车。问：有多少辆车？多少个学生？ 【解题思路】 这道题是盈亏问题的变型——乘车问题。 关键是把"恰好多出一辆车"转换成亏了多少人。 【完整解析】 第一步：把"多出一辆车"转换成亏多少人 每辆车多坐5人，也就是每辆车坐：60 + 5 = 65（人） 恰好多出一辆车，说明什么？ 说明如果每辆车坐65人，还可以再坐65人（空出一辆车的位置）。 也就是亏了65人（还差65人才能坐满）。 第二步：比较两种方案，算总差额 第一种方案：多15人上不了车（盈15人） 第二种方案：还可以坐65人（亏65人） 两种方案相差：15 + 65 = 80（人） 注意：一盈一亏，差额是"盈+亏"！ 第三步：找两次分配数的差 每辆车坐的人数差：5（人） 第四步：求车的数量 每辆车相差5人，一共相差80人，说明有多少辆车呢？ 车的数量：80 ÷ 5 = 16（辆） 第五步：求学生总数 用第一种方案算：60×16 + 15 = 975（人） 第六步：验证 用第二种方案验证：每辆车坐65人，15辆车坐65×15=975人，正好多出1辆车 ✓ 正确！ 答：有16辆车，有975个学生。 📝 随堂小练5 学校组织看电影。如果每排坐6人，则多出16人；如果每排坐8人，则正好坐满。问：一共有多少排座位？有多少个学生？ 【方法总结】 核心定义（务必记牢）：在此类“时间/容量”变型题中，我们统一以“按原计划（或原车数）执行完毕后，总量的剩余情况” 来判断盈亏： 亏：按原计划算，总量不够（还差多少）。 盈：按原计划算，总量有剩（多了多少）。 例如：提前完成 = 按原计划天数算，煤不够烧 = 亏；多用一天 = 按原计划天数算，煤烧不完 = 盈。 乘车/住宿变型题解题关键： 1. 先转换："多出一辆车/一间房" → 亏了多少人（车/房容量） 2. 再比较：两种方案的总差额 3. 算分配差：两次每车/每间住的人数差 4. 求数量：总差额 ÷ 分配差 = 车数/房间数 5. 求总人数：用其中一种方案计算 6. 验证：用另一种方案验证 关键：先把"多出一辆车"转换成"亏多少人"，就变成标准盈亏问题了！ 【拓展3 烧煤变型】★★★★挑战 【题目】 某厂运来一批煤，如果每天烧1500千克，那么比原计划提前一天烧完；如果每天烧1000千克，那么将比原计划多用一天。现在要求按原计划烧完，那么每天应烧煤多少千克？ 【解题思路】 这道题是盈亏问题的变型——烧煤问题。 关键是把"提前一天"和"多用一天"转换成盈亏多少。 【完整解析】 第一步：把"提前/多用"转换成盈亏多少 如果每天烧1500千克，提前1天烧完，说明按原计划天数烧，煤不够，还差1天的量，也就是少了1500千克煤（亏1500千克）。 如果每天烧1000千克，多用1天，说明按原计划天数烧，煤还有剩余，还可以再烧1天，也就是多了1000千克煤（盈1000千克）。 第二步：比较两种方案，算总差额 第一种方案：亏1500千克 第二种方案：盈1000千克 两种方案相差：1500 + 1000 = 2500（千克） 注意：一盈一亏，差额是"盈+亏"！ 第三步：找两次分配数的差 每天烧的数量差：1500 - 1000 = 500（千克） 第四步：求原计划天数 每天相差500千克，一共相差2500千克，说明原计划烧多少天呢？ 原计划天数：2500 ÷ 500 = 5（天） 第五步：求煤的总数量 用第一种方案算：1500×(5-1) = 6000（千克） 第六步：验证 用第二种方案验证：1000×(5+1) = 6000（千克）✓ 两种方案结果一样！ 第七步：求原计划每天烧多少 总共有6000千克煤，原计划烧5天，每天烧：6000 ÷ 5 = 1200（千克） 答：每天应烧煤1200千克。 📝随堂小练6 加工一批零件。如果每天加工100个，那么比原计划提前2天完成；如果每天加工80个，那么比原计划晚1天完成。问：原计划多少天完成？这批零件有多少个？ 【方法总结】 核心定义（务必记牢）：在此类“时间/容量”变型题中，我们统一以“按原计划（或原车数）执行完毕后，总量的剩余情况” 来判断盈亏： 亏：按原计划算，总量不够（还差多少）。 盈：按原计划算，总量有剩（多了多少）。 例如：提前完成 = 按原计划天数算，煤不够烧 = 亏；多用一天 = 按原计划天数算，煤烧不完 = 盈。 烧煤/工程变型题解题关键： 1. 先转换："提前几天" → 亏多少（每天量×提前天数）；"晚几天" → 盈多少（每天量×晚的天数） 2. 再比较：两种方案的总差额 3. 算分配差：两次每天烧/修的数量差 4. 求天数：总差额 ÷ 分配差 = 原计划天数 5. 求总量：用其中一种方案计算 6. 验证：用另一种方案验证 关键：先把"提前/晚几天"转换成"盈/亏多少"，就变成标准盈亏问题了！ 四、易错题专区 这些是同学们最容易出错的题目，一定要仔细看哦！ 【易错题1 一盈一亏用加法还是减法？】★★提升 【题目】 小朋友分糖果，每人分4粒多9粒，每人分5粒少6粒。小明说："两种方案相差9-6=3粒，所以有3个小朋友。"小明说得对吗？为什么？ 常见错误 有同学说："对呀，9减6等于3，所以3个小朋友。" 错在哪里？ 搞反了！一盈一亏应该用加法，不是减法！ 第一种方案多9粒，第二种方案少6粒。 从"多9粒"到"少6粒"，一共差了多少？ 不仅要把多的9粒分掉，还要再拿6粒来才够，所以一共差了9+6=15粒。 正确解法 总差额：9 + 6 = 15（粒） 分配差：5 - 4 = 1（粒） 人数：15 ÷ 1 = 15（人） 糖果：4×15 + 9 = 69（粒） 验证：5×15 - 6 = 69粒 ✓ 正确答案：不对，一盈一亏应该用加法，有15个小朋友，69粒糖。 【避坑提醒】 一盈一亏，总量差额用加法；两盈、两亏，总量差额用减法！ 口诀：一盈一亏加，两盈两亏减。 【易错题2 "几人分不到"怎么转换？】★★提升 【题目】 小朋友分糖果，每人分10粒正好分完；每人分16粒，有3个小朋友分不到。小红说："两种方案相差3人，每人差6粒，所以有3×6=18粒糖。"小红说得对吗？为什么？ 常见错误 有同学说："对呀，3人分不到，每人差6粒，所以18粒。" 错在哪里？ "3人分不到"不是差3人，而是差了3个人的糖！ 如果每人分16粒，3个小朋友分不到，说明要让所有人都分到16粒，还缺3×16=48粒糖。 也就是亏了48粒，不是亏了3粒！ 正确解法 亏的数量：3×16 = 48（粒） 总差额：0 + 48 = 48（粒） 分配差：16 - 10 = 6（粒） 人数：48 ÷ 6 = 8（人） 糖果：10×8 = 80（粒） 验证：8人，每人16粒需要128粒，只有80粒，所以有(128-80)÷16=3人分不到 ✓ 正确答案：不对，"3人分不到"要转换成亏48粒，有8个小朋友，80粒糖。 【避坑提醒】 有人分不到，不能直接用人数计算差额，必须换算成缺失物品总量→ 亏了多少 = 人数 × 每人分的数量 不能直接用人数算，要转换成亏了多少粒！ 【易错题3 两亏型用加法还是减法？】★★提升 【题目】 老师买小提琴，买7把差110元，买5把差30元。小刚说："两种方案相差110+30=140元，所以每把小提琴140÷2=70元。"小刚说得对吗？为什么？ 常见错误 有同学说："对呀，110加30等于140，除以2等于70元。" 错在哪里？ 两亏型应该用减法，不是加法！ 买7把差110元，买5把差30元。 都是"差"，差的钱数为什么不一样？因为买的数量不一样。 少买2把，就少差了110-30=80元，说明2把小提琴80元。 正确解法 总差额：110 - 30 = 80（元） 数量差：7 - 5 = 2（把） 单价：80 ÷ 2 = 40（元/把） 老师带的钱：40×5 - 30 = 170（元） 验证：40×7 - 110 = 170元 ✓ 正确答案：不对，两亏型应该用减法，小提琴40元一把，老师带了170元。 【避坑提醒】 两次分配都不足（两亏），差额用大亏减小亏，禁止相加！ 口诀：两亏用减法，大亏减小亏。 五、趣味挑战题 【挑战题 盈亏问题的历史故事】★★★★挑战 同学们，你们知道吗？盈亏问题可是有2000多年历史的古老数学题哦！ 早在西汉时期，我国古代数学家就在《九章算术》里记载了盈亏问题，专门有一章叫"盈不足"。 古代的题目是这样的： "今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？" 意思就是：几个人一起买东西，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元。问：有多少人？东西值多少钱？ 🌟 挑战一： 用我们学过的比较法，算一算这道古老的数学题，看看有多少人？东西值多少钱？ 🌟 挑战二： 古代还有一种有趣的解法叫"盈不足术"： 古代盈不足标准公式： 人数 =(盈 + 亏)÷ 两次每人出钱差 物价 =(出1× 亏 + 出2× 盈)÷ 两次每人出钱差 代入本题： 人数 =(3+4)÷(8-7)=7 （人）， 物价 =(8×4+7×3)÷（8-7）=53（元）。 验证：代入公式后直接得到整数结果，验证了公式的正确性。 试一试：请尝试用上面给出的“盈不足术”公式，重新代入本题数据（出8盈3，出7不足4）进行验算，感受古代数学家的智慧！ 🌟 挑战三： 生活中还有哪些问题可以用盈亏问题的方法来解决？比如分文具、租船、种树、买东西…… 和你的爸爸妈妈比一比，看谁找的例子多！ 🤔 思考题： 如果有三种分配方案，比如"每人分3粒多10粒，每人分4粒多2粒，每人分5粒少5粒"，你能解出来吗？试试看！ 【参考答案】 挑战一：7个人，东西值53元（比较法：(3+4)÷(8-7)=7人，7×8-3=53元） 挑战二：盈不足术公式：物价=(出1×亏+出2×盈)÷(出1 - 出2)，人数=(盈+亏)÷(出1-出2)，和我们的比较法结果一样！ 挑战三：答案不唯一，合理就行！ 思考题：8个人，34粒糖（用前两个条件算：(10-2)÷(4-3)=8人，3×8+10=34粒，用第三个条件验证：5×8-5=35粒，不对……哦，这道题三个条件不一致，是错题！你发现了吗？） 六、一题多解精选 【经典题 一盈一亏型】★★提升 【题目】 小朋友分糖果，每人分4粒多9粒，每人分5粒少6粒。问：有多少个小朋友？多少粒糖？ 解法一：比较法（推荐） 思路：比较两种方案，找差额，求人数。 步骤： 1. 总差额：9 + 6 = 15（粒） 2. 分配差：5 - 4 = 1（粒） 3. 人数：15 ÷ 1 = 15（人） 4. 糖果：4×15 + 9 = 69（粒） 答案：15个小朋友，69粒糖。 优点：最常用，最容易理解，适合所有盈亏问题。 解法二：画图法 思路：画线段图，直观展示两种方案的差异。 步骤： 画两条线段表示糖果总数： 第一条：每人4粒，每人4粒，先画出若干段表示人数，后面多出一段表示“多9粒”； 第二条：每人5粒，同样先画出若干段，后面空出一段表示“少6粒”。 对比可知，从“多9粒”到“少6粒”，总共相差15粒，对应每人多分了1粒，因此推出人数为15人。 答案：15个小朋友，69粒糖。 优点：直观形象，容易理解。 缺点：画图麻烦，复杂题目不好画。 解法三：方程法 思路：设未知数，列方程求解。 步骤： 设有x个小朋友。 糖果总数不变，列方程： 4x + 9 = 5x - 6 解方程： 9 + 6 = 5x - 4x 15 = x x = 15 有15个小朋友，糖果有4×15+9=69粒。 答案：15个小朋友，69粒糖。 优点：逻辑严谨，不容易错。 缺点：需要学过方程，小学低年级不适用。 【方法对比】 比较法：最常用，最通用，推荐使用 画图法：直观，好理解，但画图麻烦 方程法：严谨，不容易错，但需要学过方程 小学阶段推荐用比较法，既好理解又通用！ 七、基本练习 （共5题，建议用时：25分钟） 第1题 ★基础 小朋友分糖果，每人3粒，余30粒；每人5粒，少4粒。问：有多少个小朋友？多少粒糖？ 第2题 ★★提升 参加美术活动小组的同学，分配若干支彩色笔。如果每人分4支，那么多12支；如果每人分8支，那么恰有1人没分到笔。问：有多少同学？多少支彩色笔？ 第3题 ★★提升 学校买来一批图书。若每人发9本，则少25本；若每人发6本，则少7本。问：有多少个学生？买了多少本图书？ 第4题 ★★提升 同学们为学校搬砖，每人搬18块，还余2块；每人搬20块，就有一位同学没砖可搬。问：共有砖多少块？ 第5题 ★★提升 一批小朋友去买东西，若每人出10元则多8元；若每人出7元则少4元。问：有多少个小朋友？东西的价格是多少？ 八、拓展练习 （共5题，建议用时：30分钟） 第1题 ★★★拔高 红星小学去春游。如果每辆车坐60人，那么有15人上不了车；如果每辆车多坐5人，那么恰好多出一辆车。问：有多少辆车？多少个学生？ 第2题 ★★★拔高 学校安排学生住宿。如果每间宿舍住6人，那么有20人没床位；如果每间宿舍住8人，那么正好住满。问：有多少间宿舍？有多少个学生？ 第3题 ★★★拔高 某厂运来一批煤，如果每天烧1500千克，那么比原计划提前一天烧完；如果每天烧1000千克，那么将比原计划多用一天。现在要求按原计划烧完，那么每天应烧煤多少千克？ 第4题 ★★★★挑战 某工程队修一条路，如果每天修80米，那么比原计划提前2天修完；如果每天修60米，那么将比原计划晚3天修完。问：这条路有多长？原计划多少天修完？ 第5题 ★★★★挑战 老师给小朋友分苹果和梨，苹果的个数是梨的2倍。梨每人分3个，多2个；苹果每人分7个，少6个。问：有多少个小朋友？有多少个苹果？多少个梨？（提示：苹果是梨的2倍，先把梨的条件“放大2倍”变成苹果的条件。） 九、随堂小练答案 随堂小练1 答案 答案：6个小朋友，34块饼干 解析： 判断类型：一盈（多10块）一亏（少2块），用加法算总差额。 算总差额：10 + 2 = 12（块）。 算分配差：6 - 4 = 2（块）。 求人数：12 ÷ 2 = 6（人）。 求总数：4 × 6 + 10 = 34（块）；验证：6 × 6 - 2 = 34（块）✓。 答：有6个小朋友，34块饼干。 随堂小练2 答案 答案：有6个同学，24本练习本。 解析： “2人分不到” → 亏了：2×6=12（本） 总差额：0+12=12（本） 分配差：6-4=2（本） 人数：12÷2=6（人） 练习本：4×6=24（本） 验证：6人，每人6本需要36本，只有24本，有(36-24)÷6=2人分不到 ✓答：有6个同学，24本练习本。 随堂小练3 答案 答案：一本笔记本8元，王老师带了34元。 解析： 判断类型：两亏（买8本差30，买5本差6），用减法算总差额。 算总差额：大亏 - 小亏 = 30 - 6 = 24（元）。 算分配差：8 - 5 = 3（本）。 求单价：24 ÷ 3 = 8（元/本）。 求总钱数：用第二种方案算：8 × 5 - 6 = 34（元）； 验证：8 × 8 - 30 = 34（元）✓。 答：一本笔记本8元，王老师带了34元。 随堂小练4 答案 答案：有3个工人，共有60箱书。 解析： 判断类型：一盈（多6箱）一亏（少3箱）。 算总差额：6 + 3 = 9（箱）。 算分配差：21 - 18 = 3（箱）。 求人数：9 ÷ 3 = 3（人）。 求总数：18 × 3 + 6 = 60（箱）；验证：21 × 3 - 3 = 60（箱）✓。 答：有3个工人，共有60箱书。 随堂小练5 答案 答案：一共有8排座位，有64个学生。 解析： 判断类型：一盈（多16人）一尽（正好坐满，亏为0）。 算总差额：16 + 0 = 16（人）。 算分配差：8 - 6 = 2（人）。 求排数：16 ÷ 2 = 8（排）。 求学生数：6 × 8 + 16 = 64（人）；验证：8 × 8 = 64（人）✓。 答：一共有8排座位，有64个学生。 随堂小练6 答案 答案：原计划14天完成，这批零件有1200个。 解析： 转换盈亏： 1. “提前2天完成” → 按原计划天数算，总量不够 → 亏了：2 × 100 = 200（个）。 2. “晚1天完成” → 按原计划天数算，总量有剩 → 盈了：1 × 80 = 80（个）。 判断类型：一亏一盈，用加法算总差额。 算总差额：200 + 80 = 280（个）。 算分配差：100 - 80 = 20（个/天）。 求原计划天数：280 ÷ 20 = 14（天）。 求零件总数：用第一种方案算：100 × (14 - 2) = 1200（个）； 验证：80 × (14 + 1) = 1200（个）✓。 答：原计划14天完成，这批零件有1200个。 十、基本练习完整分步答案 第1题 答案：17个小朋友，81粒糖 解析： 总差额：30 + 4 = 34（粒） 分配差：5 - 3 = 2（粒） 人数：34 ÷ 2 = 17（人） 糖果：3×17 + 30 = 81（粒） 验证：5×17 - 4 = 81粒 ✓ 答：有17个小朋友，81粒糖。 第2题 答案：5个同学，32支彩色笔 解析： "1人没分到" → 亏了：1×8 = 8（支） 总差额：12 + 8 = 20（支） 分配差：8 - 4 = 4（支） 人数：20 ÷ 4 = 5（人） 彩色笔：4×5 + 12 = 32（支） 验证：5人，每人8支需要40支，只有32支，所以有(40-32)÷8=1人没分到 ✓ 答：有5个同学，32支彩色笔。 第3题 答案：6个学生，29本图书 解析： 总差额：25 - 7 = 18（本） 分配差：9 - 6 = 3（本） 学生数：18 ÷ 3 = 6（人） 图书：9×6 - 25 = 29（本） 验证：6×6 - 7 = 29本 ✓ 答：有6个学生，买了29本图书。 第4题 答案：200块砖 解析： "1人没砖可搬" → 亏了：1×20 = 20（块） 总差额：2 + 20 = 22（块） 分配差：20 - 18 = 2（块） 人数：22 ÷ 2 = 11（人） 砖数：18×11 + 2 = 200（块） 验证：11人中，10人搬200块，每人搬20块，有1人没砖可搬 ✓ 答：共有砖200块。 第5题 答案：4个小朋友，32元 解析： 总差额：8 + 4 = 12（元） 分配差：10 - 7 = 3（元） 人数：12 ÷ 3 = 4（人） 价格：10×4 - 8 = 32（元） 验证：7×4 + 4 = 32元 ✓ 答：有4个小朋友，东西的价格是32元。 十一、拓展练习完整分步答案 第1题 答案：16辆车，975个学生 解析： 每辆车多坐5人，也就是每辆车坐：60 + 5 = 65（人） "多出一辆车" → 亏了：1×65 = 65（人） 总差额：15 + 65 = 80（人） 分配差：5（人） 车数：80 ÷ 5 = 16（辆） 学生数：60×16 + 15 = 975（人） 验证：15辆车，每辆65人，共65×15=975人，正好多出1辆车 ✓ 答：有16辆车，有975个学生。 第2题 答案：10间宿舍，80个学生 解析： "正好住满" → 不盈不亏 总差额：20 + 0 = 20（人） 分配差：8 - 6 = 2（人） 宿舍数：20 ÷ 2 = 10（间） 学生数：6×10 + 20 = 80（人） 验证：10间宿舍，每间8人，正好住80人 ✓ 答：有10间宿舍，有80个学生。 第3题 答案：每天烧1200千克 解析： "提前1天" → 盈了：1×1500 = 1500（千克） "多用1天" → 亏了：1×1000 = 1000（千克） 总差额：1500 + 1000 = 2500（千克） 分配差：1500 - 1000 = 500（千克） 原计划天数：2500 ÷ 500 = 5（天） 总煤量：1500×(5-1) = 6000（千克） 验证：1000×(5+1) = 6000千克 ✓ 原计划每天烧：6000 ÷ 5 = 1200（千克） 答：每天应烧煤1200千克。 第4题 答案：1200米，原计划17天修完 解析： "提前2天" →亏了：2×80 = 160（米） "晚3天" →盈了：3×60 = 180（米） 总差额：160 + 180 = 340（米） 分配差：80 - 60 = 20（米） 原计划天数：340 ÷ 20 = 17（天） 路长：80×(17-2) = 1200（米） 验证：60×(17+3) = 1200米 ✓ 答：这条路有1200米，原计划17天修完。 第5题 答案：10个小朋友，64个苹果，32个梨 解析： 苹果是梨的2倍，我们把梨的分配标准整体扩大 2 倍，统一换算成苹果的分配场景，才能直接套用盈亏公式计算。 梨每人分3个，多2个 → 苹果每人分6个，多4个（因为苹果是梨的2倍） 现在苹果有两个条件： 每人分6个，多4个 每人分7个，少6个 总差额：4 + 6 = 10（个） 分配差：7 - 6 = 1（个） 人数：10 ÷ 1 = 10（人） 苹果：7×10 - 6 = 64（个） 梨：64 ÷ 2 = 32（个） 验证：10人每人分3个梨共分30个，梨总数 32 个，多32-30=2个，符合条件 ✓ 答：有10个小朋友，有64个苹果，32个梨。 十二、本讲总结（思维导图速记） 📊 一、知识地图 📋 二、核心公式速查表 题型 盈亏总额 公式 一盈一亏型 盈 + 亏 人数 = (盈+亏) ÷ 两次分配差 两盈型 大盈 - 小盈 人数 = (大盈-小盈) ÷ 两次分配差 两亏型 大亏 - 小亏 人数 = (大亏-小亏) ÷ 两次分配差 一盈一尽型 盈数 人数 = 盈数 ÷ 两次分配差 一亏一尽型 亏数 人数 = 亏数 ÷ 两次分配差 ⚠️ 三、避坑清单 1. 一盈一亏用减法？错！ 一盈一亏应该用加法，不是减法！ 从"多9粒"到"少6粒"，不仅要把多的分掉，还要再拿6粒来，所以一共差了9+6=15粒。 2. 两盈用加法？错！ 两盈应该用减法，不是加法！ 从"多16个"到"多4个"，多分掉了16-4=12个，所以一共差了12个。 3. 两亏用加法？错！ 两亏应该用减法，不是加法！ 从"差110元"到"差30元"，少差了110-30=80元，所以一共差了80元。 4. "几人分不到"直接用人数算？错！ "几人分不到"要转换成亏了多少，不能直接用人数算！ 转换公式：亏的数量 = 人数 × 每人分的数量 5. "多出一辆车"直接用车数算？错！ "多出一辆车"要转换成亏了多少人，不能直接用车数算！ 转换公式：亏的人数 = 车数 × 每车坐的人数 6. “提前几天”是亏还是盈？ “提前完成”意味着按原计划时间算，任务量不够，所以是亏； 提前完成 = 按原计划天数算，总量不够（亏）； “延后完成”意味着按原计划时间算，任务量超了，所以是盈。 延后完成 = 总量有剩（盈） 千万不能搞反！ 🎯 四、解题小口诀 【盈亏问题口诀歌】 盈亏问题不用怕， 比较方法是专家。 一盈一亏用加法， 两盈两亏用减法。 总差除以分配差， 就是人数不会差。 变型题目先转换， 变成标准再计算。 算完别忘来验证， 保证正确笑哈哈！ 【变型题转换口诀】 几人分不到， 乘完才是亏。 多出一辆车， 乘完是亏人。 提前或晚到， 乘完是盈亏。 先转成标准， 再用公式算。 —— 本讲结束，💪加油！你已经掌握了比较法这把神奇的数学钥匙 —— 学科网（北京）股份有限公司 $