专题01 实数的性质和计算（题型专练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 以“概念-方法-变式”为主线，系统整合实数估算、小数点规律、二次根式性质及最简同类根式四大模块，通过典例示范与梯度变式，培养抽象能力、运算能力和推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |实数的估算|1典例+5变式|平方数逐步估算，结合常见无理数近似值|基于平方数与无理数大小关系，从表格数据到数轴表示，构建估算逻辑链| |实数中小数点变化规律|1典例+5变式|类比平方/立方数规律，总结平方根/立方根小数点移动规律|由乘方运算逆向推导开方运算中被开方数与结果的小数点变化关系| |二次根式的性质|1典例+10变式|平方根性质、算术平方根双重非负性，√a²=a(a≥0)与√a²=|a|核心式|从平方根概念深化到非负性应用，结合数轴化简，体现性质的灵活运用| |最简与同类二次根式|1典例+8变式|最简根式定义（不含分母、开方因式），同类根式化简后被开方数相同|先化简再判断，为二次根式运算奠定基础，体现概念到应用的递进|

专题01 实数的性质和计算 （题型突破·举一反三） 题型01 实数的估算 题型02 实数中的小数点变化规律 题型03 二次根式的性质 题型04 最简二次根式和同类二次根式 ▌题型01 实数的估算 对于二次根式的估算，可以通过平方数逐步进行。若，则。 常见无理数的近似值：，，。 【典例1】观察表格中的数据： 由表格中的数据可知在哪两个数之间（    ） A．在和之间 B．在和之间 C．在和之间 D．在和之间 【变式1-1】估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【变式1-2】在如图所示的数轴上表示的点在（    ） A．点和点之间 B．点和点之间 C．点和点之间 D．点和点之间 【变式1-3】已知，则与的最接近的两个整数的和为 ． 【变式1-4】把无理数，，，表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是 ． 【变式1-5】无理数在两个相邻的整数之间的是 ( ) A．5和6 B．4和5 C．3和4 D．2和3 ▌题型02 实数中的小数点变化规律 类比平方数和立方数的变化规律，可以得到平方根和立方根的变化规律. 对于，若a扩大100倍，则x扩大10倍. 对于，若a扩大1000倍，则x扩大10倍. 【典例2】如何迅速准确地计算出四位数的算术平方根呢？按照下面思路你也能办到． (1)以下是小明探究的过程，请补充完整： ①由，可以确定是位数； ②由的个位上的数是，可以确定的个位上的数是或； ③如果划去后面的两位得到数，而，，可以确定的十位上的数是；因，而，所以选择较小的个位数字，则__________． (2)已知也是一个整数的平方，请根据材料的方法求出，并说明理由． 【变式2-1】（1）观察发现： … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … 表格中 ， ． （2）归纳总结： 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向______移动______位． （3）规律运用： ①已知，则______； ②已知，则m＝______． 【变式2-2】（25-26八年级上·福建厦门·期中）根据表中的信息判断，下列结论中错误的个数是（ ） 15 ①；②235的算术平方根比小；③；④根据表中数据的变化趋势，可以推断出比增大 A．一个 B．两个 C．三个 D．四个 【变式2-3】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知，.则（   ） A． B． C． D． 【变式2-4】已知，，则的值约为（     ） A． B． C． D． 【变式2-5】（25-26八年级上·江苏南通·期中）已知≈2.236，不再利用其他工具，能确定出近似值的是（    ） A． B． C． D． ▌题型03 二次根式的性质 1.平方根：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 2.算数平方根的双重非负性：对于，被开方数a≧0，算数平方根≧0。 3.两个式子：=a （a为非负数），=｜a｜=a （a可以是任何实数） 【典例3】已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则的值为（    ） A．2 B．4 C．25 D． 【变式3-1】计算：已知 满足 ，求 的值． （写清过程） 【变式3-2】已知x,y为实数，且，求的值. 【变式3-3】若，求的值． 【变式3-4】已知是整数，则自然数x的所有取值为 ． 【变式3-5】已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式3-6】已知实数在数轴上的位置如图所示：则 ． 【变式3-7】实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 【变式3-8】如果，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-9】化简： ． 【变式3-10】已知，化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． ▌题型04 最简二次根式和同类二次根式 1.最简二次根式 ①被开方数不含分母，例：、； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，例：。 2.同类二次根式 同类二次根式是指至少两个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同则称为同类二次根式。 判断时需先将所有根式化简为最简形式，再比较被开方数是否一致。同类二次根式与同类项均具有合并特性，合并法则均为保持根式（或字母）不变、系数相加减。但两者判断依据不同：前者仅取决于化简后被开方数的同一性，而后者需字母及其指数均对应相同。 【典例4】下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】下列二次根式中，最简二次根式的是（   ）. A． B． C． D． 【变式4-2】下列根式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知a是正整数，是整数，则a的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4-4】已知n是正整数，是整数，则n的最小值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．7 【变式4-5】下列根式中与其他三个不同类的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-6】如果二次根式与是同类二次根式，那么满足条件的中最小正整数是 ． 【变式4-7】如果两个最简二次根式与是同类二次根式，那么使有意义的x的取值范围是 ． 【变式4-8】与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 实数的性质和计算 （题型突破·举一反三） ▌题型01 实数的估算 【典例1】 【答案】C 【分析】此题考查了估算无理数的大小，由可得，结合表格数据即可求解，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， 故选：． 【变式1-1】 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算． 先确定，再利用算术平方根的性质即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即： 故选：C． 【变式1-2】 【答案】C 【分析】先根据16＜17＜25估算出的范围，进而得出的范围即可得答案． 【详解】∵16＜17＜25， ∴， ∴4＜＜5， ∴2＜＜3， ∴数轴上表示的点在点和点之间， 故选：C． 【变式1-3】 【答案】7 【分析】本题考查无理数的估算，根据与10最接近，与6最接近，且，得到与a的最接近的两个整数是3和4，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ， 与的最接近的两个整数是3和4， ∴． 故答案为：． 【变式1-4】 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，估算无理数的大小即可得出答案，估算无理数的大小是解题的关键． 【详解】解：∵，∴不符合题意， ∵，∴符合题意， ∵，∴不符合题意， ∵，∴不符合题意， 故答案为：． 【变式1-5】 【答案】D 【详解】试题分析：由题意分析可知，本题中主要考查与相邻数字的知识，由题知，，所以，故该无理数在2和3之间，所以选D 考点：无理数大小的比较 ▌题型02 实数中的小数点变化规律 【典例2】 【答案】(1)①两；②，；③ (2)，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根； （1）根据所提供的方法进行计算即可； （2）按照（1）中的步骤和方法进行计解答即可． 【详解】（1）解：①由，可以确定是两位数； ②由的个位上的数是，可以确定的个位上的数是或； ③如果划去后面的两位得到数，而，，可以确定的十位上的数是；因，而， 所以选择较小的个位数字，则 ． 故答案为：①两；②，；③； （2）已知也是一个整数的平方，根据材料的方法求出的过程如下： ①由，可以确定是两位数； ②由的个位上的数是，可以确定的个位上的数是或； ③如果划去后面的两位得到数，而，，可以确定的十位上的数是；因，而， 所以选择较大的个位数字，则 ． 【变式2-1】 【答案】（1）0.1；10  （2）右；1   （3）① ②25 【分析】本题考查算术平方根中的规律探索题： （1）直接计算即可； （2）观察（1）中表格数据，找出规律； （3）利用（2）中找出的规律求解． 【详解】解：（1），， 故答案为：，10； （2）由表格中的数据可知被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． 故答案为：右，1； （3）①已知，则， ②已知，，则， ∴ 故答案为：①22.4；②25． 【变式2-2】 【答案】C 【分析】根据表格中的信息可知和其对应的算术平方根的值，然后依次判断各选项即可． 【详解】解：①，故本选项正确，不符合题意； ②235的算术平方根比15.3大，故本选项错误，符合题意； ③，故本选项错误，符合题意； ④根据表中数据的变化趋势，可以推断出比增大3.15，故本选项错误，符合题意． 故选：C． 【变式2-3】 【答案】A 【分析】根据算术平方根的小数点的移动规律可知进而即可解答． 【详解】解：∵是向右移动位得到的， ∴， ∵， ∴， 故选． 【变式2-4】 【答案】A 【分析】根据根号内的小数点的移动规律即可求解，算术平方根的移动规律为：根号内的小数点移动两位，对应的结果小数点移动一位，小数点移动方向保持一致． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 【变式2-5】 【答案】C 【分析】根据被开方数的小数点每移动两位数，那么其算术平方根的小数点相应的移动一位数进行解答即可． 【详解】解：A、，小数点向左移动了一位数，不能得出其近似值； B、，小数点向右移动了一位数，不能得出其近似值； C、，小数点向右移动了两位数，算术平方根相应的向右移动一位数，得到其近似值为22.36； D、，小数点向右移动了三位数，不能得出其近似值； 故选：C． ▌题型03 二次根式的性质 【典例3】 【答案】C 【分析】本题考查平方根．根据一个正数的两个平方根互为相反数，求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴； 故选C． 【变式3-1】 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，绝对值，偶次方，算术平方根的非负性的应用，求解代数式的值，掌握非负数的性质是解本题的关键． 根据偶次幂与算术平方根的非负性，求得代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵满足 ， ∴，，， ∴， 解得：， ∴； 【变式3-2】 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，得到 ，求出x，y的值，即可解答． 【详解】依题意：， ∴，此时， 原式= . 故答案为 . 【变式3-3】 【答案】3 【分析】本题考查了利用算术平方根的非负性求解，求一个数的算术平方根，根据开方数是非负数得出关于x的不等式组，求出x的值， 再根据式子求出y的值，最后代入求出的算术平方根即可． 【详解】解：由被开方数是非负数，得 解得：， ∴， ∴． ∴ 【变式3-4】 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如（）的式子叫做二次根式，还考查了二次根式的性质：．由已知可得且为完全平方数求解． 【详解】解：由已知得， 又∵为整数 为完全平方数， 或或或 自然数x的所有取值为：． 【变式3-5】 【答案】B 【分析】本题考查了实数的数轴表示，二次根式以及绝对值的化简，熟练掌握二次根式和绝对值的性质是解题的关键．根据数轴可知，，进而得到，，根据二次根式的性质，以及绝对值的性质进行化简计算即可． 【详解】解：根据实数a，b在数轴上的位置可得：，， ，， ，，， ， 故选：B． 【变式3-6】 【答案】0 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的性质，根据数轴判断出、、的情况是解题的关键． 根据数轴判断出、、的正负情况以及绝对值的大小，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算即可得解． 【详解】解：由图可知：，而且， ， ， 故答案为：0． 【变式3-7】 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的化简，先根据数轴确定，的范围，再根据二次根式的性质进行化简，即可解答，解决本题的关键是根据数轴确定，的范围． 【详解】解：由数轴可得：，， 原式 ． 故答案为：． 【变式3-8】 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式的意义，熟练掌握二次根式是解题的关键．根据得到，即可得到答案． 【详解】解：， ， 解得， 故选D． 【变式3-9】 【答案】 【分析】根据二次根式性质：被开方式非负得到，解得，根据化简即可得到答案． 【详解】解： ， ， ， ， 故答案为：． 【变式3-10】 【答案】B 【分析】首先根据二次根式有意义的条件求得的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴≥0 ∴≥0 ∵≥0 ∴≥0 ∴， 故选：B． ▌题型04 最简二次根式和同类二次根式 【典例4】 【答案】D 【分析】利用最简二次根式定义判断即可． 【详解】解：A、，故不是最简二次根式，故选项错误； B、，故不是最简二次根式，故选项错误； C、，故不是最简二次根式，故选项错误； D、是最简二次根式，故选项正确； 故选D． 【变式4-1】 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的识别，解题关键是掌握二次根式满足的条件：①被开方数的因数是整数，字母因式是整式；②被开方数不能含开得尽方的因数或因式．据此逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，故A选项不是最简二次根式，不符合题意； B、，是最简二次根式，符合题意； C、，故C选项不是最简二次根式，不符合题意； D、，故D选项不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【变式4-2】 【答案】A 【分析】本题考查的是最简二次根式，二次根式的化简，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念逐一判断即可解题． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、不是最简二次根式，不符合题意； C、不是最简二次根式，不符合题意； D、不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 【变式4-3】 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的意义，根据是正整数，是正整数，得出是一个完全平方数，再将分解质因数，即可得出结果． 【详解】解： 是正整数，是正整数， 是一个完全平方数， ， 是一个完全平方数， 的最小值为6， 故选：D． 【变式4-4】 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次根式的定义，做题的关键是推导“是个完全平方数”．首先把进行化简，然后根据是整数确定n的最小值． 【详解】解：∵，且是整数， ∴是个完全平方数，(完全平方数是能表示成一个整数的平方的数) ∴n的最小值是2． 故选：B． 【变式4-5】 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的定义判断即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】、； 、由； 、由 ； 、由； 通过化简比较可知，与其他三个选项不同类， 故选：． 【变式4-6】 【答案】4 【分析】根据同类二次根式的概念列式计算，得到答案． 【详解】解：当5m+8=7时，m=-，不合题意， 当=2，即5m+8=28时，m=4， ∴与是同类二次根式，那么m的最小正整数是4， 故答案为：4． 【变式4-7】 【答案】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的概念、二次根式的性质等知识点，掌握二次根式的性质成为解题的关键． 先根据同类二次根式的定义列方程求出a的值，代入，再根据二次根式的定义列出不等式求解即可． 【详解】解：∵最简根式与是同类二次根式， ∴，解得：， ∵有意义， ∴，即，解得：． 故答案为：． 【变式4-8】 【答案】2 【分析】本题考查了同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式，掌握知识点是解题关键．先把化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义得到，然后解方程即可． 【详解】解： ， 又 与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得， 故答案为：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 实数的性质和计算 （题型突破·举一反三） 题型01 实数的估算 题型02 实数中的小数点变化规律 题型03 二次根式的性质 题型04 最简二次根式和同类二次根式 ▌题型01 实数的估算 对于二次根式的估算，可以通过平方数逐步进行。若，则。 常见无理数的近似值：，，。 【典例1】观察表格中的数据： 由表格中的数据可知在哪两个数之间（    ） A．在和之间 B．在和之间 C．在和之间 D．在和之间 【答案】C 【分析】此题考查了估算无理数的大小，由可得，结合表格数据即可求解，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， 故选：． 【变式1-1】估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算． 先确定，再利用算术平方根的性质即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即： 故选：C． 【变式1-2】在如图所示的数轴上表示的点在（    ） A．点和点之间 B．点和点之间 C．点和点之间 D．点和点之间 【答案】C 【分析】先根据16＜17＜25估算出的范围，进而得出的范围即可得答案． 【详解】∵16＜17＜25， ∴， ∴4＜＜5， ∴2＜＜3， ∴数轴上表示的点在点和点之间， 故选：C． 【变式1-3】已知，则与的最接近的两个整数的和为 ． 【答案】7 【分析】本题考查无理数的估算，根据与10最接近，与6最接近，且，得到与a的最接近的两个整数是3和4，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ， 与的最接近的两个整数是3和4， ∴． 故答案为：． 【变式1-4】把无理数，，，表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，估算无理数的大小即可得出答案，估算无理数的大小是解题的关键． 【详解】解：∵，∴不符合题意， ∵，∴符合题意， ∵，∴不符合题意， ∵，∴不符合题意， 故答案为：． 【变式1-5】无理数在两个相邻的整数之间的是 ( ) A．5和6 B．4和5 C．3和4 D．2和3 【答案】D 【详解】试题分析：由题意分析可知，本题中主要考查与相邻数字的知识，由题知，，所以，故该无理数在2和3之间，所以选D 考点：无理数大小的比较 ▌题型02 实数中的小数点变化规律 类比平方数和立方数的变化规律，可以得到平方根和立方根的变化规律. 对于，若a扩大100倍，则x扩大10倍. 对于，若a扩大1000倍，则x扩大10倍. 【典例2】如何迅速准确地计算出四位数的算术平方根呢？按照下面思路你也能办到． (1)以下是小明探究的过程，请补充完整： ①由，可以确定是位数； ②由的个位上的数是，可以确定的个位上的数是或； ③如果划去后面的两位得到数，而，，可以确定的十位上的数是；因，而，所以选择较小的个位数字，则__________． (2)已知也是一个整数的平方，请根据材料的方法求出，并说明理由． 【答案】(1)①两；②，；③ (2)，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根； （1）根据所提供的方法进行计算即可； （2）按照（1）中的步骤和方法进行计解答即可． 【详解】（1）解：①由，可以确定是两位数； ②由的个位上的数是，可以确定的个位上的数是或； ③如果划去后面的两位得到数，而，，可以确定的十位上的数是；因，而， 所以选择较小的个位数字，则 ． 故答案为：①两；②，；③； （2）已知也是一个整数的平方，根据材料的方法求出的过程如下： ①由，可以确定是两位数； ②由的个位上的数是，可以确定的个位上的数是或； ③如果划去后面的两位得到数，而，，可以确定的十位上的数是；因，而， 所以选择较大的个位数字，则 ． 【变式2-1】（1）观察发现： … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … 表格中 ， ． （2）归纳总结： 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向______移动______位． （3）规律运用： ①已知，则______； ②已知，则m＝______． 【答案】（1）0.1；10  （2）右；1   （3）① ②25 【分析】本题考查算术平方根中的规律探索题： （1）直接计算即可； （2）观察（1）中表格数据，找出规律； （3）利用（2）中找出的规律求解． 【详解】解：（1），， 故答案为：，10； （2）由表格中的数据可知被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． 故答案为：右，1； （3）①已知，则， ②已知，，则， ∴ 故答案为：①22.4；②25． 【变式2-2】（25-26八年级上·福建厦门·期中）根据表中的信息判断，下列结论中错误的个数是（ ） 15 ①；②235的算术平方根比小；③；④根据表中数据的变化趋势，可以推断出比增大 A．一个 B．两个 C．三个 D．四个 【答案】C 【分析】根据表格中的信息可知和其对应的算术平方根的值，然后依次判断各选项即可． 【详解】解：①，故本选项正确，不符合题意； ②235的算术平方根比15.3大，故本选项错误，符合题意； ③，故本选项错误，符合题意； ④根据表中数据的变化趋势，可以推断出比增大3.15，故本选项错误，符合题意． 故选：C． 【变式2-3】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知，.则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据算术平方根的小数点的移动规律可知进而即可解答． 【详解】解：∵是向右移动位得到的， ∴， ∵， ∴， 故选． 【变式2-4】已知，，则的值约为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根号内的小数点的移动规律即可求解，算术平方根的移动规律为：根号内的小数点移动两位，对应的结果小数点移动一位，小数点移动方向保持一致． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 【变式2-5】（25-26八年级上·江苏南通·期中）已知≈2.236，不再利用其他工具，能确定出近似值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据被开方数的小数点每移动两位数，那么其算术平方根的小数点相应的移动一位数进行解答即可． 【详解】解：A、，小数点向左移动了一位数，不能得出其近似值； B、，小数点向右移动了一位数，不能得出其近似值； C、，小数点向右移动了两位数，算术平方根相应的向右移动一位数，得到其近似值为22.36； D、，小数点向右移动了三位数，不能得出其近似值； 故选：C． ▌题型03 二次根式的性质 1.平方根：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 2.算数平方根的双重非负性：对于，被开方数a≧0，算数平方根≧0。 3.两个式子：=a （a为非负数），=｜a｜=a （a可以是任何实数） 【典例3】已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则的值为（    ） A．2 B．4 C．25 D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根．根据一个正数的两个平方根互为相反数，求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴； 故选C． 【变式3-1】计算：已知 满足 ，求 的值． （写清过程） 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，绝对值，偶次方，算术平方根的非负性的应用，求解代数式的值，掌握非负数的性质是解本题的关键． 根据偶次幂与算术平方根的非负性，求得代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵满足 ， ∴，，， ∴， 解得：， ∴； 【变式3-2】已知x,y为实数，且，求的值. 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，得到 ，求出x，y的值，即可解答． 【详解】依题意：， ∴，此时， 原式= . 故答案为 . 【变式3-3】若，求的值． 【答案】3 【分析】本题考查了利用算术平方根的非负性求解，求一个数的算术平方根，根据开方数是非负数得出关于x的不等式组，求出x的值， 再根据式子求出y的值，最后代入求出的算术平方根即可． 【详解】解：由被开方数是非负数，得 解得：， ∴， ∴． ∴ 【变式3-4】已知是整数，则自然数x的所有取值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如（）的式子叫做二次根式，还考查了二次根式的性质：．由已知可得且为完全平方数求解． 【详解】解：由已知得， 又∵为整数 为完全平方数， 或或或 自然数x的所有取值为：． 【变式3-5】已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的数轴表示，二次根式以及绝对值的化简，熟练掌握二次根式和绝对值的性质是解题的关键．根据数轴可知，，进而得到，，根据二次根式的性质，以及绝对值的性质进行化简计算即可． 【详解】解：根据实数a，b在数轴上的位置可得：，， ，， ，，， ， 故选：B． 【变式3-6】已知实数在数轴上的位置如图所示：则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的性质，根据数轴判断出、、的情况是解题的关键． 根据数轴判断出、、的正负情况以及绝对值的大小，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算即可得解． 【详解】解：由图可知：，而且， ， ， 故答案为：0． 【变式3-7】实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的化简，先根据数轴确定，的范围，再根据二次根式的性质进行化简，即可解答，解决本题的关键是根据数轴确定，的范围． 【详解】解：由数轴可得：，， 原式 ． 故答案为：． 【变式3-8】如果，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式的意义，熟练掌握二次根式是解题的关键．根据得到，即可得到答案． 【详解】解：， ， 解得， 故选D． 【变式3-9】化简： ． 【答案】 【分析】根据二次根式性质：被开方式非负得到，解得，根据化简即可得到答案． 【详解】解： ， ， ， ， 故答案为：． 【变式3-10】已知，化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据二次根式有意义的条件求得的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴≥0 ∴≥0 ∵≥0 ∴≥0 ∴， 故选：B． ▌题型04 最简二次根式和同类二次根式 1.最简二次根式 ①被开方数不含分母，例：、； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，例：。 2.同类二次根式 同类二次根式是指至少两个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同则称为同类二次根式。 判断时需先将所有根式化简为最简形式，再比较被开方数是否一致。同类二次根式与同类项均具有合并特性，合并法则均为保持根式（或字母）不变、系数相加减。但两者判断依据不同：前者仅取决于化简后被开方数的同一性，而后者需字母及其指数均对应相同。 【典例4】下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用最简二次根式定义判断即可． 【详解】解：A、，故不是最简二次根式，故选项错误； B、，故不是最简二次根式，故选项错误； C、，故不是最简二次根式，故选项错误； D、是最简二次根式，故选项正确； 故选D． 【变式4-1】下列二次根式中，最简二次根式的是（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的识别，解题关键是掌握二次根式满足的条件：①被开方数的因数是整数，字母因式是整式；②被开方数不能含开得尽方的因数或因式．据此逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，故A选项不是最简二次根式，不符合题意； B、，是最简二次根式，符合题意； C、，故C选项不是最简二次根式，不符合题意； D、，故D选项不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【变式4-2】下列根式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是最简二次根式，二次根式的化简，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念逐一判断即可解题． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、不是最简二次根式，不符合题意； C、不是最简二次根式，不符合题意； D、不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 【变式4-3】已知a是正整数，是整数，则a的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的意义，根据是正整数，是正整数，得出是一个完全平方数，再将分解质因数，即可得出结果． 【详解】解： 是正整数，是正整数， 是一个完全平方数， ， 是一个完全平方数， 的最小值为6， 故选：D． 【变式4-4】已知n是正整数，是整数，则n的最小值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．7 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次根式的定义，做题的关键是推导“是个完全平方数”．首先把进行化简，然后根据是整数确定n的最小值． 【详解】解：∵，且是整数， ∴是个完全平方数，(完全平方数是能表示成一个整数的平方的数) ∴n的最小值是2． 故选：B． 【变式4-5】下列根式中与其他三个不同类的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的定义判断即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】、； 、由； 、由 ； 、由； 通过化简比较可知，与其他三个选项不同类， 故选：． 【变式4-6】如果二次根式与是同类二次根式，那么满足条件的中最小正整数是 ． 【答案】4 【分析】根据同类二次根式的概念列式计算，得到答案． 【详解】解：当5m+8=7时，m=-，不合题意， 当=2，即5m+8=28时，m=4， ∴与是同类二次根式，那么m的最小正整数是4， 故答案为：4． 【变式4-7】如果两个最简二次根式与是同类二次根式，那么使有意义的x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的概念、二次根式的性质等知识点，掌握二次根式的性质成为解题的关键． 先根据同类二次根式的定义列方程求出a的值，代入，再根据二次根式的定义列出不等式求解即可． 【详解】解：∵最简根式与是同类二次根式， ∴，解得：， ∵有意义， ∴，即，解得：． 故答案为：． 【变式4-8】与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式，掌握知识点是解题关键．先把化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义得到，然后解方程即可． 【详解】解： ， 又 与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得， 故答案为：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $