专题6.3角（知识点总结+12大题型+解题技巧）易错点重难点培优同步讲义2025-2026学年人教版数学七年级上册

本讲义系统梳理角的核心知识点，从静态动态定义、锐角到周角的分类入手，涵盖三种表示方法及适用条件，度分秒60进制换算，余角补角定义性质，角平分线应用，延伸到方位角、钟面角等实际场景，再到三角板拼角、双角平分线模型等提升内容，构建从概念到综合探究的学习支架。 资料亮点在于分层设计12个题型，每个题型含核心知识点、考点、易错点及解题技巧，例题与变式题结合。通过方位角描述、钟面角计算培养数学眼光，动角分类讨论发展推理意识，规范表示方法与模型总结提升数学语言。课中辅助教师系统授课，课后同步练习助力学生查漏补缺，提升角的综合应用能力。

6.3角 【题型1】角的定义与分类 1.核心知识点总结 静态：公共端点+两条射线；动态：射线绕端点旋转形成。 分类：锐角（）、直角（）、钝角（）、平角（）、周角（）。 关键：平角≠直线，周角≠射线。 2.高频考点梳理 判断是否为角；识别平角、周角；根据旋转判断角的类型。 3.易错点警示 混淆平角与直线、周角与射线；误将归为钝角。 4.解题技巧拆解 判角：紧扣“公共端点+两条射线”；区分：平角有顶点，直线无顶点。 【例题1】．（2024七年级上·全国·专题练习）在下列说法中，正确的是（   ） ①两条射线组成的图形叫作角；    ②角的大小与边的长短有关； ③角的两边可以一样长，也可以一长一短；    ④角的两边是两条射线． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查角的定义，根据角的定义，进行判断即可． 【详解】解：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；故①错误； 角的大小与边的长短无关；故②错误； 角的两边是两条射线，无法比较长短；故③错误； 角的两边是两条射线．故④正确； 故选：D． 【变式题1-1】．（24-25七年级上·全国·课后作业）看图，回答下列问题： (1)图中共有多少个角？ (2)请分别写出图中的锐角、直角和钝角． 【答案】(1)10个 (2)见解析 【分析】本题考查角度的概念及分类； （1）列举出来图形中所有的角度即可； （2）根据锐角、直角和钝角的定义分类即可． 【详解】（1）解：图中角有：、、、、、、、、、，共有10个角； （2）解：直角是， 锐角是， 钝角是． 【变式题1-2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列四个图中，对于图形的描述正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了角的表示方法、周角和平角的定义以及射线，熟练掌握相关概念是解题关键．根据角的表示方法、周角和平角的定义以及射线的概念逐个判断即可得． 【详解】解：第1个图形：表示应该是，则原描述错误； 第2个图形：射线绕点旋转一周形成，符合周角的定义，则原描述正确； 第3个图形：的两边在同一直线上且方向相反，符合平角的定义，则原描述正确； 第4个图形：射线是从点出发向点方向延伸的线，周角是角的一种概念，射线不是周角，则原描述错误； 综上，对于图形的描述正确的有2个， 故选：B． 【变式题1-3】．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列说法错误的是（　　） A．角是由两条有公共端点的射线组成的图形 B．周角的一半叫平角 C．可转化为 D．直线是平角 【答案】D 【分析】本题考查了角的相关概念及度分秒的换算，熟练掌握角的相关概念及度分秒的换算是解题的关键．根据角的相关概念及度分秒的换算逐项分析判断，即可判断答案． 【详解】A、角是由有公共端点的两条射线组成的图形，此说法正确，不符合题意； B、周角的一半是平角，此说法正确，不符合题意； C、，所以此说法正确，不符合题意； D、直线不是平角，此说法不正确，符合题意． 故选D． 【题型2】角的表示方法 1.核心知识点总结 表示方法 适用条件 示例 三个大写字母 任意角（顶点在中间） 一个大写字母 顶点处仅一个角 希腊字母/数字 标注弧线 、 2.高频考点梳理 选择正确表示方法；写出指定条件的角。 3.易错点警示 顶点多角时用单个大写字母；三个字母表示时顶点未在中间。 4.解题技巧拆解 先看顶点角的个数，再选择表示方法；三个字母固定顶点在中间。 【例题2】．（24-25七年级上·全国·课后作业）图中能用三种方法表示同一个角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的概念和角的表示方法的理解和掌握．角的表示方法有三种：（1）用三个字母及符号“”来表示．中间的字母表示顶点，其它两个字母分别表示角的两边上的点．（2）用一个数字表示一个角．（3）用一个字母表示一个角．具体用哪种方法，要根据角的情况进行具体分析，总之表示要明确，不能使人产生误解． 【详解】解：在选项A、B、D中，以点C为顶点的角不只有一个，如果用表示，容易使人产生歧义，无法让人明确到底表示哪个角； 只有选项C能用，，三种方法表示同一个角，不会使人产生歧义． 故选：C． 【变式题2-1】．（24-25六年级下·山东泰安·月考）下列四个图形中，能用三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的概念，准确识图，熟练掌握角的表示方法是解题的关键．结合各选项中的图形，根据角的表示方法即可得出答案． 【详解】解：A、图中的，可以用表示，不能用表示，故该选项不符合题意； B、图中的，可以用表示，也能用表示，故该选项符合题意； C、图中的，可以用表示，不能用表示，故该选项不符合题意； D、图中的，可以用表示，不能用表示，故该选项不符合题意； 故选：B ． 【变式题2-2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，有下列说法：①和是同一个角；②和是同一个角；③和是同一个角；④和是同一个角．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了角的概念和角的表示方法，掌握角的概念是解题的关键． 根据角的概念和角的表示方法回答即可． 【详解】解：和是同一个角，①正确； 和是同一个角，②正确； 和是对顶角，但不是同一个角，③错误； 和不是同一个角，④错误， 正确的有两个，为①②． 故选：B ． 【变式题2-3】．（24-25七年级上·全国·随堂练习）老师提出了以下问题：如图所示，请用恰当的方法表示图中给出的所有角（小于平角的角），某组同学在本组展示区的答案是：，，，，． 思考分析后，分别解答下列问题： (1)有位同学认为答案中有错误，你是否认同他的观点？ _______．（填“认同”或“不认同”） (2)如果你认为有错误，错误的答案为______________． (3)另一位同学认为答案不完整，还有符合要求的角没表示出来，请你将答案修改补充完整，图中还有_________________________________________________． 【答案】(1)认同 (2) (3)，， 【分析】本题主要考查了角的表达方式，即角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示，其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，角还可以用一个希腊字母或阿拉伯数字表示，熟练掌握角的表达方式是解题关键． （1）根据角的表达方式即可判断表达有错误； （2）根据角的表达方式即可判断表达有错误； （3）根据角的表达方式即可求解． 【详解】（1）解：其中表达有错误，所以我认同他的观点． 故答案为：认同． （2）解：表达有错误， 故答案为：． （3）解：应改为：，； 图中还有没表示出来． 故答案为：，，． 【题型3】度分秒的换算 1.核心知识点总结 进制：，，。 换算：高级→低级×60；低级→高级÷60。 2.高频考点梳理 度分秒与小数度互化；度分秒加减乘除运算。 3.易错点警示 误用10进制换算；加减未借位/进位；乘除未统一单位。 4.解题技巧拆解 互化：先整数后小数，按60进制换算；运算：度分秒对齐，满60进1，借1当60。 【例题3】．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）把化成用度表示的角； （2）把化成用度、分、秒表示的角． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了度分秒之间的转化，熟练掌握度分秒的关系是解题的关键． （1）先把分化成度，再加上原来的度数即可； （2）把度化成分，即可得到答案． 【详解】解：（1）先把化成度，即，所以． （2）因为，所以，因此． 【变式题3-1】．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1) ； (2) ＝ ； (3) ° ． 【答案】(1)75 (2)120，2 (3)35，9，0 【分析】本题考查了角的单位转换，解题关键是明确角的进制，熟练进行单位转换． （1）把乘以60化为分即可； （2）把除以60化为分，再把除以60化为度即可； （3）把乘以60化为分即可； 【详解】（1）解：， 故答案为：75； （2）解：， 故答案为：120，2； （3）解：∵， ∴， 故答案为：35，9，0． 【变式题3-2】．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）比较大小： 填“>”“<”或“=” 【答案】> 【分析】本题主要考查角度制换算和角的大小比较，通过将角度统一单位为度后比较大小。 【详解】∵ = = ， 又∵ ， ∴ ． 【变式题3-3】．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了角的度数大小比较，熟练掌握角度的单位进制是解题关键．根据，将转化为，由此即可得． 【详解】解：， ， 故， 故答案为：． 【题型4】余角与补角的基础计算 1.核心知识点总结 定义：互余(和)，互补(和)。 性质：同角(等角)的余角/补角相等；补角比余角大。 2.高频考点梳理 求余角/补角；利用性质判角的关系；方程求角。 3.易错点警示 混淆余角()与补角()；单独角称余角/补角。 4.解题技巧拆解 直接算：余角，补角；方程法：设角列等式求解。 【例题4】．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）若的余角是，则的大小是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了余角的定义，根据互为余角的两个角的和为求解即可． 【详解】解：因为的余角是， 所以， 故选：B． 【变式题4-1】．（20-21七年级上·陕西西安·期末）若的余角是，则的补角用度、分、秒表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查与余角和补角有关的计算，根据和为90度的两个角互余，和为180度的两个角互补，进行求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴的补角为， ∵， ∴的补角为； 故答案为：． 【变式题4-2】．（25-26七年级上·河北唐山·期中）已知四个点A，B，C，D和射线，根据下列要求画图． (1)画线段． (2)画射线． (3)在的内部画射线，使． (4)画的补角．（画出一种情况即可） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查作图——复杂作图，解题的关键是理解直线，射线，线段、角、补角的定义． （1）连接即可； （2）连接并延长即可； （3）在的内部画射线，并靠近即可； （4）延长即可． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求． （2）如图，射线即为所求． （3）如图，射线即为所求． （4）如图，即为所求（答案不唯一）． 【变式题4-3】．（24-25七年级上·广东肇庆·期末）（1）列方程求解：把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本．问这个班有多少学生？这些图书共有多少本？ （2）列方程求解：一个角的余角比这个角的补角的三分之一多，求这个角的大小． 【答案】（1）这个班有45名学生，图书有155本；（2）这个角是 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目中的等量关系列出方程，再求解． （1）设这个班有x个学生，根据总本数相等和每人分3本，剩余20本，每人分4本，缺25本，可列出方程，求解即可． （2）设这个角为，根据一个角的余角比这个角的补角的三分之一多，可列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设这个班有x个学生， 则：， 解得， 图书：， 答：这个班有45名学生，图书有155本． （2）解：设这个角为， 依题意得：， 解得：， 答：这个角是． 【题型5】角的平分线的基础应用 1.核心知识点总结 定义：射线分角为两个相等角(平分→)。 2.高频考点梳理 已知平分线求角；判断是否为平分线；结合和差求复合角。 3.易错点警示 未确认射线在角内部；误将线段当角平分线。 4.解题技巧拆解 标注已知角与平分线；列等式：；逆向需证“相等+内部”。 【例题5】．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，，，平分． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了几何图形中角的计算，角平分线的定义； （1）根据题意，，，即可得出，再根据计算即可得出答案； （2）根据角平分线求出，由，即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）平分． ， ， ，， ， ． 【变式题5-1】．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知，平分，是直角，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了角的计算，以及角平分线定义，熟练掌握角平分线定义是解本题的关键． 先由角平分线得到，再由求解即可． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵是直角， ∴， ∴． 【变式题5-2】．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图所示，把平角放置在量角器上，O与量角器的中心重合，射线分别对准刻度和，在内部做射线，使平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分线，角的运算；先求出，再根据角平分线的性质得到，再结合计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵平分， ∴， ∵ ∴， 故选：D． 【变式题5-3】．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）如图所示，两块三角板的直角顶点O重叠在一起，且恰好平分，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，三角板中的角的和差计算． 根据三角板得到，由角平分线得到，再由即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∵恰好平分， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型6】方位角的识别与计算 1.核心知识点总结 定义：以正北/正南为基准，表述为“北/南偏东/西”。 特殊方位：东北=北偏东(同理西北、东南、西南)。 2.高频考点梳理 描述方位；计算两方位角夹角；结合实际确定方位。 3.易错点警示 方位顺序颠倒(如“东偏北”)；基准错用正东/正西。 4.解题技巧拆解 画十字线定基准；从正北/正南量角；夹角用平角/直角推导。 【例题6】．（25-26八年级上·湖北荆州·月考）如图，一艘轮船在海上由西往东行驶，在处测得灯塔位于北偏东方向，在处测得灯塔位于北偏东方向，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查方向角，理解方向角的定义以及三角形内角和定理是解决问题的关键． 根据方向角的定义，求出、，再根据三角形的内角和定理求出结果即可． 【详解】解：由方向角的定义可知，，， ． 故选：B． 【变式题6-1】．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，书店在超市的（   ）方向上． A．西偏北 B．北偏西 C．东偏南 D．南偏东 【答案】A 【分析】本题主要考查了方向角，熟练掌握方向角度的定义，采用数形结合的思想解题，是解决问题的关键． 根据方向角的定义即可直接解答． 【详解】解：书店在超市的西偏北方向上， 故选：A． 【变式题6-2】．（23-24七年级上·黑龙江绥化·期中）如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东的方向上，同时在它北偏东、西北（即北偏西）方向上又分别发现了客轮B和海岛C． (1)仿照表示灯塔方位的方法，分别画出表示客轮B和海岛C方向的射线，（不写作法）； (2)若有一艘渔船D，且是它补角的，则渔船D在货轮O的__________（写出方位角） 【答案】(1)画图见解析 (2)南偏东或北偏东 【分析】本题考查方位角以及补角的含义，一元一次方程的应用，解题关键在于熟悉方位角定义． （1）根据方向角的度数，再画图可得答案； （2）根据补角的含义，可得的度数，根据角的和差，可得方向角． 【详解】（1）解：客轮B和海岛C方向的射线，如图所示： ； （2）解：∵是它补角的， ∴, 解得：， 如图， 故D在O南偏东或北偏东． 【变式题6-3】．（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图，某轮船上午8：00时位于点A处，测得灯塔S在北偏东的方向上，向东行驶至中午12：00时，该轮船位于点B处，测得灯塔S在北偏西的方向上．请在图中画出灯塔S的位置． 【答案】 【分析】本题考查了方向角的定义，正确画出方位角，再结合三角形的内角和的性质求解． 根据方位角的概念，画图正确表示出方位角即可． 【详解】解：灯塔S的位置，如图所示： 【题型7】角的和差倍分计算(提升) 1.核心知识点总结 关系：；倍数：。 2.高频考点梳理 求未知角(分射线内外)；多个角和差计算；结合平分线计算。 3.易错点警示 未分类讨论射线位置；漏看隐含角关系(对顶角、邻补角)。 4.解题技巧拆解 标注图形；射线位置不明时分“内部/外部”；列等式代入已知角求解。 【例题7】．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知点在直线上，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的和差与度分秒的换算，解题的关键是掌握平角的定义以及度分秒的运算规则． 根据平角的定义，用减去和的度数，即可求出的度数． 【详解】解：因为点在直线上，所以， 将代入可得： ， 故选：A． 【变式题7-1】．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，将一副三角尺的两个锐角（角和角）的顶点叠放在一起，没有重叠的部分分别记作和，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，熟练掌握角的运算是解题关键．如图（见解析），根据题意可得，，则可得，代入计算即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式题7-2】．（25-26七年级上·四川成都·期中）（1）如图1，线段，延长到点，使，点M、N分别为的中点，求线段的长． （2）如图2，已知平分平分，求的度数． 【答案】（1）线段的长为，线段的长为 （2）的度数为 【分析】本题考查了两点之间的距离，关于角平分线的角度运算． （1）由题意可知，由点M、N分别为的中点，可得，，再根据，即可求出答案； （2）设，则，根据角平分线的性质可得，，由列方程，可求出x的值，进而即可求出的度数． 【详解】解：（1） ，， ， 点M、N分别为的中点， ，， ，； （2）设，则， 平分平分， ，， ， ， 解得， ． 【变式题7-3】．（25-26七年级上·江西吉安·期中）将一副直角三角尺如图放置． (1)若，求的大小； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查的是角度的和差计算，数形结合是解题的关键. （1）根据余角的概念求出，结合图形计算即可； （2）根据，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）证明：， ∴， ∴． 【题型8】钟面角的计算(提升) 1.核心知识点总结 转速：分针分，时针分。 夹角公式：(超用减)。 2.高频考点梳理 已知时刻求夹角；求旋转角度；已知夹角求时刻。 3.易错点警示 忽略时针分钟转动；夹角超未修正；漏分两种时刻情况。 4.解题技巧拆解 时刻夹角代公式；旋转角度=转速×时间；求时刻设未知数列方程。 【例题8】．（25-26七年级上·重庆·开学考试）每一堂数学课的时间为分钟，则在分钟时间内分针走过的角度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了钟表上的角度的计算，根据分钟分针走过角度为，从而即可求出分钟时间内分针走过的角度，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：因为分钟分针走过角度为， 所以分钟时间内分针走过的角度为， 故答案为：． 【变式题8-1】．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成较小角的度数． （2）每经过，时针转过多少度？每经过，分针转过多少度？ （3）上午10:10时，时针与分针所成的较小角是多少度？ 【答案】（1）巴黎：60°；伦敦：30°；北京：120°；东京：90° （2）每经过，时针转过；每经过，分针转过 （3） 【分析】（1）根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案； （2）根据时针小时旋转，可得时针的旋转速度；根据分针分钟旋转，可得分针的旋转角度； （3）根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案． 【详解】解：（1）巴黎时间时针与分针的夹角是； 伦敦时间时针与分针的夹角是； 北京时间时针与分针的夹角是； 东京时间时针与分针的夹角是； ∴巴黎：；伦敦：；北京：；东京：． （2）每经过，时针转过；每经过，分针转过． （3）上午10:10时，此时分针指向时钟刻度“2”，时针指向时钟刻度“10”偏右一点点． 分针与时钟刻度“12”所成的较小角是， 时针与时钟刻度“12”所成的较小角是． 故此时时针与分针所成的较小角是． 【点睛】本题考查了钟面角，利用时针与分针相距的份数乘以每份的度数，确定时针与分针相距的份数是解题关键． 【变式题8-2】．（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）如果现在是，那么经过 分钟，分针与时针第一次相遇． 【答案】 【分析】本题主要考查钟面角问题，熟练掌握时针与分针的速度以及追赶问题的求解方法是解题的关键． 先明确时针和分针的速度，再计算出时分针与时针的夹角，最后根据追赶问题公式求出相遇所需时间． 【详解】解：时针速度：/分钟， 分针速度：/分钟 时，时针与分针的夹角为： 设经过分钟，分针与时针第一次相遇，可得 ， ， ， 故答案为：． 【变式题8-3】．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）嘉琪在商场买了一块机械手表，爱钻研的嘉琪发现了手表上的数学问题，如图1所示是一块手表，可以看成如图2的数学模型（点A和点D是表带的两端，点A，B，C，D在同一条线段上）． (1)已知表盘直径为，，若B是中点，求的长度； (2)在某个时刻，分针指向表盘上的数字“4”．时针为，淇淇一看现在正好是，如图3所示．完成填空； ①时分针和时针夹角的度数_________； ②作射线，使，此时的度数_________； (3)如图4．自之后，始终是的角平分线（分针还是），在一小时以内，直接写出经过多少分钟后，的度数是． 【答案】(1)； (2)①；②或； (3)或. 【分析】（1）由中点的含义可得，结合，可得，再利用线段的和差可得答案； （2）①分针的速度为每分钟；时针的速度为每分钟，20分钟时针走的路程为， 再进一步列式计算即可；②如图，作射线，使，结合角的和差与平角的含义可得答案； （3）设经过时间为t分钟，而时针与分针得速度差为，可得，结合是的角平分线，可得，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵B是中点， ∴ ， ∴； ∵； ∴ ； ∴； ∴， ∴即的长度为； （2）①分针的速度为每分钟；时针的速度为每分钟， 20分钟时针走的路程为，即时针从6点到分走的路程为， ∵每个大格是，6时和4时相隔两个大格，则 ∴时分针和时针夹角的度数： ，即时分针和时针夹角的度数为； 故答案为：； ②如图；作射线，使 当在如图位置处时，则：； 当在如图位置处时，则：； 故答案为：或； （3）设经过时间为t分钟，而时针与分针的速度差为， ∴ ， ∵是的角平分线， ∴， ∴或， 解得或． ∴经过分钟或分钟后，的度数是． 【点睛】本题考查的是线段的和差运算，线段的中点的含义，角的和差运算，角平分线的定义，一元一次方程的应用，理解题意是关键． 【题型9】三角板拼角与旋转(提升) 1.核心知识点总结 三角板内角：和。 拼角：整数倍(和/差)；旋转：对应角相等，重叠角=原角-旋转角。 2.高频考点梳理 判断可拼角度；求旋转后重叠角/复合角。 3.易错点警示 拼角仅考虑和忽略差；旋转后未找准对应角。 4.解题技巧拆解 拼角：拆分为三角板内角和/差；旋转：标注对应角，用原角-旋转角求重叠角。 【例题9】．（25-26七年级上·福建福州·月考）如图是用一副三角板拼成的图形，则图中 ． 【答案】45 【分析】本题主要利用三角板的知识以及平角是180度解决问题．一副三角尺中有一个是等腰直角三角形，度数分别是，，，另一个是直角三角形，度数分别是，和，熟记各个角的度数是解答此类题的关键． 【详解】解：， 故答案为：45． 【变式题9-1】．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，利用带角的三角板比较和的大小，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】本题主要考查角的大小比较，掌握利用中间角比较角的大小是关键． 由图知，，故可比较大小． 【详解】解：图中为带角的三角板， ，， ． 故选：A． 【变式题9-2】．（25-26九年级上·广东·期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起（其中，，；） (1)若，则的度数为_____； (2)若点在的上方，设（），求．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是补角和余角的定义，掌握图形相关角的和与差的关系是解题的关键． （1）利用角的和与差的关系即可求值； （2）利用角的和与差的关系即可求值． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ． 故答案为：． （2）解：由题意得，， ， ． 【变式题9-3】．（24-25七年级上·四川泸州·期末）已知，在下列各图中，点为直线上一点，，直角三角板的直角顶点放在点处． (1)如图1，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方，求的度数． (2)如图2，三角板一边恰好在的角平分线上，另一边在直线的下方，求的度数． (3)延长线段得到射线，如图3，求、的度数． (4)将图1中的三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，求的值． 【答案】(1) (2) (3)， (4)或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，角的运算以及角平分线的定义，解题关键：一是理解角平分线的定义，二是确定旋转到某一条件时旋转的度数． （1）利用两角互补，即可得出结论； （2）根据平分， 可得出，由可求得的度数； （3）根据直角三角板MON各角的度数以及图中各角的关系即能得出结论. （4）根据题中条件算出旋转到射线和射线的延长线恰好平分锐角时所旋转的度数，再除以速度即可得的值. 【详解】（1）解：∵，与互补， ∴， ∵， ∴. （2）解：∵三角板一边恰好在的角平分线上，， ， 又∵， ∴， （3）解：∵，， ∴， 又∵， ∴ （4）解：当直线恰好平分锐角，此时则从图中的位置旋转到射线恰好平分锐角时所旋转的度数为： ， ∵速度为每秒， ∴， 解得； 当射线的反向延长线恰好平分时， 此时旋转的角度为：， ∵速度为每秒， ∴， 解得． 【题型10】双角平分线模型(提升) 1.核心知识点总结 模型类型 条件 结论 和型 在内，双平分线 差型 在外，双平分线 2.高频考点梳理 直接用模型求角；变形模型(含中间角)计算；逆向求原角。 3.易错点警示 混淆模型类型；忽略中间角影响。 4.解题技巧拆解 识模型：判位置；基础模型代公式；变形模型拆分复合角。 【例题10】．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）已知，射线和射线在内部，且，，射线分别平分，，则 【答案】5 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线的定义， 根据已知条件，计算和的度数，再利用角平分线的定义得到和度数，最后求的度数． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴． ∵平分， ∴ ． ∵，平分， ∴． ∴． 故答案为：5． 【变式题10-1】．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，，将一个直角三角尺的顶点与点O重合，，平分，三角尺始终在的内部（三角尺的边可以与，重合）． (1)如图1，当在射线上时，的度数为 ； (2)如图2，三角尺在的内部，当平分时，求的度数； (3)如图3，三角尺从与重合开始，以每秒的速度绕点O按图中的方向旋转，当到达处停止旋转．在三角尺旋转过程中，作为角平分线时，的值为 （直接写出答案）． 【答案】(1) (2) (3)6秒或秒或13秒 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． （1）先根据角平分线的定义可得，再根据求解即可得； （2）先根据角平分线的定义可得，，再根据求解即可得； （3）先求出，再分三种情况：①当是的角平分线时，②当是的角平分线时，③当是的角平分线时，利用的度数除以旋转速度即可得． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵在射线上，， ∴， 故答案为：． （2）解：∵平分，， ∴， ∵平分， ∴， ∵三角尺在的内部，， ∴． （3）解：∵平分，， ∴， 由题意可知，当到达处停止旋转时，运动时间为秒， ∴． 分以下三种情况： ①当是的角平分线时， ∴， ∴此时运动时间（秒），符合题意； ②当是的角平分线时， ∴， ∴此时运动时间（秒），符合题意； ③当是的角平分线时， ∴， ∴此时运动时间（秒），符合题意； 综上，的值为6秒或秒或13秒． 故答案为：6秒或秒或13秒． 【变式题10-2】．（25-26七年级上·江西吉安·期中）已知将一副三角尺（直角三角尺和）的两个顶点重合于点O，，； (1)如图1，将三角尺绕点O逆时针方向转动，当恰好平分时，求度数； (2)如图2，当三角尺摆放在内部时，作射线平分，射线平分，如果，三角尺在内绕点O任意转动，的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由． 【答案】(1) (2)不变， 【分析】本题主要考查角的和差关系及角平分线的定义，熟练掌握角的和差关系及角平分线的定义是解题的关键； （1）由题意易得，然后问题可求解； （2）由题意易得，，然后根据角的和差关系可进行求解． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴； （2）解：不变，，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵ ， ∴． 【变式题10-3】．（24-25七年级上·陕西西安·月考）已知，为内部的一条射线． (1)如图（1），若，为内部的一条射线，，平分，求的度数． (2)如图（2），若、是内部的两条射线，、分别平分，，且，求的值． (3)如图（3），为射线的反向延长线上一点，将射线绕点O顺时针以的速度旋转，旋转后对应射线为，旋转时间为t秒（），平分，为的三等分线，，若，求t的值． 【答案】(1)或 (2) (3)3或15 【分析】（1）先根据当在内部时，当在内部时，求出的度数，再根据角平分线的定义求出，然后根据角的和差即可得； （2）设，先根据角平分线的定义得出，再根据角的和差化简所求式子的分子分母即可得； （3）先依题意，找到两个临界位置：在AO的反向延长线上；与重合；然后根据角平分线的定义、角的和差倍分求解即可得． 【详解】（1）解：如图1，当在内部时， ， ， 平分，， ， ； 当在内部时， ， ， 平分，， ， ； 综上，的度数为或； （2）解：设， 则， ∴， ， ， ， ， 故的值为2； （3）解：，旋转速度为， 射线旋转到即停止转动， 由题意得，， 平分， ， 因， 则有两个临界位置：在的反向延长线上，此时； 与重合，此时， 因此，分以下三种情况分析： 如图，当时， 则， ， 解得，符合题设， ②如图，当时， 则， ， 解得，符合题设， ③如图，当时， 则， ， 解得或，均不符题设，舍去， 综上，t的值为3或15． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、角的和差倍分，一元一次方程的应用，较难的是题（3），依据题意，找出两个临界位置，从而分三种情况讨论构造方程是解题关键． 【题型11】动角问题中的分类讨论(培优) 1.核心知识点总结 动角：射线旋转(速度秒)，分顺时针/逆时针。 分类：射线在原角内部/外部。 2.高频考点梳理 求某时刻夹角；求夹角为特定值的时间；旋转后角平分线问题。 3.易错点警示 未考虑旋转方向；漏分射线位置；忽略旋转范围。 4.解题技巧拆解 建函数：用表示旋转角；分类列方程；验证解的合理性。 【例题11】．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图1，在一条直线是依次有，，，四个点，其中，，．点，分别为，中点．    (1)求线段的长度； (2)如图2，取中点为原点，向右为正方向画数轴，则点表示的数为_____，点表示的数为_____； (3)在（2）的条件下，两条线段，同时出发，线段沿数轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右运动，线段沿数轴负方向以每秒2个单位长度的速度向左运动，设运动时间为秒． ①点表示的数为_____，点表示的数为_____（用含的代数式表示）； ②当两条线段，开始运动时，射线开始以的速度顺时针旋转至射线结束，射线开始以的速度逆时针旋转至射线结束，若两射线相交于点，当时，请直接写出的长度． 【答案】(1)9 (2) (3)1 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，两点之间的距离，中点的定义，线段的和差， 对于（1），先求出，再根据中点的定义求出，然后根据得出答案； 对于（2）先求出，再根据数轴的定义得出答案； 对于（3），①根据点M，N的位置及运动速度可得答案； ②根据，可得，再求出t，进而得出 【详解】（1）解：∵， ∴. ∵点M，N是线段的中点， ∴， ∴； （2）解：∵，且点O是的中点， ∴， ∴, ∴点M表示的数是，点N表示的数是5； 故答案为：，5； （3）解：①点M表示的数是，点N表示的数是； ②，理由如下： 当两条线段运动后，点M，N重合前，两条射线没有交点，重合后， ∴， 解得， 此时点M表示的数是，点N表示的数是， 所以．    【变式题11-1】．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）综合与探究 【背景知识】 如图甲，已知线段，，线段 在线段上运动，E，F 分别是 ，的中点． 【知识探究】 （1）若，则 ； （2）当线段在线段上运动时，试判断 的长度是否发生变化？如果不变，请 求出的长度，如果变化，请说明理由； 【类比探究】 （3）对于角，也有和线段类似的规律． 如图乙，已知在内部转动，，分别平分和， ①若，则 ． ②试判断的大小是否发生变化？如果不变，请确定的大小，如果变化，请说明理由． 【答案】（1）；（2）的长度不变，，理由见解析；（3）①；②的大小不会变化，． 【分析】（1）根据线段中点分别求解，，从而可得的长度； （2）根据，再根据中点进行推导即可； （3）①根据再结合角平分线进行计算；②由①可以得到结论． 【详解】解：（1）解：∵，，， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴，． ∴， 故答案为：； （2）的长度不变，，理由如下： ∵E，F分别是，的中点， ∴，． ∴ ； （3）①∵，分别平分和 ∴，． ∴ ∵ ∴ ， 故答案为：； ②的大小不会变化，理由如下： 由①知， ∴的大小不会变化，且． 【点睛】本题主要考查线段中点的含义，线段的和差，角平分线的定义，角的和差运算，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解决本题的关键． 【变式题11-2】．（24-25七年级下·广东深圳·开学考试）如图①，，为外的一个锐角，且．      (1)若平分，平分（如图②），求的度数； (2)射线从处绕着点O在外旋转，平分，平分， （ⅰ）如图③，当射线绕着点O逆时针旋转，则的度数为___________． （ⅱ）如图④，当射线绕着点O逆时针旋转，则的度数为___________． (3)如图⑤，射线从处以/分的速度绕点O开始逆时针旋转，同时射线从处以相同的速度绕点O逆时针也旋转，平分，平分，请直接写出多少分钟时，的度数是？[注：本题所涉及的角都是小于的角] 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） (3)3或25分钟 【分析】本题考查了角度计算、角平分线的定义、一元一次方程的应用，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和角的和差即可求解； （2）（ⅰ）根据角平分线的定义和角的和差即可求解；（ⅱ）根据角平分线的定义和角的和差即可求解； （3）设x分钟时，的度数是，依题意得，根据射线的位置分2种情况讨论，根据角平分线的定义和角的和差关系列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）解：（ⅰ）∵射线绕着点O逆时针旋转， ∴， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴； 故答案为：； （ⅱ）∵射线绕着点O逆时针旋转， ∴， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴； 故答案为：； （3）解：设x分钟时，的度数是， 依题意有：， ∵平分，平分， ∴，， ①延长到，若射线在内部旋转，如图，     ， 即：， 解得：； ②若射线在外部旋转，如图，   ， 即：， 解得：； 综上，3或25分钟时，的度数是． 【变式题11-3】．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）数学活动课上，老师带领学习小组利用一副直角三角尺进行“玩转尺”的探究活动． (1)老师将三角尺和三角尺按如图①所示的方式摆放在直线上，边落在直线上，，，，则____________； (2)第一小组同学将图①中三角尺绕点C以每秒的速度按顺时针方向旋转进行探究，当边首次落在直线上时停止旋转，设三角尺的旋转时间为t秒，提出下列问题： ①当____________秒时，边首次落在直线上； ②当____________秒时，； (3)如图②，第二小组同学受第一小组同学的启发继续进行探究，将三角尺绕点C以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角尺绕点C以每秒的速度按逆时针方向旋转，当三角尺的边首次落在直线上时停止旋转，同时三角尺也停止旋转．当时，求t的值． 【答案】(1) (2)①10 ；②6或8 (3)4.5或6 【分析】本题考查了与三角板有关的角度计算，一元一次方程的应用等知识，数形结合是解题的关键，注意分类讨论． （1）利用三个角的和为一个平角即可求解； （2）①求出的度数即可求解； ②分两种情况求解：当边在的外部；当边在的内部；求出旋转t秒后，由已知即可求解； （3）分两种情况：边相遇前与相遇后考虑即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：． （2）解：①边首次落在直线上，旋转了， 则旋转的时间为：（秒）； 故答案为：10； ②当边在的外部时； 顺时针旋转t秒，则，； 则， 解得：； 当边在的内部时； 顺时针旋转t秒，则，； 则， 解得：； 综上，当或8时，； 故答案为：6或8； （3）解：当边相遇前，如图， ∵，， ∴， 解得：； 当边相遇后，如图， ∵，， ∴， 解得：； 综上，t的值为4.5或6． 【题型12】角新定义的综合题（培优） 1.核心知识点总结 情境：折叠（对应角相等）、反射（反射角=入射角）、航行（方位角）。 本质：转化为几何图形，用角的定义、平分线等知识点求解。 2.高频考点梳理 折叠/反射/航行中的角计算；跨学科/数学文化角问题。 3.易错点警示 无法转化情境为图形；忽略隐含条件（如折叠对应角相等）。 4.解题技巧拆解 画示意图标注条件；提取隐含关系；结合角的核心知识点计算。 【例题12】．（25-26七年级上·河北唐山·期中）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的，那么这两条射线所成的角叫做这个角的“相生角”．如图1，若，则是的相生角． (1)如图1，已知，，是的相生角，求的度数； (2)某同学将绕点O按顺时针方向旋转得到，如图2．若，判断是否是的相生角，并说明理由． (3)若，把含有角的三角板与顶点O重合放置，如图3所示，让三角板的边与边重合开始绕顶点O按顺时针方向旋转一周，请直接写出在旋转过程中是的相生角时旋转角的度数． 【答案】(1) (2)不是，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算，角的和差，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． （1）根据相生角的定义求得，再根据计算即可； （2）先根据旋转的性质得，再分别求出和，再根据相生角的定义即可得出结论； （3）分两种情况讨论：当边在的上方时，设；当边在的下方时，设；分别根据相生角的定义的角的和差列方程计算． 【详解】（1）解：∵是的相生角，， ∴， ∵， ∴； （2）解：不是，理由如下： ∵将绕点O按顺时针方向旋转得到， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴不是的相生角； （3）解：分以下两种情况讨论： 当边在的上方时，设， ∵是的相生角， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 即此时旋转角的度数为； 当边在的下方时，设， ∵是的相生角， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 即此时旋转角的度数为； 综上所述，旋转过程中是的相生角时旋转角的度数为或． 【变式题12-1】．（24-25七年级下·四川遂宁·期末）新定义：若两个角的和为，我们则称这两个角互为“百度角”；例如，，则与互为“百度角”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） 【阅读理解】 （1）如图1，如果，与互为“百度角”，则 ． 【初步应用】 （2）射线平分角，为内部的一条射线，且满足，若与互为“百度角”，求的值； 【解决问题】 （3）如图2，已知，射线从出发，以每秒的速度绕O点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒．当为何值时由三条射线形成的角中有两个角互为“百度角”？ 【答案】（1）；（2）为或；（3）当运动时间t为2秒或4秒或10秒或秒时，由三条射线形成的角中有两个角互为“百度角” 【分析】本题考查新定义的角度关系，一元一次方程的应用，找到新定义的角度关系是解题的关键． （1）根据新定义，找到角度关系，求解即可； （2）分情况讨论与的位置关系，画出图象，求解即可． （3）分情况讨论与的位置关系，画出图象，根据新定义列出各个角度关于时间t的一元一次方程求解即可． 【详解】解：（1）∵与互为“百度角”， ∴， ， ， ； （2）如图，当在上方时，    ∵平分角， ∴， 根据题意得， ， 同理，当在下方时，    ∵平分角， ∴， 根据题意得， ， 综上所述，为或； （3）①如图    根据题意得，运动的时间为t秒时， ，，， 当和互为“百度角”时， ， 秒； 当和互为“百度角”时， ， 秒． ②如图    根据题意得，运动的时间为t秒时， ，， ， 当和互为“百度角”时， ， 秒． 当和互为“百度角”时， ， 秒． 综上所述，三条射线形成的角互为“百度角”时，t为2秒或4秒或10秒或秒． 【变式题12-2】．（24-25七年级上·辽宁辽阳·期末）定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的 则这条射线叫原来角的“新生线”． (1)如图1，，射线　　的“新生线”（填“是”或“不是”）； (2)点M、O、N在同一直线上， ①在图2中， ，射线在的内部，并且是的“新生线”， 平分， 求的大小； ②如图3，，，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为秒，若在射线旋转的同时，绕点以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分．当射线与射线重合时，运动都停止．当射线是的“新生线”时，直接写出t的值． 【答案】(1)是 (2) 或；27.2或或 【分析】本题考查了新定义，角的数量关系，角平分线的定义，一元一次方程的应用．理解“新生线”的定义是解题的关键． （1）根据“新生线”的定义及计算方法即可求解； （2）①射线在的内部，并且是的“新生线”，分类讨论，当时，当，根据角平分线即可求解； ②到的时间范围为，当追上的时间为，当追上的时间为，分类讨论：第一种情况，当在右侧时，即；第二种情况，当在左侧时，即；第三种情况，当在内部，且在左侧，即；第四种情况，当在内部，且在右侧，即，结合图形分析即可． 【详解】（1）解：∵，设，则， ∴， ∴， ∴是的， ∴是的新生线， 故答案为：是； （2）解：①射线在的内部，并且是的“新生线”， 当时，如图所示， ∵点、、在同一直线上，， ∴． ∴， ∴． ∵平分， ∴； 当时，如图所示， 同理，， ∴， ∵平分， ∴； 综上所述，的大小为或； ②射线从出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，绕点O以每秒的速度逆时针旋转， ∴到的时间范围为：． ∵，， ∴， ∴当追上的时间为：， 解得：； 当追上的时间为：， 解得：． 第一种情况，当在右侧时，即，如图， ∴，，， ∵射线平分， ∴． ∵， 当时， ∴， 解得：； 当时， ， ∴， 解得：； 第二种情况，当在左侧时，即，如图， 当时， ∵， ∴， ∴， 解得：； 第三种情况，当在内部，且在左侧，即，如图， 当时， ∵， ∴， ∴， 解得：，不合题意，舍去； 第四种情况，当在内部，且在右侧，即，如图， 当时， ∵， ∴ ， ∵， ∴， 解得：，不合题意，舍去； 当时， ∴， 解得：，不合题意，舍去． 综上可知t的值为27.2或或． 【变式题12-3】．（24-25七年级上·湖北武汉·月考）新定义：若两个角的和为，则称这两个角互为“满分角”；例如，，则与互为“满分角”． 【阅读理解】 （1）如图，如果，射线在射线上方，与互为“满分角”，则________． 【初步应用】 （2）若，为内部的两条射线，射线平分角，若与互为“满分角”，且满足，求的值． 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒． 作的平分线，当时，与互为“满分角”，求运动时间的值． 若，当________，时，由、、三条射线形成的角互为“满分角”． 【答案】； 或； ， 或或． 【分析】本题考查新定义的角度关系、一元一次方程的应用，解决本题的关键是把角的度数用含的代数式表示出来，再根据“满分角”的定义列出关于的一元一次方程，解方程求出的值即可． 根据“满分角”的定义，可知，又因为已知，即可求出的度数，再根据图中角之间的关系求出的度数即可； 设，则有，然后再分当射线在射线上方时，和射线在射线下方时，两种情况求解； 当时，射线与重合，当时，可知，，根据“满分角”的定义，列出关于的方程求解即可； 因为当秒时，射线与重合，当秒时射线与重合，当时，射线与重合，所以要分当时，和当时，两种情况讨论． 【详解】解： 与互为“满分角”， ， ， ， ， ， 故答案为：； 解：如下图所示，设， 射线平分角， ， ， 当射线在射线上方时，， 与互为“满分角”， ， ， 解得：， ； 如下图所示，当射线在射线下方时，， 与互为“满分角”， ， ， 解得：， ； 综上所述，的度数为或； 解：， 当时，射线与重合， 当时，，， 平分， ， 与互为“满分角”， ， , 解得：； 解：由可知当时，射线与重合， ， 当时，射线恰好与重合， ， 当时，射线旋转到的下方， 当时，射线与重合， 如下图所示，当时，，，， 、、三条射线形成的角互为“满分角”， 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：(负值，舍去)； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：(不符合题意，舍去)； 如下图所示，当时，，，， 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：(不符合题意，舍去)； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：； 综上所述，当秒或秒或秒时，由、、三条射线形成的角互为“满分角”， 故答案为：或或． 同步练习 一、单选题 1．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）两个锐角的和（   ） A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．可能是锐角、直角或钝角 【答案】D 【分析】本题考查了角的和差，角的定义． 两个锐角的和可能小于、等于或大于但小于，因此可能是锐角、直角或钝角． 【详解】解：设两个锐角分别为和，其中，， 则它们的和满足， ∴两个锐角的和可能是锐角、直角或钝角． 故选：D． 2．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，是平角，，，分别是，的平分线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，熟练掌握角平分线的计算是解题关键．先根据角平分线的定义可得，，再根据平角的定义可得，然后根据计算即可得． 【详解】解：∵分别是，的平分线，，， ∴，， ∵是平角， ∴， ∴， 故选：D． 3．（25-26六年级上·黑龙江绥化·期中）一架飞机向东偏北方向飞行，接到指令后，改向相反的方向飞行，那么这架飞机向（   ）方向飞行． A．东偏南 B．西偏南 C．西偏北 【答案】B 【分析】本题主要考查方向角的辨别，注意方向的相对性，相反方向即方向角增加，东偏北的相反方向为西偏南． 【详解】解：∵飞机原飞行方向为东偏北， ∴相反方向为原方向旋转， ∵东的相反方向为西，北的相反方向为南， ∴东偏北的相反方向为西偏南． 故选：B． 4．（2025·陕西·一模）若的度数为，则的补角的度数为（   ） A．1 B．1 C．6 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个角的补角，熟练掌握补角的定义，是解题的关键．根据补角的定义，两个角之和为，因此用减去已知角的度数，即可求出补角． 【详解】解：∵， ∴的补角． 故选：A． 5．（25-26七年级上·山东日照·期中）如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②；③；④，能正确表示的余角的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了余角和补角：如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角． 由和互补，得，由的余角为，通过代数变换，判断各式子是否等于． 【详解】解：∵和互补， ∴． 的余角为， ①：，即，故错误； ②：，故正确； ③：，故错误； ④：，故正确． ∴②和④正确，共2个． 故选：B． 二、填空题 6．（25-26七年级上·全国·月考）若，则的补角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了补角的定义，互补是反映了两个角之间的关系，即和是，掌握补角的定义是解题的关键． 根据补角的定义，的补角等于减去的度数． 【详解】解：的补角， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）根据题意计算： （1）一个角的余角比它的补角的多，则这个角的度数为 ； （2）一个角的补角加上的和等于这个角的余角的3倍，这个角的余角为 ，补角为 ． 【答案】 【分析】本题考查了余角和补角的定义，一元一次方程的应用，解题关键是掌握余角和补角的定义． （1）设这个角为x，由题意，列出方程，即可求解； （2）设这个角为x，则它的补角为，余角为，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：（1）设这个角为x，由题意得， ， 解得， 即这个角是， 故答案为：； （2）设这个角为x，则它的补角为，余角为，根据题意列方程，得： ， 解得， 则它的余角为，补角为． 故答案为：；． 8．（25-26七年级上·河北唐山·期中）小明早上从家出发赶往学校，在时正好到校，计算小明上学过程中钟表上的时针转过的角度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了钟面角问题，根据时针一小时转，小明上学过程共15分钟，即小时，据此求解即可． 【详解】解：时针转一圈需要12小时，则一小时转， 小明上学过程从到共15分钟，即小时， 因此时针转过的角度为， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的三倍，则称射线是的“启仔等分线”．如图2，，若射线绕点P从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为秒当 时，射线是的“启仔等分线”． 【答案】秒或5秒或20秒 【分析】本题考查角的运算中的新定义，仔细分析动态过程，确定三种情况是解题的关键． 根据旋转的过程，依次设定，，，四种情况进行分析． 【详解】解：由题意，可分四种情况： 当时，， 所以 秒； 当时，， 所以 秒； 当时，， 所以 秒； 当时，， 不符合条件“当首次等于时停止旋转”，舍去． 故答案为：5秒或秒或20秒． 10．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知，，当在的外部时，分别在内部和内部画射线，，使，，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了几何图形中的角度计算，解题的关键是熟练掌握角度间的关系，数形结合．设，结合已知可求 ，，最后根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：设，则， ， ∴， ， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，点在直线上，，，平分． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)是否平分？试说明理由． 【答案】(1) (2) (3)平分；理由见解析 【分析】本题考查角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键； ()由角平分线的定义，得到的度数； ()根据角的运算，求出的度数，进而求出的度数； ()由角分线的定义证明即可求解． 【详解】（1）解：∵，平分． ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴； （3）∵平分； 理由：∵，， ∴， 又∵， ∴平分． 12．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，将两块直角三角板的直角顶点叠放在一起． (1)_____（填“”、“”或“”）； (2)当时，求的度数； (3)猜想与的数量关系，并说明理由； (4)将三角板绕点逆时针旋转一周，当直线平分时，的度数为_______（注：不写过程，直接写出结果，只填写小于平角的结果）． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 (4)或 【分析】（）根据角的和差关系即可求解； （）先求出的度数，再根据角的和差关系即可求解； （）分两种情况分别画出图形，再根据角平分线的定义及角的和差关系即可求解； 本题考查了三角板中的角度运算问题，角平分线的定义，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， 即； （4）解：当三角板旋转到如图①位置时，直线平分， ∵， ∴， 当三角板旋转到如图②位置时，直线平分， ∴； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）综合与探究 问题情境 数学课上，老师和同学们以具有公共顶点的两个直角为背景，探究有关角的问题．如图1，，射线在的内部，射线在的内部． 特例分析 （1）若，则的度数为 ． 规律探究 （2）若，求的度数． 拓展延伸 （3）在图1的基础上，作射线平分，平分，得到图2． ①若，则的度数为 ． ②若，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）①；② 【分析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先求出的度数，再利用求出的度数即可； （2）同（1）计算即可； （3）①先分别求出，的度数，进一步求出，的度数，再利用，求解即可； ②同法①，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：①∵，， ∴， ， ∵平分，平分， ∴， ， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ， ∴． 14．（25-26七年级上·全国·单元测试）已知，，分别是和的平分线． (1)当射线在内部时，求的度数；的值随着在内转动是否变化，为什么？ (2)当在外部时，的值是否会随着的转变而变化？简单说明理由． 【答案】(1)；的值随着在内转动不会发生变化，理由见解析； (2)的值不会随着的转变而变化，理由见解析． 【分析】本题考查了角平分线定义，角的和差关系． （1）由，分别是和的平分线，可得从而可得答案；根据可得：不变，的大小不变； （2）据可得：不变，的大小不变． 【详解】（1）解：的值随着在内转动不会发生变化，理由如下： ，分别是和的平分线， ， ， ， ． 即的值随着在内转动不会发生变化； （2）解：的值不会随着的转变而变化，理由如下： 如图： ，分别是和的平分线， ， ， ， ． 即的值不会随着的转变而变化． 15．（25-26七年级上·山东枣庄·期中）在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． 【实验操作】 （1）若边和边重合摆成图①的形状，则_____； 【探究发现】 （2）保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，当在内部时（图②），请问：与两角间有什么数量关系？请说明理由；并求出为多少度时，． 【拓展延伸】 （3）试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得是的两倍，请直接写出的度数． 【答案】（1）；（2），理由见解析，；（3）的度数为或． 【分析】本题考查了三角板的应用，分类思想，一元一次方程的应用，角的和差计算，熟练掌握解方程是解题的关键． （1）根据，解答即可； （2）结合图形求解即可； （3）利用分类思想，借助一元一次方程解答即可． 【详解】解：（1）根据题意，得：， 故答案为：． （2）根据题意得：， 时，．理由如下： 如图， ∵，， ∴； （3）当边在边右侧时， 如答图③，设， 则有， 解得， 即此时， 当边在边左侧时，如答图④， 设， 则有， 解得， 即此时； 综上所述，的度数为或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3角 【题型1】角的定义与分类 1.核心知识点总结 静态：公共端点+两条射线；动态：射线绕端点旋转形成。 分类：锐角（）、直角（）、钝角（）、平角（）、周角（）。 关键：平角≠直线，周角≠射线。 2.高频考点梳理 判断是否为角；识别平角、周角；根据旋转判断角的类型。 3.易错点警示 混淆平角与直线、周角与射线；误将归为钝角。 4.解题技巧拆解 判角：紧扣“公共端点+两条射线”；区分：平角有顶点，直线无顶点。 【例题1】．（2024七年级上·全国·专题练习）在下列说法中，正确的是（   ） ①两条射线组成的图形叫作角；    ②角的大小与边的长短有关； ③角的两边可以一样长，也可以一长一短；    ④角的两边是两条射线． A．① B．② C．③ D．④ 【变式题1-1】．（24-25七年级上·全国·课后作业）看图，回答下列问题： (1)图中共有多少个角？ (2)请分别写出图中的锐角、直角和钝角． 【变式题1-2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列四个图中，对于图形的描述正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题1-3】．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列说法错误的是（　　） A．角是由两条有公共端点的射线组成的图形 B．周角的一半叫平角 C．可转化为 D．直线是平角 【题型2】角的表示方法 1.核心知识点总结 表示方法 适用条件 示例 三个大写字母 任意角（顶点在中间） 一个大写字母 顶点处仅一个角 希腊字母/数字 标注弧线 、 2.高频考点梳理 选择正确表示方法；写出指定条件的角。 3.易错点警示 顶点多角时用单个大写字母；三个字母表示时顶点未在中间。 4.解题技巧拆解 先看顶点角的个数，再选择表示方法；三个字母固定顶点在中间。 【例题2】．（24-25七年级上·全国·课后作业）图中能用三种方法表示同一个角的是（　　） A． B． C． D． 【变式题2-1】．（24-25六年级下·山东泰安·月考）下列四个图形中，能用三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，有下列说法：①和是同一个角；②和是同一个角；③和是同一个角；④和是同一个角．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题2-3】．（24-25七年级上·全国·随堂练习）老师提出了以下问题：如图所示，请用恰当的方法表示图中给出的所有角（小于平角的角），某组同学在本组展示区的答案是：，，，，． 思考分析后，分别解答下列问题： (1)有位同学认为答案中有错误，你是否认同他的观点？ _______．（填“认同”或“不认同”） (2)如果你认为有错误，错误的答案为______________． (3)另一位同学认为答案不完整，还有符合要求的角没表示出来，请你将答案修改补充完整，图中还有_________________________________________________． 【题型3】度分秒的换算与大小比较 1.核心知识点总结 进制：，，。 换算：高级→低级×60；低级→高级÷60。 2.高频考点梳理 度分秒与小数度互化；度分秒加减乘除运算。 3.易错点警示 误用10进制换算；加减未借位/进位；乘除未统一单位。 4.解题技巧拆解 互化：先整数后小数，按60进制换算；运算：度分秒对齐，满60进1，借1当60。 【例题3】．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）把化成用度表示的角； （2）把化成用度、分、秒表示的角． 【变式题3-1】．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1) ； (2) ＝ ； (3) ° ． 【变式题3-2】．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）比较大小： 填“>”“<”或“=” 【变式题3-3】．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）比较大小： ．（填“”“”或“”） 【题型4】余角与补角的基础计算 1.核心知识点总结 定义：互余(和)，互补(和)。 性质：同角(等角)的余角/补角相等；补角比余角大。 2.高频考点梳理 求余角/补角；利用性质判角的关系；方程求角。 3.易错点警示 混淆余角()与补角()；单独角称余角/补角。 4.解题技巧拆解 直接算：余角，补角；方程法：设角列等式求解。 【例题4】．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）若的余角是，则的大小是（　　） A． B． C． D． 【变式题4-1】．（20-21七年级上·陕西西安·期末）若的余角是，则的补角用度、分、秒表示为 ． 【变式题4-2】．（25-26七年级上·河北唐山·期中）已知四个点A，B，C，D和射线，根据下列要求画图． (1)画线段． (2)画射线． (3)在的内部画射线，使． (4)画的补角．（画出一种情况即可） 【变式题4-3】．（24-25七年级上·广东肇庆·期末）（1）列方程求解：把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本．问这个班有多少学生？这些图书共有多少本？ （2）列方程求解：一个角的余角比这个角的补角的三分之一多，求这个角的大小． 【题型5】角的平分线的基础应用 1.核心知识点总结 定义：射线分角为两个相等角(平分→)。 2.高频考点梳理 已知平分线求角；判断是否为平分线；结合和差求复合角。 3.易错点警示 未确认射线在角内部；误将线段当角平分线。 4.解题技巧拆解 标注已知角与平分线；列等式：；逆向需证“相等+内部”。 【例题5】．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，，，平分． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 【变式题5-1】．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知，平分，是直角，求的度数． 【变式题5-2】．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图所示，把平角放置在量角器上，O与量角器的中心重合，射线分别对准刻度和，在内部做射线，使平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式题5-3】．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）如图所示，两块三角板的直角顶点O重叠在一起，且恰好平分，则的度数是 ． 【题型6】方位角的识别与计算 1.核心知识点总结 定义：以正北/正南为基准，表述为“北/南偏东/西”。 特殊方位：东北=北偏东(同理西北、东南、西南)。 2.高频考点梳理 描述方位；计算两方位角夹角；结合实际确定方位。 3.易错点警示 方位顺序颠倒(如“东偏北”)；基准错用正东/正西。 4.解题技巧拆解 画十字线定基准；从正北/正南量角；夹角用平角/直角推导。 【例题6】．（25-26八年级上·湖北荆州·月考）如图，一艘轮船在海上由西往东行驶，在处测得灯塔位于北偏东方向，在处测得灯塔位于北偏东方向，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【变式题6-1】．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，书店在超市的（   ）方向上． A．西偏北 B．北偏西 C．东偏南 D．南偏东 【变式题6-2】．（23-24七年级上·黑龙江绥化·期中）如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东的方向上，同时在它北偏东、西北（即北偏西）方向上又分别发现了客轮B和海岛C． (1)仿照表示灯塔方位的方法，分别画出表示客轮B和海岛C方向的射线，（不写作法）； (2)若有一艘渔船D，且是它补角的，则渔船D在货轮O的__________（写出方位角） 【变式题6-3】．（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图，某轮船上午8：00时位于点A处，测得灯塔S在北偏东的方向上，向东行驶至中午12：00时，该轮船位于点B处，测得灯塔S在北偏西的方向上．请在图中画出灯塔S的位置． 【题型7】角的和差倍分计算(提升) 1.核心知识点总结 关系：；倍数：。 2.高频考点梳理 求未知角(分射线内外)；多个角和差计算；结合平分线计算。 3.易错点警示 未分类讨论射线位置；漏看隐含角关系(对顶角、邻补角)。 4.解题技巧拆解 标注图形；射线位置不明时分“内部/外部”；列等式代入已知角求解。 【例题7】．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知点在直线上，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式题7-1】．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，将一副三角尺的两个锐角（角和角）的顶点叠放在一起，没有重叠的部分分别记作和，若，则的度数为 ． 【变式题7-2】．（25-26七年级上·四川成都·期中）（1）如图1，线段，延长到点，使，点M、N分别为的中点，求线段的长． （2）如图2，已知平分平分，求的度数． 【变式题7-3】．（25-26七年级上·江西吉安·期中）将一副直角三角尺如图放置． (1)若，求的大小； (2)求证：． 【题型8】钟面角的计算(提升) 1.核心知识点总结 转速：分针分，时针分。 夹角公式：(超用减)。 2.高频考点梳理 已知时刻求夹角；求旋转角度；已知夹角求时刻。 3.易错点警示 忽略时针分钟转动；夹角超未修正；漏分两种时刻情况。 4.解题技巧拆解 时刻夹角代公式；旋转角度=转速×时间；求时刻设未知数列方程。 【例题8】．（25-26七年级上·重庆·开学考试）每一堂数学课的时间为分钟，则在分钟时间内分针走过的角度为 ． 【变式题8-1】．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成较小角的度数． （2）每经过，时针转过多少度？每经过，分针转过多少度？ （3）上午10:10时，时针与分针所成的较小角是多少度？ 【变式题8-2】．（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）如果现在是，那么经过 分钟，分针与时针第一次相遇． 【变式题】8-3】．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）嘉琪在商场买了一块机械手表，爱钻研的嘉琪发现了手表上的数学问题，如图1所示是一块手表，可以看成如图2的数学模型（点A和点D是表带的两端，点A，B，C，D在同一条线段上）． (1)已知表盘直径为，，若B是中点，求的长度； (2)在某个时刻，分针指向表盘上的数字“4”．时针为，淇淇一看现在正好是，如图3所示．完成填空； ①时分针和时针夹角的度数_________； ②作射线，使，此时的度数_________； (3)如图4．自之后，始终是的角平分线（分针还是），在一小时以内，直接写出经过多少分钟后，的度数是． 【题型9】三角板拼角与旋转(提升) 1.核心知识点总结 三角板内角：和。 拼角：整数倍(和/差)；旋转：对应角相等，重叠角=原角-旋转角。 2.高频考点梳理 判断可拼角度；求旋转后重叠角/复合角。 3.易错点警示 拼角仅考虑和忽略差；旋转后未找准对应角。 4.解题技巧拆解 拼角：拆分为三角板内角和/差；旋转：标注对应角，用原角-旋转角求重叠角。 【例题9】．（25-26七年级上·福建福州·月考）如图是用一副三角板拼成的图形，则图中 ． 【变式题9-1】．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，利用带角的三角板比较和的大小，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．无法判断 【变式题9-2】．（25-26九年级上·广东·期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起（其中，，；） (1)若，则的度数为_____； (2)若点在的上方，设（），求．（用含的式子表示） 【变式题9-3】．（24-25七年级上·四川泸州·期末）已知，在下列各图中，点为直线上一点，，直角三角板的直角顶点放在点处． (1)如图1，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方，求的度数． (2)如图2，三角板一边恰好在的角平分线上，另一边在直线的下方，求的度数． (3)延长线段得到射线，如图3，求、的度数． (4)将图1中的三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，求的值． 【题型10】双角平分线模型(提升) 1.核心知识点总结 模型类型 条件 结论 和型 在内，双平分线 差型 在外，双平分线 2.高频考点梳理 直接用模型求角；变形模型(含中间角)计算；逆向求原角。 3.易错点警示 混淆模型类型；忽略中间角影响。 4.解题技巧拆解 识模型：判位置；基础模型代公式；变形模型拆分复合角。 【例题10】．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）已知，射线和射线在内部，且，，射线分别平分，，则 【变式题10-1】．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，，将一个直角三角尺的顶点与点O重合，，平分，三角尺始终在的内部（三角尺的边可以与，重合）． (1)如图1，当在射线上时，的度数为 ； (2)如图2，三角尺在的内部，当平分时，求的度数； (3)如图3，三角尺从与重合开始，以每秒的速度绕点O按图中的方向旋转，当到达处停止旋转．在三角尺旋转过程中，作为角平分线时，的值为 （直接写出答案）． 【变式题10-2】．（25-26七年级上·江西吉安·期中）已知将一副三角尺（直角三角尺和）的两个顶点重合于点O，，； (1)如图1，将三角尺绕点O逆时针方向转动，当恰好平分时，求度数； (2)如图2，当三角尺摆放在内部时，作射线平分，射线平分，如果，三角尺在内绕点O任意转动，的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由． 【变式题10-3】．（24-25七年级上·陕西西安·月考）已知，为内部的一条射线． (1)如图（1），若，为内部的一条射线，，平分，求的度数． (2)如图（2），若、是内部的两条射线，、分别平分，，且，求的值． (3)如图（3），为射线的反向延长线上一点，将射线绕点O顺时针以的速度旋转，旋转后对应射线为，旋转时间为t秒（），平分，为的三等分线，，若，求t的值． 【题型11】动角问题中的分类讨论(培优) 1.核心知识点总结 动角：射线旋转(速度秒)，分顺时针/逆时针。 分类：射线在原角内部/外部。 2.高频考点梳理 求某时刻夹角；求夹角为特定值的时间；旋转后角平分线问题。 3.易错点警示 未考虑旋转方向；漏分射线位置；忽略旋转范围。 4.解题技巧拆解 建函数：用表示旋转角；分类列方程；验证解的合理性。 【例题11】．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图1，在一条直线是依次有，，，四个点，其中，，．点，分别为，中点．    (1)求线段的长度； (2)如图2，取中点为原点，向右为正方向画数轴，则点表示的数为_____，点表示的数为_____； (3)在（2）的条件下，两条线段，同时出发，线段沿数轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右运动，线段沿数轴负方向以每秒2个单位长度的速度向左运动，设运动时间为秒． ①点表示的数为_____，点表示的数为_____（用含的代数式表示）； ②当两条线段，开始运动时，射线开始以的速度顺时针旋转至射线结束，射线开始以的速度逆时针旋转至射线结束，若两射线相交于点，当时，请直接写出的长度． 【变式题11-1】．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）综合与探究 【背景知识】 如图甲，已知线段，，线段 在线段上运动，E，F 分别是 ，的中点． 【知识探究】 （1）若，则 ； （2）当线段在线段上运动时，试判断 的长度是否发生变化？如果不变，请 求出的长度，如果变化，请说明理由； 【类比探究】 （3）对于角，也有和线段类似的规律． 如图乙，已知在内部转动，，分别平分和， ①若，则 ． ②试判断的大小是否发生变化？如果不变，请确定的大小，如果变化，请说明理由． 【变式题11-2】．（24-25七年级下·广东深圳·开学考试）如图①，，为外的一个锐角，且．      (1)若平分，平分（如图②），求的度数； (2)射线从处绕着点O在外旋转，平分，平分， （ⅰ）如图③，当射线绕着点O逆时针旋转，则的度数为___________． （ⅱ）如图④，当射线绕着点O逆时针旋转，则的度数为___________． (3)如图⑤，射线从处以/分的速度绕点O开始逆时针旋转，同时射线从处以相同的速度绕点O逆时针也旋转，平分，平分，请直接写出多少分钟时，的度数是？[注：本题所涉及的角都是小于的角] 【变式题11-3】．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）数学活动课上，老师带领学习小组利用一副直角三角尺进行“玩转尺”的探究活动． (1)老师将三角尺和三角尺按如图①所示的方式摆放在直线上，边落在直线上，，，，则____________； (2)第一小组同学将图①中三角尺绕点C以每秒的速度按顺时针方向旋转进行探究，当边首次落在直线上时停止旋转，设三角尺的旋转时间为t秒，提出下列问题： ①当____________秒时，边首次落在直线上； ②当____________秒时，； (3)如图②，第二小组同学受第一小组同学的启发继续进行探究，将三角尺绕点C以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角尺绕点C以每秒的速度按逆时针方向旋转，当三角尺的边首次落在直线上时停止旋转，同时三角尺也停止旋转．当时，求t的值． 【题型12】角新定义的综合题（培优） 【例题12】．（25-26七年级上·河北唐山·期中）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的，那么这两条射线所成的角叫做这个角的“相生角”．如图1，若，则是的相生角． (1)如图1，已知，，是的相生角，求的度数； (2)某同学将绕点O按顺时针方向旋转得到，如图2．若，判断是否是的相生角，并说明理由． (3)若，把含有角的三角板与顶点O重合放置，如图3所示，让三角板的边与边重合开始绕顶点O按顺时针方向旋转一周，请直接写出在旋转过程中是的相生角时旋转角的度数． 【变式题12-1】．（24-25七年级下·四川遂宁·期末）新定义：若两个角的和为，我们则称这两个角互为“百度角”；例如，，则与互为“百度角”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） 【阅读理解】 （1）如图1，如果，与互为“百度角”，则 ． 【初步应用】 （2）射线平分角，为内部的一条射线，且满足，若与互为“百度角”，求的值； 【解决问题】 （3）如图2，已知，射线从出发，以每秒的速度绕O点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒．当为何值时由三条射线形成的角中有两个角互为“百度角”？ 【变式题12-2】．（24-25七年级上·辽宁辽阳·期末）定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的 则这条射线叫原来角的“新生线”． (1)如图1，，射线　　的“新生线”（填“是”或“不是”）； (2)点M、O、N在同一直线上， ①在图2中， ，射线在的内部，并且是的“新生线”， 平分， 求的大小； ②如图3，，，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为秒，若在射线旋转的同时，绕点以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分．当射线与射线重合时，运动都停止．当射线是的“新生线”时，直接写出t的值． 【变式题12-3】．（24-25七年级上·湖北武汉·月考）新定义：若两个角的和为，则称这两个角互为“满分角”；例如，，则与互为“满分角”． 【阅读理解】 （1）如图，如果，射线在射线上方，与互为“满分角”，则________． 【初步应用】 （2）若，为内部的两条射线，射线平分角，若与互为“满分角”，且满足，求的值． 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒． 作的平分线，当时，与互为“满分角”，求运动时间的值． 若，当________，时，由、、三条射线形成的角互为“满分角”． 同步练习 一、单选题 1．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）两个锐角的和（   ） A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．可能是锐角、直角或钝角 2．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，是平角，，，分别是，的平分线，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26六年级上·黑龙江绥化·期中）一架飞机向东偏北方向飞行，接到指令后，改向相反的方向飞行，那么这架飞机向（   ）方向飞行． A．东偏南 B．西偏南 C．西偏北 4．（2025·陕西·一模）若的度数为，则的补角的度数为（   ） A．1 B．1 C．6 D．6 5．（25-26七年级上·山东日照·期中）如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②；③；④，能正确表示的余角的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 6．（25-26七年级上·全国·月考）若，则的补角的度数为 ． 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）根据题意计算： （1）一个角的余角比它的补角的多，则这个角的度数为 ； （2）一个角的补角加上的和等于这个角的余角的3倍，这个角的余角为 ，补角为 ． 8．（25-26七年级上·河北唐山·期中）小明早上从家出发赶往学校，在时正好到校，计算小明上学过程中钟表上的时针转过的角度是 ． 9．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的三倍，则称射线是的“启仔等分线”．如图2，，若射线绕点P从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为秒当 时，射线是的“启仔等分线”． 10．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知，，当在的外部时，分别在内部和内部画射线，，使，，则的度数为 ． 三、解答题 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，点在直线上，，，平分． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)是否平分？试说明理由． 12．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，将两块直角三角板的直角顶点叠放在一起． (1)_____（填“”、“”或“”）； (2)当时，求的度数； (3)猜想与的数量关系，并说明理由； (4)将三角板绕点逆时针旋转一周，当直线平分时，的度数为_______（注：不写过程，直接写出结果，只填写小于平角的结果）． 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）综合与探究 问题情境 数学课上，老师和同学们以具有公共顶点的两个直角为背景，探究有关角的问题．如图1，，射线在的内部，射线在的内部． 特例分析 （1）若，则的度数为 ． 规律探究 （2）若，求的度数． 拓展延伸 （3）在图1的基础上，作射线平分，平分，得到图2． ①若，则的度数为 ． ②若，求的度数． 14．（25-26七年级上·全国·单元测试）已知，，分别是和的平分线． (1)当射线在内部时，求的度数；的值随着在内转动是否变化，为什么？ (2)当在外部时，的值是否会随着的转变而变化？简单说明理由． 15．（25-26七年级上·山东枣庄·期中）在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． 【实验操作】 （1）若边和边重合摆成图①的形状，则_____； 【探究发现】 （2）保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，当在内部时（图②），请问：与两角间有什么数量关系？请说明理由；并求出为多少度时，． 【拓展延伸】 （3）试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得是的两倍，请直接写出的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $