第三章二次根式综合练习 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦二次根式核心概念与运算，通过基础巩固、综合应用、探究创新三层设计，实现从概念理解到实际建模的能力进阶，培养抽象能力与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|二次根式定义、性质、最简化简|单选题1-5题考查概念辨析，填空题13-15题强化基本运算，夯实基础| |中档|综合运算、代数变形|解答题21题混合运算，22题代数式求值，结合数轴化简（题8），提升运算能力| |提升|规律探究、实际应用|题24规律发现、25分子有理化比较大小，26题秦九韶公式解决面积问题，培养模型意识与创新思维|

湘教版八年级上册第三章 二次根式 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列各式中，属于二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．下列各式中属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 4．若要使有意义，则的取值范围为（     ） A．且 B．且 C．且 D．且 5．二次根式的计算结果为（     ） A． B． C． D． 6．估计的值在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 7．已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 8．如图，实数，在数轴上，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 9．已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．若，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 11．把 化简得（     ） A． B． C． D． 12．如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形，则剩下部分的面积为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 13．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_________． 14．化简的值为________． 15．与最简二次根式是同类二次根式，则_________． 16．正方形的边长为，它的面积与一个长为、宽为的长方形的面积相等，则的值为________． 17．若，则_______． 18．对于任意的正数、，定义一种新的运算“”，；如：，计算的结果为_____． 19．高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，物体自由下落的高度与所需的时间满足关系式，如果1个鸡蛋从离地面的高空落下，则鸡蛋落到地面所用的时间是_________． 20．我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念．如图所示的是一个简单的二阶幻圆模型，若内、外两个圆周上四个数之和以及外圆两直径上的四个数之和都相等，则__________． 三、解答题 21．计算 (1) (2) (3) (4)． 22．已知：，，求下列各式的值： (1)； (2)． 23．阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件，解得． ， 原式． 【启发应用】按照上面的解法，试化简（结果保留）； 24．【观察思考】 第个等式：；第个等式：；第个等式：；… (1)【规律发现】直接写出第个等式：__________________； (2)【规律表达】写出第个等式：__________________（用含的式子表示）； (3)【规律应用】根据上述规律，化简：． 25．阅读下面的材料：我们在学习二次根式时，通过适当的运算，把分母变为有理数的过程称为分母有理化．例如：，， 其中、叫做有理化因式，其实，有一个类似的方法叫作“分子有理化”， 即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 例如：． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小． 例如：比较和的大小． 解：，， ， ． (1)将二次根式进行“分子有理化”； (2)比较和的大小． 26．南宋数学家秦九韶提出利用三边计算三角形面积的公式：，其中a，b，c为三角形的三边长，．请利用该公式解决下列问题． (1)若三角形的三边长分别为5，6，7，求该三角形的面积； (2)若，，求该三角形面积S的最大值． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《湘教版八年级上册第三章� �二次根式》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B D C C A D B B 题号 11 12 答案 C C 1．D 【分析】根据二次根式要求被开方数是非负数，逐项判断即可． 【详解】解：A选项：，不是二次根式，故A选项不符合题意； B选项：当时，无意义，不一定是二次根式，故B选项不符合题意； C选项：当时，无意义，不一定是二次根式，故C选项不符合题意； D选项：，是二次根式，故D选项符合题意． 2．C 【详解】解：选项A：与不是同类二次根式，无法合并，，不符合题意； 选项B：，不符合题意； 选项C：，符合题意； 选项D：，不符合题意． 3．B 【分析】最简二次根式需同时满足两个要求：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：选项， 的被开方数是分数，含有分母，可化简为，不属于最简二次根式； 选项，的被开方数是整数，且不存在能开得尽方的因数，属于最简二次根式； 选项，，其中是能开得尽方的因数，可化简为，不属于最简二次根式； 选项，的被开方数中是能开得尽方的因式，可化简为，不属于最简二次根式． 4．D 【详解】解：∵ 二次根式有意义， ∴ ． ∵ 分式分母， ∴ ． 综上，的取值范围为且． 5．C 【分析】由即可得出结果． 【详解】解：． 6．C 【分析】利用二次根式的运算法则化简所求式子，再确定其中的近似取值范围，从而得到所求式子的取值范围． 【详解】解：， ， ， ． 7．A 【分析】把原式变形为，再把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 8．D 【分析】根据数轴上点的位置确定、的取值范围，进而判断、、的符号，利用绝对值的性质和二次根式的性质进行化简即可 【详解】解：由数轴可知：，， ，，， ． 9．B 【分析】先对所求分式通分变形，再计算与的值，代入化简后的式子即可求值，利用平方差公式简化计算过程. 【详解】解：先对通分变形，得： ， ， ， 将代入， 得： 10．B 【分析】本题利用二次根式的性质和绝对值的性质求解，根据等式得到关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解： ，且， ∴， ∴， 移项，得， 两边同除以，得． 11．C 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再利用二次根式的性质化简即可得到结果． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴． 12．C 【分析】先根据两个小正方形的面积可求得它们的边长，得出大正方形的边长，再求面积即可求得答案． 【详解】解：两个小正方形的面积分别为和， 这两个小正方形的边长分别为和， 大正方形的边长为， 余下部分的面积为：． 13． 【分析】二次根式在实数范围内有意义的条件为被开方数是非负数，据此列出不等式求解即可得到结果． 【详解】解：∵在实数范围内有意义 ∴， 解得． 14． 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定自变量的取值范围，再利用二次根式的性质，化简，最后合并同类项得到结果． 【详解】 解：要使有意义，可得 解得 由，可得 化简原式： ． 15． 【分析】被开方式相同的最简二次根式是同类二次根式，据此进行列式计算即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， 又∵与是同类二次根式， ∴， 解得． 16． 【分析】根据正方形与长方形面积相等列等式，结合正方形边长为正数，开平方求解的值. 【详解】解：根据题意，得 ， 正方形边长，舍去负根， 解得：． 17．1013 【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数非负求出x的值，进而求出y的值，最后代入求值即可． 【详解】解：∵式子要有意义， ∴， ∴， ∴， ∴． 18． 【详解】解：由题意可知：． 19． 【分析】将已知的下落高度代入给定关系式，再化简二次根式即可得到所求时间． 【详解】解：把代入，得， ∴如果1个鸡蛋从离地面的高空落下，则鸡蛋落到地面所用的时间是． 20．0 【分析】设内圆圆周上未知的数为c，根据外圆竖直方向直径上四个数的和等于内圆圆周上四个数的和列式，即可求解． 【详解】解：设内圆圆周上未知的数为c， 由题意得：， ∴． 21．(1) (2) （3）9 （4）．3 【详解】（1）解： ； （2）解： ． （3）解：原式 ． （4）解： ． 22．(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 23． 【分析】根据例子找出隐含条件，求出的取值范围，再根据算术平方根和绝对值的非负性，对原式进行化简． 【详解】解：， ∵隐含条件，解得， ∴， 原式． 24．(1)； (2)； (3) 【分析】直接由前面式子的结构特征，得到规律即可解决（1）（2），再由（2）中写出的规律对（3）化简即可． 【详解】（1）解：由前面式子所展示的规律可得第个等式：； （2）解：由前面式子所展示的规律可得第个等式：； （3）解：由（2）中规律可得： ． 25．(1) (2) 【分析】（1）利用题干中的方法将分子有理化即可； （2）利用题干中的方法先将它们分子有理化，通过比较倒数的大小得出结论． 【详解】（1）解：； （2）解：由题意得，， ， ， ， ． 26．(1) (2) 【分析】（1）先求得，再利用公式求解即可； （2）求得，代入公式得到，而，求得，据此求解即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：已知，，由， 得， ∴， 把，代入公式得， ， ， 又，即， ∴， ∴， ∴该三角形面积S的最大值为． 答案第8页，共9页 答案第7页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $