3.1二次根式的概念及性质 同步提升练习2026-2027学年湘教版八年级数学上册

**基本信息** 初中数学二次根式同步练，分层递进设计覆盖概念到素养，通过基础巩固、易错辨析、综合提升及素养探究，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |刷基础|二次根式概念、性质等单一知识点|基础题对应核心考点，如概念辨析、有意义条件判断| |刷易错|化简时被开方数范围等易错点|辨析题强化性质理解，如对比错误解法| |刷提升|化简、等式成立条件等综合应用|综合题整合多知识点，如含参数等式推理| |刷素养|规律猜想与验证等探究问题|探究题发展推理与创新意识，如“穿墙”性质规律总结|

3.1二次根式的概念及性质 课时 1 二次根式的概念及性质 刷基础 知识点1 二次根式的概念 1下列各式： 中，二次根式有 ( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 2下列各式中，一定是二次根式的是 ( ) 知识点2 二次根式有意义的条件 3下列各数中，使得 有意义的x的值是 ( ) A.1.5 B.-1 C.-3 D.-9 4若 有意义，则x的值是 . 5下列二次根式中，当x取何值时，各式有意义? 知识点3 6 的算术平方根是 ( ) A.7 C. 7 知识点4 8若 则x满足的条件是 ( ) A. x≥1 B. x≤1 C. x>1 D. x<1 9化简： 。 10已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简 2 的结果为 . 刷易错 易错点利用 化简时，不考虑被开方数a的范围致错 11求代数式 的值,其中 a =-2021.以下分别是小亮和小芳的解答过程. 小亮：原式： 小芳：原式： (1) 的解法是错误的. (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： . (3)求代数式 的值，其中a=-2 021. 刷提升 1化简 得 ( ) A.2 B.-2 C.-4x+4 D.4x-4 2若等式 在实数范围内成立，其中a，x，y是两两不同的实数，则 的值是 ( ) A.3 B. C.2 D. 3已知a，b满足等式 则 4已知n是正整数， 是整数，则满足条件的所有n的值为 . 5若 则a的取值范围是 6已 知 a,b 满足 则 ab 的值为 7若m满足关系式 则m= . 8【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数，它们的乘积与较大数的和一定为较大数的平方. 推理说明： 解:设m,m+1是连续的正整数(m≥1). 令q=m(m+1),所以q+m+1=m(m+1)+m+ 所以对于任意两个连续的正整数，它们的乘积与较大数的和一定为较大数的平方. 【类比猜想】(1)小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方. 请你推理说明； 【深入思考】(2)若 (m,n为两个连续奇数,0<m<n,q= mn),试推理说明p一定是偶数. 刷素养 核心素养运算能力[难]先观察下列等式，再回答下列问题： (1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想 的结果，并验证； (2)请你按照上面各等式反映的规律，计算： (仿照上面三个等式写出过程)； (3)请你用含 n(n为正整数)的式子表示上面各等式反映的规律. 课时2 积的算术平方根及最简二次根式 刷基础 学科网（北京）股份有限公司 知识点 1积的算术平方根 (a≥0,b≥0) 1下列式子正确的是( ) A. B. C. D. 2计算 的结果是 ( ) A. B.-7 2 C.28 D. 3若 成立，则 ( ) A. a≥0,b≥0 B. a≥0,b≤0 C. a>0,b>0 D. a>0,b<0 4设 用含a，b的式子表示 则下列正确的是 ( ) A.3ab B.2ab C. ab² D. a²b 5计算: 知识点2最简二次根式 6下列各式① 中，是最简二次根式的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7写出一个二次根式，使这个二次根式化成最简二次根式后，与 的被开方数相同，这个二次根式可以是 (写出满足条件的一个即可). 8若y>0，则二次根式 化为最简二次根式为 . 9若 是最简二次根式，则m 的值为 ，n的值为 10下列各式中，哪些是最简二次根式?哪些不是?对不是最简二次根式的式子进行化简. 11已知a，b 是整数，如果 是最简二次根式，求 的值及其平方根. 刷提升 1已知a>0,那么 可化简为 ( ) A. B. C. D. 2已知k,m,n为整数,若 则k，m，n的大小关系是 ( ) A. k<m<n B. m=n<k C. m<n<k D. m<k<n 3若二次根式 是最简二次根式，则最小的正整数 a 的值为 4已知m为正整数，若 是整数，则根据 可知m有最小值3×7=21.设n为正整数,若 是大于1的整数，则n 的最小值为 ，最大值为 . 5若等式 成立，则x的取值范围是 . 先来看一个有趣的现象： 根号里的数2经过适当地演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如 等. (1)猜想: 并验证你的猜想. (2)请用只含一个正整数n(n≥2)的式子来表示含有上述规律的等式. (3)请你再写出1个具有“穿墙”性质的数. 刷素养 7我们知道，任意一个二次根式√n(n为正整数)都可以进行这样的分解： (p,q是正整数，且p≤q).在√n的所有这种分解中，如果 最小，我们就称 是√n的最佳分解，并规定： 例如 可以分解成 或 显然 是 的最佳分解，此时 (1)直接写出 的最佳分解： ，F(24)= ; (2)若正整数m，n满足F(m)=1, 且35<m+n<40,求 F(m+n)的值. 3.1二次根式的概念及性质 课时 1 二次根式的概念及性质 1. B 【解析】 是二次根式； 的被开方数小于0，不是二次根式； 不符合二次根式的概念，不是二次根式； 因为 所以 所以 被开方数小于0，不是二次根式； 因为 0，所以 被开方数大于0，是二次根式； 因为 所以 所以 被开方数大于 0，是二次根式； 是二次根式； 当a<0时不是二次根式； 当x-2<0,即x<2时，不是二次根式.故选 B. 2. D【解析】A、B、C选项，被开方数可能为负数，二次根式无意义，故错误；D选项，可以变形为 被开方数一定为正数，所以 一定为二次根式. 3. A【解析】由题意得,3x+1≥0,解得 所以只有 A 选项符合题意，故选 A. 4.4【解析】由题意可知 解得 所以x=4. 5.【解】(1)根据二次根式有意义的条件可得33-2x≥0,解得 所以 时， 有意义. (2)根据二次根式有意义的条件可得 0.因为 所以 所以x为全体实数时， 有意义. (3)根据二次根式有意义的条件可得： 0,解得:x≥2..根据分式有意义的条件可得 x-x-6≠0,解得.x≠6,所以x≥2且x≠6时， 有意义. 6. C【解析】 的算术平方根是 故选C. 【解析】 8. A【解析】因为 所以x-1≥0,即x≥1,故选 A. 【解析】因为 所以 所以 故答案为 10. a-b【解析】观察数轴得-1<a<0<b<1,所以a+1>0,b-1<0,所以 2=|a+1|+|b-1|-2=a+1+1-b-2=a-b,故答案为a-b. 刷易错 11.(1)小芳 【解析】(1)因为a=-2021,所以1-a>0,所以 a|=1-a，故小芳的解法是错误的，故答案为小芳.(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： (3)【解】 2|a-3|.因为a=-2021,所以a-3<0,所以原式=a+2(3-a)=a+6-2a=6-a=6-(-2021)=6+2021=2027,即代数式a+ 的值是2027. 刷提升 1. A【解析】依题意得,1-2x≥0,所以 所以 2x)=2,故选 A. 2. B【解析】由二次根式的性质可得，a(x-a)≥0,a(y-a)≥0,x-a≥0,a-y≥0.由a(x-a)≥0和x-a≥0可以得到a≥0.由a(y-a)≥0和a-y≥0可以得到a≤0,所以a=0, 所以 所以x=-y,即y=-x.由于x=-y,y=-x.x，y，a是两两不同的实数，所以.x>0,y<0.将y =− x代入 原 式 得,原式= 故选B. 4.9,7,1 【解析】因为 所以 所以a-5≥0,所以 故答案为 【解析】因为 当a≥2时，a-2=a+3不成立，所以a<2,则2-a=a+3,解得 因为 所以a-b+1=1或0，解得 或 所以ab= 故答案为 7.201 【解析】由题意可得 所以 所以x+y=199,①所以 所以3x+5y-2-m=0,②2x+3y-m=0,③联立①②③，解得 所以m的值为201.故答案为201. 8.【解】(1)设m,m+1是连续的正整数(m≥1).令q=m(m+1),所以 所以任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方. (2)因为m,n为两个连续奇数,0<m<n,所以n=m+2,所以 所以 2(m+1),所以p一定是偶数. 刷素养 9.【解】 验证： (n为正整数). 积的算术平方根及最简二次根式 刷基础 1. D 【解析】A 选项,原式 故本选项错误. B选项，原式 运算过程中，被开方数为非负数，故本选项错误. C选项，原式不能化简，故本选项错误. D选项，原式 故本选项正确.故选 D. 2. C 【解析】原式 故选 C. 3. B 【解析】因为 成立，所以a≥0,b≤0.故选 B. 4. A 【解析】 5.(1)84 (2)268 【解析】 12×7=84. 6. B 【解析】 是最简二次根式； 不是最简二次根式； 是最简二次根式； 不是最简二次根式； 不是最简二次根式，所以最简二次根式为①③，共2个.故选 B. (答案不唯一)【解析】因为 所以 满足题意.故答案为 (答案不唯一). 【解析】因为二次根式 中 所以 所以 故答案为 9.0-1【解析】因为 是最简二次根式，所以：2n+3=1,3m+1=1,所以m=0,n=-1. 10.【解】 不是最简二次根式. 不是最简二次根式. 不是最简二次根式. 不是最简二次根式. 不是最简二次根式. 不是最简二次根式. 是最简二次根式. 不是最简二次根式. 11.【解】因为 是最简二次根式，所以a=a=1,2b-5=1,解得a=1,b=3,所以 所以 的平方根为：±2. 刷提升 1. C【解析】因为a>0,所以b<0,所以 故选 C. 2. D 【解析】因为 所以.k=3,m=2,n=5,所以m<k<n,故选 D. 3.2【解析】因为a为正整数，所以当a=1时， 不是最简二次根式；当a=2时， 是最简二次根式，所以二次根式. 是最简二次根式时，最小的正整数a的值为2，故答案为2. 4.3 75 【解析】 5.0≤x≤2【解析】因为 所以 即 所以 解得( 2.故答案为0≤x≤2. 6.【解】 验证： (答案不唯一) 7.【解】 可以分解为 显然 是 的最佳分解，此时 故答案为 (2)因为 所以可设 其中 k 为正整数，所以 n =n= 因为35<m+n<40,所以n=30. 因为F(m)=1,所以m 是一个正整数的平方数.因为35<m+n<40,所以5<m<10,所以m=m=9，所以 $