5.4 二元一次方程与一次函数 第1课时 课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦二元一次方程（组）与一次函数的关系，从已学的代入法、加减法解方程组导入，通过“如何用函数观点看待方程组的解”的问题，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生探究方程解与函数图像点的对应。 其亮点是以问题链驱动探究，通过绘制函数图像、分析交点与方程组解的关系，培养学生几何直观和推理意识。用表格归纳方程组解与图像位置关系（如平行对应无解），体现模型意识，典例中两函数交点坐标即为方程组的解。帮助学生理解数形结合，教师可借助清晰逻辑提升教学效果。

第五章　二元一次方程组 5.4 二元一次方程与一次函数 北师大版八年级上册 第1课时 二元一次方程(组)与一次函数 导入新课 我们已经学会了求一个二元一次方程组的解的方法，比如可以用代入法，也可以用加减法． 我们如何用函数的观点来看待方程组的解呢？ 2 探究新知 问题1：方程 x + y = 5 的解有多少个? 写出其中的几个. 无数个 问题2：等式 x + y = 5 还可以看成一个一次函数，把它变成 y = kx + b 的形式是_____________. y = -x + 5 问题3：画出 y = -x + 5 的图象： x 0 y = -x+5 0 y = -x + 5 追问1：以方程 x + y = 5 的解为坐标的点都在一次函数 y = -x + 5 的图象上吗？ 都在 5 5 追问2：在一次函数 y = -x + 5的图象上任取一点，点的坐标适合方程 x + y = 5 吗？ 都适合 追问3：以方程 x + y = 5 的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数 y = -x + 5 的图象相同吗？ 相同 y = -x + 5 一次函数 y = -x＋5 图象上的点 方程 x + y = 5 的解 从形到数 从数到形 二元一次方程的解 一次函数图象上点的坐标 一一对应 求ax+b=0(a≠0)的解 求ax+b=0(a≠0)的解 x为何值时 y=ax+b的值为0 确定直线y=ax+b与x轴交点的横坐标 从数的角度看： 从形的角度看： 归纳总结 1.以方程 2x + y = 5 的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数 的图象相同. y = -2x + 5 练一练 2.如图所示的四条直线，其中直线上每个点的坐标都是方程 x - 2y = 2 的解的是（ ） C y x o -1 2 y x o -2 1 y x o -1 2 y x o -0.5 1 D A B C 问题1：请在同一直角坐标系a内分别画出函数 y = -x + 5 与 y = 2x - 1 的图象，找出它们的交点坐标 交点的坐标为 (2，3) y = 2x - 1 y = -x + 5 典例精析 问题2：解方程组 解得 思考：这两个一次函数的交点坐标与这个二元一次方程组的解有什么关系？ y = 2x - 1 y = -x + 5 交点的坐标就是方程组的解. 两个 两条 交点坐标 每个二元一次方程组都对应____一次函数，于是也对应____直线．一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组，相当于确定相应两条直线的_________． 归纳总结 已知两条直线 y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2，如果它们在平面直角坐标系内相交，交点坐标为 (m，n)， 方程组 y＝k1x＋b1 ， y＝k2x＋b2 x＝m， y＝n 的解为 若二元一次方程组的解为则函数 y = 5 - x 与 y = -2x + 8 的图象的交点坐标为_______. （3，2） 练一练 问题3：在同一直角坐标系内，一次函数 y = x + 1 和 y = x - 2 的图象有怎样的位置关系？ 方程组解的情况如何？ 平行 方程组无解 二元一次方程组的解 两个一次函数的图象 无解 平行（无交点） 有一个解 相交（有一个交点） 有无数个解 数 形 重合（有无数个交点） 归纳总结 点 Q 的横坐标为一元一次方程3x＋7＝32－2x 的解，纵坐标为 a＋b 的值，其中a，b 满足二元一次方程组，则点 Q 关于 y 轴对称点 Q′ 的坐标为 ． (－5，－4) 练一练 二元一次方程与一次函数的关系 二元一次方程的解就是函数图象上的点的坐标，函数图象上的点的坐标就是二元一次方程的解 方程与函数之间的转换（数→形） 课堂小结 二元一次方程组无解，它对应的两个函数图象无交点，即两条直线平行 二元一次方程组与一次函数的关系 二元一次方程组的解就是对应的两个函数图象的交点的坐标； 两个函数图象的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解 k1＝k2时 k1≠k2时 1.填空：二元一次方程2x－y＝4有　 　个解，以它的每一组解为坐标的点都在一次函数　 　的图象上.  无数 y＝2x－4 课堂练习 2.以二元一次方程2x＋y＝－1的解为坐标的点组成的图象可能是( ) D A.3x－2y＋3.5＝0 B.3x－2y－3.5＝0 C.3x－2y＋7＝0 D.3x＋2y－7＝0 3.如图，过点Q(0，3.5)的一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于点P，则以这个一次函数图象上的点坐标为解的方程是( ) D 4.[教材P132习题5.4第1题改编]下列方程组的解组成的有序数对是一次函数y＝2－x和y＝3x＋2的图象的交点坐标的是( ) A. B. C. D. B 5.如图，一次函数y＝2x＋1的图象与y＝kx＋b的图象相交于点A，则方程组的解是  　.  6.[教材P129随堂练习第3题改编]如图，一次函数y1＝2x＋m与y2＝2x＋n(m≠n)的图象位置关系是　 　；关于x，y的二元一次方程组的解的个数为　 　.  　0　 　平行　 7.利用一次函数的图象，求方程组的解. 解：图略.方程组的解为 8.下列选项中，直线上的每一个点的坐标都是二元一次方程2x－3y＝6的解的是( ) D 9.若以关于x，y的二元一次方程x＋2y－b＝0的解为坐标的点(x，y)都在一次函数y＝－x＋b－1的图象上，则常数b的值为( ) A.2 B.1 C. D.－1 A 10.已知关于x，y的二元一次方程组无解，则一次函数y＝kx－1的图象不经过的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 B 11.如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，b). (1)求b的值. 解：(1)将点P(1，b)代入y＝x＋1，得b＝2. (2)不解关于x，y的方程组请直接写出它的解. (2)方程组的解为 (3)直线l3：y＝nx＋m是否经过点P?请说明理由. 解：(3)直线l3：y＝nx＋m经过点P. 理由：因为y＝mx＋n经过点P(1，2)， 所以m＋n＝2，所以直线y＝nx＋m经过点P. 12.如图，已知一次函数y＝－x＋b的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与正比例函数y＝2x的图象交于点C(1，a). (1)求a，b的值. 解：(1)a＝2，b＝. (2)在y＝2x的图象上是否存在点P，使△BOP的面积比△AOP的面积大5?若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. 解：(2)存在.理由：设点P的坐标为(x，2x). 由(1)可得点A的坐标为，点B的坐标为(5，0)，所以S△BOP＝OB·|2x|＝5|x|， S△AOP＝OA·|x|＝|x|. 当5|x|＝|x|＋5时，解得x＝±， 所以点P的坐标为. $