5.4 二元一次方程与一次函数（六大题型）2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦二元一次方程与一次函数的数形结合，通过六类递进题型构建从基础解析式到综合应用的知识网络 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求一次函数解析式|3题|已知点坐标/平行关系求解析式|从代数表达式到几何意义的转化，培养抽象能力| |两直线交点与方程组解|3题|由交点坐标/图像求方程组解|体现函数与方程的等价关系，发展推理意识| |图像法解方程组|3题|通过图像交点确定方程解|强化数形结合思想，提升几何直观| |直线围成图形面积|3题|结合交点与坐标轴求面积|综合运用函数性质与几何计算，培养运算能力| |三元一次方程组定义及解|3题|含参数方程组及整体思想应用|从二元到三元的知识延伸，发展数学思维| |三元一次方程组应用|3题|购物情境中的数量关系问题|建立实际问题模型，提升模型意识与应用能力|

5.4 二元一次方程与一次函数 题型一 求一次函数解析式 1．函数的图象经过点，则b的值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．7 2．某函数图象与正比例函数的图象平行，且经过点，则这个函数的表达式是____． 3．如图，平面直角坐标系中，直线与轴的交点为，与轴的交点为． (1)求直线的解析式及点的坐标，并画出直线； (2)将向下平移3个单位得到，求直线的解析式． 题型二 两直线的交点与二元一次方程组的解 4．若一次函数与（、为常数，且）的图象交于点，且点的纵坐标为，则关于、的二元一次方程组的解是（     ） A． B． C． D． 5．如图，直线：与直线：相交于点，则关于，的方程组的解为_______________． 6．如图，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点，与一次函数的图象相交于点P． (1)求的值； (2)若点P的横坐标为1，求方程组的解． 题型三 图像法解二元一次方程组 7．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，观察其图象可知方程x+5＝ax+b的解（　　） A．x＝15 B．x＝25 C．x＝10 D．x＝20 8．在平面直角坐标系中，函数和的图象如图所示，那么关于x，y的二元一次方程组的解是________． 9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与x轴相交于点B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1． (1)求k和b的值； (2)请直接写出方程组的解； (3)若点D在上，且满足，求点D的坐标． 题型四 求直线围成的图形面积 10．如图，已知直线：与直线：交于点，交轴于点，交轴于点，将线段沿方向平移，当与重合时，线段扫过的面积为（     ） A．24 B．12 C．6 D．3 11．如图，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，且直线与x轴交于点C，则的面积为______． 12．如图，一次函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象与y轴交于点，C为两函数图象的交点，且点C的横坐标为2． (1)求C点坐标及一次函数的函数解析式； (2)求的面积； (3)在x轴上，是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型五 三元一次方程组的定义及解 13．若方程组的解满足方程，则k的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 14．已知方程组，则________． 15．数学活动：探究不定方程： 小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组，虽然解不出具体数值，但可以解出，的值． (1)小川的方法：整理可得：________； 整理可得：_______；∴ 小渝的方法：：__________________；∴． (2)已知，试求解的值． 题型六 三元一次方程组的应用 16．有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需31.5元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需42元，则购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（    ） A．12元 B．10.5元 C．9.5元 D．9元 17．小红、小莉去花店买花．小红买了3枝玫瑰、7枝康乃馨、1枝百合，花了28元；小莉买了4枝玫瑰、10枝康乃馨、1枝百合，花了32元．小莹看到后表示自己准备三种花各买2枝，则她要付多少钱______． 18．阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程： 令，原方程组化为，解得， 把代入，得，解得， ∴原方程组的解为． 学以致用： (1)解方程组： (2)有甲、乙、丙三种商品，如果购买甲3件、乙2件、丙1件共需315元，购买甲1件、乙2件、丙3件共需285元，求购买甲、乙、丙三种商品各1件共需多少钱． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.4 二元一次方程与一次函数 题型一 求一次函数解析式 1．函数的图象经过点，则b的值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】B 【分析】利用点在函数图象上则点的坐标满足函数解析式，代入坐标求解一元一次方程即可得到b的值． 【详解】解：∵函数的图象经过点， 将，代入，得 ， 解得． 2．某函数图象与正比例函数的图象平行，且经过点，则这个函数的表达式是____． 【答案】 【分析】设所求函数的表达式为，根据一次函数图象的性质：平行的两个一次函数的图象的表达式中一次项系数相等，可先确定所求函数的一次项系数为，再将已知点的坐标代入求出常数项，即可得到函数表达式． 【详解】解：设所求函数的表达式为， 所求函数图象与正比例函数的图象平行， ， 又函数经过点， 将代入，得 ， 解得， 这个函数的表达式为． 3．如图，平面直角坐标系中，直线与轴的交点为，与轴的交点为． (1)求直线的解析式及点的坐标，并画出直线； (2)将向下平移3个单位得到，求直线的解析式． 【答案】(1)，， 画图如下： (2)直线的解析式 【分析】（1）将代入得：，再进一步描点画图即可； （2）设的解析式为，结合题意得，l向下平移3个单位过点，进一步求解即可． 【详解】（1）解：将代入得：， ， 令，则， 解得：， ， 如图略； （2）解：设的解析式为， 由题意得，l向下平移3个单位过点， 将代入得， ， 题型二 两直线的交点与二元一次方程组的解 4．若一次函数与（、为常数，且）的图象交于点，且点的纵坐标为，则关于、的二元一次方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解，先根据交点纵坐标结合已知一次函数求出横坐标，即可得到方程组的解． 【详解】解：∵二元一次方程组的解就是两个对应一次函数图象的交点坐标， 又∵交点的纵坐标为，且在上， ∴将代入，得， 解得， ∴交点的坐标为，即原方程组的解为． 5．如图，直线：与直线：相交于点，则关于，的方程组的解为_______________． 【答案】 【分析】先利用点在直线上求出的值，确定交点坐标，进而得出方程组的解． 【详解】解：直线 与直线相交于点， 点在直线 上， ， 点的坐标为 方程组可变形为， 该方程组的解即为直线与的交点坐标， 关于的方程组的解为．. 6．如图，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点，与一次函数的图象相交于点P． (1)求的值； (2)若点P的横坐标为1，求方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用待定系数法求得函数解析式，即可求解； （2）根据二元一次方程组的解为所对的一次函数的交点横纵坐标即可求解． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得：， （2）解：∵点P的横坐标为1， ∴当时，， 则点， ∵一次函数与一次函数的图象相交于点， ∴方程组的解为． 题型三 图像法解二元一次方程组 7．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，观察其图象可知方程x+5＝ax+b的解（　　） A．x＝15 B．x＝25 C．x＝10 D．x＝20 【答案】D 【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解． 【详解】解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25）， ∴方程x+5＝ax+b的解为x＝20． 故选：D． 8．在平面直角坐标系中，函数和的图象如图所示，那么关于x，y的二元一次方程组的解是________． 【答案】 【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解即为两函数图象交点的坐标，观察图象找出交点坐标即可． 【详解】解：∵函数与的图象的交点坐标为， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为． 9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与x轴相交于点B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1． (1)求k和b的值； (2)请直接写出方程组的解； (3)若点D在上，且满足，求点D的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点D的坐标或． 【分析】（1）由正比例函数表达式求出交点C坐标，再利用待定系数法求一次函数的解析式即可求解； （2）识别出方程组就是一次函数与正比例函数的表达式组成的，故解为其交点坐标； （3）设，分别求出和，分两种情况讨论利用三角形面积公式分别列式求解即可． 【详解】（1）解：∵点C在上，且点C的横坐标为1， 将代入，得， ， 将，代入， 得， 解得 ； （2）解：变形为， 由图象和方程组知，的解为函数与的交点坐标，即， ∴方程组的解为； （3）解：∵点D在上，直线的解析式为， 设，过点作轴于点M，过点作轴于点N， 当时，，解得， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴． 当点在延长线上时， 同理得， 解得， ∴， ∴， 综上，点D的坐标或． 题型四 求直线围成的图形面积 10．如图，已知直线：与直线：交于点，交轴于点，交轴于点，将线段沿方向平移，当与重合时，线段扫过的面积为（     ） A．24 B．12 C．6 D．3 【答案】B 【分析】先分别求出点和点的坐标，得到的长度，根据题意线段扫过的图形是平行四边形，利用平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】已知直线为，且交轴于点， 令，解得，所以点的坐标为， 已知直线为，且交轴于点， 令，解得，所以点的坐标为， 所以． 联立直线和直线的方程组。 ， 由，得，解得， 将代入中，可得， ∴交点的坐标为， 将线段沿方向平移，当与重合时，点动到点处，如图所示： ∵线段在轴上，且平移方向为， ∴线段扫过的图形是平行四边形， ∵点的坐标为，所以点到轴的距离为， ∴线段扫过的面积为． 11．如图，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，且直线与x轴交于点C，则的面积为______． 【答案】4 【分析】此题考查一次函数与坐标轴的交点坐标的求法，两个一次函数交点的坐标的求法，理解方程及方程组与一次函数的关系是解题的关键．先根据函数解析式分别求出点A、B、C、D的坐标，再根据的面积的面积的面积求出答案． 【详解】解：记直线与轴交于点， 在中，当时，， 解得， ∴， 在中，当时，， ∴， 解方程组，得， ∴， 过点B作轴，则， 在中，当，时，解得， ∴， ∴，, ∴ ． 故答案为:． 12．如图，一次函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象与y轴交于点，C为两函数图象的交点，且点C的横坐标为2． (1)求C点坐标及一次函数的函数解析式； (2)求的面积； (3)在x轴上，是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)的面积为； (3)在x轴上存在一点，使得，点的坐标为或． 【分析】（1）将代入可求出点C坐标，再利用待定系数法即可解决问题； （2）求出点的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可； （3）先求出和点D坐标，由构造方程，求出即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， ， 设， 把，代入，得 解得， ； （2）解：一次函数的图象与轴交于点， ， ， ； （3）解：存在，理由如下： ， ， 当点在轴上时，如图， 设直线与轴交于点， ， ， ， ， ，， 点的坐标为或， 综上，在x轴上，存在一点，使得，点的坐标为或． 题型五 三元一次方程组的定义及解 13．若方程组的解满足方程，则k的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】利用加减消元的思想，先将三个方程相加求出的值，再代入求解即可． 【详解】解：将方程组中三个方程左右两边分别相加，得： ， ∴， ， 将代入得： ， 解得：． 14．已知方程组，则________． 【答案】8 【分析】将乘以2，得，再减去即可得到解答． 【详解】解：， 由得：， 由得：． 15．数学活动：探究不定方程： 小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组，虽然解不出具体数值，但可以解出，的值． (1)小川的方法：整理可得：________； 整理可得：_______；∴ 小渝的方法：：__________________；∴． (2)已知，试求解的值． 【答案】(1)；； (2)3 【详解】（1）解：依题意，小川的方法：，得：， 整理得：， ，得：， 整理得：， ． 小渝的方法：，得：， ． （2）解：， 由得：， 整理得：， 由得：， 整理得：， 则． 题型六 三元一次方程组的应用 16．有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需31.5元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需42元，则购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（    ） A．12元 B．10.5元 C．9.5元 D．9元 【答案】B 【分析】设铅笔、练习本、圆珠笔的单价分别为、、元，根据题意列出方程组，求出的值． 【详解】解：设铅笔每支元，练习本每本元，圆珠笔每支元． 根据“购铅笔支，练习本本，圆珠笔支共需元”， 可得：①； 根据“购铅笔支，练习本本，圆珠笔支共需元”， 可得：②． 用②①可得： 即：． 故选：B． 17．小红、小莉去花店买花．小红买了3枝玫瑰、7枝康乃馨、1枝百合，花了28元；小莉买了4枝玫瑰、10枝康乃馨、1枝百合，花了32元．小莹看到后表示自己准备三种花各买2枝，则她要付多少钱______． 【答案】 【分析】设玫瑰、康乃馨、百合花的单价分别为元，元，元，根据题意列出两个方程，得到三元一次方程组，整理求出的值，即可求解． 【详解】解：设玫瑰、康乃馨、百合花的单价分别为元，元，元， 根据已知条件，列出方程组， ，得 ， ∴， ∴． 所以小莹应付元． 18．阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程： 令，原方程组化为，解得， 把代入，得，解得， ∴原方程组的解为． 学以致用： (1)解方程组： (2)有甲、乙、丙三种商品，如果购买甲3件、乙2件、丙1件共需315元，购买甲1件、乙2件、丙3件共需285元，求购买甲、乙、丙三种商品各1件共需多少钱． 【答案】(1) (2)购买甲、乙、丙三种商品各1件共需150元 【分析】（1）根据题中所给的换元法进行求解即可； （2）设购买1件甲商品需元，购买1件乙商品需元，购买1件丙商品需元，由题意得：，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可令，原方程组化为， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：设购买1件甲商品需元，购买1件乙商品需元，购买1件丙商品需元，由题意得： ， 得：， ∴； 答：购买甲、乙、丙三种商品各1件共需150元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $