第2章等式与不等式 单元检测·基础篇-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

**基本信息** 2026-2027学年高中数学沪教版必修第一册第2章“等式与不等式”单元检测基础篇，90分钟150分，覆盖等式与不等式核心知识，注重基础巩固与能力梯度，适配单元复习，培养抽象能力、运算能力及推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/54|不等式性质、解集，基本不等式求最值，二次函数开口/对称轴/单调性|基础题为主，如第3题解不等式，夯实基础| |选择题|4/18|基本不等式等号条件，二次函数与x轴交点，不等式解集与参数关系|辨析性强，如14题考查等号条件，培养推理意识| |解答题|5/78|解不等式，二次函数配方与区间最值，含参数不等式解集|分层设计，21题参数讨论提升综合应用，契合核心素养|

2026-2027学年高中数学沪教版必修第一册第2章等式与不等式 单元检测·基础篇（原卷版） 考试时间：90分钟 满分：150分 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 得分：________ 一、填空题（本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分。） 1.（4分）已知 ，则 __________。（填“”“”或“”） 2.（4分）已知 ，，则下列不等式一定成立的是__________。（填序号） ①  ②  ③  ④ 3.（4分）不等式 的解集为__________。 4.（4分）已知 ，则 的最小值为__________。 5.（4分）已知 ，则 的最小值为__________。 6.（4分）已知 ，则 的最大值为__________。 7.（5分）二次函数 的开口方向为__________，对称轴为直线__________。 8.（5分）二次函数 的顶点坐标为__________。 9.（5分）不等式 的解集为__________。 10.（5分）已知一元二次方程 的两根为 和 ，则不等式 的解集为__________。 11.（5分）二次函数 在区间 上的最小值为__________。 12.（5分）二次函数 的单调递减区间为__________。 二、选择题（本大题共4小题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 13.（4分）已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A.   B.   C.   D. 14.（4分）基本不等式 中等号成立的条件是（　　） A.   B.   C.   D. 15.（5分）二次函数 的图像与 轴的交点坐标为（　　） A. ，  B. ，  C. ，  D. ， 16.（5分）已知不等式 的解集为 ，则下列说法正确的是（　　） A.   B.   C.   D. 无法判断 三、解答题（本大题共5小题，17-19题每题14分，20-21题每题18分，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17.（14分） 解下列不等式： （1）； （2）； （3）。 18.（14分） 已知 ，求下列函数的最小值： （1）； （2）。 19.（14分） 已知二次函数 。 （1）将函数配方成顶点式； （2）求函数的对称轴和顶点坐标； （3）写出函数的单调递增区间和单调递减区间。 20.（18分） 已知二次函数 。 （1）求函数 在区间 上的最大值和最小值； （2）求函数 在区间 上的最大值和最小值。 21.（18分） 已知一元二次方程 的两根为 和 。 （1）写出不等式 的解集； （2）若不等式 的解集为 ，求 和 的值； （3）若不等式 的解集为 ，求 和 的值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高中数学沪教版必修第一册第2章等式与不等式 单元检测·基础篇（解析版） 考试时间：90分钟 满分：150分 一、填空题（本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分。） 1.（4分）已知 ，则 __________。（填“”“”或“”） 答案： 解析： 。因为 ，所以 ，，故 ，即 。 易错点提醒： 作差法是比较实数大小的基本方法。注意提取公因式后判断每个因式的符号。 2.（4分）已知 ，，则下列不等式一定成立的是__________。（填序号） ①  ②  ③  ④ 答案： ① 解析： 由不等式同向可加性， 且 ，则 ，①正确。②错误，同向不等式不能相减；③错误，需 时才成立；④错误，需 时才成立。 易错点提醒： 同向不等式可相加，但不能相减、相乘（需同号）或相除（需同号）。 3.（4分）不等式 的解集为__________。 答案： 解析： ，解得 。 易错点提醒： 解一元二次不等式时，若二次项系数为正，“小于0取中间，大于0取两边”。 4.（4分）已知 ，则 的最小值为__________。 答案： 2 解析： 由基本不等式 ，当且仅当 时取等号。 易错点提醒： 基本不等式需满足“一正二定三相等”，本题 满足正数条件。 5.（4分）已知 ，则 的最小值为__________。 答案： 6 解析： 由基本不等式 ，当且仅当 时取等号。 易错点提醒： 注意 ，等号成立时 ，即 。 6.（4分）已知 ，则 的最大值为__________。 答案： 1 解析： ，当且仅当 时取最大值1。也可用基本不等式：由 ，。 易错点提醒： 基本不等式需满足“一正”条件，即 。 7.（5分）二次函数 的开口方向为__________，对称轴为直线__________。 答案： 开口向上； 解析： 二次项系数为 ，开口向上；对称轴 。 易错点提醒： 二次函数 的对称轴为 。 8.（5分）二次函数 的顶点坐标为__________。 答案： 解析： 配方 ，顶点坐标为 。 易错点提醒： 配方法求顶点是二次函数的核心技能，注意符号。 9.（5分）不等式 的解集为__________。 答案： 解析： ，解得 或 。 易错点提醒： “大于0取两边”，注意解集为两个区间。 10.（5分）已知一元二次方程 的两根为 和 ，则不等式 的解集为__________。 答案： 解析： 由两根为2和3，且二次项系数为正，不等式小于0取中间，故解集为 。 易错点提醒： 由方程根写不等式解集时，注意二次项系数的正负。 11.（5分）二次函数 在区间 上的最小值为__________。 答案： 0 解析： ，对称轴 ，最小值为 。 易错点提醒： 区间最值需判断对称轴是否在区间内。 12.（5分）二次函数 的单调递减区间为__________。 答案： 解析： ，开口向上，对称轴为 ，在对称轴左侧单调递减，故单调递减区间为 。 易错点提醒： 单调区间端点取与不取均可，通常取闭区间。 二、选择题（本大题共4小题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 13.（4分）已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A.   B.   C.   D. 答案： C 解析： 不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，故 一定成立。A、B、D均可举反例推翻。 易错点提醒： 不等式两边同乘（除）一个数时，需先判断该数的符号。 14.（4分）基本不等式 中等号成立的条件是（　　） A.   B.   C.   D. 答案： B 解析： 基本不等式 ，等号成立当且仅当 ，即 ，又 ，故 。 易错点提醒： 基本不等式成立的前提是 。 15.（5分）二次函数 的图像与 轴的交点坐标为（　　） A. ，  B. ，  C. ，  D. ， 答案： A 解析： 令 ，，因式分解得 ，解得 或 。 易错点提醒： 二次函数与 轴交点的横坐标即对应方程的根。 16.（5分）已知不等式 的解集为 ，则下列说法正确的是（　　） A.   B.   C.   D. 无法判断 答案： A 解析： 解集为两根之间，说明二次项系数 。若 ，解集应为两根之外。 易错点提醒： 二次不等式解集与二次项系数的关系：“小于0取中间”对应 。 三、解答题（本大题共5小题，17-19题每题14分，20-21题每题18分，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17.（14分） 解下列不等式： （1）； （2）； （3）。 答案： （1）；（2）；（3）。 解析： （1），解得 或 ，解集为 .........（5分） （2），解得 ，解集为 .........（5分） （3）两边同乘 -1 得 ，，解得 或 ，解集为 .........（4分） 易错点提醒： 解二次不等式时注意将二次项系数化为正数，避免开口方向判断错误。 18.（14分） 已知 ，求下列函数的最小值： （1）； （2）。 答案： （1）4；（2）8。 解析： （1）由基本不等式 ，当且仅当 时取等号，故最小值为4 .........（7分） （2）由基本不等式 ，当且仅当 时取等号，故最小值为8 .........（7分） 易错点提醒： 基本不等式求最值时，需验证等号成立的条件是否满足。 19.（14分） 已知二次函数 。 （1）将函数配方成顶点式； （2）求函数的对称轴和顶点坐标； （3）写出函数的单调递增区间和单调递减区间。 答案： （1）；（2）对称轴 ，顶点 ；（3）单调递减区间 ，单调递增区间 。 解析： （1） .........（4分） （2）由顶点式可知对称轴为 ，顶点坐标为 .........（5分） （3）开口向上，在对称轴左侧单调递减，右侧单调递增，故单调递减区间为 ，单调递增区间为 .........（5分） 易错点提醒： 二次函数单调区间的描述需基于开口方向和对称轴位置。 20.（18分） 已知二次函数 。 （1）求函数 在区间 上的最大值和最小值； （2）求函数 在区间 上的最大值和最小值。 答案： （1）最大值5，最小值-4；（2）最大值5，最小值-4。 解析： （1），对称轴 ，故最小值为 .........（4分） 最大值在端点取得：，，故最大值为5 .........（5分） （2）对称轴 ，最小值为 .........（4分） 最大值在端点取得：，，故最大值为5 .........（5分） 易错点提醒： 闭区间二次函数最值需同时考虑对称轴是否在区间内以及端点值。 21.（18分） 已知一元二次方程 的两根为 和 。 （1）写出不等式 的解集； （2）若不等式 的解集为 ，求 和 的值； （3）若不等式 的解集为 ，求 和 的值。 答案： （1）；（2），；（3），。 解析： （1）由两根为2和3，且二次项系数为正，小于0取中间，故解集为 .........（4分） （2）解集为 ，说明方程 的两根为1和3 由韦达定理：， .........（7分） （3）解集为 ，说明方程 的两根为 -2 和 4 由韦达定理：， .........（7分） 易错点提醒： 韦达定理中两根之和 ，注意符号；两根之积 。 学科网（北京）股份有限公司 $