第2章 等式与不等式（单元测试·提升卷）数学沪教版2020必修第一册

2025-2026学年高一上册数学单元检测卷 第2章 等式与不等式·能力提升（参考答案） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）。 1、 必要不充分条件 2、/ 3、 4、 3 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、2 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案. 13 14 15 16 B A B B 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】（1）因为，，（2分） 所以，（4分） 所以．（6分） （2）由，，得，，（10分） 所以．（14分） 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】（1）当时，原不等式为：，（2分） 即，解得，（4分） 所以不等式解集为：.（6分） （2）不等式解集为R，（7分） 当时，恒成立，则符合题意，（8分） 当时，二次函数的值永远小于0，则其图象总在x轴下方，（10分） 于是得，即，解得，（12分） 综上得：，（13分） 所以k的取值范围是：.（14分） 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】（1）根据题意，得方程的两个根为1和，（2分） 由根与系数的关系得，（5分） 解之得（6分） （2）由（1）得关于的不等式，（7分） 即，因式分解得．（9分） ①当时，原不等式的解集为；（10分） ②当时，原不等式的解集为；（12分） ③当时，原不等式的解集为；（14分） 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 【详解】（1）解：因为，则， 所以，，（1分） 所以，这个一元二次方程为，即，（3分） 即.（4分） （2）解：因为 ，可得，（6分） 因为，则，可得，则，（7分） 对于方程，，可得，（8分） 所以，，解得或，（9分） 因此，实数的取值范围是或.（10分） （3）解：由，可得，（11分） 因为集合，，且中元素个数不超过，（12分） 则，即，（13分） 可得，所以，，（14分） 所以，正整数的可能取值集合为，（15分） 当时，方程为，解得，，则，合乎题意；（16分） 当时，方程为，解得，，（17分） 此时，，合乎题意. 综上所述，正整数的取值范围是.（18分） 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 【详解】（1）因为， 所以， 所以，（1分） 所以，（2分） ，（3分） 当且仅当，即时等号成立， 故取得最小值.（4分） （2）①因为，所以，（5分） 因为 ，（7分） 当且仅当且同号时取等号，此时满足，（9分） 所以.（10分） ②令，所以，（11分） 由，解得，（13分） 构造，由，则，（14分） 所以，利用①中结论，有： （16分） 当且仅当且时，即取等号，（17分） 解得时，取最小值.（18分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第2章 等式与不等式·能力提升 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．“”是“”的 .（横线上填写“充要条件”、“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“既不充分也不必要条件”其中的一个.） 2．若正实数满足，则的最小值为 . 3．已知，则的范围是 4．已知方程的两个根为、，则的值为 . 5．已知，则的最小值为 . 6．若不等式的解集为，则实数的取值范围是 . 7．已知，，，则的最小值为 ． 8．若不等式的解集是，则的解集为 ． 9．存在使不等式成立，则实数的取值范围是 . 10．如图，已知矩形的周长为16，以为折痕将向翻折，翻折后边交于点.则当的面积取最大值时， .    11．已知，定义：表示不小于的最小整数，如：，，，若，则的取值范围是 . 12．表示三个数中的最大值，对任意的正实数x，y，则的最小值是 ． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 14．不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 15．已知“”是：“”成立的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16．若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．5 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知，． (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知关于的不等式． (1)若，求不等式的解集； (2)若不等式的解集为，求的取值范围． 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知关于的不等式的解集为或 (1)求的值； (2)解关于的不等式 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 已知，一个二次项系数为的一元二次方程的两个不等实根分别为和，且满足. (1)直接写出该一元二次方程； (2)若，求的取值范围； (3)若为正整数，记集合，若，且中元素个数不超过，求正整数的取值范围. 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 问题：正实数满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号，故而的最小值是.学习上述解法并解决下列问题： (1)已知是正实数，且，求的最小值； (2)①已知实数，满足，求证：； ②求代数式的最小值，并求出使得最小的的值. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第2章 等式与不等式·能力提升 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．“”是“”的 .（横线上填写“充要条件”、“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“既不充分也不必要条件”其中的一个.） 2．若正实数满足，则的最小值为 . 3．已知，则的范围是 4．已知方程的两个根为、，则的值为 . 5．已知，则的最小值为 . 6．若不等式的解集为，则实数的取值范围是 . 7．已知，，，则的最小值为 ． 8．若不等式的解集是，则的解集为 ． 9．存在使不等式成立，则实数的取值范围是 . 10．如图，已知矩形的周长为16，以为折痕将向翻折，翻折后边交于点.则当的面积取最大值时， .    11．已知，定义：表示不小于的最小整数，如：，，，若，则的取值范围是 . 12．表示三个数中的最大值，对任意的正实数x，y，则的最小值是 ． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 14．不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 15．已知“”是：“”成立的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16．若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．5 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知，． (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知关于的不等式． (1)若，求不等式的解集； (2)若不等式的解集为，求的取值范围． 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知关于的不等式的解集为或 (1)求的值； (2)解关于的不等式 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 已知，一个二次项系数为的一元二次方程的两个不等实根分别为和，且满足. (1)直接写出该一元二次方程； (2)若，求的取值范围； (3)若为正整数，记集合，若，且中元素个数不超过，求正整数的取值范围. 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 问题：正实数满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号，故而的最小值是.学习上述解法并解决下列问题： (1)已知是正实数，且，求的最小值； (2)①已知实数，满足，求证：； ②求代数式的最小值，并求出使得最小的的值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第2章 等式与不等式·能力提升 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．“”是“”的 .（横线上填写“充要条件”、“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“既不充分也不必要条件”其中的一个.） 【答案】必要不充分条件 【分析】根据充分条件、必要条件及不等式的性质得解. 【详解】因为推不出，例如时，而时，能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分条件 2．若正实数满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】由题意可得，， 当且仅当时，取到最小值， 所以的最小值为， 故答案为： 3．已知，则的范围是 【答案】 【分析】应用不等式性质求范围即可. 【详解】由题设，则. 故答案为： 4．已知方程的两个根为、，则的值为 . 【答案】3 【分析】由韦达定理得到，，进而求解即可. 【详解】因为方程的两个根为、， 由韦达定理得，，， 所以. 故答案为：3. 5．已知，则的最小值为 . 【答案】 【分析】将代数式变形为，利用基本不等式可求得所求代数式的最小值. 【详解】因为，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，当时，的最小值为. 故答案为：. 6．若不等式的解集为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】对不等式的类型分类讨论，根据判别式及二次项系数的符号列式可求出结果. 【详解】①当，即时， ，解得. ②当，即时， 若，则原不等式为，恒成立； 若，则原不等式为，即，不符合题目要求，舍去； 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 7．已知，，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先由题意得，再根据基本不等式求解即可. 【详解】因为，，， 所以且，， 所以， 当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 8．若不等式的解集是，则的解集为 ． 【答案】 【分析】由已知不等式的解集得相应二次方程的根，从而求得，然后再解不等式可得． 【详解】不等式的解集是， 是方程的两根， 由根与系数的关系可得，解得， 则化为，解得． 的解集为． 故答案为：． 9．存在使不等式成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据绝对值的三角不等式和一元二次不等式计算即可. 【详解】存在,不等式成立，变形即成立， 由于，当且仅当时取等号， 因此有， 两边平方，解得或， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 10．如图，已知矩形的周长为16，以为折痕将向翻折，翻折后边交于点.则当的面积取最大值时， .    【答案】 【分析】画出示意图，设且，则，由全等三角形及勾股定理求得，用表示出的面积，应用基本不等式求最值并确定取值条件，即可得结果． 【详解】如图，设且，则，， 由，，，故， 令，，故， 所以，整理得， 则， 当且仅当时等号成立， 所以的面积取最大值时，的长为． 故答案为：．    11．已知，定义：表示不小于的最小整数，如：，，，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由已知得，再利用的定义分类讨论可得其范围，解不等式可得解. 【详解】由，可得，即； 当时，即时，（舍去）； 当时，即时，，满足题意； 当时，即时，（舍去）； 同理可知，当或时不合题意， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 12．表示三个数中的最大值，对任意的正实数x，y，则的最小值是 ． 【答案】2 【分析】设,因，则得,借助于基本不等式可得,验证等号成立的条件，即得. 【详解】设,则 因，则得，又因，则有. 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为2. 故答案为: 2. 【点睛】思路点睛：本题解题的思路在于，先根据的含义，设出，即得，将问题转化为求的最小值，而这可以利用基本不等式求得，同时需验证等号成立的条件即得. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式不等式的求解方法求解即可. 【详解】不等式可化为，即，等价于， 解得，解集为. 故选：B. 14．不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】原不等式即，解出，即可求解. 【详解】原不等式即，解得，所以， 所以解集为． 故选：A. 15．已知“”是：“”成立的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解二次不等式分别求出和的范围，根据必要不充分条件的概念列不等式求解即可. 【详解】因为，即， 则或，即， 又是的必要不充分条件，则或，即或. 则的取值范围为. 故选：B 16．若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】先化简已知等式，再应用基本不等式计算求解即可. 【详解】因为，，且，则， ，同理， 则， 当且仅当时，的最小值为. 故选：B. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知，． (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由不等式的性质求解即可； （2）由不等式的性质求解即可； 【详解】（1）因为，， 所以，所以． （2）由，，得，， 所以． 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知关于的不等式． (1)若，求不等式的解集； (2)若不等式的解集为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入不等式，再解一元二次不等式即可作答. （2）利用给定条件分类讨论，再借助二次函数的图象与性质列式计算作答. 【详解】（1）当时，原不等式为：， 即，解得， 所以不等式解集为：. （2）不等式解集为R， 当时，恒成立，则符合题意， 当时，二次函数的值永远小于0，则其图象总在x轴下方， 于是得，即，解得， 综上得：， 所以k的取值范围是：. 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知关于的不等式的解集为或 (1)求的值； (2)解关于的不等式 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题中条件，根据一元二次方程根与系数的关系列出方程，解出即可； （2）先化简不等式，因式分解后，讨论的范围得到解集. 【详解】（1）根据题意，得方程的两个根为1和， 由根与系数的关系得， 解之得 （2）由（1）得关于的不等式， 即，因式分解得． ①当时，原不等式的解集为； ②当时，原不等式的解集为； ③当时，原不等式的解集为； 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 已知，一个二次项系数为的一元二次方程的两个不等实根分别为和，且满足. (1)直接写出该一元二次方程； (2)若，求的取值范围； (3)若为正整数，记集合，若，且中元素个数不超过，求正整数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）求出，利用根与系数的关系可写出该一元二次方程； （2）分析可知，以及已知条件和，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （3）根据题意可得出，再由可得出的取值范围，确定正整数的可能取值，然后结合题意逐一检验即可. 【详解】（1）解：因为，则， 所以，， 所以，这个一元二次方程为，即， 即. （2）解：因为 ，可得， 因为，则，可得，则， 对于方程，，可得， 所以，，解得或， 因此，实数的取值范围是或. （3）解：由，可得， 因为集合，，且中元素个数不超过， 则，即， 可得，所以，， 所以，正整数的可能取值集合为， 当时，方程为，解得，，则，合乎题意； 当时，方程为，解得，， 此时，，合乎题意. 综上所述，正整数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问题的解题关键在于根据中的元素不超过，分析出，在求出的可能取值后，逐一检验即可. 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 问题：正实数满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号，故而的最小值是.学习上述解法并解决下列问题： (1)已知是正实数，且，求的最小值； (2)①已知实数，满足，求证：； ②求代数式的最小值，并求出使得最小的的值. 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②，最小值. 【分析】（1）化为，根据题中示例，利用乘法结合基本不等式求解即可； （2）①化，结合基本不等式求解；②利用换元法，令，则，再利用①求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以， ， 当且仅当，即时等号成立， 故取得最小值. （2）①因为，所以， 因为 ， 当且仅当且同号时取等号，此时满足， 所以. ②令，所以， 由，解得， 构造，由，则， 所以，利用①中结论，有： 当且仅当且时，即取等号， 解得时，取最小值. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$