5.3 二元一次方程组的应用 第3课时 课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦二元一次方程组解决行程问题，以小明观察里程碑的情境导入，从12:00两位数到14:00三位数，引导学生设未知数、分析不同时段路程关系，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接方程建立与应用的知识点。 其亮点在于结合生活实际情境，通过里程碑、火车过隧道等问题培养学生抽象能力与几何直观（数学眼光），引导分析等量关系列方程组发展推理意识（数学思维），总结行程模型（相遇、追及等）帮助学生用数学语言表达，提升解决实际问题能力，为教师提供结构化教学资源。

第五章　二元一次方程组 5.3 二元一次方程组的应用 北师大版八年级上册 第3课时　二元一次方程组的应用——行程问题 导入新课 小明爸爸骑摩托车带着小明在公路上行驶，下图是小明在不同时间看到的里程碑情况．你能确定小明在12：00时看到的里程碑上的数吗？ 2 小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶,下面是小明每隔1h看到的里程情况,你能确定小明在12:00时看到的里程碑上的数吗? 12：:00 13:00 14:00 探究新知 如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是 x，个位数字是 y，那么 (3)14:00时小明看到的数可以表示为____________ 100x+y (1)12:00时小明看到的数可以表示为____________ (2)13:00时小明看到的数可以表示为____________ 10x+y 10y+x 12:00至13:00所走的路程 (10y+x)－(10x+y) (100x+y)－(10y+x) = 13:00至14:00所走的路程 (4)12:00～13:00与13:00～14:00两段时间内行驶的路程有什么关系?你能列出相应的方程吗? 解：如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x，个位数字是y，那么根据以上分析，得方程组： 解这个方程组得, 答：小明在12:00时看到的里程碑上的数是16． 1.一批货物要运往某地，货主准备用汽车运输公司的甲乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表： 第一次 第二次 甲种货车的车辆数 2 5 乙种货车的车辆数 3 6 累计运货吨数 15.5 35 练一练 第一次 第二次 甲种货车的车辆数 2 5 乙种货车的车辆数 3 6 累计运货吨数 15.5 35 现租用该公司 3 辆甲种货车和 5 辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨 30 元付运费，那么货主应付运费多少元？ 解：设甲、乙两种货车每次分别运货 x 吨、y 吨，则 解得 x = 4， y = 2.5. 2x + 3y = 15.5， 5x + 6y = 35. 第一次 第二次 甲种货车的车辆数 2 5 乙种货车的车辆数 3 6 累计运货吨数 15.5 35 总运费为 30×(3×4 + 5×2.5) = 735（元）. 火车以 40 m/s 的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时 30 s ，其中火车全身都在隧道里的时间是 20 s ，求隧道和火车的长度. 典例精析 分析：本题涉及哪些量？ 你能画图说明“从车头进入隧道到车尾驶出隧道”的过程吗？ 这种情况下，火车行驶的路程与隧道的长度、火车的长度之间有什么关系？ 类似地，对于“火车全身都在隧道里”的情形，相信你也可以得到相应的关系！ 解：“从车头进入隧道到车尾驶出隧道”“火车全身都在隧道里”的过程可以分别用图1、图2表示。 火车 火车 火车 火车 图 1 图 2 30 s 20 s 设隧道的长度为 x m，火车的长度为 y m，根据题意，得 解得 ∴隧道和火车的长度分别是 1000 m 和 200 m. 找等量关系 审题 设元 列方程组 解方程组 检验作答 2个未知数 根据等量关系 代入法 加减法 思考：列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的? 1.甲、乙两地相距 4 km，以各自的速度同时出发. 如果同向而行，甲 2 h 追上乙；如果相向而行，两人0.5 h 后相遇. 试问两人的速度各是多少？ 分析：对于行程问题，一般可以借助示意图表示题中的数量关系，可以更加直观的找到相等关系. 练一练 (1) 同时出发，同向而行 甲出发点 乙出发点 4 km 甲追上乙 乙 2 h 行程 甲 2 h 行程 甲 2 h行程 = 4 km + 乙 2 h行程 (2) 同时出发，相向而行 甲出发点 乙出发点 4 km 甲 0.5 h 行程 乙 0.5 h 行程 甲0.5 h行程 + 乙0.5 h行程 = 4 km 相遇地 解：设甲、乙的速度分别为 x km/h，y km/h. 根据题意与分析中图示的两个相等关系，得 答：甲的速度为 5 km/h，乙的速度为 3 km/h. 2x－2y＝4， 0.5x＋0.5y＝4. 解方程组，得 x＝5， y＝3. 2.两地相距 280 km，一艘轮船在其间航行，顺流用 14 h，逆流用 20 h，求这艘轮船在静水中的速度和水流速度. 练一练 解：设这艘船在静水中的速度为 x km/h， 水流速度为 y km/h. 依题意，得 解得 答:这艘船在静水中的速度为17 km/h，水流速度为3 km/h. 总 结 顺水(风)速度＝静水(风)速度＋水(风)速 逆水(风)速度＝静水(风)速度－水(风)速 应用举例 某人骑车外出旅游，已知他的路程分为上坡和下坡，上坡速度为8 km/h，下坡速度为12km/h，去时他共用了4.5 h，原路返回共用了4.25 h，求去时上坡路长和下坡路长． 解：设去时上坡路长为x km，下坡路长为y km.根据题意，得 解得 x=24 y=18 答：去时上坡路长为24 km，下坡路长为18 km. + =4.5 + =4.25 8 x 12 y 12 x 8 y 行程问题 ① 路程 = 时间×速度； 追及问题：快车路程-慢车路程=被追路程. 相遇问题：两者路程之和=两者开始的距离. ② 顺水速度 = 静水速度 + 水流速度； 逆水速度 = 静水速度 - 水流速度. 课堂小结 1. 甲、乙两人共有图书60本，若甲给乙10本后，甲的图书数 量是乙的2倍，求甲、乙原有图书各多少本。 解：甲、乙图书的数量关系可以如图表示。 设甲原有图书x本，乙原有图书y本。 根据题意，得 解：甲、乙图书的数量关系可以如图表示。 设甲原有图书x本，乙原有图书y本。 根据题意，得 解得 答：甲原有图书50本，乙原有图书10本。 解得 答：甲原有图书50本，乙原有图书10本。 答图 课堂练习 A层 基础练 2. 一辆汽车从A地驶往B地，前三分之一路段为普通公路，其余路 段为高速公路。已知汽车在普通公路上的速度为60 km/h，在高速 公路上的速度为100 km/h，汽车从A地到B地一共行驶了2.2 h，求 A地到B地的路程。 解：该汽车从A地到B地的过程可以如图表示。 设A地到B地的普通公路长x km，高速公路长y km。 根据题意，得 解：该汽车从A地到B地的过程可以如图表示。 设A地到B地的普通公路长x km，高速公路长y km。 根据题意，得解得 解得 所以x＋y＝180。 所以，A地到B地的路程是180 km。 所以x＋y＝180。 所以，A地到B地的路程是180 km。 答图 A层 基础练 3. 某学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，先以60 km/h的速度 走平路，后又以 30 km/h 的速度爬坡，共用了6.5 h；原路返回 时，汽车先以40 km/h的速度下坡，后又以 50 km/h 的速度走平 路，共用了6 h。问平路和坡路各有多少千米。 解：去程和返程可以分别用答图1、答图2表示。 设平路有x km ，坡路有y km。 根据题意，得 解得 所以，平路有150 km，坡路有120 km。 解：去程和返程可以分别用答图1、答图2表示。 设平路有x km ，坡路有y km。 根据题意，得 解得 所以，平路有150 km，坡路有120 km。 A层 基础练 4. 小明用8个相同的长方形(长是a，宽是b)分别拼出了两种图 形：图1是一个正方形，且中间留下了一个边长是2的正方形小 洞，图2是一个大长方形。根据题意，可列出关于a，b的二元 一次方程组为 ⁠。 ​ B层 提升练 5. 如果5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的 年龄比女儿年龄的2倍多6岁。那么现在这对母女的年龄之和是 (　C　) A. 34 B. 39 C. 42 D. 43 C B层 提升练 6. (教材P127习题T11•改编)某环形跑道长400 m，甲、乙两人 从同一地点出发，分别以一定的速度练习长跑和骑自行车。如 果反向而行，那么他们每隔30 s相遇一次；如果同向而行，那 么每隔80 s乙就追上甲一次。求甲的速度。 解：设甲的速度是x m/s，乙的速度是y m/s。 根据题意，得 解得 所以，甲的速度为 m/s。 解：设甲的速度是x m/s，乙的速度是y m/s。 根据题意，得 解得 所以，甲的速度为 m/s。 B层 提升练 7. 爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程 碑上的数如下： 时刻 9：00 10：00 11：30 里程碑上的 数 是一个两位数，它 的两个数字之和是 6 是一个两位数，它的十 位与个位数字与9：00 所看到的正好互换了 是一个三位数，它比9： 00时看到的两位数中间 多了个0 求小明10：00时看到的里程碑上的数。 解：设小明9：00时看到的两位数，十位数为x，个位数为y。 由题意，得 解得 所以9：00时看到的两位数是15。 所以，小明10：00时看到的里程碑上的数是51。 C层 拓展练 $