5.3　二元一次方程组的应用 课件 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦八年级上册二元一次方程组的应用，通过古代数学问题（如甲从乙处得7第纳尔的货币问题）导入新课，结合“审设列解答”五步法及“鸡兔同笼”等例题，构建从具体问题到方程建模的学习支架，衔接方程解法与实际应用。 其亮点在于融入《孙子算经》《九章算术》等古代数学问题，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过工程问题两种设元方式训练数学思维，规范列方程步骤强化数学语言表达。实例丰富如“鸡兔同笼”用头足等量关系建模，助力学生理解应用过程，教师可借助清晰流程和多样例题提升教学效果。

第五章　二元一次方程组 3　二元一次方程组的应用 第2课时　二元一次方程组的应用 ——利用列表法找等量关系 数学·八年级上册　 1 某工厂前年的总利润（总收入－总支出）为200万元.去年的总收入比前年增 加了20％，总支出比前年减少了10％，去年的总利润为780万元.前年的总收 入、总支出各是多少万元？ （1）这个问题涉及了哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？ （2）你能用表格梳理问题中的已知量和未知量吗？ 数学·八年级上册　 利用表格法找等量关系 　　在应用二元一次方程组解决实际问题的过程中，利用表格法可以快速找 出问题中的等量关系，列表格的一般步骤： 　　（1）填写已知的量； 　　（2）填写所设未知量； 　　（3）填写表示出的相关未知量. 　　列表格的过程即是分析数量关系的过程，重点应放在找出问题中的等量 关系. 数学·八年级上册　 【例】（2024•宝安中学初中部期中）某网购平台开展“爱心助农”活动，准 备在平台推送两种特色水果.经过对往年情况的调查，这两种水果的进价和 售价如下表所示： 种类 进价/（元/ kg） 售价/（元/ kg） 甲 x 12 乙 y 14 数学·八年级上册　 （1）购进甲种水果5 kg和乙种水果10 kg需要160元；购进甲种水果12 kg和乙 种水果5 kg需要156元.求x，y的值. 解：由题意可列表格如下： 甲种水果x元/千克 乙种水果y元/千克 总费用/元 第一种情况 5x 10y 160 第二种情况 12x 5y 156 种类 进价/（元/ kg） 售价/（元/ kg） 甲 x 12 乙 y 14 ∴ 解得 ∴x，y的值分别为8，12. 数学·八年级上册　 （2）该平台决定每天对甲、乙两种水果共1 000 kg进行销售，其中甲种水果 的数量不超过200 kg，平台每天售完1 000 kg水果能获利2 500元吗？ 解：设甲种水果售出m kg，则乙种水果售出（1 000－m）kg，获得利 润为w元，则w＝（12－8）m＋（14－12）（1 000－m）＝2m＋2 000， ∵k＝2＞0，∴w随m的增大而增大. ∵m≤200，∴当m＝200时，w最大，且最大值为2 400元. ∴每天售完1 000 kg水果获利无法达到2 500元. 种类 进价/（元/ kg） 售价/（元/ kg） 甲 x 12 乙 y 14 数学·八年级上册　 （2024•宝安中学初中部期中）甲、乙两地相距200 km，一列慢车 从甲地开出，一列快车从乙地开出，如果两车同向而行，快车10 h追上慢 车；如果两车相向而行，2 h后两车相遇.试问： （1）两车的速度分别是多少？ 解：设快车、慢车的速度分别为x km/h，y km/h（x＞y），可列表格得 快车x km/h 慢车y km/h 两车路程之差/km 两车路程之和/km 同向而行 10x 10y 200 相向而行 2x 2y 200 由上面分析知 解得 答：快车、慢车的速度分别为60 km/h，40 km/h. 数学·八年级上册　 （2）若两车同时相向而行，多少时间相距100 km？ 解：设t h两车相距100 km，由题意，得 （60＋40）t＋100＝200或（60＋40）t－100＝200， 解得t＝1或t＝3. 答：两车相向而行，1 h或者3 h相距100 km. 数学·八年级上册　 1. 小明同学家去年从事传统销售，扣除成本后结余70 000元，今年转型直播 带货，扣除成本后可结余110 000元，并且今年直播带货成本比去年传统销售 成本低15％，收入比去年高25％.设去年的收入为x元，销售成本为y元，则 可列方程组为 ⁠. 　 数学·八年级上册　 解析：∵去年收入为x元，成本为y元，结余70 000元， ∴x－y＝70 000. ∵今年收入比去年高25％， ∴今年收入为（1＋25％）x元. ∵今年成本比去年低15％， ∴今年成本为（1－15％）y元，今年结余110 000元， ∴（1＋25％）x－（1－15％）y＝110 000， ∴可列方程组 数学·八年级上册　 2. 某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价 比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为x元，足 球的单价为y元，依题意，可列方程组为 ⁠. 3. 已知A，B两件服装的成本共500元，某服装店老板分别以30％和20％的利 润率定价后进行销售，共获利130元，则A，B两件服装的成本分别为 （　A　）. A. 300元，200元 B. 200元，300元 C. 250元，250元 D. 240元，260元 　 A 数学·八年级上册　 4. 春节前夕，某旅游景区的成人票和学生票均打折，李凯同学一家（2个成 人和1个学生）去了该景区，门票共花费200元，王玲同学一家（3个成人和2 个学生）去了该景区，门票共花费320元，则赵芸同学和妈妈去该景区游玩 时，门票需要花费（　A　）. A. 120元 B. 130元 C. 140元 D. 150元 解析：设成人票是x元/张，学生票是y元/张， 依题意得 ②－①，得x＋y＝120. 即赵芸同学和妈妈去该景区游玩时，门票需要花费120元.故选A. A 数学·八年级上册　 5. 一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已 知过去两次租用这两种货车的情况如下表：   第一次 第二次 甲种货车的辆数 2 5 乙种货车的辆数 3 6 累计运货的吨数 31 70 数学·八年级上册　 （1）现租用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批货物，如 果按每吨付运费50元计算，货主应付运费多少元？ 解：设甲种货车每辆运货x吨，乙种货车每辆运货y吨，可列表格得 甲货车每辆 x 吨 乙货车每辆y吨 运输货物总质量/吨 第一次 2x 3y 31 第二次 5x 6y 70   第一次 第二次 甲种货车的辆数 2 5 乙种货车的辆数 3 6 累计运货的吨数 31 70 数学·八年级上册　 根据表格可得 解得 ∴甲种货车每辆运货8吨，乙种货车每辆运货5吨. ∵现租用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批货物， ∴这批货物有3×8＋5×5＝49（吨）. ∵49×50＝2 450（元）， ∴货主应付运费2 450元. 数学·八年级上册　 （2）能否租用这两种货车一次恰好运走125吨货物（不超载也不少运）？若 能，请说出有哪几种装运方案？若不能，请说明理由. 解：能租用这两种货车一次恰好运走125吨货物，理由如下： 设租用甲种货车m辆，乙种货车n辆恰好运走125吨货物， ∴8m＋5n＝125， ∴n＝25－ m，当m＝5时，n＝17；当m＝10时，n＝9；当m＝15时，n ＝1. ∴一共有3种装运方案：租用甲种货车5辆，乙种货车17辆；或租用甲种货车 10辆，乙种货车9辆；或租用甲种货车15辆，乙种货车1辆.   第一次 第二次 甲种货车的辆数 2 5 乙种货车的辆数 3 6 累计运货的吨数 31 70 数学·八年级上册　 【新课导学】 例　解：（1）由题意可列表格如下： 甲种水果x元/千克 乙种水果y元/千克 总费用/元 第一种情况 5x 10y 160 第二种情况 12x 5y 156 ∴ 解得 ∴x，y的值分别为8，12. 数学·八年级上册　 （2）设甲种水果售出m kg，则乙种水果售出（1 000－m）kg，获得利润为 w元，则 w＝（12－8）m＋（14－12）（1 000－m）＝2m＋2 000， ∵k＝2＞0，∴w随m的增大而增大. ∵m≤200，∴当m＝200时，w最大，且最大值为2 400元. ∴每天售完1 000 kg水果获利无法达到2 500元. 数学·八年级上册　 变式训练　解：（1）设快车、慢车的速度分别为x km/h，y km/h（x＞ y），可列表格得 快车x km/h 慢车y km/h 两车路程之差/km 两车路程之和/km 同向而行 10x 10y 200 相向而行 2x 2y 200 由上面分析知 解得 答：快车、慢车的速度分别为60 km/h，40 km/h. 数学·八年级上册　 （2）设t h两车相距100 km，由题意，得 （60＋40）t＋100＝200或（60＋40）t－100＝200， 解得t＝1或t＝3. 答：两车相向而行，1 h或者3 h相距100 km. 数学·八年级上册　 【随堂小测】 1. 　解析：∵去年收入为x元， 成本为y元，结余70 000元， ∴x－y＝70 000.∵今年收入比去年高25％，∴今年收入为（1＋25％）x 元.∵今年成本比去年低15％，∴今年成本为（1－15％）y元，今年结余110 000元，∴（1＋25％）x－（1－15％）y＝110 000，∴可列方程组 数学·八年级上册　 2. 　3.A 4. A　解析：设成人票是x元/张，学生票是y元/张， 依题意得 ②－①，得x＋y＝120. 即赵芸同学和妈妈去该景区游玩时，门票需要花费120元.故选A. 数学·八年级上册　 5. 解：（1）设甲种货车每辆运货x吨，乙种货车每辆运货y吨，可列表格得 甲货车每辆 x 吨 乙货车每辆y吨 运输货物总质量/吨 第一次 2x 3y 31 第二次 5x 6y 70 根据表格可得 解得 ∴甲种货车每辆运货8吨，乙种货车每辆运货5吨. ∵现租用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批货物， ∴这批货物有3×8＋5×5＝49（吨）. ∵49×50＝2 450（元），∴货主应付运费2 450元. 数学·八年级上册　 （2）能租用这两种货车一次恰好运走125吨货物，理由如下： 设租用甲种货车m辆，乙种货车n辆恰好运走125吨货物， ∴8m＋5n＝125，∴n＝25－ m， 当m＝5时，n＝17； 当m＝10时，n＝9； 当m＝15时，n＝1. ∴一共有3种装运方案：租用甲种货车5辆，乙种货车17辆；或租用甲种货车 10辆，乙种货车9辆；或租用甲种货车15辆，乙种货车1辆. 数学·八年级上册　 $第五章　二元一次方程组 3　二元一次方程组的应用 第3课时　二元一次方程组的应用 ——利用画图法找等量关系 数学·八年级上册　 1 如图，8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，每块小长方形墙砖的长 和宽分别是多少？ （1）这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？ （2）你能列出方程组解决这个问题吗？ 数学·八年级上册　 利用线段图法找等量关系 　　在应用二元一次方程组解决实际问题的过程中，利用线段图法可以快速 找出问题中的等量关系，画线段图的一般步骤： 　　（1）仔细审题，作出所需线段； 　　（2）在线段上标注关键信息，比如数量、比例或者问题描述； 　　（3）检查，确保线段图清晰、准确地反映了问题中的数量关系. 数学·八年级上册　 【例】甲、乙二人相距12 km，二人同向而行，甲3 h可追上乙；相向而行，1 h相遇.二人的平均速度各是多少？ 解：设甲的平均速度为x km/h，乙的平均速度为y km/h，由题意，可画线段 图如图. 由题意得 解得 答：甲的平均速度为8 km/h，乙的平均速度为4 km/h. 数学·八年级上册　 小魏和小梁从A，B两地同时出发，小魏骑自行车，小梁步行，沿 同条路线相向匀速而行，出发2 h两人相遇，相遇时小魏比小梁多行16 km， 相遇后1 h小魏到达B地. （1）求两人的速度分别是多少. 解：设小魏的速度为x km/h，小梁的速度为y km/h，由题意，可画线段图如图. 由上面分析知 解得 答：小魏的速度为16 km/h， 小梁的速度为8 km/h. 数学·八年级上册　 （2）求A，B两地的距离是多少. 解：根据题意可知，A，B两地的距离为16×2＋8×2＝48（km）. 答：A，B两地的距离是48 km. 数学·八年级上册　 1. （2025•宝安区孝德学校期末）甲、乙二人分别从相距20 km的A，B两地 出发，相向而行.如图是小华绘制的甲、乙二人运动两次的情形，设甲的速 度是x km/h，乙的速度是y km/h，根据题意所列的方程组正确的是 （　D　）. A. B. C. D. D 数学·八年级上册　 2. （2024•南山区期末）一座桥长2 000米，一列火车匀速行驶，从车头上桥 到车尾离桥用了1分钟，完全在桥上的时间为40秒，则车的长度和行驶速度 分别为（　D　）. A. 400米，20米/秒 B. 200米，40米/秒 C. 200米，20米/秒 D. 400米，40米/秒 D 数学·八年级上册　 解析：设火车行驶的速度为x米/秒，火车的长度为y米，由题意，可画线段 图如图. 根据题意，得 解得 ∴火车行驶的速度为40米/秒，火车的长度为400米.故选D. 数学·八年级上册　 3. （2025•龙华紫金实验学校期末）如图，七个相同的小长方形组成一个大 长方形ABCD，若CD＝14，则长方形ABCD的面积为 ⁠. 280　 解析：设小长方形的长为x，宽为y. 由图可知 解得 所以长方形ABCD的长为20，宽为14， 所以长方形ABCD的面积为20×14＝280. 数学·八年级上册　 4. （2024•深圳市高级中学期末）某校“数学建模”社团的同学用五种不同正 方形拼成如图所示的无缝隙、不重叠的长方形，若中间小正方形的边长为 1，则正方形B的边长是 ⁠. 7　 解析：设正方形A的边长为x，正方形B的边长为y， 根据题意得 解得 ∴正方形B的边长是7. 数学·八年级上册　 5. 从A地到B地有一段上坡路和一段平路，如果车辆保持上坡每小时行驶30 km，平路每小时行驶50 km，下坡每小时行驶60 km，那么车辆从A地到B 地需要48 min，从B地到A地需要27 min.问A，B两地之间的坡路和平路各 有多少千米？ 解：设A，B两地之间的坡路为x km，平路为y km，由题意，可画线段 图如图. 由题意得 解得 答：A，B两地之间的坡路为21 km，平路为5 km. 数学·八年级上册　 6. 周末，小明和他的爸爸来到环形运动场进行跑步锻炼，绕运动场一圈的路 程为400 m. （1）若两人同时同起点相向而跑，则经过36 s后首次相遇；若两人同时同起 点同向而跑，则经过180 s后，爸爸首次从后面又追上小明，问小明和他的爸 爸的速度各为多少？ 解：设小明的速度为x m/s， 爸爸的速度为y m/s，由题意， 可画线段图如图. 则依题意得 数学·八年级上册　 于是 ③＋④，得18y＝120，解得y＝ ， ③－④，得18x＝80，解得x＝ ， 答：小明的速度为 m/s，爸爸的速度为 m/s. 数学·八年级上册　 （2）假设爸爸的速度是6 m/s，小明的速度是5 m/s，两人进行400 m赛跑， 同时同起点同向出发，等爸爸跑到半圈时，故意降速为4 m/s，按此继续比 赛，小明能否在400 m终点前追上爸爸？如果能，求追上时距离终点还有多 少米；如果不能，请说明理由. 解：结论：小明能在400 m终点前追上爸爸， 且追上时距离终点还有 m. 数学·八年级上册　 理由：爸爸跑到半圈所用时间为t1＝ ＝ （s），此时小明所跑路程为s1 ＝ ×5＝ （m）， 爸爸和小明的距离为200－ ＝ （m），因此小明接下来追上爸爸所需 时间为t2＝ ÷（5－4）＝ （s）， 追上时，爸爸跑的总路程为200＋ ×4＝ （m）＜400 m，因此小明能 在400 m终点前追上爸爸. 追上时距离终点还有400－ ＝ （m）. 数学·八年级上册　 【新课导学】 例　解：设甲的平均速度为x km/h，乙的平均速度为y km/h，由题意，可画 线段图如图. 由题意得 解得 答：甲的平均速度为8 km/h，乙的平均速度为4 km/h. 数学·八年级上册　 变式训练　解：（1）设小魏的速度为x km/h，小梁的速度为y km/h，由题 意，可画线段图如图. 由上面分析知 解得 答：小魏的速度为16 km/h，小梁的速度为8 km/h. （2）根据题意可知，A，B两地的距离为16×2＋8×2＝48（km）. 答：A，B两地的距离是48 km. 数学·八年级上册　 【随堂小测】 1. D　 2. D　解析：设火车行驶的速度为x米/秒，火车的长度为y米，由题意，可 画线段图如图. 根据题意，得 解得 ∴火车行驶的速度为40米/秒，火车的长度为400米.故选D. 数学·八年级上册　 3.280　解析：设小长方形的长为x，宽为y.由图可知 解得 所以长方形ABCD的长为20，宽为14，所以长方形ABCD的面积 为20×14＝280. 4.7　解析：设正方形A的边长为x，正方形B的边长为y， 根据题意得 解得 ∴正方形B的边长是7. 数学·八年级上册　 5. 解：设A，B两地之间的坡路为x km，平路为y km，由题意，可画线段图 如图. 由题意得 解得 答：A，B两地之间的坡路为21 km，平路为5 km. 数学·八年级上册　 6. 解：（1）设小明的速度为x m/s，爸爸的速度为y m/s，由题意，可画线段 图如图. 则依题意得 于是 ③＋④，得18y＝120，解得y＝ ， ③－④，得18x＝80，解得x＝ ， 答：小明的速度为 m/s，爸爸的速度为 m/s. 数学·八年级上册　 （2）结论：小明能在400 m终点前追上爸爸，且追上时距离终点还有 m. 理由：爸爸跑到半圈所用时间为t1＝ ＝ （s）， 此时小明所跑路程为s1＝ ×5＝ （m）， 爸爸和小明的距离为200－ ＝ （m）， 因此小明接下来追上爸爸所需时间为 t2＝ ÷（5－4）＝ （s）， 追上时，爸爸跑的总路程为 数学·八年级上册　 200＋ ×4＝ （m）＜400 m， 因此小明能在400 m终点前追上爸爸. 追上时距离终点还有400－ ＝ （m）. 数学·八年级上册　 $第五章　二元一次方程组 3　二元一次方程组的应用 第1课时　二元一次方程组的应用 ——分析简单的等量关系 数学·八年级上册　 1 列出方程组求解下面的问题：若甲从乙处得到7第纳尔（货币单位），则甲 拥有的第纳尔是乙的5倍；若乙从甲处得到5第纳尔，则乙拥有的第纳尔是甲 的7倍；甲、乙两人原来各拥有多少第纳尔？ 数学·八年级上册　 列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤 1. 审：弄清题意和题目中的数量关系； 2. 设：用字母表示题目中的未知数； 3. 列：根据这两个等量关系列出相应的代数式，从而列出方程组； 4. 解：解这个列出的方程组，并检验解是否符合实际情况； 5. 答：写出答案. 数学·八年级上册　 【例】（根据教材八上P120问题改编）《孙子算经》是我国古代一部较为普 及的算书，许多问题浅显有趣，其中下卷第31题“雉兔同笼”流传尤为广 泛.“鸡兔同笼”题为：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问 鸡兔各几何？ （1）根据“上有三十五头”我们可以列出等量关系：鸡头＋兔头 ＝ ⁠； （2）根据“下有九十四足”我们又可以列出等量关系：鸡足＋兔足 ＝ ⁠； 35　 94　 数学·八年级上册　 （3）设笼中有鸡x只，兔y只，请根据以上分析，求解鸡、兔各几何. 解：设鸡有x只，兔有y只. 根据题意，得 解得 答：鸡有23只，兔有12只. 数学·八年级上册　 在《二元一次方程组》这一章的复习课上，刘老师给出了下面的题 目： 甲、乙两个工程队先后接力为某村庄修建一条4 000米长的公路，甲队每天修 建200米，乙队每天修建250米，一共用18天完成. （1）李东同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组 请写出李东所列方程组中未知数x，y表示的意义：x 表示 ，y表示 ；并写出该方程组中 △处的数应是 ，□处的数应是 ⁠； 甲队修建的时间　 乙队修建的时间　 18　 4 000　 数学·八年级上册　 （2）陈彬同学的思路是设甲工程队一共修建了x米公路，乙工程队一共修建 了y米公路.请你按照陈彬的思路列出方程组，并求出乙队修建了多少天. 解：根据题意得 解得 ∴ ＝ ＝8（天）. 答：乙队修建了8天. 数学·八年级上册　 1. 一种饮料有两种包装，5大盒、3小盒共装150瓶，2大盒、6小盒共装100 瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶，则 可列方程组（　D　）. A. B. C. D. D 数学·八年级上册　 2. （2025•深圳外国语学校期中）我国古代数学问题：现有甲、乙两钱袋，甲 袋装的黄金比乙袋装的黄金多10枚，从甲袋取8枚黄金放到乙袋，乙袋的黄 金数量就是甲袋的两倍.设甲袋原有黄金x枚，乙袋原有黄金y枚，则可列方 程组为（　A　）. A. B. C. D. A 数学·八年级上册　 3. （2025•深圳中学龙岗学校月考）中国古代数学著作《九章算术》中记载了 这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百.今并买一顷， 价钱一万.问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩 价值500钱.今合买良、劣田1顷（100亩），价值10 000钱.问良田、劣田各有 多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（　A　）. A A. B. C. D. 数学·八年级上册　 4. 我国古代数学著作《直指算法统宗》中有这样一个问题：一百馒头一百 僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁.意思是：有100个 和尚分100个馒头，如果大和尚每人分3个，小和尚3人分一个，正好分完.求 大和尚与小和尚的人数各是多少. 解：设大和尚有x人，小和尚有y人， 根据题意，得 解得 ∴大和尚有25人，小和尚有75人. 数学·八年级上册　 5. （2024•南山区期末）某包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图1所示的 长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2所示的竖式与横式两种上面 无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）. （1）做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需要正方形纸板 ⁠张（直接填 空），需要长方形纸板 张（直接填空）. 5　 10　 解析：需要正方形纸板1＋2×2＝5（张）， 需要长方形纸板4＋3×2 ＝10（张），故答案为5；10. 数学·八年级上册　 （2）若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸 盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？（要求列二元一次方程组 解决此问题） 解：设制作竖式纸盒x个、横式纸盒y个，根据题意，得 解得 答：制作竖式纸盒38个、横式 纸盒62个，恰好能将购进的纸板全部用完. 数学·八年级上册　 【新课导学】 例　解：（1）35　（2）94 （3）设鸡有x只，兔有y只. 根据题意，得 解得 答：鸡有23只，兔有12只. 变式训练　解：（1）甲队修建的时间　乙队修建的时间 18　4 000 数学·八年级上册　 （2）根据题意得 解得 ∴ ＝ ＝8（天）. 答：乙队修建了8天. 【随堂小测】 1. D　2.A　3.A 4. 解：设大和尚有x人，小和尚有y人，根据题意，得 解得 ∴大和尚有25人，小和尚有75人. 数学·八年级上册　 5. 解：（1）5　10　解析：需要正方形纸板1＋2×2＝5（张）， 需要长方形纸板4＋3×2＝10（张），故答案为5；10. （2）设制作竖式纸盒x个、横式纸盒y个，根据题意，得 解得 答：制作竖式纸盒38个、横式纸盒62个，恰好能将购进的纸板全部用完. 数学·八年级上册　 $