5.4.1 二元一次方程与一次函数（课件）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦二元一次方程与一次函数的关系，核心涵盖转化关系、解与图像点对应及方程组与直线关系。课堂通过问题导入、图片导入、视频导入，以“方程解的个数-对应图像点-图像点是否为解”问题链，搭建从代数到几何的数形结合学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，通过问题链培养几何直观，“标准四步解题法”和“满分口诀”强化推理意识，例题与练习题结合发展模型意识。如例题2利用交点求方程组解，帮助学生深化理解，为教师提供系统教学资源，提升教学效率。

北师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月30日 5.4.1 二元一次方程与一次函数 第五章 二元一次方程组 5.4.1 二元一次方程与一次函数 同步知识点+练习题 【核心知识点精讲】 本节核心：二元一次方程和一次函数是“数与形”的两种表达形式，方程对应直线，解对应直线上的点，是数形结合思想的核心考点，期末必考。 一、二元一次方程与一次函数的转化关系 1. 任意一个二元一次方程 $$ax+by=c\ (b eq0)$$，都可以变形为一次函数形式：$$y=kx+b$$ 2. 任意一个一次函数 $$y=kx+b$$，都可以写成对应的二元一次方程 $$kx-y+b=0$$ 核心结论：二元一次方程 ↔ 一次函数（一一对应） 二、方程的解与函数图像的关系（重中之重） 1. 二元一次方程的任意一组解$$\begin{cases}x=m\\y=n\end{cases}$$，对应一次函数图像上的一个点$$(m,n)$$； 2. 一次函数图像上任意一个点的坐标$$(m,n)$$，都是对应二元一次方程的一组解； 3. 一个二元一次方程有无数组解，对应一次函数图像上无数个点。 三、二元一次方程组与两条直线的关系 设方程组对应两条直线$$y_1=k_1x+b_1$$、$$y_2=k_2x+b_2$$ 1. 两直线相交（$$k_1 eq k_2$$）：方程组有唯一一组解，解就是交点坐标； 2. 两直线平行（$$k_1=k_2，b_1 eq b_2$$）：方程组无解； 3. 两直线重合（$$k_1=k_2，b_1=b_2$$）：方程组有无数组解。 四、图像法解二元一次方程组 标准四步解题法 1. 变：把两个方程都化为 $$y=kx+b$$ 形式； 2. 画：在平面直角坐标系中画出两条直线； 3. 找：找到两条直线的交点坐标； 4. 写：交点坐标即为方程组的解。 五、高频易错点 1. 混淆：方程的解是数，图像上的点是坐标，本质一一对应； 2. 误以为两条直线平行也有解，实际平行无交点、方程组无解； 3. 图像法求解只能得近似解，精准计算必须用代入/加减消元法； 4. 变形一次函数时，移项符号出错、系数算错。 六、本节满分口诀 方程变函数，图像是直线；解对应坐标，点对应答案；相交唯一解，平行无解出，重合无数解 --- 【经典满分例题】 例题1：方程与函数互化 将二元一次方程 $$2x+y=4$$ 化为一次函数形式，并写出任意两组解。 解：移项变形得：$$y=-2x+4$$ 取 $$x=0$$，得 $$y=4$$，一组解：$$\begin{cases}x=0\\y=4\end{cases}$$ 取 $$x=1$$，得 $$y=2$$，一组解：$$\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}$$ 例题2：利用交点求方程组的解 已知直线 $$y=2x-1$$ 与 $$y=-x+2$$ 的交点为 $$(1,1)$$，求方程组 $$\begin{cases}2x-y=1\\x+y=2\end{cases}$$ 的解。 解：两直线交点坐标就是方程组的解 ∴ 方程组的解为 $$\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}$$ 例题3：判断解的情况 判断方程组 $$\begin{cases}y=2x+1\\y=2x-3\end{cases}$$ 的解的情况。 解：$$k_1=k_2=2，b_1 eq b_2$$，两直线平行无交点 ∴ 此二元一次方程组无解。 --- 【同步专项练习题】 一、填空题 1. 二元一次方程可变形为________形式，对应的图像是一条________。 2. 二元一次方程的每一组解，对应一次函数图像上的一个________。 3. 两条直线相交，对应方程组有________解；两直线平行，方程组________；两直线重合，方程组________。 4. 直线 $$y=3x-2$$ 对应的二元一次方程是________。 二、选择题 1. 关于二元一次方程与一次函数，说法正确的是（） A. 只有一组解 B. 解对应图像上的点 C. 图像是曲线 D. 无对应关系 2. 若两直线 $$y_1=2x+3$$、$$y_2=2x-1$$，则对应方程组（） A. 唯一解 B. 无解 C. 无数解 D. 无法确定 三、解答题 1. 将方程 $$3x-2y=6$$ 化为 $$y=kx+b$$ 的形式。 2. 已知两直线 $$y=x+1$$ 与 $$y=-2x+4$$ 交点为 $$(1,2)$$，直接写出方程组 $$\begin{cases}x-y=-1\\2x+y=4\end{cases}$$ 的解。 3. 判断方程组 $$\begin{cases}y=3x-1\\6x-2y=2\end{cases}$$ 的解的情况。 --- 【参考答案与解析】 一、填空题 1. $$y=kx+b$$、直线 2. 坐标（点） 3. 唯一、无解、有无数组解 4. $$3x-y-2=0$$ 二、选择题 1. B 2. B 三、解答题 1. 解：$$3x-2y=6$$ $$-2y=-3x+6$$ 化简得：$$y=\dfrac{3}{2}x-3$$ 2. 解：交点坐标即为方程组的解 ∴ $$\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}$$ 3. 解：将 $$6x-2y=2$$ 变形：$$y=3x-1$$ 两个函数 $$k、b$$ 均相等，两直线重合 ∴ 方程组有无数组解 【本节满分总结】 1. 数转形：二元一次方程 → 一次函数直线； 2. 解转点：方程的解 → 直线上点的坐标； 3. 组转线：方程组的解 → 两直线交点； 4. 看k、b定解：k同b不同无解，k同b同无数解，k不同唯一解。 用数形结合思想体会二元一次方程与一次函数的关系. 能从“形”的角度理解二元一次方程和二元一次方程组，发展几何直观. 通过学生的自主探索，引出方程和函数之间的对应关系，加强新旧知识之间的联系，培养了学生的创新意识，激发了学生学习数学的兴趣． 问题导入 1．方程x+y=5的解有多少个？写出其中的几个。 2．在直角坐标系内分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y=5-x的图象上吗？ 3．在一次函数y=5-x的图象上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5吗？ 4．以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=5-x的图象相同吗？ 一级标题：黑体， 3 图片导入 同学们，从不同的角度观察下面的图像，你有什么发现？ 一级标题：黑体， 4 视频导入 一级标题：黑体， 5 问题 你能把下列二元一次方程写成一次函数y=kx+b的形式吗? (1) x+2y=4 (2) 2x-y-3=0 解：(1) 移项 得： 2y=-x+4， 系数化为1 得： y=-x+2. (2) 移项 得：y=2x-3. 知识点1 二元一次方程与一次函数的关系 思考 (1) 方程x+y=5的解有多少个?写出其中的几个. 无数个. 答案不唯一，如 等. 知识点1 二元一次方程与一次函数的关系 思考 (2) 在平面直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y=5-x的图象上吗? (2) 如图所示， 它们在一次函数y=5-x的图象上. y＝5-x 知识点1 二元一次方程与一次函数的关系 思考 (3) 在一次函数y=5-x的图象上任取一点，它的坐标满足方程x+y=5吗? (3) 满足方程x+y=5. y＝5-x A (5，0) 知识点1 二元一次方程与一次函数的关系 思考 (4) 以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=5-x的图象相同吗? (4) 以方程x+y=5的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=5-x的图象相同，是同一条直线. x+y=5与y=5-x表示的关系相同. 一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是同一条直线. 知识点1 二元一次方程与一次函数的关系 知识点1 二元一次方程与一次函数的关系 二元一次方程ax+by+c=0 (a≠0，b≠0) 一次函数y=-x- 互相转化 图象 以解为坐标的点组成的图象 直线上点的坐标是相应方程的解 一条直线 解 无数个 二元一次方程与一次函数的关系： 跟踪训练 若方程x-y=1有一个解为则一次函数 y=x-1的图象上必有点________. 知识点1 二元一次方程与一次函数的关系 (2，1) 如图，在同一平面直角坐标系中分别画出一次函数y=5-x和y=2x-1 的图象，这两个图象有交点吗?交点的坐标与方程组的解有什么关系? 知识点2 二元一次方程组与一次函数的关系 x y＝2x－1 y=5-x A 一次函数y=5-x与y=2x-1图象的交点为A(2，3)， 而就是方程组的解. 一般地，从图形的角度看，确定两条直线的交点坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线的交点坐标. 知识点2 二元一次方程组与一次函数的关系 二元一次方程组的解对应着平面上两条直线的交点. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y=x+1与y=x-2的图象 有怎样的位置关系?方程组解的情况如何? 知识点2 二元一次方程组与一次函数的关系 x y=x+1 y=x-2 平行. 无解. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y=x+1与y=x-2的图象 有怎样的位置关系?方程组解的情况如何? 你发现了什么? 知识点2 二元一次方程组与一次函数的关系 x y=x+1 y=x-2 在两个形如y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的一次函数中，当系数k的值相同，常数b的值不同时，这两个函数的图象平行，两个函数所对应的二元一次方程组无解. 知识点2 二元一次方程组与一次函数的关系 跟踪训练 若二元一次方程组的解为则一次函数y＝-x+12与y＝-2x+20的图象的交点坐标为_________. (8，4) 知识点1 二元一次方程与一次函数的关系 1.直线上每个点的坐标都是二元一次方程x－2y＝2的解的直线是(　　) 返回 C 基础提优题 2.若以二元一次方程x＋2y－b＝0的解为坐标的点(x，y)都在直线y＝－x＋1上，则常数b＝(　　) A.　　 B.1　　 C.－1　　 D.2 返回 D 基础提优题 3.一次函数y＝2x－4的图象上有一点的坐标是(　　，2)，则 方程2x－y＝4必有一个解为　　　　. 返回 3 基础提优题 知识点2 二元一次方程组与一次函数的关系 4.［2026北京海淀区期中］若直线y＝3x＋6与直线y＝2x－4的交点坐标为(a，b)，则解为的方程组是(　　) A.　　 B. C.　　 D. 返回 C 基础提优题 5.直线y＝ax＋2与直线y＝3x－2平行，下列说法不正确的是(　　) A.a＝3 B.直线y＝ax＋2与y＝3x－2没有交点 C.方程组无解 D.方程组有无穷多个解 返回 D 基础提优题 6.［2026绍兴期末］已知关于x，y的方程组所对应的两个一次函数的图象如图所示，则4a－b的值为　　　. 返回 11 基础提优题 【点拨】根据题意得，方程组的解为将代入ax－3y＝5，得a＝4.将代入6x＋by＝－2，得b＝5.则4a－b＝4×4－5＝11. 返回 基础提优题 7. 如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，b). (1)求b的值. 返回 【解】把点P(1，b)的坐标代入y＝x＋1，得b＝1＋1＝2. 基础提优题 (2)不解关于x，y的方程组请你直接写出它的解. 返回 【解】方程组 的解为 基础提优题 (3)直线l3：y＝nx＋m是否也经过点P？请说明理由. 返回 基础提优题 【解】直线l3：y＝nx＋m也经过点P.理由如下：因为直线l2：y＝mx＋n经过点P(1，2)，所以m＋n＝2. 所以易知直线y＝nx＋m也经过点P. 返回 基础提优题 8.若关于x，y的方程组无解，则直线y＝－ (k＋3)x－k不经过(　　) A.第一象限　　 B.第二象限 C.第三象限　　 D.第四象限 返回 C 综合应用题 一次函数与二元一次方程的关系 一次函数与二元一次方程组的关系 一般地，一次函数的图象上的任意一点的坐标都与相应的二元一次方程的解相等 一般地，如果两个一次函数的图象有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解 二元一次方程组的图象解法 课堂小结 Lavf58.29.100 Packed by Bilibili XCoder v2.0.2 $