27.2反比例函数的图象和性质(第2课时) 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦反比例函数的图象和性质，涵盖k的几何意义及与方程的联系。通过复习引入表格对比k>0与k<0时的图象位置、增减性等性质，结合概念和三种表达形式，搭建新旧知识支架，引导学生自然过渡到新知探究。 其亮点是合作探究环节通过实例推导k的几何意义，如矩形面积与|k|关系的证明，发展几何直观和推理意识。典例分析融入中考题，课堂小结系统梳理知识脉络，帮助学生构建模型意识，提升应用能力，也为教师提供完整教学流程，助力高效教学。

null 人教版数学九年级上册 第二十七章 反比例函数 27.2 反比例函数的 图象和性质 (第2课时) 学习目标 1 2 会利用反比例函数的性质解决简单的数学问题. 理解反比例函数中k的几何意义，发展几何直观. 3 简单了解反比例函数与分式方程的联系. 目录 1 4 2 3 巩固练习 典例分析 复习引入 合作探究 5 6 当堂检测 课堂小结 7 布置作业 1 复习引入 反比例函数 y=（k>0） y=（k<0） 形状 位置 增减性 对称轴 双曲线 一、三象限 直线y=x和y=-x y随x的增大而减小. 在每一个象限内， 双曲线 二、四象限 直线y=x和y=-x y随x的增大而增大. 在每一个象限内， 拓展 |k|越大，双曲线离原点越远. 1 复习引入 反比例函数 概念 表达形式 图象 和性质 一般地，形如y=(k为常数，k≠0)的函数叫作反比例函数，其中 x是自变量，y是x的函数. 反比例函数的三种表达形式：y=，y=kx−1，xy=k . (注意：k≠0) 与方程的关系 实际应用 解析式 图象 性质 描点法 形状 位置 增减性 对称性 ··· 应用 例1 已知反比例函数的图象经过点A(-2，4). (1)这个函数的图象位于哪些象限?y随x的增大如何变化? (2)点B(1，-8)，C(2，-3)，D(2，4)是否在这个函数的图象上? 2 合作探究 解：(1)反比例函数图象的位置只有两种可能：位于 象限，或者位于 象限. 因为点A(-2，4)在第二象限，所以这个函数的图象位于 象限. 在每一个象限内，y随x的增大而 . 第一、第三 第二、第四 第二、第四 增大 点的位置 图象的位置 增减性 2 合作探究 解：(2)设这个反比例函数的解析式为y=.因为点A(-2，4)在其图象上，所以点A的坐标满足y=，即4==. 解得k=-8. 因此，这个反比例函数的解析式为：y=. 因为点B，C的坐标都满足y=，点D的坐标不满足y=，所以点B，C在函数y=的图象上，点D不在这个函数的图象上. 点的坐标 检验点是否在图象上 函数解析式 待定系数法 第(1)问也可以这样解哦！ k的取值范围 图象的位置 增减性 例2 图中的曲线是反比例函数y=的图象的一支.根据图象，回答下列问题： (1)图象的另一支位于哪个象限?常数m的取值范围是什么? (2)在这个函数图象的某一支上任取点A(x1，y1)和点B(x2，y2).如果x1>x2，那么y1和y2有怎样的大小关系? 2 合作探究 解：(1)因为这个函数的图象的一支位于第一象限， 所以另一支必位于 . 所以 . 解得 . m>5 第三象限 m-5>0 图象的位置 参数的取值范围 k的取值范围 例2 图中的曲线是反比例函数y=的图象的一支.根据图象，回答下列问题： (1)图象的另一支位于哪个象限?常数m的取值范围是什么? (2)在这个函数图象的某一支上任取点A(x1，y1)和点B(x2，y2).如果x1>x2，那么y1和y2有怎样的大小关系? 2 合作探究 解：(2)因为m-5>0，所以在这个函数图象的任意一支上，y都随x的增大而 . 因此当x1>x2时， . 增减性 k的取值范围 减小 y1<y2 探究 在反比例函数y=的图象上任取一点P ，过点P分别作x轴、y轴的 垂线，与坐标轴围成面积为S的矩形，请填写下表： 2 合作探究 点P的坐标 S的值 (2，2) (1，4) (−1，−4) (−0.5，−8) (m，n) 4 4 4 4 4 探究 在反比例函数y=− 的图象上任取一点P ，过点P分别作x轴、y轴 的垂线，与坐标轴围成面积为S的矩形，请填写下表： 2 合作探究 点P的坐标 S的值 (2，−3) (−1，6) (3，−2) (−0.5，12) (m，n) −6 −6 −6 −6 −6 信息技术验证 探究 在反比例函数y=的图象上任取一点P ，过点P分别作x轴、y轴的 垂线，与坐标轴围成面积为S的矩形，你能获得什么结论？ 2 合作探究 S=|k| 反比例函数 k的几何意义 我们就k<0的情况给出证明： 设点P的坐标为(a，b). ∵点 P (a，b) 在函数y=的图象上， ∴b=，即 ab=k. 若点P在第二象限，则a<0，b>0， ∴ S=(－a)· b－ab=－k； 若点P在第四象限，则a>0，b<0， ∴ S=a· (－b)=－ab=－k. 综上，S=|k|. 2 合作探究 3 典例分析 中考演练(2026福建)下列各点中，在函数y=图象上的点是（     ） A．(1，1) B．(1，2) C．(2，1) D．(2，2) A 3 典例分析 中考演练(2026广西)已知点A(−2，y1)，B(1，y2)在反比例函数y=(k≠0)的图象上，则y1，y2满足（    ） A．2y1+y2=0 B．y1+2y2=0 C．2y1−y2=0 D．y1−2y2=0 A 3 典例分析 中考演练(2026吉林)已知点A(2，y1)，B(3，y2)都在反比例函数y=的图象上，比较y1与y2的大小：y1___y2． > ∵点A(2，y1)，B(3，y2) 都在反比例函数y=的 图象上， ∴y1=2，y2=， ∴y1>y2. 解析式法 ∵k=4>0， ∴当x>0时，y随x的增 大减小， ∵2<3， ∴y1>y2. 性质法 图象法 3 典例分析 中考演练(2026江苏连云港)如图，在平面直角坐标系xOy中，两个反比 例函数y=− 和y=− 在第二象限内的图象依次为C1，C2．已知点P在C1 上，点A，B在C2上，且PA⊥x轴，PB⊥y轴，则四边形OAPB的面积为____. 4 4 巩固练习 1. 已知一个反比例函数的图象经过点A(2，6). (1)这个函数的图象位于哪些象限?在每一个象限内，y随x的增大如何变化? 解：(1)反比例函数图象的位置只有两种可能：位于第一、第三象限，或者位于 第二、第四象限. 因为点A(2，6)在第一象限，所以这个函数的图象位于第一、第三象限. 在每一个象限内，y随x的增大而减小. 4 巩固练习 解：(2)设这个反比例函数的解析式为y=.因为点A(2，6)在其图象上，所以点A的坐标满足y=，即6==. 解得k=12. 因此，这个反比例函数的解析式为：y=. 因为点B，C的坐标都满足y=，点D的坐标不满足y=，所以点B，C在函数y=的图象上，点D不在这个函数的图象上. 1. 已知一个反比例函数的图象经过点A(2，6). (2)点B(3，4)，(C(−2，−4)，D(2，−6)是否在这个函数的图象上?为什么? 4 巩固练习 2. 反比例函数y=的图象的一支位于第二象限，图象的另一支位于哪个象限?常数m的取值范围是什么? 解：因为这个函数的图象的一支位于第二象限，所以另一支必位于第四象限. 所以 m+2<0. 解得 m<−2. 4 巩固练习 3. 已知点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)在反比例函数y=的图象上，如果x₁<x₂，且x₁，x₂同号，那么y₁，y₂有怎样的大小关系?为什么? 解：(2)因为k=1>0，所以在这个函数图象的任意一支上，y都随x的增大而减小. 因为x₁，x₂同号，所以点A、B在图象的同一支上， 因此当x1<x2时，y₁>y₂. 如果没有“x₁，x₂同号”这个条件，y₁，y₂又会有怎样的大小关系呢？ 4 巩固练习 4. 如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=kx+b的图象交于M、N两点，已知点M的坐标为（1，3），点N的坐标为（−3，−1）．根据图象信息可得关于x的方程=kx+b的解为（    ） A．x=−3或1 B．x=−3或3 C．x=−1或1 D．x=3或1 A 双曲线y=与直线y=kx+b的交点的横坐标 方程=kx+b的解 5. 如图，一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=的图象交于A(1，m)，B(4，n)两点，则关于x的不等式kx+b>的解集是（     ） A．x<0或1<x<4 B．x<1或x>4 C．0<x<1或x>4 D．1<x<4 直线y=kx+b在双曲线y=上方的图象 对应的自变量的取值范围 不等式kx+b>的解集 直线y=kx+b在双曲线y=下方的图象 对应的自变量的取值范围 不等式kx+b<的解集 4 巩固练习 A 解：∵一次函数y=−x+1 的图象经过点P(−1，a)、Q(b，−1)， ∴−(−1)+1=a，−b+1=−1， 解得 a=2 ，b=2， ∴P(−1，2)、Q(2，−1)， ∵反比例函数y= 的图象经过点P(−1，2)， ∴k=−2， ∵反比例函数的表达式为y=− ； 5 当堂检测 1. （2026四川乐山）如图，一次函数y=−x+1 的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象 交于P(−1，a)、Q(b，−1)两点，连接OP、OQ ． (1)求a 、b 的值和反比例函数的表达式； 解：如图，设一次函数y=−x+1与x轴相交于点A， 令y=0，则x=1，即：A(1，0)， ∴OA=1， 又∵P(−1，2)，Q(2，−1)， ∴S△POQ=S△AOP+S△AOQ= ×1×2+ ×1×1= ． 5 当堂检测 1. （2026四川乐山）如图，一次函数y=−x+1 的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象 交于P(−1，a)、Q(b，−1)两点，连接OP、OQ ． (2)求△POQ的面积． 5 当堂检测 2. 如图，点A、B位于图中所示的双曲线上，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 C 5 当堂检测 3. 如图，下列结论中错误的是（    ） A．方程k1x+b=的解为x1=−2，x2=1 B．当−2<x<1时，有y>y′ C．k1<0，k2<0，b<0 D．直线y=k1x+b与两坐标轴围成的三角形的面积是 B 6 课堂小结 图象上点的坐标 函数解析式 待定系数法 k的取值 图象的位置 增减性 点是否在图象上 检验 在反比例函数y=的图象上任取一点P ，过点P分别作x轴、y轴的垂线， 与坐标轴围成面积为S的矩形，则S=|k|. k的几何意义 6 课堂小结 双曲线y=与直线y=kx+b的交点的横坐标 方程=kx+b的解 直线y=kx+b在双曲线y=上方的图象 对应的自变量的取值范围 不等式kx+b>的解集 直线y=kx+b在双曲线y=下方的图象 对应的自变量的取值范围 不等式kx+b<的解集 反比例函数与方程、不等式的关系 6 课堂小结 反比例函数 概念 表达形式 图象 和性质 一般地，形如y=(k为常数，k≠0)的函数叫作反比例函数，其中 x是自变量，y是x的函数. 反比例函数的三种表达形式：y=，y=kx−1，xy=k . (注意：k≠0) 与方程的关系 实际应用 解析式 图象 性质 描点法 形状 位置 增减性 对称性 ··· 应用 k的几何意义 双曲线y=与直线y=kx+b的交点 方程、不等式的解(集) 7 布置作业 A B 习题27.2：第3，4，5题. 习题27.2：第7题. $