27.3 第2课时实际问题中的反比例函数(2)（导学案）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦“实际问题与反比例函数”，核心是引导学生结合图示理解反比例函数实际意义，建立并求解函数模型。课堂导入通过复习反比例函数应用四步骤，结合气球气体气压与体积的生活情境，搭建从概念到应用的学习支架，衔接前后知识。 资料特色在于以力与位移、压强、气体等生活实例，引导学生用数学眼光观察数量关系，经历“抽象模型→求解→应用”过程提升建模能力，体现数学思维的推理与运算，通过函数解析式和图表培养数学语言表达，习题层次分明，注重应用意识与模型观念。

第二十七章 反比例函数 27.3 实际问题与反比例函数 第2课时 实际问题中的反比例函数(2) 【学习目标】 1.结合图示理解反比例函数的实际意义，能根据实际情境建立反比例函数模型并求解. 2.通过分析实际问题中的数量关系，经历“抽象函数模型→求解→应用”的过程，提升建模能力. 3.感受数学与生活的联系，体会反比例函数在解决实际问题中的价值. 学习重点：结合图示理解反比例函数的实际意义，能根据实际情境建立反比例函数模型并求解. 学习难点：通过分析实际问题中的数量关系，经历“抽象函数模型→求解→应用”的过程，提升建模能力. 【复习导入】 反比例函数的实际应用一般步骤： (1) 确定函数关系，设出 ； (2) 根据题目中的已知条件列出方程，求出 ； (3) 写出函数解析式，并注意自变量的 ； (4) 利用反比例函数的图象和性质解决实际问题. 我们都知道，气球内可以充满一定质量的气体. 如果在温度不变的情况下，气球内气体的气压 p（kPa）与气体体积 V（m3）之间有怎样的关系？你想知道气球在什么条件下会爆炸吗？ 【合作探究】 探究点：实际问题中涉及图表的反比例函数 [典例精析] 例1 在力 F (单位：N) 的作用下，若物体会在力 F 的方向上发生位移 s (单位：m)，则力 F 所做的功 W(单位：J) 满足 W = Fs. 当 W 为定值时，s 与 F 之间的函数关系如图所示. (1) 当力 F 为 10 N 时，求 F 所做的功 W； (2) 写出 s 关于 F 的函数解析式； (3) 在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于 100 m，求力的范围. [练一练] 1. 某人对地面的压强与他和地面接触面积的函数关系如图所示．若某一沼泽地地面能承受的压强不超过300 N/m2，那么此人必须站立在面积为多少的木板上才不至于下陷 (木板的重量忽略不计) （ ） A. 至少2 m2 B. 至多2 m2 C. 大于2 m2 D. 小于2 m2 2. 某容器内充满了一定质量的气体，当温度不变时，容器内气体的气压 p (kPa) 是气体体积 V (m3)的反比例函数，其图象如图所示． (2) 当容器内的气体体积是 0.6 m3 时，此时容器内的气压是多少千帕？ (3) 当容器内的气压大于 240 kPa 时，容器将爆炸，为了安全起见，容器内气体体积应不小于多少 m3 ？ 方法总结： 根据反比例函数图象确定函数关系式以及知道变量的值求函数值或知道函数值的范围求自变量的范围是解决问题的关键． [典例精析] 例2 一辆客车从甲地行驶到乙地，平均速度 v（单位：km/h）与行驶全程所用时间 t（单位：h）的函数关系如图所示，其中 60≤v≤120. (1) 写出 v 关于 t 的函数解析式，并求 t 的取值范围； (2) 若客车上午 8 时从甲地出发，需在当天 10 时 40 分至 11 时之间到达乙地，求客车平均速度 v 的范围. [练一练] 1. 某商场出售一批进价为 2 元的贺卡，在销售中发现此商品的日售价 x (元)与销售量 y (张)之间有如下关系： x (元) 3 4 5 6 y (张) 20 15 12 10 (1) 猜测并确定 y 与 x 的函数关系式； (2) 当日销售单价为 10 元时，贺卡的日销售量是多少张？ (3) 设此卡的利润为 W 元，试求出 W 与 x 之间的函数关系式，若物价部门规定此卡的销售单价不能超过 10 元，试求出当日销售单价为多少元时，每天获得的利润最大并求出最大利润． 2. 学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示.某班学生在一节数学课中的注意力指数 y 与上课时间 x (min) 的变化如图所示．上课开始时注意力指数为 30，前 10 min 内注意力指数 y 与上课时间 x 之间的关系式为 y = 5x + 30 (0≤x≤10)，10 min 以后注意力指数 y 是上课时间 x (10＜x≤45)的反比例函数． (1)求 10 min 以后 y 与 x 之间的函数关系； (2) 若数学老师打算讲解一道较难的数学题，需要学生的注意力指数不低于 50，为了保证教学效果，应该在哪个时间段讲解这道题？ 当堂反馈 1.已知矩形的面积为10，长和宽分别为x和y，则y关于x的函数图象大致是(　　) 2.静静一家计划外出旅游，家中的一盆海棠无人照料，为此静静从网上买来了一个简易滴水装置，既可以通过调节水滴流速控制每天的浇水量，又可以节水.通过实验静静得到了如图所示的使用天数y(天)与每天用水量x(百滴)之间的函数关系.已知这盆海棠生长阶段过程中需要的浇水量为每天400～500滴，利用此装置，最少可以用的天数为(　　) A.18天 B.19天 C.20天 D.21天 3.钢琴调音时(将琴弦拧紧或放松，使其达到一定的音高)，琴弦的振动频率f(Hz)是琴弦张力T(N)的反比例函数.已知当张力T＝200N时，频率f＝220Hz(即达到标准音高A3).若要使频率升高到440Hz(即达到标准音高A4)，应该如何调整张力(　　) A.增大至150N B.减小至150N C.增大至100N D.减小至100N 4.[教材变式]在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量的氧气，其体积V(m3)是密度ρ(kg/m3)的反比例函数，其图象如图所示，则： (1)这个反比例函数的解析式为　　； (2)当ρ＝1.5kg/m3时，氧气的体积V＝　　m3. 5.一辆客车从A地出发前往B地，平均速度v(km/h)与所用时间t(h)的函数关系如图所示，其中60≤v≤120. (1)求v与t的函数关系式； (2)该客车上午8时从A地出发，需在当天14时至15时30分之间(含14时与15时30分)到达B地，求客车的行驶速度v的取值范围. 参考答案 【合作探究】 探究点：实际问题中涉及图表的反比例函数 [典例精析] 例1 解：(1) 由图可知，当力 F 为 10 N 时，物体在力 F 的方向上发生的位移 s 为 50 m，此时 F 所做的功W= Fs = 10×50 = 500 ( J ). (2) 当 W 为定值时，可以用反比例函数描述 s 与 F 之间的关系，由 (1) 可知其解析式为s＝ . (3) 将 s = 100 代入 s＝ ，可得 F = 5 (N). 因为 s 随着 F 的增大而减小，所以要使物体在力的作用下的位移小于 100 m，力 F 要大于 5 N. [练一练]1.A 2. 解：(1)设这个函数的表达式为p＝. 根据图象可知其经过点 (2，60)，得 60＝，解得 k＝120. 则 p＝. (2)当 V＝0.6 m3 时，p＝120/0.6＝200 (kPa)； (3)当 p≤240 kPa 时，得 ≤240，解得V≥. 所以为了安全起见，容器的体积应不小于 m3. [典例精析] 例2 解：(1) 甲地到乙地的路程为定值，可以用反比例函数描述 v 与 t 之间的关系，由图可知，当 t = 2 时，v = 120，于是有v＝ 当 v = 60 时，由①得 t = 4. 因为 60≤v≤120，并且平均速度 v 随着行驶全程所用时间 t 的增大而减小， 所以 2≤t≤4. (2) 客车上午 8 时从甲地出发，若当天 10 时 40 分到达乙地， 则行驶全程所用时间 t＝2 ，代入①，可得 v = 90 (km/h)； 若当天 11 时到达乙地，则行驶全程所用时间 t = 3 h，代入①，可得 v = 80 (km/h). 因为平均速度 v 随着行驶全程所用时间 t 的增大而减小，所以客车平均速 度 v 的范围是 80≤v≤90. [练一练]1. 解：(1) 从表中数据可知 y 与 x 成反比例函数关系，设 y＝ ( k 为常数，k≠0)， 把点 (3，20) 代入得 k＝60，∴y＝60/x； (2) 当 x＝10 时，y＝＝6， ∴日销售单价为 10 元时，贺卡的日销售量是 6 张. (3)∵W＝(x－2)y＝60－，又∵x≤10， ∴当 x＝10 时，W 取最大值，W最大＝60－＝48(元). 2. 解：(1) 将x=10代入y=5x + 30，得y = 80； 设 10 分钟后 y = ，将 x = 10，y = 80 代入得，k= 800， 因此 y =  (10＜x≤45). (2)∵y=5x + 30(0≤x≤10)；y = (10＜x≤45)， ∴当 y = 50 时，5x + 30 = 50，解得 x = 4， 当 y = 50 时， = 50，解得 x = 16， 为了保证教学效果，应该在4≤x≤16 时间段讲解这道题. 当堂反馈 1.　C　 2.　C 3.　D　 4.(1)　V＝(ρ＞0)　； (2)　6　. 5.解：(1)设v与t的函数关系式为v＝(k≠0)， 把点(6，100)代入得100＝，解得k＝600， ∴v与t的函数关系式是v＝. (2)由题意得6≤t≤7.5，当t＝6时，v＝＝100，当t＝7.5时，v＝＝80. ∵v随着t的增大而减小，∴80≤v≤100. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $