27.1反比例函数的概念（导学案）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学导学案围绕“27.1反比例函数的概念”展开，引导学生理解定义、三种表达形式、判定及自变量取值范围，掌握待定系数法求解析式。通过路程与时间等生活问题列关系式，类比正比例函数引入新知，搭建旧知到新知的学习支架。 资料以“实际情境—建模—归纳—应用”为主线，设自主学习与合作探究环节，培养学生抽象能力与模型意识。典型例题结合生活及中考真题，助力学生用数学思维推理、用数学语言表达，提升应用意识与解决实际问题的能力。

27.1反比例函数的概念（导学案） (1)理解反比例函数的定义，掌握反比例函数的三种表达形式；能准确判断一个函数是否为反比例函数；明确反比例函数自变量的取值范围；会用待定系数法求解反比例函数解析式. (2)经历“实际情境—列关系式—观察特征—归纳定义—应用巩固”的完整探究过程，通过类比正比例函数，培养观察归纳、类比推理、数学建模的能力. (3)感受反比例函数在生活中的广泛应用，体会变量之间的对应关系，养成严谨的数学思维习惯，提升运用函数知识解决实际问题的意识. 重点：反比例函数的概念及三种表达形式；反比例函数的判定；用待定系数法求反比例函数解析式. 难点：理解反比例函数的本质特征（两个变量的积为定值）；结合实际问题建立反比例函数模型；区分易混淆的函数关系式. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 出示3个生活实际问题，引导学生列出变量关系式： （1）路程一定（120km），行驶速度v与行驶时间t的关系； （2）矩形面积一定（24㎡），长x与宽y的关系； （3）总电量一定，电器功率P与工作时间t的关系。 提问：以上关系式与正比例函数y=kx(k≠0)有什么不同？变量之间存在什么规律？ 小组讨论后总结：式子均为分式形式，两个变量的乘积是固定常数，一个变量增大，另一个变量随之减小.引出课题. 【学法指导】 新知自研：自研课本第64-65页的内容 【学法指导】自研课本P64-65页内容 （一）反比例函数定义 活动1.在下列问题中，变量之间具有函数关系吗?如果有，它们的解析式有什么共同特点? (1)京沪高铁全程为1318km，某次列车的平均速度v(单位:km/h)随此次列车的全程运行时间t(单位:h)的变化而变化; (2)某住宅小区要种植一块面积为1000m的矩形草坪，草坪相邻两边的一边长y(单位:m)随另一边长x(单位:m)的变化而变化; (3)李明计划在一段时间内使用完5GB手机流量，平均每天使用的流量Q(单位:GB)随使用完流量的总时间t(单位:天)的变化而变化. 学生讨论：在问题(1)中，有两个变量t与v，当一个量t变化时，另一个量v随着t的变化而变化，而且对于t的每一个确定的值，v都有唯一确定的值与其对应.问题(2)(3)也一样.所以这些变量之间具有函数关系，它们的解析式分别为：v=，y=，Q=.上述解析式都具有y=的形式，其中k是非零常数. 函数的定义：一般地，形如y=（k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数.其中x是自变量，y是x的函数. （二）反比例函数不同表达形式及自变量取值范围 活动2.反比例函数不同表达形式 ① 分式型：y=(k≠0)（常用的表达形式） ② 乘积型：xy=k(k≠0) ③ 负指数型：y=k(k≠0) 活动3.反比例函数y=（k为常数，k≠0）中自变量x的取值范围是什么？ 自变量x≠0，函数值y≠0（分母不能为0，乘积定值不为0）. （三）待定系数法求反比例函数解析式 问题：已知y是x的反比例函数，且当x=2时，y=6. (1)写出y关于x的函数解析式; (2)当x=4时，求y的值. 分析:因为y是x的反比例函数，所以设y=.把x=2，y=6 代入上式，就可求出常数k的值. 解:(1) 设y=，因为当x=2时，y=6，所以6= 解得 k=12，因此y=. (2) 把x=4代人y=，得y==-3. 总结：待定系数法求反比例函数解析式，解题步骤：设解析式→代入已知值→求k→定解析式. 【自研自探】 自研课本P64-65页内容 典型例题 例1．已知一个反比例函数为，求的值． 【分析】由反比例函数为，可得且，从而可得答案． 【详解】解：∵反比例函数为， ∴且， 解得：． 例2．汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为小时，平均速度为千米/小时（汽车行时速度不超过千米/小时），根据经验，，的一组对应值如下表； （千米/小时） （小时） (1)根据表中的数据，分析说明平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系，并求出其表达式； (2)汽车上午从甲地出发，能否在上午之前到达乙地？请说明理由． 【分析】（1）根据表格中数据，可知是的反比例函数，设，利用待定系数法即可求解； （2）上午出发，到上午之前，可知时间为小时，根据（1）中的函数关系，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，即每一对与的对应值乘积为一定值，在减小，在增大， ∴与成反比关系，设， 把，代入反比例函数得，， ∴与的表达式为， ∵汽车行时速度不超过千米/小时， ∴， ∴， ∴平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系是反比例函数，表达式为． （2）解：∵（小时）， ∴（千米/小时）， ∵汽车行时速度不超过千米/小时，， ∴不能． 第二环节 合作探究 1. 讨论反比例函数的定义. 2. 讨论反比例函数不同表达形式及自变量取值范围. 3. 讨论怎样用待定系数法求反比例函数解析式. 拓展提升： 1．心理学家研究发现，一般情况下，一节课分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化：开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中分别为线段，轴，为双曲线的一部分），其中段的关系式为． (1)点B坐标为_______； (2)根据图中数据，求出段双曲线的表达式； (3)一道数学竞赛题，需要讲分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目? 【详解】（1）∵段的关系式为，点B的横坐标为， ∴， ∴点B坐标为； 故答案为： （2）解：如图，轴，点B坐标为， ∴点C的坐标为，                 设C、D所在双曲线的解析式为， 把代入得，， ， ∴． （3）令， ∴．                令， ∴，           ∵， ∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 课本P65课堂练习. 1.（2026六安校考）在下列式子中，y是x的反比例函数的有哪些？每一个反比例函数中，相应的k值是多少？ (1)；(2)；(3)；(4)． 【详解】（1），是反比例函数，； （2），不是反比例函数； （3），不是反比例函数； （4），是反比例函数，． 2．（2026四川省成都）人的视觉机能受运动速度的影响很大．在一定条件下，某人驾驶车辆时的视野f（单位：）与车速v（单位：）之间的关系式是．当车速为时，他的视野为______． 【详解】解：由题意，将代入得：， 即他的视野为． 3．（2025•山西）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量y（g）与分解的水的质量x（g）满足我们学过的某种函数关系．如表是一组实验数据，根据表中数据，y与x之间的函数关系式为（　　） 水的质量x/g 4.5 9 18 36 45 氢气的质量y/g 0.5 1 2 4 5 A．y B．y＝9x C．yx D．y 【解答】解：通过观察表格数据可知：， 故y与x之间的函数关系式为yx， 故选：C． 知识技能：本节课掌握了反比例函数的标准定义和三种表达形式；能根据定义判定一个函数是否为反比例函数；明确了自变量和函数值均不为0的取值要求；熟练掌握利用待定系数法求解反比例函数解析式的基本步骤，能初步辨析正比例函数与反比例函数的区别. 思想方法：（1）类比思想：类比正比例函数的定义、形式、学习方法，探究反比例函数新知，实现旧知迁移、新知建构；（2）建模思想：从生活实际情境中提炼变量关系，抽象为反比例函数数学模型，体会函数刻画现实变化规律的作用；（3）方程思想：利用方程、不等式求解参数取值，解决反比例函数判定问题. 易错提醒：（1）忽略核心条件：判定反比例函数时，忘记验证k≠0，导致参数取值错误；（2）概念混淆：混淆正比例函数y=kx与反比例函数y=(k≠0)的解析式形式和变化规律；（3）取值遗漏：忽略反比例函数自变量x≠0的隐含条件；（4）格式错误：不会灵活运用乘积型、负指数型变式，解题形式单一. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.1反比例函数的概念（导学案） (1)理解反比例函数的定义，掌握反比例函数的三种表达形式；能准确判断一个函数是否为反比例函数；明确反比例函数自变量的取值范围；会用待定系数法求解反比例函数解析式. (2)经历“实际情境—列关系式—观察特征—归纳定义—应用巩固”的完整探究过程，通过类比正比例函数，培养观察归纳、类比推理、数学建模的能力. (3)感受反比例函数在生活中的广泛应用，体会变量之间的对应关系，养成严谨的数学思维习惯，提升运用函数知识解决实际问题的意识. 重点：反比例函数的概念及三种表达形式；反比例函数的判定；用待定系数法求反比例函数解析式. 难点：理解反比例函数的本质特征（两个变量的积为定值）；结合实际问题建立反比例函数模型；区分易混淆的函数关系式. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 出示3个生活实际问题，引导学生列出变量关系式： （1）路程一定（120km），行驶速度v与行驶时间t的关系； （2）矩形面积一定（24㎡），长x与宽y的关系； （3）总电量一定，电器功率P与工作时间t的关系。 提问：以上关系式与正比例函数y=kx(k≠0)有什么不同？变量之间存在什么规律？ 【学法指导】 新知自研：自研课本第64-65页的内容 【学法指导】自研课本P64-65页内容 （一）反比例函数定义 活动1.在下列问题中，变量之间具有函数关系吗?如果有，它们的解析式有什么共同特点? (1)京沪高铁全程为1318km，某次列车的平均速度v(单位:km/h)随此次列车的全程运行时间t(单位:h)的变化而变化; (2)某住宅小区要种植一块面积为1000m的矩形草坪，草坪相邻两边的一边长y(单位:m)随另一边长x(单位:m)的变化而变化; (3)李明计划在一段时间内使用完5GB手机流量，平均每天使用的流量Q(单位:GB)随使用完流量的总时间t(单位:天)的变化而变化. 学生讨论： 函数的定义：一般地，形如y=（k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数.其中x是自变量，y是x的函数. （二）反比例函数不同表达形式及自变量取值范围 活动2.反比例函数不同表达形式 ① 分式型：y=(k≠0)（常用的表达形式） ② 乘积型：xy=k(k≠0) ③ 负指数型：y=k(k≠0) 活动3.反比例函数y=（k为常数，k≠0）中自变量x的取值范围是什么？ 自变量x≠0，函数值y≠0（分母不能为0，乘积定值不为0）. （三）待定系数法求反比例函数解析式 问题：已知y是x的反比例函数，且当x=2时，y=6. (1)写出y关于x的函数解析式; (2)当x=4时，求y的值. 总结：待定系数法求反比例函数解析式，解题步骤：设解析式→代入已知值→求k→定解析式. 【自研自探】 自研课本P64-65页内容 典型例题 例1．已知一个反比例函数为，求的值． 例2．汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为小时，平均速度为千米/小时（汽车行时速度不超过千米/小时），根据经验，，的一组对应值如下表； （千米/小时） （小时） (1)根据表中的数据，分析说明平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系，并求出其表达式； (2)汽车上午从甲地出发，能否在上午之前到达乙地？请说明理由． 第二环节 合作探究 1. 讨论反比例函数的定义. 2. 讨论反比例函数不同表达形式及自变量取值范围. 3. 讨论怎样用待定系数法求反比例函数解析式. 拓展提升： 1．心理学家研究发现，一般情况下，一节课分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化：开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中分别为线段，轴，为双曲线的一部分），其中段的关系式为． (1)点B坐标为_______； (2)根据图中数据，求出段双曲线的表达式； (3)一道数学竞赛题，需要讲分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目? 课本P65课堂练习. 1.（2026六安校考）在下列式子中，y是x的反比例函数的有哪些？每一个反比例函数中，相应的k值是多少？ (1)；(2)；(3)；(4)． 2．（2026四川省成都）人的视觉机能受运动速度的影响很大．在一定条件下，某人驾驶车辆时的视野f（单位：）与车速v（单位：）之间的关系式是．当车速为时，他的视野为______． 3．（2025•山西）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量y（g）与分解的水的质量x（g）满足我们学过的某种函数关系．如表是一组实验数据，根据表中数据，y与x之间的函数关系式为（　　） 水的质量x/g 4.5 9 18 36 45 氢气的质量y/g 0.5 1 2 4 5 A．y B．y＝9x C．yx D．y 知识技能：本节课掌握了反比例函数的标准定义和三种表达形式；能根据 是否为反比例函数；明确了自变量和函数值均 的取值要求；熟练掌握 反比例函数解析式的基本步骤，能初步辨析 函数的区别. 思想方法：（1）类比思想：类比 ，探究反比例函数新知，实现旧知迁移、新知建构；（2）建模思想：从生活实际情境中 关系，抽象为 数学模型，体会函数刻画现实变化规律的作用；（3）方程思想：利用 求解参数取值，解决 判定问题. 易错提醒：（1）忽略核心条件：判定反比例函数时，忘记验证 ，导致参数取值错误；（2）概念混淆：混淆正比例函数y=kx与反比例函数y=(k≠0)的 ；（3）取值遗漏：忽略反比例函数自变量 的隐含条件；（4）格式错误：不会灵活运用 变式，解题形式单一. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $