3.3 函数的应用（一） 导学案（核心考点+典型例题+分层训练）-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学导学案聚焦函数的应用，核心内容包括分段函数、一次函数、二次函数的实际问题建模，通过阶梯收费、行程变速等实际情境导入，衔接函数概念，搭建从理论到应用的学习支架，明确审题定变量、列解析式等建模四步骤。 资料特色在于紧扣人教B版教材，典型例题源于教材改编，分层训练覆盖基础到拓展，助力学生用数学眼光观察现实问题，通过逻辑推理（数学思维）构建函数模型，提升用数学语言表达实际关系的能力，适配不同学生学习需求。

高中数学人教 B 版 (2019) 必修第一册｜同步教研学案 紧扣新课标・重难点突破 3.3 函数的应用（一） 导学案 （核心考点+典型例题+分层训练） 学习目标 1. 掌握人教B版教材核心：利用分段函数、一次函数、二次函数建立实际问题数学模型； 2. 熟练解决教材重点题型：阶梯收费、行程变速、利润成本、最值优化实际问题； 3. 掌握实际问题建模步骤：审题定变量→列函数解析式→限定定义域→求解验证。 重难点 重点：人教B版专属分段函数实际建模、一次/二次函数实际应用； 难点：实际问题定义域取舍、分段函数分段区间划分、最值实际意义验证。 一、核心考点（人教B版教材同步） 考点1 函数建模基本步骤（教材提炼） 1. 审题：分析实际问题中的变量关系，确定自变量、因变量； 2. 建模：根据变量变化规律，建立一次函数、二次函数、分段函数模型； 3. 求解：利用函数性质、解析式计算求值、求最值； 4. 还原：结合实际场景取舍结果（重点：自变量实际取值范围）。 考点2 人教B版三大核心函数应用模型 模型1：分段函数模型（教材重点） 适用场景：阶梯水价、电费、车费、套餐收费、变速运动等分段变化的实际问题，不同区间对应不同函数解析式。 模型2：一次函数模型 适用场景：匀速变化、线性增长/减少的实际问题，解析式形式：。 模型3：二次函数模型 适用场景：利润最值、面积最值、产量优化等抛物线变化问题，可求实际情境下的最大/最小值。 考点3 易错点（教材同步避坑） 1. 实际函数必须标注自变量定义域，脱离实际的解要舍去； 2. 分段函数必须明确每一段的自变量区间，区间端点不重复、不遗漏； 3. 最值问题需验证：最值点是否在实际定义域范围内。 二、典型例题（全部为人教B版教材改编，贴合课本考法） 例1 分段函数应用：阶梯水价问题（教材P128原题改编） 某市实行阶梯水价制度，户年用水量与单价关系如下： ① 第一阶梯：用水量（含220），单价元； ② 第二阶梯：用水量（含300），单价元； ③ 第三阶梯：用水量以上，单价元。 设年用水量为，全年水费为元。 (1) 写出关于的函数解析式； (2) 若某户年用水量为，求该户全年水费。 方法总结（B版专属）：阶梯收费问题优先构建分段函数，先算基础区间费用，超额部分单独计算，严格对应区间代入求值。 例2 一次函数应用：变速行驶问题（教材同步题型） 某汽车在平直道路上行驶，0～20分钟匀速行驶，速度为60km/h；20分钟后匀速提速，速度为80km/h。设行驶时间为小时，行驶路程为km，写出关于的函数解析式。 例3 二次函数应用：利润最值问题（B版高频考点） 某工厂生产产品，每日产量吨（），每日利润万元，满足函数关系，求每日最大利润及对应产量。 三、分层训练（基础+提升，适配人教B版教材） 基础过关（全员必做，教材课后习题同源） 1. 某市出租车收费标准：2千米以内收费6元，超过2千米的部分，每千米收费3元（不足1千米按1千米计算）。设行驶路程为千米（），车费为元，写出与的函数解析式。 2. 已知某商品销量与单价满足一次函数关系，单价10元时销量200件，单价12元时销量160件，求销量与单价的函数解析式。 3. 阶梯电费：月用电量不超过100度，每度0.5元；超过100度的部分，每度0.6元。若某月用电150度，求当月电费。 能力提升（培优选做，B版月考高频题型） 4. 某通讯公司有两种话费套餐： 套餐A：月租20元，每分钟通话0.1元； 套餐B：无月租，300分钟内免费，超过部分每分钟0.2元。 设月通话时间为分钟，分别写出两种套餐的话费解析式，并求通话时长为多少时，套餐B更划算。 5. 工厂生产手套，固定成本2000元，每生产1双手套可变成本0.5元，售价1元/双。设产量为双，求利润函数，并求至少生产多少双手套才能不亏本。 拓展创新（同步高考基础考法） 6. 甲乙两座城市共投资120万元发展项目，每座城市至少投资40万元。甲城市收益（为甲投资额），乙城市收益，求总收益的最大值。 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学人教 B 版 (2019) 必修第一册｜同步教研学案 紧扣新课标・重难点突破 3.3 函数的应用（一） 导学案 （核心考点+典型例题+分层训练） 学习目标 1. 掌握人教B版教材核心：利用分段函数、一次函数、二次函数建立实际问题数学模型； 2. 熟练解决教材重点题型：阶梯收费、行程变速、利润成本、最值优化实际问题； 3. 掌握实际问题建模步骤：审题定变量→列函数解析式→限定定义域→求解验证。 重难点 重点：人教B版专属分段函数实际建模、一次/二次函数实际应用； 难点：实际问题定义域取舍、分段函数分段区间划分、最值实际意义验证。 一、核心考点（人教B版教材同步） 考点1 函数建模基本步骤（教材提炼） 1. 审题：分析实际问题中的变量关系，确定自变量、因变量； 2. 建模：根据变量变化规律，建立一次函数、二次函数、分段函数模型； 3. 求解：利用函数性质、解析式计算求值、求最值； 4. 还原：结合实际场景取舍结果（重点：自变量实际取值范围）。 考点2 人教B版三大核心函数应用模型 模型1：分段函数模型（教材重点） 适用场景：阶梯水价、电费、车费、套餐收费、变速运动等分段变化的实际问题，不同区间对应不同函数解析式。 模型2：一次函数模型 适用场景：匀速变化、线性增长/减少的实际问题，解析式形式：。 模型3：二次函数模型 适用场景：利润最值、面积最值、产量优化等抛物线变化问题，可求实际情境下的最大/最小值。 考点3 易错点（教材同步避坑） 1. 实际函数必须标注自变量定义域，脱离实际的解要舍去； 2. 分段函数必须明确每一段的自变量区间，区间端点不重复、不遗漏； 3. 最值问题需验证：最值点是否在实际定义域范围内。 二、典型例题（全部为人教B版教材改编，贴合课本考法） 例1 分段函数应用：阶梯水价问题（教材P128原题改编） 某市实行阶梯水价制度，户年用水量与单价关系如下： ① 第一阶梯：用水量（含220），单价元； ② 第二阶梯：用水量（含300），单价元； ③ 第三阶梯：用水量以上，单价元。 设年用水量为，全年水费为元。 (1) 写出关于的函数解析式； (2) 若某户年用水量为，求该户全年水费。 解析： (1) 分段讨论，结合实际定义域： 当时，； 当时，； 当时，。 综上： (2) ，代入第二段解析式： （元） 答案：(1) 分段解析式如上；(2) 全年水费952.2元 方法总结（B版专属）：阶梯收费问题优先构建分段函数，先算基础区间费用，超额部分单独计算，严格对应区间代入求值。 例2 一次函数应用：变速行驶问题（教材同步题型） 某汽车在平直道路上行驶，0～20分钟匀速行驶，速度为60km/h；20分钟后匀速提速，速度为80km/h。设行驶时间为小时，行驶路程为km，写出关于的函数解析式。 解析：统一单位，20分钟小时 当时，； 当时，。 综上： 例3 二次函数应用：利润最值问题（B版高频考点） 某工厂生产产品，每日产量吨（），每日利润万元，满足函数关系，求每日最大利润及对应产量。 解析：该二次函数开口向下，顶点，且，符合实际定义域。 当产量吨时，利润最大，最大利润为12.9万元。 三、分层训练（基础+提升，适配人教B版教材） 基础过关（全员必做，教材课后习题同源） 1. 某市出租车收费标准：2千米以内收费6元，超过2千米的部分，每千米收费3元（不足1千米按1千米计算）。设行驶路程为千米（），车费为元，写出与的函数解析式。 2. 已知某商品销量与单价满足一次函数关系，单价10元时销量200件，单价12元时销量160件，求销量与单价的函数解析式。 3. 阶梯电费：月用电量不超过100度，每度0.5元；超过100度的部分，每度0.6元。若某月用电150度，求当月电费。 能力提升（培优选做，B版月考高频题型） 4. 某通讯公司有两种话费套餐： 套餐A：月租20元，每分钟通话0.1元； 套餐B：无月租，300分钟内免费，超过部分每分钟0.2元。 设月通话时间为分钟，分别写出两种套餐的话费解析式，并求通话时长为多少时，套餐B更划算。 5. 工厂生产手套，固定成本2000元，每生产1双手套可变成本0.5元，售价1元/双。设产量为双，求利润函数，并求至少生产多少双手套才能不亏本。 拓展创新（同步高考基础考法） 6. 甲乙两座城市共投资120万元发展项目，每座城市至少投资40万元。甲城市收益（为甲投资额），乙城市收益，求总收益的最大值。 四、分层训练参考答案及详细解析（B版标准步骤） 1. 解析： 当时，； 当时，（为取整函数）。 2. 解析：设，代入，解得，即。 3. 解析：（元）。 4. 解析： A套餐：； B套餐：； 联立解得：通话时长分钟时，套餐B更划算。 5. 解析：利润， 不亏本即， 解得， 至少生产4000双。 6. 解析：总收益，， 换元求最值得最大收益44万元。 学科网（北京）股份有限公司 $