3.4 数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（人教B版）

该高中数学导学案聚焦数学建模一般步骤及市场供求关系模型，以“奶农倒奶”现实事件为导入，连接线性函数、图像分析等知识与经济现象，引导学生用数学眼光观察并分析现实问题，搭建从数学知识到实际应用的学习支架。 以现实情境驱动建模实践，通过“问题发现-模型建立-分析验证”流程，帮助学生用数学思维探究供求规律，用数学语言（函数表达式、图像）表达经济关系，培养建模能力与应用意识，激发从数学角度理解现实世界的兴趣。

数学 必修 第一册RJB 一、数学建模的一般步骤 二、建模实践 市场供求关系的数学模型分析 1．发现问题、提出问题 2015年1月份开始，新疆、山东、山西、河南、河北、北京等地都发生了不同程度的奶农“倒奶杀牛”的事件，大量的奶资源被浪费掉，奶农因鲜奶滞销，选择了卖掉、杀掉奶牛或者“弃养”．由于鲜奶大量积压，储奶罐容量也有限，奶农将每天新产的鲜奶倒进下水道，“牛奶过剩”危机到来．从数据上看，中国人均的喝奶量是32.4公斤，只是世界平均值的三分之一而已，因此我们全国的牛奶的总消费是4000万吨．换句话讲，我们还有8000万吨的市场潜力．很显然，我们国家是一个庞大的牛奶需求国，中国巨大的牛奶消费潜力与奶农“倒奶”形成了如此明显的矛盾．那为什么奶农会选择把过剩的牛奶倒掉、浪费掉呢？这些现象能用数学语言来描述吗？ 2．分析问题、建立模型 我们可以从市场供求关系入手解释牛奶过剩问题． (1)需求和价格的关系 所谓需求就是在一定时期内，消费者在一定的价格下愿意并且买得起的某种商品或劳务的数量．影响需求的因素很多，如商品自身的价格、消费者的收入、相关商品的价格、消费者的偏好、消费者对商品价格的预期、人口的数量、结构和年龄、政府的消费政策等．商品价格是决定需求量最重要的因素，因此假定其他影响因素不变，仅研究需求量与价格的依存关系． 在其他因素不变的情况下，一般商品的需求量与其价格之间呈反向变动：某商品价格上升，则需求量减少；某商品价格下降，则需求量增加．为方便起见我们用需求和价格的线性关系来研究，Qd＝a－bP，Qd表示需求量，P表示商品价格，a>0，b＞0，用图象来表示，如图． 由图可知，商品自身价格发生变化会引起需求量的变化，表现为需求曲线上一点沿着曲线上下移动．如果商品本身以外的其他因素发生变化呢？比如人们收入的提高，显然会引起需求量的增加．需求量增加，曲线右移；需求量减少，曲线左移． (2)供给和价格的关系 所谓供给是在一定时期内，生产者在一定的价格下愿意并且有能力提供的某种商品或劳务的数量．影响供给量的因素有商品价格、生产成本、替代品的价格、生产者对价格的预期等等． 在影响供给量的因素中，价格是最灵敏、最重要的因素．如果假定其他因素不变，仅研究价格与供给量之间的关系，就是供给曲线．供给曲线主要反映价格与供给量之间的变动关系． 商品或服务的供给量与价格呈正比关系，这也被称为供给规律．一般来说，价格越高，供给量越大；价格越低，供给量越小．不妨用供给和价格的线性关系来研究，Qs＝c＋dP，Qs表示供给量，P表示商品价格，c>0，d＞0，用图象来表示，如图． 由图可知，商品自身价格发生变化会引起供给量的变化，表现为供给曲线上一点沿着曲线上下移动．如果商品本身以外的其他因素发生变化呢？比如生产成本的降低，显然会引起供给量的增加．供给量增加，曲线右移；供给量减少，曲线左移． 3．根据函数模型分析供求关系 我们把两种函数放在同一坐标系下研究． 如图所示，市场在供给曲线与需求曲线的交点处达到均衡状态．所谓均衡是经济中各种对立的变动着的力量处于一种力量相当、相对静止、不再变动的状态．图中P0称为均衡价格，即商品价格与供给价格相等时的价格．Q0称为均衡数量即商品的需求量与供给量相等时的数量． 此时市场出清，市场的均衡价格为P0，均衡数量为Q0.在更高的价格P1处，存在过剩的供给，从而价格会下降；而在更低的价格P2处，存在短缺，于是价格就会上升．在一个自由的市场里，价格会不断变化直到市场出清为止，供给量和需求量达到相等，这就是经济学模型中的市场机制． 需求与供给的变动会对均衡价格产生影响．假设供给不变，需求发生变动，如图． 显然均衡价格与均衡数量同方向变动．需求量增加则Qd右移，均衡价格与数量增加；需求量减少则Qd左移，均衡价格与数量减少． 假设需求不变，供给发生变动，如图． 显然均衡价格反方向变动，均衡数量同方向变动．供给量增加则Qs右移，均衡价格减少均衡数量增加；供给量减少则Qs左移，均衡价格增加均衡数量减少． 如果需求和供给同时发生变动，则商品的均衡价格和均衡数量的变化是难以肯定的，这要结合需求和供给变化的具体情况而定．这里不再研究． 4．验证结果、改进模型 在奶农倒奶现象中，奶农是供给方S，提供牛奶，奶企是需求方D，收购牛奶．如下图所示，初期在供给曲线S与需求曲线D的交点处，是均衡状态，均衡价格为P0，均衡供给量是Q0.因为国内牛奶人均消费水平没有增长，国际奶源价格走低等各种原因，奶企选择收购奶农牛奶的数量减少了，需求量降低，D向左移动至D′，市场的需求量降为Q1，价格降至P1，这样就会存在Q0－Q1的过剩，同时牛奶收购价格从P0降低至P1.奶农发现牛奶的收购价降低了，多余的牛奶售不出去存在了自己手里，鲜牛奶保质期短，存储不便，牛奶的消毒、仓储、运输都是生产成本不断累加的过程．这也促使了奶农选择不再继续投入成本把多余的牛奶“转移”出去，而是选择倒掉大量牛奶，杀掉多余的奶牛，这样，减少牛奶的市场供给量，于是在图中，供给曲线S左移．由于供给的减少，Q2低于Q1的时候，价格便有了回升，如P2大于P1. 出现“奶农倒奶”的原因很多，影响供求关系的因素也很多，我们只是在一些合理的假设下用简单的供求关系解释了“牛奶过剩”是奶农倒奶的原因之一，随着我们学习的不断深入，掌握更多的数学知识，就可以更深入地研究一些经济学原理，从而更好地解释一些现象，并指导我们的工作和生活． 3 学科网（北京）股份有限公司 $