专题04 抛体运动（专项训练）高中物理力学竞赛

物 理 力学竞赛专题 专题四 抛体运动 一、核心知识点 二、思维导图 三、题型分类 题型01常规平抛运动基本规律应用 题型02 斜面上的抛体运动 题型03类平抛运动 题型04 抛体运动与圆周轨道的综合问题 题型05 抛体运动中的临界与极值问题 四、巩固提升 核心知识点 1.平抛运动规律：水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动。合位移与合速度方向不同，速度偏转角正切值是位移偏转角正切值的2倍。 2.斜抛运动分解：可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动；也可沿斜面方向和垂直斜面方向分解，处理“离斜面最远距离”或“落回斜面”等问题。 3.类平抛运动：物体受恒力作用且初速度与恒力垂直，运动轨迹为抛物线。处理方法与平抛运动类似，需将加速度替换为等效加速度（如重力沿斜面分力产生的加速度）。 4.抛体与圆周结合：平抛或斜抛的末速度常作为圆周运动的初速度，利用几何关系（如切线方向进入）建立联系；脱离轨道后做斜抛运动，需满足临界条件（如支持力为零）。 5.抛体中的能量与动量：抛体运动过程中机械能守恒（仅重力做功）；涉及碰撞或变力时，结合动能定理、动量定理或弹性碰撞规律求解。 思维导图 题型分类 题型一 常规平抛运动基本规律应用 例题1、如图所示，一质量m=1 kg的小球以初速度水平抛出，抛出后恰好从A点沿圆弧轨道的切线方向进入轨道，A点和圆弧轨道圆心O的连线与竖直方向的夹角为，圆弧半径R=3.6 m。圆弧轨道与水平面在B点平滑连接，小球滑至圆弧轨道最低点B后进入水平面，在水平面上立即对小球施加一水平向右的恒力F=1 N，使小球向右加速运动，水平面上B点右侧距B点L=22 m处静置有一质量M=3 kg的物块。已知所有碰撞均为一维弹性碰撞，圆弧轨道和水平面均光滑，水平面足够长，小球和物块大小均可忽略，重力加速度g取，碰撞时间和空气阻力不计。求： (1)小球抛出后运动至A点的过程中，小球所受重力的冲量大小； (2)小球到达圆弧轨道最低点B时对轨道的压力大小； (3)小球与物块第2次碰后瞬间，小球的速度大小。 【答案】(1) (2) (3) 【来源】重庆市南开中学2025-2026学年高一下学期期末物理试卷 【详解】（1）小球抛出后做平抛运动，到达点时竖直方向分速度为 解得 小球在空中做平抛运动，重力的冲量即为合外力的冲量，根据动量定理有 代入数据解得 （2）小球在点的速度为 解得 小球从点运动到点的过程，根据动能定理有 解得 小球在点时，设轨道对小球的支持力大小为，根据牛顿第二定律有 代入数据解得 根据牛顿第三定律可知，小球到达圆弧轨道最低点时对轨道的压力大小为 （3）小球进入水平面后，受水平向右的恒力，根据牛顿第二定律有 解得 设小球与物块第一次碰撞前瞬间的速度大小为，根据运动学公式有 解得 小球与物块发生第一次弹性碰撞，设碰撞后小球的速度为，物块的速度为，取向右为正方向，根据动量守恒定律和机械能守恒定律分别有， 联立解得和 代入数据解得和，即碰后小球向左运动，物块向右运动 小球在恒力作用下先向左减速后向右加速，最终追上物块发生第二次碰撞，设从第一次碰后到第二次碰前经历的时间为，根据位移关系有 代入数据解得 设第二次碰撞前瞬间小球的速度为，根据速度时间关系式有 解得 小球与物块发生第二次弹性碰撞，设碰撞后小球的速度为，物块的速度为，根据动量守恒定律和机械能守恒定律分别有， 联立解得 代入数据解得 题型二 斜面上的抛体运动 例题2、在单板滑雪比赛中，运动员运动轨迹如图所示，滑道边缘线的倾角为，运动员从点以大小为的初速度离开滑道，方向与的夹角为，腾空后从上的点进入滑道。已知，重力加速度为，运动员可视为质点，不计空气阻力。下列说法正确的是（     ） A．、两点间的距离为 B．运动员腾空中离的最大距离为 C．若仅减小夹角，则运动员腾空时间可能保持不变 D．若仅增大的大小，则运动员再滑入轨道时速度的方向不变 【答案】D 【来源】吉林长春市东北师大附中2025-2026学年高二年级下学期期末物理试卷 【详解】AB．将初速度和加速度g分别分解在沿PQ方向和垂直于PQ方向，则垂直于PQ方向有 运动员腾空中离PQ的最大距离 O、A两点间的距离，故AB错误； C．运动员腾空时间 若仅减小夹角，则运动员腾空时间减小，故C错误； D．运动员再进入滑道时，垂直于PQ方向的速度大小不变，仍为 沿PQ向下的速度 则合速度与PQ的夹角 与初速度大小无关，故D正确。 故选D。 题型三 类平抛运动 例题3、某山地救援队进行“斜面绳球投放”训练，简化模型如图所示。在倾角为的光滑矩形斜面上（为斜面与水平地面的交线），有一根长为的细线，细线的一端固定在点，另一端连接着一个可视为质点的小球。小球质量为，过点平行于的直线交于点，的长度为。现使小球恰好能在斜面上做完整的顺时针圆周运动。某次小球过点时速度，细线被割断（割断前后不影响小球速度），小球沿着轨迹运动，在小球刚要离开斜面点时，给小球施加一个沿（小球在点时的速度）方向、大小为的恒力。从点割断细线瞬间开始计时，小球经落到水平地面上的点（图中未画出点），点是小球离开斜面的位置，点为点在水平面上的投影点。不考虑小球反弹，忽略空气阻力，，，重力加速度取。 (1)小球经过点时速率； (2)小球到达点细线被割断前，小球对细线的拉力的大小； (3)求落地时点到点的距离。 【答案】(1)1m/s (2)12N (3) 【来源】陕西西安市创新港中学（创新港西安交通大学附属中学）2025-2026学年高一下学期第一次月考物理试卷 【详解】（1）因为小球恰好能在斜面上做完整的顺时针圆周运动，所以在A点由牛顿第二定律有 解得小球经过A点时的速率为 （2）从A点到B点的过程中，由机械能守恒定律有 解得小球经过B点时的速率为 在B点，小球受到细线的拉力和重力沿斜面的分力的合力提供小球做圆周运动的向心力，列牛顿第二定律方程有 解得在B点小球受到绳的拉力为 则由牛顿第三定律可知，小球对细线的拉力大小为 （3）小球在BG间做类平抛运动，其水平方向为匀速直线运动，则有 解得小球从B点到G点的运动时间为 离开G点后，小球沿GF方向做从静止开始的匀加速直线运动，则G点沿GF方向的分速度为 将小球沿GF方向的分速度沿水平方向和竖直方向进行正交分解，如图所示： 则在G点沿竖直方向的分速度为 在G点沿水平方向的分速度为 离开G点后，小球水平方向速度的矢量图如图所示： 设小球离开斜面后，从G点到D点沿方向的位移为x2，沿方向运动的位移为x3，小球从G点飞出后，从上往下俯视，小球沿着方向做匀加速直线运动，则根据牛顿第二定律可得其加速度为 则 小球沿着方向做匀速直线运动，则有 所以落地时D点到H点的距离为 题型四 抛体运动与圆周轨道的综合问题 例题4、如图，在距水平地面高的平台上，质量的小物块（可视为质点）以一定的水平速度向右从点滑离平台，恰好从点沿切线方向进入固定在竖直平面内、圆心为、圆心角、半径的光滑圆弧轨道。点距水平地面的高，圆弧轨道在点与长为的粗糙水平地面平滑连接，点固定有竖直挡板。取，空气阻力不计。，。 (1)求物块从离开平台运动到点所用时间； (2)求物块沿圆弧轨道第一次运动到点时对轨道的压力大小； (3)若物块与竖直挡板碰撞无能量损失，且物块最终停在段的中点，求物块与地面间动摩擦因数的可能值。 【答案】(1) (2) (3)、、、 【来源】福建漳州市2025-2026学年高一下学期期末物理试卷 【详解】（1）物块从到做平抛运动，竖直方向有 代入、、 整理得 （2）在点竖直分速度 物块恰好沿切线进入圆弧，速度方向与切线一致，由几何关系有 整理得，从到过程轨道光滑，机械能守恒，有= 解得，在点，轨道对物块的支持力与重力的合力提供向心力，有 代入、、 整理得 （3）设物块最终第次经过段中点时停止，碰撞挡板无能量损失，运动中只有段摩擦力做负功。物块从第一次到达点到最终停止所经过的段总路程为 由能量关系有=，其中 解得 物块第一次返回圆弧轨道时不能越过点，即从点再次上滑的动能最多转化为到点的重力势能，有 代入数据得 由，得，故 所以的可能值为、、、 题型五 抛体运动中的临界与极值问题 例题5、如图所示，半径为R的光滑圆弧轨道ABC固定在竖直面内，轨道对应的圆心角为270°，A点与圆心O等高。质量为m的小球在轨道最低点以某一初速度水平向右沿轨道运动。已知重力加速度g取10m/s2，小球可看作质点，忽略空气阻力，不考虑小球与圆弧轨道碰撞后的运动。下列说法正确的是（     ） A．若小球脱离轨道后恰好经过A点，小球一定不过圆弧轨道的最高点 B．若小球脱离轨道后恰好经过O点，小球脱离轨道时的位置半径与水平方向的夹角为30° C．若小球脱离轨道后恰好经过O点，小球脱离轨道时的速度大小为 D．若小球脱离轨道后恰好经过O点，小球的初速度大小 【答案】AC 【来源】河北沧州市部分校2025-2026学年高一下学期7月期末教学质量监测物理试题 【详解】A．假设小球经过最高点后恰好经过A点，根据平抛可知， 解得 而小球恰好经过最高点的条件为 可知小球经过圆弧轨道最高点点最小速度 所以若小球脱离轨道后恰好经过A点，小球一定不过圆弧轨道的最高点，A正确； BC．若小球脱离轨道后恰好经过O点，由运动学方程，沿水平方向有 竖直方向 小球脱离圆弧轨道的临界条件 解得，，B错误，C正确； D．从最低点到小球脱离轨道，根据动能定理 解得： ，D错误。 故选AC。 巩固提升 1．如图所示为鲤鱼在空中运动的轨迹，鲤鱼以的速度在点跃出水面，轨迹最高点为点，点为轨迹上一点，与水面夹角，垂直于，不计空气阻力，鲤鱼视为质点，在鲤鱼从点运动到点过程中，下列说法正确的是（     ） A．鲤鱼运动的最小速度为 B．段鲤鱼运动时间为段鲤鱼运动时间的3倍 C．段鲤鱼位移大小为段鲤鱼位移大小的6倍 D．鲤鱼在点的加速度比在点的加速度大 【答案】B 【来源】山东青岛第五十八中学2025-2026学年高一下学期期末物理试题 【详解】A．设鲤鱼在M点的水平分速度为，竖直分速度为，从M到最高点N，竖直速度减为零，所用时间为 水平位移和竖直位移分别为、 所以 所以 又因为M点速度大小为 2 m/s，所以 解得 鲤鱼运动过程中的最小速度出现在最高点N，此时速度只有水平分量 故A错误； B．由于，而MN与水平面夹角为，所以NP与水平面夹角为。设从N到P所用时间为。从最高点N开始，竖直初速度为零，因此 所以 得 又 所以 故B正确； C．由几何关系有 而水平方向上有 所以 故C错误； D．鲤鱼跃出水面后只受重力作用，做斜抛运动，加速度始终为g，故D错误。 故选B。 2．在某次训练中，乒乓球运动员将A、B两个相同的乒乓球从同一位置先后水平击出。A球以初速度水平击出后直接落到e点；B球以初速度水平击出后先落到本方场地后弹起，并再次反弹后也落到e点。已知两球与地面发生弹性碰撞，两球的运动轨迹如图所示，忽略空气阻力，且两球在空中的运动互不影响。下列说法正确的是（     ） A．两球一定会在b点相遇 B．两球的初速度之比为 C．a、b两点的水平距离小于d、e两点的水平距离 D．a、b两点的竖直距离与c、d两点的竖直距离之比为 【答案】D 【来源】山东青岛第五十八中学2025-2026学年高二下学期期末物理试题 【详解】A．设从a到e，A球在空中运动的时间是t，则B球在空中运动的时间是5t，由于A先抛出先到达b，两球不会在b点相遇，A错误； B．从a到e，两球的水平位移相等，由可得，B错误； C．设A球水平击出后经过到达b点，则B球水平击出后经过到达b点，根据两球水平位移相等有 解得 同理A球到c点的时间为，根据 解得 同理A球到d点的时间为，根据 解得 则A球d到e点的时间，与A球从a到b点相等，a、b两点的水平距离等于d、e两点的水平距离，故C错误； D．a、b两点的竖直距离 c、d两点的竖直距离 解得，故D正确。 故选D。 3．如图所示，有一个倾角为θ的足够长固定斜面，小球从斜面上以速度v斜向上抛离斜面，v与斜面夹角为α。小球恰好沿水平方向打在斜面上并且不反弹，不计空气阻力，重力加速度为g，对于该运动过程，下列说法正确的是（　　） A．小球离开斜面的最远距离为 B．小球在空中运动的时间为 C．小球打在斜面上的速度大小为vcos（α+θ） D．小球沿水平方向打在斜面上需满足tanα=2tanθ 【答案】AC 【来源】河南许昌市2025-2026学年第二学期期末质量检测高一物理试题 【详解】A．将初速度沿斜面和垂直于斜面方向分解，则垂直斜面方向 沿斜面方向 将加速度沿斜面和垂直于斜面方向分解，垂直斜面方向 沿斜面方向 当垂直斜面方向速度减为0时，小球离斜面最远，由匀变速运动公式 小球离开斜面的最远距离为，故A正确； B．将初速度沿水平方向和竖直方向分解，有， 由于小球恰好沿水平方向打在斜面上，则小球在空中运动的时间为，故B错误； C．小球在水平方向做匀速直线运动，则小球打在斜面上的速度大小为，故C正确； D．落点在斜面上，满足位移关系 代入、和 整理得 即，D错误。 故选AC。 4．如图所示，跑步机履带宽度d=0.6 m，履带外侧机身上有正对的A、B两点，A点到履带同侧最右端距离L=0.8 m。一玩具车（可视为质点）从A点出发后，其相对于静止履带的速度大小，履带的速度大小，则（     ） A．玩具车到达B点的运动时间一定为0.75 s B．玩具车若能到达B点，仅改变玩具车车头方向，则车头需与A点左侧履带边缘成60°夹角 C．若履带速度大小可调，玩具车车速大小不变，要使玩具车仍能到达履带另一侧，履带的速度不大于0.8 m/s D．若玩具车速度大小方向可调，履带速度大小不变，玩具车能到达对面最右端，则玩具车相对于静止履带的最小速度为0.24 m/s 【答案】BD 【来源】浙江绍兴市2025-2026学年高一下学期6月期末物理试题 【详解】A．当玩具车垂直履带边缘运动时到达对面的时间最短，最短时间，玩具车若能到达B点，则车头方向指向B点的左侧，垂直履带边缘的速度小于v1，则运动时间大于0.75 s，故A错误； B．玩具车的速度沿AB方向时能到达B点，速度如图所示 则，则θ=60°，B正确； CD．履带速度最大玩具车恰好到达对面履带的最右端，如图所示 由几何知识可知，则α=37° 当玩具车恰好到达对面履带的最右端时，履带允许的最大速度 同理，若玩具车速度大小方向可调，履带速度大小不变，玩具车能到达对面最右端，则玩具车相对于静止履带的最小速度为，C错误，D正确。 故选BD。 5．如图所示，倾角的斜面AB长为，通过平滑的小圆弧与长为水平直轨道BC连接，CD、DE为两段竖直放置的四分之一圆管，两管相切于D处、半径均为。右侧有一倾角为的光滑斜面PQ固定在水平地面上。一质量为，可视为质点的小物块从斜面AB顶端由静止释放，经ABCDE轨道从E处水平飞出后，恰好能从P点平行PQ方向飞入斜面。斜面PQ上距离P点的M点下方有一动摩擦因数可调的长为的粗糙部分MN，小物块与粗糙部分MN动摩擦因数的调节范围为，斜面底端固定一个轻质弹簧，弹簧始终在弹性限度内，且不与粗糙部分MN重叠。小物块与斜面AB的动摩擦因数，与水平BC段的动摩擦因数，与CDE段摩擦不计，重力加速度g取，，，求： (1)小物块到达C点时对轨道的压力大小。 (2)E点与P点的水平距离。 (3)小物块在MN段上运动的总路程s与粗糙部分MN动摩擦因数的关系式。 【答案】(1)74N (2) (3) 【来源】广东广州市第二中学2025-2026学年高一第二学期期末考试物理试题 【详解】（1）从A到C由动能定理有 在C点轨道对小物块的支持力和小物块重力的合力提供小物块的向心力，所以有 解得 由牛顿第三定律，小物块到达C点时对轨道的压力大小也为74N。 （2）从C到E由动能定理有 解得 由小物块恰好能从P点平行PQ方向飞入斜面，可知合速度和水平方向的夹角为，所以有 故而 所以竖直方向上有 水平方向上有 所以E点与P点的水平距离为 （3）从P到M由动能定理有 得 小物块在MN段上运动的总路程s需要分情况讨论： 情况一：摩擦力大于重力沿斜面的分力且使得物块不能到达（或恰好到达）N点，此时由动能定理，应满足 解得 此时和应满足 即 情况二：小物块可以到达N，但反弹后只向上运动一次，即摩擦力大于等于重力沿斜面的分力 此时 此时和应满足 即 情况三：小物块在MN和弹簧之间反复运动，随着摩擦力不断做功，物块在粗糙段上的运动范围逐渐减小，最终在N点的速度为0，不再进入粗糙段，而是在弹簧作用下振动。此时 即 此时和应满足 即 综上所述，小物块在MN段上运动的总路程s与粗糙部分MN动摩擦因数的关系式为 6．如图所示，左侧为水平面，右侧为竖直光滑圆弧轨道ABC，圆弧轨道与另一足够长的粗糙斜面CE平滑相接（沿C点的切线方向）。圆弧轨道的两端A、C关于过圆心O的竖直线对称，且半径OA与竖直方向的夹角，B为圆弧轨道的最低点。一滑块从水平面以某一初速度水平飞出，恰好无碰撞地从A端沿圆弧切线方向进入圆弧轨道ABC，然后从C端冲上斜面CE，D点为斜面CE上方的某一点。已知滑块质量，水平面与A端的竖直高度，圆弧轨道ABC的半径，滑块与斜面CE间的动摩擦因数，重力加速度，，，不计空气阻力，滑块视为质点。 (1)求滑块水平飞出时的初速度的大小； (2)求滑块第一次经过B点时加速度的大小； (3)若滑块在第一次通过A点后，在圆弧轨道的A端外侧安装一弹性挡板（滑块撞击挡板后速度大小不变、方向反向），整个过程滑块恰好4次经过D点，求D点到C点距离取值范围。 【答案】(1) (2) (3) 【来源】重庆市江津第二中学校2025-2026学年高一下学期7月期末物理试题 【详解】（1）滑块水平飞出至A点，做平抛运动，竖直方向做自由落体运动 解得 故 根据题意知，A点时速度与水平方向的夹角的正切值满足 解得滑块水平飞出时的初速度 （2）根据小问1知 滑块从到，机械能守恒，有 解得 方向沿切线方向，故经过B点时加速度的大小为 （3）因为A、C关于过圆心O的竖直线对称，且机械能守恒，故AC间运动时A、C点的速度大小相等，设滑块第一次沿斜面CE上滑的最大距离为，根据能量守恒有 解得 设滑块第一次沿斜面下滑至A点时的速度大小为，根据能量守恒有 解得 同理设滑块再次沿斜面CE上滑的最大距离为，根据能量守恒有 解得 设滑块再次沿斜面下滑至A点时的速度大小为，根据能量守恒有 解得 之后设滑块再次沿斜面CE上滑的最大距离为，根据能量守恒有 解得 根据题意整个过程滑块恰好4次经过D点，故D点到C点距离取值范围 7．如图所示，竖直平面内固定一半径为的光滑金属圆环，质量为且完全相同的小球A、B套在圆环上，A、B由长度为的轻质刚性杆连接。初始时，A静止于圆环的最上端，现由静止释放A、B。重力加速度为，求： (1)A运动到圆环最底端时， A、B的速度大小、； (2)A运动到圆环最底端的过程中，轻杆对A、B做的功、； (3)A在其运动过程中的最大速度。 【答案】(1)， (2)， (3) 【来源】山西太原市2025-2026学年高一下学期7月期末学业诊断物理试题 【详解】（1）依题意，轻质刚性杆的长度为，故杆所对应的圆心角为，当运动到圆环最底端时，的高度不变，圆环光滑，A、B组成系统机械能守恒 对小球A，从静止开始到运动到最底端，由机械能守恒定律，有 由关联速度关系，有 ，即两球速度大小总是相等 联立，得 ， （2）对小球A，设轻杆对A的做功为，由动能定理，有 得 对小球B，设轻杆对B的做功为，有 得 （3）考虑系统的重心，当系统重心最低时总重力势能最小，系统的动能最大，两球的速度最大，此时轻杆在点下方且水平，如图所示 设，由动能定理，有 得的最大速度 8．如图所示，由光滑圆形管道制成的圆弧轨道竖直固定，圆弧ABO1、O1CD的半径均为R，圆心为O3、O2。圆弧DEF的半径为2R，圆心为O1。圆弧EF、AB对应的圆心角均为θ，半径O1E、O2C、O3B均竖直。倾斜轨道PF与圆弧轨道在F点平滑连接，P与O1、O2、O3、D在同一水平线上。现使质量为m（可视为质点）的小滑块从P点沿倾斜轨道向下以初速度v0（未知）开始运动，恰好经过C点后从A点抛出（小滑块上升到最大高度前未与倾斜轨道相撞）。已知小滑块与倾斜轨道间的动摩擦因数满足（其中x为小滑块沿着倾斜轨道下滑的长度）。重力加速度为g，不计空气阻力。求（结果用R、g、θ、m表示）： (1)小滑块经过E点时对轨道的压力； (2)小滑块从A点抛出时的动能和从A点抛出后上升的最大高度； (3)小滑块在倾斜轨道上运动的最大速度。 【答案】(1)，方向竖直向下 (2)， (3) 【来源】山东日照市2025-2026学年高一下学期期末物理试题 【详解】（1）小滑块恰好经过C点，C点处为双层轨道，所以此时速度为 从E点到C点，由机械能守恒得 在E点受到竖直向上的支持力，由支持力和重力提供向心力得 联立得 根据牛顿第三定律得，小滑块经过E点时对轨道的压力方向竖直向下，大小 （2）从C点到A点，由机械能守恒得 从A点抛出后，做斜抛运动，在最高点竖直方向速度为0，水平方向速度不为零。 水平方向做匀速直线运动，将初速度分解可得 从A点抛出到最高点，只受重力，由机械能守恒得 解得 （3）小滑块与倾斜轨道间的动摩擦因数满足 可得在下滑过程中，小滑块先做加速运动，再做减速运动。 由于，可得倾斜轨道与水平方向的夹角为。 小滑块速度最大时 解得 由于随着均匀变化，所以计算摩擦力做功时，可以使用平均值来计算，过程中动摩擦因数的平均值 过程中，由动能定理得 解得 根据几何关系得 过程中动摩擦因数的平均值 从开始运动到E点，由动能定理得 解得， 所以 物理力学竞赛专题 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 物 理 力学竞赛专题 专题四 抛体运动 一、核心知识点 二、思维导图 三、题型分类 题型01常规平抛运动基本规律应用 题型02 斜面上的抛体运动 题型03类平抛运动 题型04 抛体运动与圆周轨道的综合问题 题型05 抛体运动中的临界与极值问题 四、巩固提升 核心知识点 1.平抛运动规律：水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动。合位移与合速度方向不同，速度偏转角正切值是位移偏转角正切值的2倍。 2.斜抛运动分解：可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动；也可沿斜面方向和垂直斜面方向分解，处理“离斜面最远距离”或“落回斜面”等问题。 3.类平抛运动：物体受恒力作用且初速度与恒力垂直，运动轨迹为抛物线。处理方法与平抛运动类似，需将加速度替换为等效加速度（如重力沿斜面分力产生的加速度）。 4.抛体与圆周结合：平抛或斜抛的末速度常作为圆周运动的初速度，利用几何关系（如切线方向进入）建立联系；脱离轨道后做斜抛运动，需满足临界条件（如支持力为零）。 5.抛体中的能量与动量：抛体运动过程中机械能守恒（仅重力做功）；涉及碰撞或变力时，结合动能定理、动量定理或弹性碰撞规律求解。 思维导图 题型分类 题型一 常规平抛运动基本规律应用 例题1、如图所示，一质量m=1 kg的小球以初速度水平抛出，抛出后恰好从A点沿圆弧轨道的切线方向进入轨道，A点和圆弧轨道圆心O的连线与竖直方向的夹角为，圆弧半径R=3.6 m。圆弧轨道与水平面在B点平滑连接，小球滑至圆弧轨道最低点B后进入水平面，在水平面上立即对小球施加一水平向右的恒力F=1 N，使小球向右加速运动，水平面上B点右侧距B点L=22 m处静置有一质量M=3 kg的物块。已知所有碰撞均为一维弹性碰撞，圆弧轨道和水平面均光滑，水平面足够长，小球和物块大小均可忽略，重力加速度g取，碰撞时间和空气阻力不计。求： (1)小球抛出后运动至A点的过程中，小球所受重力的冲量大小； (2)小球到达圆弧轨道最低点B时对轨道的压力大小； (3)小球与物块第2次碰后瞬间，小球的速度大小。 【答案】(1) (2) (3) 【来源】重庆市南开中学2025-2026学年高一下学期期末物理试卷 【详解】（1）小球抛出后做平抛运动，到达点时竖直方向分速度为 解得 小球在空中做平抛运动，重力的冲量即为合外力的冲量，根据动量定理有 代入数据解得 （2）小球在点的速度为 解得 小球从点运动到点的过程，根据动能定理有 解得 小球在点时，设轨道对小球的支持力大小为，根据牛顿第二定律有 代入数据解得 根据牛顿第三定律可知，小球到达圆弧轨道最低点时对轨道的压力大小为 （3）小球进入水平面后，受水平向右的恒力，根据牛顿第二定律有 解得 设小球与物块第一次碰撞前瞬间的速度大小为，根据运动学公式有 解得 小球与物块发生第一次弹性碰撞，设碰撞后小球的速度为，物块的速度为，取向右为正方向，根据动量守恒定律和机械能守恒定律分别有， 联立解得和 代入数据解得和，即碰后小球向左运动，物块向右运动 小球在恒力作用下先向左减速后向右加速，最终追上物块发生第二次碰撞，设从第一次碰后到第二次碰前经历的时间为，根据位移关系有 代入数据解得 设第二次碰撞前瞬间小球的速度为，根据速度时间关系式有 解得 小球与物块发生第二次弹性碰撞，设碰撞后小球的速度为，物块的速度为，根据动量守恒定律和机械能守恒定律分别有， 联立解得 代入数据解得 题型二 斜面上的抛体运动 例题2、在单板滑雪比赛中，运动员运动轨迹如图所示，滑道边缘线的倾角为，运动员从点以大小为的初速度离开滑道，方向与的夹角为，腾空后从上的点进入滑道。已知，重力加速度为，运动员可视为质点，不计空气阻力。下列说法正确的是（     ） A．、两点间的距离为 B．运动员腾空中离的最大距离为 C．若仅减小夹角，则运动员腾空时间可能保持不变 D．若仅增大的大小，则运动员再滑入轨道时速度的方向不变 【答案】D 【来源】吉林长春市东北师大附中2025-2026学年高二年级下学期期末物理试卷 【详解】AB．将初速度和加速度g分别分解在沿PQ方向和垂直于PQ方向，则垂直于PQ方向有 运动员腾空中离PQ的最大距离 O、A两点间的距离，故AB错误； C．运动员腾空时间 若仅减小夹角，则运动员腾空时间减小，故C错误； D．运动员再进入滑道时，垂直于PQ方向的速度大小不变，仍为 沿PQ向下的速度 则合速度与PQ的夹角 与初速度大小无关，故D正确。 故选D。 题型三 类平抛运动 例题3、某山地救援队进行“斜面绳球投放”训练，简化模型如图所示。在倾角为的光滑矩形斜面上（为斜面与水平地面的交线），有一根长为的细线，细线的一端固定在点，另一端连接着一个可视为质点的小球。小球质量为，过点平行于的直线交于点，的长度为。现使小球恰好能在斜面上做完整的顺时针圆周运动。某次小球过点时速度，细线被割断（割断前后不影响小球速度），小球沿着轨迹运动，在小球刚要离开斜面点时，给小球施加一个沿（小球在点时的速度）方向、大小为的恒力。从点割断细线瞬间开始计时，小球经落到水平地面上的点（图中未画出点），点是小球离开斜面的位置，点为点在水平面上的投影点。不考虑小球反弹，忽略空气阻力，，，重力加速度取。 (1)小球经过点时速率； (2)小球到达点细线被割断前，小球对细线的拉力的大小； (3)求落地时点到点的距离。 【答案】(1)1m/s (2)12N (3) 【来源】陕西西安市创新港中学（创新港西安交通大学附属中学）2025-2026学年高一下学期第一次月考物理试卷 【详解】（1）因为小球恰好能在斜面上做完整的顺时针圆周运动，所以在A点由牛顿第二定律有 解得小球经过A点时的速率为 （2）从A点到B点的过程中，由机械能守恒定律有 解得小球经过B点时的速率为 在B点，小球受到细线的拉力和重力沿斜面的分力的合力提供小球做圆周运动的向心力，列牛顿第二定律方程有 解得在B点小球受到绳的拉力为 则由牛顿第三定律可知，小球对细线的拉力大小为 （3）小球在BG间做类平抛运动，其水平方向为匀速直线运动，则有 解得小球从B点到G点的运动时间为 离开G点后，小球沿GF方向做从静止开始的匀加速直线运动，则G点沿GF方向的分速度为 将小球沿GF方向的分速度沿水平方向和竖直方向进行正交分解，如图所示： 则在G点沿竖直方向的分速度为 在G点沿水平方向的分速度为 离开G点后，小球水平方向速度的矢量图如图所示： 设小球离开斜面后，从G点到D点沿方向的位移为x2，沿方向运动的位移为x3，小球从G点飞出后，从上往下俯视，小球沿着方向做匀加速直线运动，则根据牛顿第二定律可得其加速度为 则 小球沿着方向做匀速直线运动，则有 所以落地时D点到H点的距离为 题型四 抛体运动与圆周轨道的综合问题 例题4、如图，在距水平地面高的平台上，质量的小物块（可视为质点）以一定的水平速度向右从点滑离平台，恰好从点沿切线方向进入固定在竖直平面内、圆心为、圆心角、半径的光滑圆弧轨道。点距水平地面的高，圆弧轨道在点与长为的粗糙水平地面平滑连接，点固定有竖直挡板。取，空气阻力不计。，。 (1)求物块从离开平台运动到点所用时间； (2)求物块沿圆弧轨道第一次运动到点时对轨道的压力大小； (3)若物块与竖直挡板碰撞无能量损失，且物块最终停在段的中点，求物块与地面间动摩擦因数的可能值。 【答案】(1) (2) (3)、、、 【来源】福建漳州市2025-2026学年高一下学期期末物理试卷 【详解】（1）物块从到做平抛运动，竖直方向有 代入、、 整理得 （2）在点竖直分速度 物块恰好沿切线进入圆弧，速度方向与切线一致，由几何关系有 整理得，从到过程轨道光滑，机械能守恒，有= 解得，在点，轨道对物块的支持力与重力的合力提供向心力，有 代入、、 整理得 （3）设物块最终第次经过段中点时停止，碰撞挡板无能量损失，运动中只有段摩擦力做负功。物块从第一次到达点到最终停止所经过的段总路程为 由能量关系有=，其中 解得 物块第一次返回圆弧轨道时不能越过点，即从点再次上滑的动能最多转化为到点的重力势能，有 代入数据得 由，得，故 所以的可能值为、、、 题型五 抛体运动中的临界与极值问题 例题5、如图所示，半径为R的光滑圆弧轨道ABC固定在竖直面内，轨道对应的圆心角为270°，A点与圆心O等高。质量为m的小球在轨道最低点以某一初速度水平向右沿轨道运动。已知重力加速度g取10m/s2，小球可看作质点，忽略空气阻力，不考虑小球与圆弧轨道碰撞后的运动。下列说法正确的是（     ） A．若小球脱离轨道后恰好经过A点，小球一定不过圆弧轨道的最高点 B．若小球脱离轨道后恰好经过O点，小球脱离轨道时的位置半径与水平方向的夹角为30° C．若小球脱离轨道后恰好经过O点，小球脱离轨道时的速度大小为 D．若小球脱离轨道后恰好经过O点，小球的初速度大小 【答案】AC 【来源】河北沧州市部分校2025-2026学年高一下学期7月期末教学质量监测物理试题 【详解】A．假设小球经过最高点后恰好经过A点，根据平抛可知， 解得 而小球恰好经过最高点的条件为 可知小球经过圆弧轨道最高点点最小速度 所以若小球脱离轨道后恰好经过A点，小球一定不过圆弧轨道的最高点，A正确； BC．若小球脱离轨道后恰好经过O点，由运动学方程，沿水平方向有 竖直方向 小球脱离圆弧轨道的临界条件 解得，，B错误，C正确； D．从最低点到小球脱离轨道，根据动能定理 解得： ，D错误。 故选AC。 巩固提升 1．如图所示为鲤鱼在空中运动的轨迹，鲤鱼以的速度在点跃出水面，轨迹最高点为点，点为轨迹上一点，与水面夹角，垂直于，不计空气阻力，鲤鱼视为质点，在鲤鱼从点运动到点过程中，下列说法正确的是（     ） A．鲤鱼运动的最小速度为 B．段鲤鱼运动时间为段鲤鱼运动时间的3倍 C．段鲤鱼位移大小为段鲤鱼位移大小的6倍 D．鲤鱼在点的加速度比在点的加速度大 2．在某次训练中，乒乓球运动员将A、B两个相同的乒乓球从同一位置先后水平击出。A球以初速度水平击出后直接落到e点；B球以初速度水平击出后先落到本方场地后弹起，并再次反弹后也落到e点。已知两球与地面发生弹性碰撞，两球的运动轨迹如图所示，忽略空气阻力，且两球在空中的运动互不影响。下列说法正确的是（     ） A．两球一定会在b点相遇 B．两球的初速度之比为 C．a、b两点的水平距离小于d、e两点的水平距离 D．a、b两点的竖直距离与c、d两点的竖直距离之比为 3．如图所示，有一个倾角为θ的足够长固定斜面，小球从斜面上以速度v斜向上抛离斜面，v与斜面夹角为α。小球恰好沿水平方向打在斜面上并且不反弹，不计空气阻力，重力加速度为g，对于该运动过程，下列说法正确的是（　　） A．小球离开斜面的最远距离为 B．小球在空中运动的时间为 C．小球打在斜面上的速度大小为vcos（α+θ） D．小球沿水平方向打在斜面上需满足tanα=2tanθ 4．如图所示，跑步机履带宽度d=0.6 m，履带外侧机身上有正对的A、B两点，A点到履带同侧最右端距离L=0.8 m。一玩具车（可视为质点）从A点出发后，其相对于静止履带的速度大小，履带的速度大小，则（     ） A．玩具车到达B点的运动时间一定为0.75 s B．玩具车若能到达B点，仅改变玩具车车头方向，则车头需与A点左侧履带边缘成60°夹角 C．若履带速度大小可调，玩具车车速大小不变，要使玩具车仍能到达履带另一侧，履带的速度不大于0.8 m/s D．若玩具车速度大小方向可调，履带速度大小不变，玩具车能到达对面最右端，则玩具车相对于静止履带的最小速度为0.24 m/s 5．如图所示，倾角的斜面AB长为，通过平滑的小圆弧与长为水平直轨道BC连接，CD、DE为两段竖直放置的四分之一圆管，两管相切于D处、半径均为。右侧有一倾角为的光滑斜面PQ固定在水平地面上。一质量为，可视为质点的小物块从斜面AB顶端由静止释放，经ABCDE轨道从E处水平飞出后，恰好能从P点平行PQ方向飞入斜面。斜面PQ上距离P点的M点下方有一动摩擦因数可调的长为的粗糙部分MN，小物块与粗糙部分MN动摩擦因数的调节范围为，斜面底端固定一个轻质弹簧，弹簧始终在弹性限度内，且不与粗糙部分MN重叠。小物块与斜面AB的动摩擦因数，与水平BC段的动摩擦因数，与CDE段摩擦不计，重力加速度g取，，，求： (1)小物块到达C点时对轨道的压力大小。 (2)E点与P点的水平距离。 (3)小物块在MN段上运动的总路程s与粗糙部分MN动摩擦因数的关系式。 6．如图所示，左侧为水平面，右侧为竖直光滑圆弧轨道ABC，圆弧轨道与另一足够长的粗糙斜面CE平滑相接（沿C点的切线方向）。圆弧轨道的两端A、C关于过圆心O的竖直线对称，且半径OA与竖直方向的夹角，B为圆弧轨道的最低点。一滑块从水平面以某一初速度水平飞出，恰好无碰撞地从A端沿圆弧切线方向进入圆弧轨道ABC，然后从C端冲上斜面CE，D点为斜面CE上方的某一点。已知滑块质量，水平面与A端的竖直高度，圆弧轨道ABC的半径，滑块与斜面CE间的动摩擦因数，重力加速度，，，不计空气阻力，滑块视为质点。 (1)求滑块水平飞出时的初速度的大小； (2)求滑块第一次经过B点时加速度的大小； (3)若滑块在第一次通过A点后，在圆弧轨道的A端外侧安装一弹性挡板（滑块撞击挡板后速度大小不变、方向反向），整个过程滑块恰好4次经过D点，求D点到C点距离取值范围。 7．如图所示，竖直平面内固定一半径为的光滑金属圆环，质量为且完全相同的小球A、B套在圆环上，A、B由长度为的轻质刚性杆连接。初始时，A静止于圆环的最上端，现由静止释放A、B。重力加速度为，求： (1)A运动到圆环最底端时， A、B的速度大小、； (2)A运动到圆环最底端的过程中，轻杆对A、B做的功、； (3)A在其运动过程中的最大速度。 8．如图所示，由光滑圆形管道制成的圆弧轨道竖直固定，圆弧ABO1、O1CD的半径均为R，圆心为O3、O2。圆弧DEF的半径为2R，圆心为O1。圆弧EF、AB对应的圆心角均为θ，半径O1E、O2C、O3B均竖直。倾斜轨道PF与圆弧轨道在F点平滑连接，P与O1、O2、O3、D在同一水平线上。现使质量为m（可视为质点）的小滑块从P点沿倾斜轨道向下以初速度v0（未知）开始运动，恰好经过C点后从A点抛出（小滑块上升到最大高度前未与倾斜轨道相撞）。已知小滑块与倾斜轨道间的动摩擦因数满足（其中x为小滑块沿着倾斜轨道下滑的长度）。重力加速度为g，不计空气阻力。求（结果用R、g、θ、m表示）： (1)小滑块经过E点时对轨道的压力； (2)小滑块从A点抛出时的动能和从A点抛出后上升的最大高度； (3)小滑块在倾斜轨道上运动的最大速度。 物理力学竞赛专题 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $