力学篇 专题04 能量和动量（竞赛、强基计划培优精练）高中物理全国通用

力学篇 专题04 能量和动量 1．排球比赛中，运动员在A处水平发球，对方一传在 B处垫球过网，排球经最高点C运动到D处，轨迹如图所示。已知A与C、B与D分别在同一水平线上，A、D在同一竖直线上。 不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）    A．排球从A运动到B的时间与从 B运动到D的相等 B．排球在 A点的动能与在 C点的动能相等 C．对方一传击球前后排球的机械能相等 D．发球员对排球做的功大于对方一传对排球做的功 2．长度为L的水平细绳不计质量和不可伸长，右端系有一个质量为m的小球，左端绕过半径为R和圆心为O的固定圆筒顶端的A点，连结个质量为M的重物，并且设质量比。 （1）静止的小球m被释放后，细绳与圆筒表面之间的动摩擦力可以忽略不计，致使重物M滑落，落下距离为D时停下来，假设此时它们之间的静摩擦力足够大，致使之后重物M处于静止状态。另一方面，小球m绕圆筒摆动到P点时摆线与圆筒表面在Q点相切，设切线PQ长度为和圆心角AOQ为。若，试求重物M落下距离D后再次静止时的（a）小球的机械能； （b）切线PQ长度； （c）小球在竖直方向的位移（下降高度）h； （d）摆球在垂直于PQ方向的速度v和沿着PQ方向的加速度a； （e）细绳的张力T。 （2）小球随后可以围绕圆筒摆动至，而来自圆筒表面的两段细绳一直保持拉直状态。若设定长度比，则比值必须不小于某一个临界值。试求 （a）临界值； （b）若长度L是距离D的5倍，试计算质量比K。若有需要，可使用三角方程和。 3．为满足不同列车之间车厢进行重新组合的需要，通常需要将相关的列车通过“驼峰”送入编组场后进行重组（如图所示），重组后的车厢属同一组的分布在同一轨道上，但需要挂接在一起。现有一列火车共有n节车厢，需要在编好组的“驼峰”左侧逐一撞接在一起。已知各车厢之间间隙均为s0，每节车厢的质量都相等，现有质量与车厢质量相等、且没有动力驱动的机车经过“驼峰”以速度v0向第一节车厢运动，碰撞后通过“詹天佑挂钩”连接在一起，再共同去撞击第二节车厢，直到n节全部挂好。不计车厢在铁轨上运动时所受阻力及碰撞过程所需的时间，求： （1）这列火车挂接结束时速度的大小； （2）机车带动第一节车厢完成整个撞接过程所经历的时间。 4．如图所示，质量为2m，半径为R的滑轮（视为均匀圆盘）可绕固定光滑水平轴旋转。一条柔软细绳环绕在滑轮边缘，下端悬挂着一个质量为m的圆柱形物体，一个质量为m的水平圆环在物体正上方h高度处。开始时滑轮、物体、圆环三者均保持静止，且细绳刚好伸直。现让三者一起开始自由运动，圆环将套在物体上，求圆环套在物体上开始一起运动的速度大小。 5．图示系统，弹簧劲度系数k，质量m1的物体置于光滑水平面上，定滑轮半径为r，转动惯量为I，开始时系统静止，弹簧无伸长，求物体m2由静止下降距离h时的速度大小。 6．一质量为m的小球在距水平地面高处以水平速度抛出，空气阻力不计。小球每次落地反弹时水平速度不变，竖直速度大小按同样的比率减小。若自第一次反弹开始小球的运动轨迹与其在地面的投影之间所包围的面积总和为，求小球在各次与地面碰撞过程中所受到的总冲量。 提示：小球每次做斜抛运动（从水平地面射出又落至地面）的轨迹与其在地面的投影之间所包围的面积等于其最大高度和水平射程乘积的三分之二、 7．在竖直面内将一半圆形光滑导轨固定在、两点，导轨直径，与竖直方向间的夹角为，在导轨上套一质量为的光滑小圆环，一劲度系数为的轻而细的光滑弹性绳穿过圆环，其两端系与、两点，如图所示。当圆环位于点正下方点时，弹性绳刚好为原长。现将圆环从点无初速度释放，圆环在时刻运动到点，与半径的夹角为，重力加速度为。试求分别对下述两种情形，求导轨对圆环的作用力的大小：（1）；（2）。 8．如图所示，一块光滑的平板能绕水平固定轴HH’调节其与水平面所成的倾角，板上一根长为l=1.00m的轻细绳，它的一端系住一质量为m的小球P，另一端固定在HH’轴上的O点，当平板的倾角固定在a时，先将轻绳沿水平轴HH’拉直（绳与HH’重合），然后给小球一沿着平板并与轻绳垂直的初速度m/s。若小球能保持在板面内做圆周运动，问倾角a的值应在什么范围内（取图中a处箭头所示方向为a的正方向）．取重力加速度g=10m/s2。 9．如图所示，一质量M=30.0kg的楔形木块OABC静止在水平地面上，其斜面段AB的倾角β=60°，BC段的倾角α=45°，AB段与BC段连接处（B）为一非常短的光滑圆弧，现将一质量的m=4.00kg小物块（可视为质点），放在斜面上离地面高h1=2.80m的A处，然后放手，令小物块从静止开始斜面下滑，已知小物块与斜面之间无摩擦，木块与地面间的最大静摩擦系数和滑动摩擦系数为μ=0.06，B处离桌面的高度h2=2.00m，如果不计小物块经过处B时物块及木块速度大小的改变，求小物块从斜面上A处滑动到斜面底部C处整个过程中小物块对木块所做的功（取重力加速度g=10.0ms-2） 10．如图所示，长为L的光滑平台固定在地面上，平台中央放有小物体A和B，两者彼此接触，物体A的上表面是半径R（R<<L）的半圆形轨道，轨道顶端距台面高度为h处有一小物体C。A、B、C的质量均为m，现物体C从静止状态沿轨道下滑，已知在运动过程中，A、C始终保持接触，试求： （1）物体A和B刚分离时，物体B的速度。 （2）物体A和B分离后，物体C能达到距台面的最大高度。 （3）判断物体A从平台的左边还是右边落地，并粗略估算物体A从与物体B分离后到离开台面所经历的时间。 11．从离地面的高度为h的固定点A，将甲球以速度抛出，抛射角为，。若在A点前方适当的地方放一质量非常大的平板，让甲球与平板作完全弹性碰撞，并使碰撞点与A点等高，如图所示，则当平板的倾角为恰当值时，甲球恰好能回到A点。另有一小球乙，在甲球自A点抛出的同时，从A点自由落下，与地面作完全弹性碰撞。试讨论，，应满足怎样的一些条件，才能使乙球与地面碰撞一次后与甲球同时回到A点。 注：图稍有问题，板子要向下移动一些 12．如图所示，四个质量均为m的质点，用同样长度且不可伸长的轻绳联结成菱形。静止放在水平光滑的桌面上。若突然给质点A一个历时极短沿方向的冲击，当冲击结束的时刻，质点A的速度为v，其它质点也获得一定速度，。求此质点系统受冲击后所具有的总动量和总能量。 13．（1）质量不为零的介子静止时衰变为三个质量相同的介子，即，试讨论每次衰变产生的三个介子的动能、、可能取的全部值．通常表示每一组动能值（）的方法如下：作一个等边三角形，取其高Q为三个介子的动能之和，在三角形内取一点P，令P点到顶点的对边的距离为，则每一点对应一组动能值。衰变时可以实现的全部的可能取值，可以用P点的可能存在的区域来表示，这个区域称为运动学允许区，试在中找出的运动学允许区（设衰变后介子的速度比光速小得多）。 （2）正电子偶素是由一个电子与一个正电子组成的束缚态粒子，记为，它在静止时可以衰变为三个光子，即，试在中找出三个光子的运动学允许区域。 14．质量分别为、和的三个质点、、位于光滑的水平桌面上，用已拉直的不可伸长的柔软的轻绳和连结，角为，为一锐角，如图所示。今有一冲量为的冲击力沿方向作用于质点，求质点开始运动时的速度。 15．如图所示，在水平桌面上放一质量为，截面为直角三角形的物体。与间的夹角为，点到桌面的高度为。在斜面上的底部处放一质量为的小物体。开始时两者皆静止。现给小物体一沿斜面方向的初速度，如果小物体与斜面间以及与水平桌面间的摩擦都不考虑，则至少要大于何值才能使小物体经点滑出。 16．如图所示，一水平放置的圆环形刚性窄槽固定在桌面上，槽内嵌着三个大小相同的小球，它们的质量分别是、和，。小球与槽的两壁刚好接触而它们之间的摩擦可忽略不计。开始时，三球处在槽中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位置，彼此间距离相等；和静止，以初速度（，其中）沿槽运动，为圆环的内半径和小球半径之和。设各球之间的碰撞皆为弹性碰撞，求此系统的运动周期。 17．如图所示，是放置在光滑水平面上的滑块，其质量为，滑块的上端面是一水平台面，台面的长度和高度均为，滑块的侧面有一条长度为圆周的圆弧形光滑槽，槽底跟水平面相切。另有一条高为的固定光滑导轨，导轨的底端正好对准的滑槽。是一个质量为的小球，，它由导轨的顶端滑下，初速为零。试问，欲使小球撞击中的平台，高度比的数值范围是多少？ 18．如图所示，A、B是两块水平放置的互相平行的带电金属板，其间的电场可视为匀强电场。假设有一带负电的微粒在点处沿与水平成角的方向射出，并从此时刻开始计时。已知在时，微粒到达其轨迹最高点；在时，微粒的动能为。在以上运动过程中微粒一直处在均匀电场内，且未与A、B相碰。试求微粒的初动能。 19．如图所示，一根长为l的细刚性轻杆的两端分别连接小球a和b，它们的质量分别为ma和mb。杆可绕距a球为处的水平定轴O在竖直平面内转动。初始时杆处于竖直位置，小球b几乎接触桌面。在杆的右边水平桌面上，紧挨着细杆放着一个质量为m的立方体匀质物块，图中ABCD为过立方体中心且与细杆共面的截面。现用一水平恒力F作用于a球上，使之绕O轴逆时针转动，求当a转过α角时小球b速度的大小。设在此过程中立方体物块没有发生转动，且小球b与立方体物块始终接触没有分离。不计一切摩擦。 20．如图所示，在水平光滑绝缘的桌面上，有三个带正电的质点1、2、3，位于边长为的等边三角形的三个顶点处。C为三角形的中心，三个质点的质量皆为m，带电量皆为q。质点1、3之间和2、3之间用绝缘的轻而细的刚性杆相连，在3的连接处为无摩擦的铰链。已知开始时三个质点的速度为零，在此后运动过程中，当质点3运动到C处时，其速度大小为多少？ 21．打台球时常用球撞击目标球，如图所示。球与球的质量和半径均相同，且两球质量分布都是均匀的；球在碰撞前的瞬间具有质心速度和转动角速度，沿方向；碰撞时间极短，且球和球之间没有摩擦，可认为两球碰撞是完全弹性的，球与桌面可视为点接触。 (1)在发生碰撞后的瞬间，球和球的飞行方向与轴之间的夹角分别为和（见图a）。求碰撞后的瞬间，两球飞行方向之间的夹角的值以及球的质心速度和转动角速度（用，，等表示）。 (2)如图b，球碰撞后在摩擦力的作用下，需要经过时间才能达到无滑滚动（也称纯滚）。已知，，和球与桌面之间的摩擦系数。以下各小问的结果用，，，，，以及重力加速度等表示。 a.在碰撞后任意时刻，球上与桌面的接触点称为此时刻的点，在碰撞后的瞬间，求点相对于桌面的速度的、分量的表达式； b.求碰撞后球达到纯滚所需时间； c.求在碰撞后直至纯滚前，球质心运动的轨迹，； d.球达到纯滚后，定性指出球质心运动的轨迹形状，给出其质心的速度与方向之间的夹角的正切的表达式。 22．阅读下面材料，完成下面小题 灾难发生时，三体行星正处于一个稳定的恒纪元中，围绕着三星中的一颗恒星运行，轨道半径约0.6个天文单位。恒星被光粒击中后，光球层和对流层上被击出一个巨大的裂孔，孔的直径达五万千米，可以并排放下四个地球。不知是偶然还是攻击者有意为之，光粒击中恒星的位置正在行星运行的黄道面上。从三体行星上看去，那个太阳的表面出现了一个光度极强的亮斑，它像熔炉的大门，太阳深处的强辐射通过裂孔，穿透光球层、对流层和色球层，直接照射到行星上。暴露在光斑下的那个半球之上，处于室外的生命在几秒钟内就被烤焦。接着，恒星内部的物质从裂孔喷涌而出，形成了一股五万千米粗的烈焰喷泉。喷出的太阳物质温度高达千万度，一部分在引力的作用下落回太阳表面，一部分则达到了逃逸速度，直冲太空。从行星上看去，太阳表面仿佛长出了一棵灿烂的火树。约四小时后，喷出物质穿过0.6个天文单位的距离，火树的树顶与行星轨道相交。又过了两个小时，运行中的行星接触了火树的树梢，然后在喷出物质带中运行了三十分钟，这段时间，行星等于是在太阳内部运行，喷出物质经过太空的冷却后仍有几万摄氏度的高温。当行星移出喷出物质带后，它已经是一个发出暗红色光芒的天体，表面均被烧熔，岩浆的海洋覆盖了一切。行星的后面拖着一道白色的尾迹，那是被蒸发的海洋的水蒸气；而后尾迹被太阳风吹散，行星变成了一颗披散着白色长发的彗星。 这时，行星表面已经没有生命，三体世界已经毁灭，但灾难的引信才刚刚点燃。喷出带对行星产生了巨大的阻力，行星在穿过后运行速度降低，轨道下降了一些。火树像太阳伸出的魔爪，一次次拉低行星，只要穿过喷出带十次左右，行星就会坠落到太阳表面，三体星系中漫长的宇宙橄榄球赛将迎来大结局，但这个太阳没有活到成为冠军的那一刻。 由于喷出物质导致压力降低，恒星内部的核聚变反应暂时变弱，于是这个太阳迅速暗下去，最后只能看到一个朦胧的轮廓，这使得太阳表面的火焰巨树更加醒目耀眼，仿佛是在宇宙的底片上用尖利物划出来的。随着聚变的熄灭，内部辐射压力已不足以支撑恒星的外壳，太阳开始坍缩，最终黯淡下去的外壳接触并挤压内核，引发了最终的大爆发。 这就是三天前地球上的人们看到的那一幕。 恒星爆发摧毁了三体星系的一切，星系内正在逃离的大部分飞船和太空域都被毁灭，只有极少数的飞船侥幸逃脱——当时，这些飞船正处于另外两颗太阳后面，这两颗没有受到打击的恒星在大爆发中起到了掩体的作用。 以后，剩下的两轮太阳将组成一个稳定的双星系统，但再也没有生命来享受有规律的日出日落了。爆发的恒星物质和破碎的行星在两轮太阳周围形成广阔的吸积盘，像两片灰色的墓场。 …… 以三体恒星毁灭的观测数据为基础，建立了太阳遭到同样打击时的灾变数学模型。对该模型的运算表明，如果太阳遭到光粒袭击，火星轨道之内的类地行星将被全部摧毁。在打击初期，水星和金星完全解体，地球将保留一部分体积并维持球体形状，但其表面将被剥离，剥离深度达五百千米左右，包括全部地壳和地幔的一部分；火星表面将被剥离一百千米左右。在打击后期，所有类地行星将由于太阳爆发物质的阻力降低轨道，最终坠落到太阳的残存核心上，完全毁灭。 数学模型显示，太阳爆发的破坏力，包括辐射和扩散的恒星物质的冲击，与距离的平方成反比，即与太阳距离增大时破坏力急剧降低，这就使得距太阳较远的类木行星能够在打击中幸存。 在打击初期，木星表面将受到剧烈扰动，但其整体结构将保持完好，木星的卫星系统将基本保持不变。土星、天王星和海王星只是在表面受到一般扰动，结构保持完好。扩散的太阳物质将会对三颗类木行星的运行轨道产生一定影响，但在打击后期，爆发后的太阳物质将形成螺旋状的残骸星云，其旋转的角速度和方向将与类木行星保持一致，不再对行星产生足以降低轨道的阻力。 可以确定，太阳系的四颗巨行星：木星、土星、天王星和海王星在黑暗森林打击后将保持完好。这个重要的预测是掩体计划的基本依据。 五、掩体计划。 以木星、土星、天王星和海王星四大巨行星为掩体，避开黑暗森林打击引发的太阳爆发。计划在四大行星的背阳面建设供全人类移民的太空域，这些太空城紧靠各大行星，但不是它们的卫星，而是与行星一起绕太阳同步运行，这就使得太空城一直处于四大行星的背阳面，在太阳爆发时受到行星的屏蔽和保护。计划建立五十座太空城，每座可容纳一千五百万人左右。其中，木星背面二十座，土星背面二十座，海王星背面六座，天王星背面四座。建设太空城的材料取自四大行星的卫星，以及土星和海王星的星环。 建设太空城的材料取自四大行星的卫星，以及土星和海王星的星环。 六、掩体计划的技术问题。 该计划所涉及的技术基本在人类已达到的范围之内，舰队国际已具有丰富的太空城建设经验，并且已经在木星拥有相当规模的太空基地。也存在一些预计能够在计划规划的时间内克服的技术挑战，如太空城的位置维持。太空城不是四大行星的卫星，它们在行星的背阳面与行星保持相对静止的状态，且与行星的距离很近，引力会将太空城拉向行星，所以必须在太空城上安装位置维持发动机，以抵消行星引力，保持太空城与行星间的距离。最初计划太空城的位置位于巨行星的第二拉格朗日点，这是位于巨行星外侧的引力平衡点，没有位置维持问题，但发现距离掩体行星太远，难以起到防护作用。 …… “我们进去吧。”褚岩说，然后像跳水似的钻进了那个空间。莫沃维奇和关一帆惊恐地看着他的身体从头到脚消失在空气中，在空间泡无形球面上，他身体的断面飞快地变换着形状，那晶亮的镜面甚至在周围的舱壁上反射出水纹一样跳动的光影。褚岩很快完全消失了，正当莫沃维奇和关一帆面面相觑之际，突然从那个空间伸出两只手，那两只手和前臂都悬在空中，分别伸向两人，莫沃维奇和关一帆各抓住一只手，立刻都被拉进了四维空间。 有过亲身经历的人都一致同意，置身四维空间的感觉是不可能用语言来描述的，他们甚至断言，四维感觉是人类迄今为止所遇到的唯一一种绝对不可能用语言描述的事物。 人们总是喜欢用这样一个类比：想象生活在三维空间中的一张二维平面画中的扁片人，不管这幅画多么丰富多彩，其中的二维人只能看到周围世界的侧面，在他们眼中，周围的人和事物都是一些长短不一的线段而已。只有当一个二维扁片人从画中飘出来，进入三维空间，再回头看那幅画，才能看到画的全貌。 这个类比，其实也只是进一步描述了四维感觉的不可描述。 首次从四维空间看三维世界的人，首先领悟到一点：以前身处三维世界时，他其实根本没看见过自己的世界，如果把三维世界也比做一张画，他看到的只是那张画与他的脸平面垂直放置时的样子，看到的只是画的侧面，一条线；只有从四维看，画才对他平放了。他会这样描述：任何东西都不可能挡住它后面的东西，任何封闭体的内部也都是能看到的。这只是一个简单的规则，但如果世界真按这个规则呈现，在视觉上是极其震撼的。当所有的遮挡和封闭都不存在，一切都暴露在外时，目击者首先面对的是相当于三维世界中亿万倍的信息量，对于涌进视觉的海量信息，大脑一时无法把握。 （取材于刘慈欣《三体全集：地球往事三部曲》） 太阳系基本数据 太阳 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 质量（kg） 平均轨道半径（A。U。） - 0.4 0.7 1 1.5 5.2 9.5 19.1 30 (1)拉格朗日点是指太阳与行星构成的系统中的某个点，在该点放置一个质量很小的物体，该物体仅在太阳和行星（如木星）的万有引力作用下，可以保持与太阳和行星的相对位置不变，即能保持相对静止。系统中存在有多个拉格朗日点，其中一个位于行星的外侧，称为第二拉格朗日点，如下图所示： i.对于“太阳-木星”系统，下列说法正确的是 ： A．若要计算第二拉格朗日点与太阳间的距离，需要木星的质量 B．若物体位于第二拉格朗日点，则物体处于平衡状态 C．若物体位于第二拉格朗日点，则其环绕太阳运行的周期大于木星环绕太阳运行的周期 D．材料中提到的木星背阳面的太空城，就位于木星的第二拉格朗日点处 ii.地球和月球组成的“地-月”系统同样存在拉格朗日点，图中四个点不可能是拉格朗日点的是 。 A．A点    B．B点    C．C点    D．D点 (2)i.若光粒击毁太阳，试估算太阳完全消耗殆尽所能释放出的能量上限，已知光速（保留一位有效数字） ii.建立适当的模型，试从能量的角度，证明：“太阳爆发的破坏……，与距离的平方成反比”。 iii.根据材料“在打击初期，木星表面将受到剧烈扰动，但其整体结构将保持完好”，我们可以认为打击后，太阳爆发出的能量传播至木星时，其大小不会对行星造成损害，进而定义此时木星处的能量为行星不被破坏的安全能量值，对各个行星均适用。 考虑这样一种情况，当太阳被光粒打击，爆发能量时，我们使用某种手段，让整个太阳系一起跃迁入四维空间。试通过计算分析：在四维空间中，地球受到的能量是否大于行星的安全能量值，即我们跃入四维空间中能否躲过光粒的打击？假设能量守恒定律总是成立。 23．总质量为M的弹性弹簧在未拉伸时具有均匀的质量分布，其弹簧常数为K，为简单起见，假设其自然长度为零，现在它从顶端悬挂起来，并在恒定重力g下垂直悬挂并达至静止状态，在时，顶端从静止状态释放，弹簧落下，为了理解它的下落运动，我们可以将弹簧建模为一系列N个质量为的相同质量，与N-1个具有弹簧常数和零自然长度的相同弹簧连接。如图中，坐标分别是距离底部和顶部位置的质量，从天花板开始测量（向下为正），在时，。 （1）求，答案以K表示； （2）求释放前处于平衡状态的弹簧的总长度（答案以M，g和K表示）； （3）应用牛顿第二定律，写出顶部、底部和第n个质量的运动方程，而，答案以、、g以及其他质量的坐标（如果需要）表示； 现在考虑、且的情况（）： （4）求系统质心的加速度；（向下为正） （5）求出两个质量随时间变化的距离函数：； （6）当两个质量碰撞时（设碰撞时间为），设底部质量从的下降距离为，求的数值； 再考虑的情况： （7）求出和，使得弹簧的总质量和总弹簧常数K与的情况相同； （8）求解底部质量随时间变化的位置：，提示：尝试先找出质心的运动方程，和之间的差的运动方程，及另一个由，及的线性组合组成的量的运动方程； （9）底部质量经过（6）部分中的时间后，求下降的距离，再比较及在（6）部分所得距离，看看哪一个比较小； 无需回答：对于更大的N，模型能更准确地描述实际弹簧，您认为实际弹簧底部的运动会有什么特别？（不计分） 24．一颗子弹由枪口射出时速率为v0m·s-1，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为F=（a-bt）N（a，b为常数），其中t以s为单位： （1）假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间； （2）求子弹所受的冲量； （3）求子弹的质量。 25．光线的反射看起来与牛顿力学的弹性碰撞没有什么关系，但实际上并不是这样 （6.1）如图所示的光学系统中，两反射面以夹角相连，一束光平行于一个反射面入射，试求光线的反射次数与的关系，再考虑这样的一个系统，将质量分别为，的滑块按如图所示的方式摆放在光滑地面上，给予一个向左的速度v，之后，之间，与墙之间将发生数次完全弹性碰撞，记上述碰撞次数总和为。 （6.2）取，计算。 （6.3）建立坐标系，其中，，其中为右端距墙面的距离，为左端距墙面的距离，请定性在坐标系中作出描述，运动的图像，要求作出：坐标轴；，发生碰撞条件；和墙发生碰撞的条件；，的运动，用带箭头的线段表示运动路径，用表示碰撞点，用表示运动先后，若轨迹有重合，请稍微错开。 （6.4）从（6.3）中，或许你已经感受到了碰撞与光反射的相似性，若，在上述坐标系中作出表示，第一次碰撞的曲线，用、分别表示第一次碰撞发生前后曲线与，发生碰撞条件的夹角（用参量，，表示） （6.5）由此看来，好像简单的反射定律已经不再适用了，不过没有关系，我们重新令：，，重新在坐标系中作出：，发生碰撞条件；和墙发生碰撞的条件，并写出表示坐标系中对于，碰撞条件最重要的参量（用参量，，v表示） （6.6）在以上坐标系中，碰撞过程动量守恒在坐标图中代表什么，与光反射有何相似之处，做出说明并给出证明；碰撞过程能量守恒在坐标图中代表什么，与光反射有何相似之处，做出说明并给出证明；取，在坐标系中作出描述，运动及碰撞的图像，用带箭头的线段表示运动路径，用表示碰撞点，用表示运动先后，画出三次碰撞即可。 （6.7）现在我们可以来解决实际问题了，取的近似条件，试求的值；特别的，当时，求值，当时，求值，再求。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 力学篇 专题04 能量和动量 1．排球比赛中，运动员在A处水平发球，对方一传在 B处垫球过网，排球经最高点C运动到D处，轨迹如图所示。已知A与C、B与D分别在同一水平线上，A、D在同一竖直线上。 不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）    A．排球从A运动到B的时间与从 B运动到D的相等 B．排球在 A点的动能与在 C点的动能相等 C．对方一传击球前后排球的机械能相等 D．发球员对排球做的功大于对方一传对排球做的功 【答案】D 【详解】A．排球从A点水平抛出的做平抛运动，由 得运动时间为 故排球从B运动到D的时间是从 A运动到B的时间的2倍，故A错误； B．将排球从B到C的斜上抛运动由逆向思维法可看成从C到B的平抛运动，则由A到B和C到B的平抛运动比较，运动高度相同，则运动时间相同，但从A点抛出的小球水平位移更大，故排球在 A点的动能比在 C点的动能大，故B错误； C．对方一传击球前后除重力对排球做功外，对方一传也对排球做功，排球的机械能不相等，故C错误； D．根据动能定理，发球员对排球做的功 对方一传对排球做的功等于排球机械能的变化量，对方一传对排球做的功 所以发球员对排球做的功大于对方一传对排球做的功，故D正确。 故选D。 2．长度为L的水平细绳不计质量和不可伸长，右端系有一个质量为m的小球，左端绕过半径为R和圆心为O的固定圆筒顶端的A点，连结个质量为M的重物，并且设质量比。 （1）静止的小球m被释放后，细绳与圆筒表面之间的动摩擦力可以忽略不计，致使重物M滑落，落下距离为D时停下来，假设此时它们之间的静摩擦力足够大，致使之后重物M处于静止状态。另一方面，小球m绕圆筒摆动到P点时摆线与圆筒表面在Q点相切，设切线PQ长度为和圆心角AOQ为。若，试求重物M落下距离D后再次静止时的（a）小球的机械能； （b）切线PQ长度； （c）小球在竖直方向的位移（下降高度）h； （d）摆球在垂直于PQ方向的速度v和沿着PQ方向的加速度a； （e）细绳的张力T。 （2）小球随后可以围绕圆筒摆动至，而来自圆筒表面的两段细绳一直保持拉直状态。若设定长度比，则比值必须不小于某一个临界值。试求 （a）临界值； （b）若长度L是距离D的5倍，试计算质量比K。若有需要，可使用三角方程和。 【答案】见解析 【详解】（1）a．静止重物下落距离D后再次静止，系统的机械能为 b．圆筒表面左段的初始长度为l，绳子的总长度为 切线长度为 c．下降的高度为 d．由机械能守恒可得 垂直于PQ方向的速度为 沿PQ方向的加速度为 e．绳子上的张力为 可继续化简为 其中和，因，有 其中 （2）f．细绳的最小张力大于等于零即 G．若长度L是距离D的五倍即长度比为，质量比 3．为满足不同列车之间车厢进行重新组合的需要，通常需要将相关的列车通过“驼峰”送入编组场后进行重组（如图所示），重组后的车厢属同一组的分布在同一轨道上，但需要挂接在一起。现有一列火车共有n节车厢，需要在编好组的“驼峰”左侧逐一撞接在一起。已知各车厢之间间隙均为s0，每节车厢的质量都相等，现有质量与车厢质量相等、且没有动力驱动的机车经过“驼峰”以速度v0向第一节车厢运动，碰撞后通过“詹天佑挂钩”连接在一起，再共同去撞击第二节车厢，直到n节全部挂好。不计车厢在铁轨上运动时所受阻力及碰撞过程所需的时间，求： （1）这列火车挂接结束时速度的大小； （2）机车带动第一节车厢完成整个撞接过程所经历的时间。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）设每节车厢及机车的质量均为m，n节车厢全部挂好以后的速度为vn，根据动量守恒定律有 解得 （2）设机车与第一节车厢撞接后的速度为v1，根据动量守恒定律有 解得 设第一节与第二节车厢撞接后的速度为v2，根据动量守恒定律有 解得 再设第二节与第三节车厢撞接后的速度为v3，根据动量守恒定律有 解得 …… 同理可解得，第n−1节与第n节车厢撞接后的速度则有 由于每次挂接时通过车厢之间间隙的运动均可视为匀速运动，所以第一节车厢通过间隙与第二节撞接所经历的时间为 前二节车厢通过间隙与第三节挂接所经历的时间为 前三节车厢通过间隙与第四节挂接所经历的时间为 …… 同理前n−1节车厢通过间隙与第n节挂接所经历的时间为 因为n节车厢有n−1个空隙，所以运动的总时间为 4．如图所示，质量为2m，半径为R的滑轮（视为均匀圆盘）可绕固定光滑水平轴旋转。一条柔软细绳环绕在滑轮边缘，下端悬挂着一个质量为m的圆柱形物体，一个质量为m的水平圆环在物体正上方h高度处。开始时滑轮、物体、圆环三者均保持静止，且细绳刚好伸直。现让三者一起开始自由运动，圆环将套在物体上，求圆环套在物体上开始一起运动的速度大小。 【答案】 【详解】滑轮的转动惯量 开始运动时，设绳子拉力为T，物体的加速度为a，滑轮的角加速度为β，则对物体 对滑轮 而 整理得 圆环追上物体所用时间为t，则 解得 此时圆环和物体的速度分别为 ， 碰撞的过程中根据动量定理，对圆环和物体则有 对滑轮利用角动量定理 而 ， 整理得共同速度为 5．图示系统，弹簧劲度系数k，质量m1的物体置于光滑水平面上，定滑轮半径为r，转动惯量为I，开始时系统静止，弹簧无伸长，求物体m2由静止下降距离h时的速度大小。 【答案】 【详解】取、、弹簧、滑轮、绳子和地球为一系统，取弹簧原长处为弹性势能的零点，取光滑水平面为重力势能的零点，当物体m2由静止下降距离h时，由系统机械能守恒定律得 其中 联立解得 6．一质量为m的小球在距水平地面高处以水平速度抛出，空气阻力不计。小球每次落地反弹时水平速度不变，竖直速度大小按同样的比率减小。若自第一次反弹开始小球的运动轨迹与其在地面的投影之间所包围的面积总和为，求小球在各次与地面碰撞过程中所受到的总冲量。 提示：小球每次做斜抛运动（从水平地面射出又落至地面）的轨迹与其在地面的投影之间所包围的面积等于其最大高度和水平射程乘积的三分之二、 【答案】 【详解】设小球每次落地反弹时，反弹后的竖直速度大小是反弹前的倍。第一次落地时竖直速度为 （1） 第一次反弹竖直速度大小为 ，。（2） 第一次反弹高度为 。（3） 第一次反弹后飞行时间为 。（4） 第一次反弹至第二次反弹时水平方向的位移为 。（5） 小球在第一次反弹至第二次反弹之间的运动轨迹与其在地面的投影之间所包围的面积为 。（6） 设第n次反弹后至次反弹前的最大竖直速度大小和上升的最大高度分别为和。由题意和上述论证知 ，（7） ，（8） ，（9） ，（10） 。（11） ，…构成一无穷递缩等比数列，其总和为 （12） 由（6）、（12）式有 （13） 设表示小球在第次碰撞过程中小球受到的作用力的冲量，由动量定理有 （14） 由于小球每次反弹前后速度的水平分量不变，小球每次碰撞过程中受到的沿水平方向的冲量为零。小球在各次与地面碰撞过程中所受到的总冲量为 （15） 方向向上。将（13）式代入（15）式得 （16） 7．在竖直面内将一半圆形光滑导轨固定在、两点，导轨直径，与竖直方向间的夹角为，在导轨上套一质量为的光滑小圆环，一劲度系数为的轻而细的光滑弹性绳穿过圆环，其两端系与、两点，如图所示。当圆环位于点正下方点时，弹性绳刚好为原长。现将圆环从点无初速度释放，圆环在时刻运动到点，与半径的夹角为，重力加速度为。试求分别对下述两种情形，求导轨对圆环的作用力的大小：（1）；（2）。 【答案】， 【详解】1。 设弹性绳在时刻的伸长量为，弹性绳的张力为，小圆环下降的高度为。当时，小圆环受到导轨的正压力、竖直向下重力和弹性绳的沿和两个方向的张力，见图1。根据几何关系有 ，        （1） 这说明绳是张紧的。         （2） 根据牛顿运动定律，这时有         （3） 式中，是小圆环此刻运动速度的大小，小圆环在下降过程中机械能守恒             （4） 根据胡克定律有             （5） 由以上各式得             （6） 2。 当时，弹性绳的伸长量为         （7） 弹性绳处于松弛状态，，小圆环受力如图2所示。根据牛顿运动定律有             （8） 整个过程机械能守恒，有             （9） 由几何关系得             （10） 由（8）、（9）、（10）式得         （11） 8．如图所示，一块光滑的平板能绕水平固定轴HH’调节其与水平面所成的倾角，板上一根长为l=1.00m的轻细绳，它的一端系住一质量为m的小球P，另一端固定在HH’轴上的O点，当平板的倾角固定在a时，先将轻绳沿水平轴HH’拉直（绳与HH’重合），然后给小球一沿着平板并与轻绳垂直的初速度m/s。若小球能保持在板面内做圆周运动，问倾角a的值应在什么范围内（取图中a处箭头所示方向为a的正方向）．取重力加速度g=10m/s2。 【答案】 【详解】当光滑平板与水平面的倾角为α时，无论小球P处在斜面上什么位置，它受的重力在斜面上的投影总是垂直于HH′，大小总是等于mgsinα. 以此作为重力的一个分力，则重力的另一个分力即垂直于斜面的分力mgcosα总是与斜面对小球P的支持力平衡. 这样，小球P在斜面内只受上述重力的分量mgsinα和细绳拉力的作用. 当小球P运动到圆周的最高点时，细绳垂直于HH′，绳的拉力与小球所受重力的分量mgsinα沿同一直线，这时只要细绳不松弛，小球就能保持在板面内做圆周运动，设小球到达圆周最高点时的速度为v，绳的拉力为T，有 （1） 由能量关系，有 （2） 由（1）、（2）式得 （3） 细绳不松弛的条件是T≥0（4） 由（3）、（4）式得 （5） 代入有关数据，得 （6） 当倾角α＜0时，经相同的分析可得 （7） 由（6）、（7）两式，可知α的取值范围为 （8） 9．如图所示，一质量M=30.0kg的楔形木块OABC静止在水平地面上，其斜面段AB的倾角β=60°，BC段的倾角α=45°，AB段与BC段连接处（B）为一非常短的光滑圆弧，现将一质量的m=4.00kg小物块（可视为质点），放在斜面上离地面高h1=2.80m的A处，然后放手，令小物块从静止开始斜面下滑，已知小物块与斜面之间无摩擦，木块与地面间的最大静摩擦系数和滑动摩擦系数为μ=0.06，B处离桌面的高度h2=2.00m，如果不计小物块经过处B时物块及木块速度大小的改变，求小物块从斜面上A处滑动到斜面底部C处整个过程中小物块对木块所做的功（取重力加速度g=10.0ms-2） 【答案】 【详解】为方便起见，我们先考虑小物块在斜面BC段上的运动，取Oxy坐标如图所示，令ax、ay分别表示小物块沿x方向和y方向加速度的大小，N和R分别表示小物块与木块之间和木块与桌面之间的正压力的大小，aM表示木块的加速度的大小，小物块的运动方程为                 （1）             （2） 木块的运动方程             （3）             （4） 小物块约束在斜面上运动，有方程                 （5） 由以上各式解得         （6） 此式对AB段同样成立，只需将换成即可.现在我们必须来判别木块能否运动，判别的根据是方程（3）.若木块运动，则由（3）式和（4）式应有             （7） 否则木块不动，小物块只做在静止的木块上的下滑运动. 当小物块在BC段上运动时，，由（6）、（7）两式，代入有关数据得 N=28.2N                                            （8）                         （9） 当小物块在AB段上运动时，上面（6）、（7）两式应用代替，用代替N，用代替aM，由（6）、（7）两式，代入有关数据得                                         （）                         （） 以上结果说明，小物块从A到B的过程中，木块没有移动；从B到C的过程中，木块是运动的.所以，小物块对木块做的功为                                     （10） s为木块移动的距离，                                         （11） t可以从小物块自B点到C点沿竖直方向的运动过程中求得，由（2）式及（8）式 由运动学公式                                     （12） v0y为小物块在刚过B点时的速度v0沿竖直方向的分量，v0可从能量守恒求得，即                                 （13） 所以                                     （14） 将（14）式代入（12）式，解得 取正号，并代入数据，得 t=0.492s 代入（11）式，并注意到（9）式得                             （15） 代入（10）式，得                         （16） 10．如图所示，长为L的光滑平台固定在地面上，平台中央放有小物体A和B，两者彼此接触，物体A的上表面是半径R（R<<L）的半圆形轨道，轨道顶端距台面高度为h处有一小物体C。A、B、C的质量均为m，现物体C从静止状态沿轨道下滑，已知在运动过程中，A、C始终保持接触，试求： （1）物体A和B刚分离时，物体B的速度。 （2）物体A和B分离后，物体C能达到距台面的最大高度。 （3）判断物体A从平台的左边还是右边落地，并粗略估算物体A从与物体B分离后到离开台面所经历的时间。 【答案】（1），方向向右；（2）；（3）左边， 【详解】由题意R<<L，所以下面的解答中，都是设物体尚未离开平台。 1。在物体C下滑的过程中，C对A的作用力沿水平方向的分力是向右的，推动A和B一起向右加速运动。当C到达轨道的最低位置时，C对A的作用力的水平分力为零，这时A、B向右运动的速度达到最大。继续下去，C对A的作用力的水平分力将开始向左，A将开始做减速运动，从而和B分离。由此可知，当C滑到轨道最低位置时，A、B开始分离。这时A、B向右运动，由动量守恒可知C是向左运动的。设用、、分别表示三者此时速度的大小，根据动量守恒和能量守恒可知 且有= 由以上各式联立，可解得 方向向右。 2。A、B分离后，B的动量为，方向向右。当C达到最高点时，A、C两物体无相对运动，具有同样大小的速度，方向向左。根据动量守恒可知 即           ① 用l表示C距台面的最大高度，根据能量守恒可知        ② 由①、②两式可解得 3。在（2）中已分析过，A、C两物体的总动量的方向是向左的，所以A从平台的左边落地，由于R<<L，因此，在讨论A、C在平台上滑动的距离和时间时，可粗略地把它们看成一个物体，具有向左的速度，而且原来处于平台的中央，即距左端处，所以经历的时间t为 本题是联合运用动量守恒定律和能量守恒定律的问题。由于题中涉及一个变力（A与C的相互作用力），所以中学生无法在全部时间内解决此题。解此题的技巧就在于选择几个特定时刻（开始，C在最下及C将脱离）找到一些关系。 11．从离地面的高度为h的固定点A，将甲球以速度抛出，抛射角为，。若在A点前方适当的地方放一质量非常大的平板，让甲球与平板作完全弹性碰撞，并使碰撞点与A点等高，如图所示，则当平板的倾角为恰当值时，甲球恰好能回到A点。另有一小球乙，在甲球自A点抛出的同时，从A点自由落下，与地面作完全弹性碰撞。试讨论，，应满足怎样的一些条件，才能使乙球与地面碰撞一次后与甲球同时回到A点。 注：图稍有问题，板子要向下移动一些 【答案】见解析 【详解】甲球从A点抛出时的抛射角为，速度为，因为碰撞点与A点等高，球与板的碰撞是弹性的，板的质量又很大，根据机械能守恒定律可知，球与板碰撞前的速度与碰撞后的速度都等于。设碰撞后甲球从板弹回时的抛射角为，如图所示。A点与碰撞点之间的距离即为射程L，若甲球又回到A点，则有间的距离即为射程L，若甲球又回到A点，则有 ① 即 由此得② ③ ，表示甲球射到平板时速度的方向与它从平板反弹出时速度的方向相反，故甲球必沿板的法线方向射向平板，反弹后，甲球沿原来的路径返回A点，因此有 ④ ，表示甲球沿与平板的法线成某一角度的方向射向平板，沿位于法线另一侧与法线成相同角度的方向弹出，然后甲球沿另一条路径回到A点。由图中的几何关系可知 ⑤ 由④⑤两式，得 ⑥ 下面分别讨论以上的两种情况下，甲球乙球同时回到A点应满足的条件： Ⅰ. ，，即A球沿原路径回到A点的情形。 被甲球从A点抛出、与板碰撞，到沿原路径回到A点共经历的时间为，则有 ⑦ 设乙球从A点自内落下，与地面发生一次碰撞、再回到A点共经历的时间为，则有 ⑧ 两球在A点相遇，要求， 即⑨ 或⑩ 因，由⑨式得⑪ 当满足⑪式，甲球的抛射角满足⑩式，平板的倾角满足④式，甲球才能沿原路回A点并与乙球相遇。 Ⅱ.，，即甲球与板碰撞后，沿另一条路径回到A点的情形 被甲球自A点抛出，经与平板碰撞又回到A点经历的总时间为，则有 ⑫ 设乙球自A点下落后回到A点经历的总时间为，则有 ⑬ 两球在A点相遇，要求， 或⑭ ⑮ 因，故有 ⑯ 结合⑭式，得 ⑰ 当满足⑰式，甲球的抛射角满足⑮，平板的倾角满足⑥式，甲球将沿另一条路径回到A点，同时与乙球相遇。 综合以上讨论，结论为： 当，且当，，甲球沿原路径返回A点的同时，乙球也回到A点； 当，且当，，甲球还可沿另一路径回到A点，这时，乙球也正好回到A点。 12．如图所示，四个质量均为m的质点，用同样长度且不可伸长的轻绳联结成菱形。静止放在水平光滑的桌面上。若突然给质点A一个历时极短沿方向的冲击，当冲击结束的时刻，质点A的速度为v，其它质点也获得一定速度，。求此质点系统受冲击后所具有的总动量和总能量。 【答案】，方向沿方向； 【详解】由对称性可知，C点的速度也必沿方向，设其大小为。D的速度可以分解为平行于v和垂直于v的分速度，其大小分别设为和。同样，B的速度也类似地分解为平行和垂直于v的二个分速度，其大小设为和，如图复解13-3所示， 根据对称性，必有 （l） （2） 由于绳子不可伸长，A沿的分速度和D沿的分速度一定相等，C沿的分速度和D沿的分速度也相等，即 （3） （4） 另一方面，设绳子给质点D的冲量的大小为，绳子给质点C冲量大小为。注意到绳子给质点D的冲量的大小同样也是（各冲量的方向均沿绳子方向）。由对称性还可以判定，绳子给质点B的冲量的大小也是，绳子给质点B和C的冲量的大小都是，根据动量定理，可分别列出关于质点D平行和垂直于v的方向以及质点C平行于v方向的关系式如下： （5） （6） （7） 由（3）~（7）式可解出本题所需的和、 据此结果和（1）、（2）式，此系统的总动量为 ，方向沿方向。 此系统的总动能为 13．（1）质量不为零的介子静止时衰变为三个质量相同的介子，即，试讨论每次衰变产生的三个介子的动能、、可能取的全部值．通常表示每一组动能值（）的方法如下：作一个等边三角形，取其高Q为三个介子的动能之和，在三角形内取一点P，令P点到顶点的对边的距离为，则每一点对应一组动能值。衰变时可以实现的全部的可能取值，可以用P点的可能存在的区域来表示，这个区域称为运动学允许区，试在中找出的运动学允许区（设衰变后介子的速度比光速小得多）。 （2）正电子偶素是由一个电子与一个正电子组成的束缚态粒子，记为，它在静止时可以衰变为三个光子，即，试在中找出三个光子的运动学允许区域。 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【详解】（1）设衰变产生的3个介子的动量为、、，相应的动能为、、 则它们必须满足下列茶件能量守恒 动量守恒 内部任一点均已满足上式，现只需求满足上式的P点的位置范围． 由上式可知 式中，于是有 因，于是上式为 由题意知，可以使用非相对论的关系 上式成为即 现在中取一点P，表示其位置以用极坐标系比较方便，取三角形的重心O为极坐标系的原点，为极轴的正方向，，则由图17可知 ，， 将上面三式代入，得 于是得即 于是得3个介子的运动学允许区为图2中的内切圆的圆周及园内． （2）对于正电子偶素衰变为三个光子的情况，上面的式子同样适用．但光子的速度为c，其能量和动量必须用相对论的关系来计算．因光子没有静止质量，故其动能应理解为光子的能量E．而，因此 式中h为普朗克常量，c为光束．因此有 即，， 同理有， 由上式可解得，（不合理，应舍弃） 因前一解又可写为 所以 同理可得， 上面三式即是P点所应满足的条件．由图3可知，同时满足上述三个条件的P点在图中阴影区中，它是连接各边中点的三角形的内部及三边，即为3个光子的运动学允许区． 14．质量分别为、和的三个质点、、位于光滑的水平桌面上，用已拉直的不可伸长的柔软的轻绳和连结，角为，为一锐角，如图所示。今有一冲量为的冲击力沿方向作用于质点，求质点开始运动时的速度。 【答案】 【详解】设受冲击后、、三质点开始运动时的速度分别为、和，由于三质点除质点受冲击力外，所受的只有绳的张力，所以知必沿方向，必沿方向（如图7'-9所示）。在受冲击力之后，三质点的动量和等于所受的冲量。 将此式沿方向和与垂直的方向分解，得 ① ② 式中为与方向所夹之角。由于绳不可伸长，又有 ③ ④ 以上四式中，、、和是未知量，可解得 ⑤ 其方向沿方向。 多数参赛学生解不出本题的原因首先在于未能判断出质点的初速必沿方向，质点的初速必沿方向；其次在于不知道三个质点的动量的矢量和应沿方向，从而将每个质点的动量按和垂直于方向作正交分解；第三是对“不可伸长的柔软的轻绳”的含义不理解，列不出③、④两式。本题是本届预赛题中最难的。 15．如图所示，在水平桌面上放一质量为，截面为直角三角形的物体。与间的夹角为，点到桌面的高度为。在斜面上的底部处放一质量为的小物体。开始时两者皆静止。现给小物体一沿斜面方向的初速度，如果小物体与斜面间以及与水平桌面间的摩擦都不考虑，则至少要大于何值才能使小物体经点滑出。 【答案】 【详解】若的大小刚能使运动到点，即运动到点时相对于的速度为零，令此时相对于地的速度（向右）为，则相对于地的速度也为（如图7'-3）。根据机械能守恒可知 ① 又因为在此过程中以和为系统时，水平方向不受外力，所以水平方向动量守恒，即 ② 由①、②两式可得 由此可知，至少要大于，才能经点滑出。 16．如图所示，一水平放置的圆环形刚性窄槽固定在桌面上，槽内嵌着三个大小相同的小球，它们的质量分别是、和，。小球与槽的两壁刚好接触而它们之间的摩擦可忽略不计。开始时，三球处在槽中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位置，彼此间距离相等；和静止，以初速度（，其中）沿槽运动，为圆环的内半径和小球半径之和。设各球之间的碰撞皆为弹性碰撞，求此系统的运动周期。 【答案】20s 【详解】各小球在未发生碰撞时，或静止或做匀速率圆周运动；发生碰撞时，碰撞时间可忽略不计，碰撞过程中动量和机械能都守恒.对与第一次碰撞来说，令和分别表示碰后的速度，则有         ①     ② 由此可解得         ③         ④ 碰后运动到位置Ⅲ时，与相碰.因为与质量相等，所以碰后停在Ⅲ处，而以速率运动.等到运动到位置Ⅰ时，正好也返回到Ⅰ处，它们相碰过程中速度的变化正像上述和在Ⅱ处相碰时的逆过程，即碰后停在Ⅰ处，而又以的速度顺时针运动.等再运动到位置Ⅱ时，和开始时相比，正好是三球顺时针依次换了一下位置而速率和开始时相同.这就是说，到此时共经历了一周期的1/3.下面求周期. 第一次由Ⅰ运动到Ⅱ所需时间为         ⑤ 与相碰后回到Ⅰ所需时间为         ⑥ 与碰后再回到Ⅱ所需时间为         ⑦ 由此可知         ⑧ 由⑤、⑥、⑦、⑧式可得 两质点的完全弹性碰撞的规律是碰前与碰后动量守恒和动能守恒.而当二质点质量相同时，弹性碰撞使二者的速度发生交换.本题将三个小球安排一个互相碰撞的情况，只要一对一对碰撞分别分析正确，就可得出正确答案.题中所谓周期，是指从开始时起，直到每个球都回到开始时的状态所经历的时间 17．如图所示，是放置在光滑水平面上的滑块，其质量为，滑块的上端面是一水平台面，台面的长度和高度均为，滑块的侧面有一条长度为圆周的圆弧形光滑槽，槽底跟水平面相切。另有一条高为的固定光滑导轨，导轨的底端正好对准的滑槽。是一个质量为的小球，，它由导轨的顶端滑下，初速为零。试问，欲使小球撞击中的平台，高度比的数值范围是多少？ 【答案】 【详解】设小球从下滑到滑块槽底端时的速度为，根据机械能守恒，有 ① 在小球刚到达滑块槽顶端时，设其速度为，其水平方向和竖直方向的分量分别为和，滑块向左运动的速度为，根据机械能守恒，有 ② 在小球冲上滑块的过程中，小球-滑块系统动量的水平分量守恒，按图8'-10所示坐标系有 ③ 又设球在滑槽顶端相对于滑块的速度为，则 ④ ⑤ 由滑槽是1/8圆周知，球相对于的速度跟水平方向夹角是，所以 ⑥ 由①~⑥式解得： ⑦ 为要击中平台，球相对于台面的射程需满足如下关系： ⑧ 而⑨ 由⑥、⑦、⑨式解，再代入⑧式整理得 ⑩ 已知，代入⑩式得 这是一道相对运动的题目.为创造相对运动的起始条件，设计了一些装置，需要用能量和动量的关系来求出小球与滑块相对运动的起始条件.若只用小球与滑块二者的绝对运动来计算，则要复杂得多 18．如图所示，A、B是两块水平放置的互相平行的带电金属板，其间的电场可视为匀强电场。假设有一带负电的微粒在点处沿与水平成角的方向射出，并从此时刻开始计时。已知在时，微粒到达其轨迹最高点；在时，微粒的动能为。在以上运动过程中微粒一直处在均匀电场内，且未与A、B相碰。试求微粒的初动能。 【答案】300eV 【详解】设微粒的质量为，在点时的初速为，则初动能为 由于微粒所受的重力和电场力均为恒力，微粒的运动轨迹为抛物线，如图所示 在时微粒在点，在时微粒在点，在时微粒在点，微粒沿水平方向的分运动为匀速运动，分速度为 设微粒在竖直向下方向所受的合力为，则根据动量定理，从到 从到 因此 在点微粒的动能为 由题设条件知道，因而 19．如图所示，一根长为l的细刚性轻杆的两端分别连接小球a和b，它们的质量分别为ma和mb。杆可绕距a球为处的水平定轴O在竖直平面内转动。初始时杆处于竖直位置，小球b几乎接触桌面。在杆的右边水平桌面上，紧挨着细杆放着一个质量为m的立方体匀质物块，图中ABCD为过立方体中心且与细杆共面的截面。现用一水平恒力F作用于a球上，使之绕O轴逆时针转动，求当a转过α角时小球b速度的大小。设在此过程中立方体物块没有发生转动，且小球b与立方体物块始终接触没有分离。不计一切摩擦。 【答案】 【详解】如图所示 用vb表示a转过角时b球速度的大小，v表示此时立方体速度的大小，则有 由于b与正立方体的接触是光滑的，相互作用力总是沿水平方向，而且两者在水平方向的位移相同，因此相互作用的作用力和反作用力做功大小相同，符号相反，做功的总和为0。因此在整个过程中推力F所做的功应等于球a、b和正立方体机械能的增量。现用va表示此时a球速度的大小，因为a、b角速度相同，且 ， 所以得 联立可得 解得 20．如图所示，在水平光滑绝缘的桌面上，有三个带正电的质点1、2、3，位于边长为的等边三角形的三个顶点处。C为三角形的中心，三个质点的质量皆为m，带电量皆为q。质点1、3之间和2、3之间用绝缘的轻而细的刚性杆相连，在3的连接处为无摩擦的铰链。已知开始时三个质点的速度为零，在此后运动过程中，当质点3运动到C处时，其速度大小为多少？ 【答案】 【详解】 以三个质点为系统，由对称性可知，开始时其质心应位于C处，因为质点系所受的合外力为零，由质心运动定理可知，质心总是固定不动的．质点在静电力作用下，彼此间距离必增大，但不可能保持在沿起始状态时连线上运动，若是那样运动，由于杆不能伸长，质点3必向左运动，三者的质心势必亦向左运动，这与“质心不动”相矛盾，故不可能．由此可知，由于杆为刚性，质点在静电力作用下，要保持质心不动，质点必将分别向题图中右上方和右下方运动，而质点3将向左运动．当3运动到C处时，将运动到处，三点在一直线上，的速度方向向右，3的速度方向左（如图所示）．令分别表示此时它们的速度大小，则由对称性可知此时三质点的总动能为 （1） 再由对称性及动量守恒可知（2） 系统原来的电势能为（3） 其中k为静电力常数．运动到国复解19-3所示的位置时的电势能为（4） 根据能量守恒有（5） 由以上各式可解得（6） 21．打台球时常用球撞击目标球，如图所示。球与球的质量和半径均相同，且两球质量分布都是均匀的；球在碰撞前的瞬间具有质心速度和转动角速度，沿方向；碰撞时间极短，且球和球之间没有摩擦，可认为两球碰撞是完全弹性的，球与桌面可视为点接触。 (1)在发生碰撞后的瞬间，球和球的飞行方向与轴之间的夹角分别为和（见图a）。求碰撞后的瞬间，两球飞行方向之间的夹角的值以及球的质心速度和转动角速度（用，，等表示）。 (2)如图b，球碰撞后在摩擦力的作用下，需要经过时间才能达到无滑滚动（也称纯滚）。已知，，和球与桌面之间的摩擦系数。以下各小问的结果用，，，，，以及重力加速度等表示。 a.在碰撞后任意时刻，球上与桌面的接触点称为此时刻的点，在碰撞后的瞬间，求点相对于桌面的速度的、分量的表达式； b.求碰撞后球达到纯滚所需时间； c.求在碰撞后直至纯滚前，球质心运动的轨迹，； d.球达到纯滚后，定性指出球质心运动的轨迹形状，给出其质心的速度与方向之间的夹角的正切的表达式。 【答案】(1)，， (2)a.； b.； c.，； d. 【详解】（1）由于碰撞时间极短，因此可忽略碰撞过程中摩擦力（其最大值为）的冲量和冲量矩；Q球和T球之间没有摩擦，只有径向的弹性力。因此在Q球和T球碰撞前后的瞬间，可认为角动量守恒，碰撞后的瞬间，对于Q球则有 弹性碰撞能量守恒，转动能量不变，分别取碰撞后T球运动方向和与它垂直的方向为坐标基矢量、方向，如图所示 由动量守恒可得，， 由能量守恒可得 联立解得 即， 其中对应没有发生碰撞；因此碰撞发生后有 故有， 即Q球碰撞后只有垂直T球运动的分量，故 根据运动的合成可得 （2）a．C点的速度为 其中， 即 在碰撞后的瞬间，将代入上式，可得 b．记接触点C的速度方向单位矢量为，质心速度为，角速度为，由质心运动定理和转动定理可得， 其中 对求导可得 联立解得 其中，代表质心到C点的单位向量，即，用矢量叉乘关系可知 整理可得 对于接触点C的运动，摩擦力的作用是对其减速，并且沿着该点速度的反方向，因此C点速度变化是匀减速，C点的起始速度 代入匀减速运动公式 解得 c．由于接触点的速度为匀减速，它的方向不变即 质心的运动方程在系下为简单的匀减速运动，则有， 碰撞瞬间后质心初始位置设为原点，结合上述结论则有 整理可得 同理可得 d．达到纯滚后，摩擦力必须消失，那么Q球质心将是匀速直线运动，结合上述结论， 可得最终速度为 两式合并可得 故 22．阅读下面材料，完成下面小题 灾难发生时，三体行星正处于一个稳定的恒纪元中，围绕着三星中的一颗恒星运行，轨道半径约0.6个天文单位。恒星被光粒击中后，光球层和对流层上被击出一个巨大的裂孔，孔的直径达五万千米，可以并排放下四个地球。不知是偶然还是攻击者有意为之，光粒击中恒星的位置正在行星运行的黄道面上。从三体行星上看去，那个太阳的表面出现了一个光度极强的亮斑，它像熔炉的大门，太阳深处的强辐射通过裂孔，穿透光球层、对流层和色球层，直接照射到行星上。暴露在光斑下的那个半球之上，处于室外的生命在几秒钟内就被烤焦。接着，恒星内部的物质从裂孔喷涌而出，形成了一股五万千米粗的烈焰喷泉。喷出的太阳物质温度高达千万度，一部分在引力的作用下落回太阳表面，一部分则达到了逃逸速度，直冲太空。从行星上看去，太阳表面仿佛长出了一棵灿烂的火树。约四小时后，喷出物质穿过0.6个天文单位的距离，火树的树顶与行星轨道相交。又过了两个小时，运行中的行星接触了火树的树梢，然后在喷出物质带中运行了三十分钟，这段时间，行星等于是在太阳内部运行，喷出物质经过太空的冷却后仍有几万摄氏度的高温。当行星移出喷出物质带后，它已经是一个发出暗红色光芒的天体，表面均被烧熔，岩浆的海洋覆盖了一切。行星的后面拖着一道白色的尾迹，那是被蒸发的海洋的水蒸气；而后尾迹被太阳风吹散，行星变成了一颗披散着白色长发的彗星。 这时，行星表面已经没有生命，三体世界已经毁灭，但灾难的引信才刚刚点燃。喷出带对行星产生了巨大的阻力，行星在穿过后运行速度降低，轨道下降了一些。火树像太阳伸出的魔爪，一次次拉低行星，只要穿过喷出带十次左右，行星就会坠落到太阳表面，三体星系中漫长的宇宙橄榄球赛将迎来大结局，但这个太阳没有活到成为冠军的那一刻。 由于喷出物质导致压力降低，恒星内部的核聚变反应暂时变弱，于是这个太阳迅速暗下去，最后只能看到一个朦胧的轮廓，这使得太阳表面的火焰巨树更加醒目耀眼，仿佛是在宇宙的底片上用尖利物划出来的。随着聚变的熄灭，内部辐射压力已不足以支撑恒星的外壳，太阳开始坍缩，最终黯淡下去的外壳接触并挤压内核，引发了最终的大爆发。 这就是三天前地球上的人们看到的那一幕。 恒星爆发摧毁了三体星系的一切，星系内正在逃离的大部分飞船和太空域都被毁灭，只有极少数的飞船侥幸逃脱——当时，这些飞船正处于另外两颗太阳后面，这两颗没有受到打击的恒星在大爆发中起到了掩体的作用。 以后，剩下的两轮太阳将组成一个稳定的双星系统，但再也没有生命来享受有规律的日出日落了。爆发的恒星物质和破碎的行星在两轮太阳周围形成广阔的吸积盘，像两片灰色的墓场。 …… 以三体恒星毁灭的观测数据为基础，建立了太阳遭到同样打击时的灾变数学模型。对该模型的运算表明，如果太阳遭到光粒袭击，火星轨道之内的类地行星将被全部摧毁。在打击初期，水星和金星完全解体，地球将保留一部分体积并维持球体形状，但其表面将被剥离，剥离深度达五百千米左右，包括全部地壳和地幔的一部分；火星表面将被剥离一百千米左右。在打击后期，所有类地行星将由于太阳爆发物质的阻力降低轨道，最终坠落到太阳的残存核心上，完全毁灭。 数学模型显示，太阳爆发的破坏力，包括辐射和扩散的恒星物质的冲击，与距离的平方成反比，即与太阳距离增大时破坏力急剧降低，这就使得距太阳较远的类木行星能够在打击中幸存。 在打击初期，木星表面将受到剧烈扰动，但其整体结构将保持完好，木星的卫星系统将基本保持不变。土星、天王星和海王星只是在表面受到一般扰动，结构保持完好。扩散的太阳物质将会对三颗类木行星的运行轨道产生一定影响，但在打击后期，爆发后的太阳物质将形成螺旋状的残骸星云，其旋转的角速度和方向将与类木行星保持一致，不再对行星产生足以降低轨道的阻力。 可以确定，太阳系的四颗巨行星：木星、土星、天王星和海王星在黑暗森林打击后将保持完好。这个重要的预测是掩体计划的基本依据。 五、掩体计划。 以木星、土星、天王星和海王星四大巨行星为掩体，避开黑暗森林打击引发的太阳爆发。计划在四大行星的背阳面建设供全人类移民的太空域，这些太空城紧靠各大行星，但不是它们的卫星，而是与行星一起绕太阳同步运行，这就使得太空城一直处于四大行星的背阳面，在太阳爆发时受到行星的屏蔽和保护。计划建立五十座太空城，每座可容纳一千五百万人左右。其中，木星背面二十座，土星背面二十座，海王星背面六座，天王星背面四座。建设太空城的材料取自四大行星的卫星，以及土星和海王星的星环。 建设太空城的材料取自四大行星的卫星，以及土星和海王星的星环。 六、掩体计划的技术问题。 该计划所涉及的技术基本在人类已达到的范围之内，舰队国际已具有丰富的太空城建设经验，并且已经在木星拥有相当规模的太空基地。也存在一些预计能够在计划规划的时间内克服的技术挑战，如太空城的位置维持。太空城不是四大行星的卫星，它们在行星的背阳面与行星保持相对静止的状态，且与行星的距离很近，引力会将太空城拉向行星，所以必须在太空城上安装位置维持发动机，以抵消行星引力，保持太空城与行星间的距离。最初计划太空城的位置位于巨行星的第二拉格朗日点，这是位于巨行星外侧的引力平衡点，没有位置维持问题，但发现距离掩体行星太远，难以起到防护作用。 …… “我们进去吧。”褚岩说，然后像跳水似的钻进了那个空间。莫沃维奇和关一帆惊恐地看着他的身体从头到脚消失在空气中，在空间泡无形球面上，他身体的断面飞快地变换着形状，那晶亮的镜面甚至在周围的舱壁上反射出水纹一样跳动的光影。褚岩很快完全消失了，正当莫沃维奇和关一帆面面相觑之际，突然从那个空间伸出两只手，那两只手和前臂都悬在空中，分别伸向两人，莫沃维奇和关一帆各抓住一只手，立刻都被拉进了四维空间。 有过亲身经历的人都一致同意，置身四维空间的感觉是不可能用语言来描述的，他们甚至断言，四维感觉是人类迄今为止所遇到的唯一一种绝对不可能用语言描述的事物。 人们总是喜欢用这样一个类比：想象生活在三维空间中的一张二维平面画中的扁片人，不管这幅画多么丰富多彩，其中的二维人只能看到周围世界的侧面，在他们眼中，周围的人和事物都是一些长短不一的线段而已。只有当一个二维扁片人从画中飘出来，进入三维空间，再回头看那幅画，才能看到画的全貌。 这个类比，其实也只是进一步描述了四维感觉的不可描述。 首次从四维空间看三维世界的人，首先领悟到一点：以前身处三维世界时，他其实根本没看见过自己的世界，如果把三维世界也比做一张画，他看到的只是那张画与他的脸平面垂直放置时的样子，看到的只是画的侧面，一条线；只有从四维看，画才对他平放了。他会这样描述：任何东西都不可能挡住它后面的东西，任何封闭体的内部也都是能看到的。这只是一个简单的规则，但如果世界真按这个规则呈现，在视觉上是极其震撼的。当所有的遮挡和封闭都不存在，一切都暴露在外时，目击者首先面对的是相当于三维世界中亿万倍的信息量，对于涌进视觉的海量信息，大脑一时无法把握。 （取材于刘慈欣《三体全集：地球往事三部曲》） 太阳系基本数据 太阳 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 质量（kg） 平均轨道半径（A。U。） - 0.4 0.7 1 1.5 5.2 9.5 19.1 30 (1)拉格朗日点是指太阳与行星构成的系统中的某个点，在该点放置一个质量很小的物体，该物体仅在太阳和行星（如木星）的万有引力作用下，可以保持与太阳和行星的相对位置不变，即能保持相对静止。系统中存在有多个拉格朗日点，其中一个位于行星的外侧，称为第二拉格朗日点，如下图所示： i.对于“太阳-木星”系统，下列说法正确的是 ： A．若要计算第二拉格朗日点与太阳间的距离，需要木星的质量 B．若物体位于第二拉格朗日点，则物体处于平衡状态 C．若物体位于第二拉格朗日点，则其环绕太阳运行的周期大于木星环绕太阳运行的周期 D．材料中提到的木星背阳面的太空城，就位于木星的第二拉格朗日点处 ii.地球和月球组成的“地-月”系统同样存在拉格朗日点，图中四个点不可能是拉格朗日点的是 。 A．A点    B．B点    C．C点    D．D点 (2)i.若光粒击毁太阳，试估算太阳完全消耗殆尽所能释放出的能量上限，已知光速（保留一位有效数字） ii.建立适当的模型，试从能量的角度，证明：“太阳爆发的破坏……，与距离的平方成反比”。 iii.根据材料“在打击初期，木星表面将受到剧烈扰动，但其整体结构将保持完好”，我们可以认为打击后，太阳爆发出的能量传播至木星时，其大小不会对行星造成损害，进而定义此时木星处的能量为行星不被破坏的安全能量值，对各个行星均适用。 考虑这样一种情况，当太阳被光粒打击，爆发能量时，我们使用某种手段，让整个太阳系一起跃迁入四维空间。试通过计算分析：在四维空间中，地球受到的能量是否大于行星的安全能量值，即我们跃入四维空间中能否躲过光粒的打击？假设能量守恒定律总是成立。 【答案】(1) A B (2)i. ；ii.见解析；iii. 见解析 【详解】（1）i. [1]AC．根据题意可知第二拉格朗日点位置的物体的角速度与木星的角速度相等，根据太阳和木星万有引力的合力提供向心力可知，若要计算第二拉格朗日点与太阳间的距离，需要木星的质量，故A正确，C错误； B．若物体位于第二拉格朗日点，太阳和木星万有引力的合力提供向心力，物体处于完全失重的状态，故B错误； D．根据材料太空城不是四大行星的卫星，它们在行星的背阳面与行星保持相对静止的状态，且与行星的距离很近，引力会将太空城拉向行星，所以必须在太空城上安装位置维持发动机，以抵消行星引力，可知太空城不是位于木星的第二拉格朗日点处，故D错误。 故选A。 ii. [2]要满足是拉格朗日点，需要角速度在该点运行的物体角速度与月球角速度相等： AD．在两点，地球和月球的万有引力的合力提供向心力，月球由地球的万有引力提供向心力，质量约掉后，所以该点的向心加速度大于月球的向心加速度，同时该点的轨道半径大，可能是拉格朗日点，故AD错误； B．在点，地球和月球的万有引力的合力提供向心力，月球由地球的万有引力提供向心力，质量约掉后，所以该点的向心加速度大于月球的向心加速度，同时该点的轨道半径小，根据可知该点的角速度一定大于月球的角速度，不可能是拉格朗日点，故B正确； C．在点，地球和月球的万有引力的合力提供向心力，月球由地球的万有引力提供向心力，质量约掉后，所以该点的向心加速度小于月球的向心加速度，同时该点的轨道半径小，可能是拉格朗日点，故C错误。 故选B。 （2）i.根据质能方程 代入数据可得 ii. 太阳爆发出能量的破坏，即对星球的破坏作用，应正比于星球表面各点所接收到的能量。也就是说，太阳爆发的破坏，正比于行星所在位置的能量（面）密度。 与距离的平方成反比。 iii.根据题目所给数据以及（2）ii问中结论，在三维空间，木星处受到的破坏了是地球处的，即 而在四维空间内，体积与距离的四次方成正比，显然表面积与距离的三次方成正比。由能量守恒知 所以在四维空间是安全的。 23．总质量为M的弹性弹簧在未拉伸时具有均匀的质量分布，其弹簧常数为K，为简单起见，假设其自然长度为零，现在它从顶端悬挂起来，并在恒定重力g下垂直悬挂并达至静止状态，在时，顶端从静止状态释放，弹簧落下，为了理解它的下落运动，我们可以将弹簧建模为一系列N个质量为的相同质量，与N-1个具有弹簧常数和零自然长度的相同弹簧连接。如图中，坐标分别是距离底部和顶部位置的质量，从天花板开始测量（向下为正），在时，。 （1）求，答案以K表示； （2）求释放前处于平衡状态的弹簧的总长度（答案以M，g和K表示）； （3）应用牛顿第二定律，写出顶部、底部和第n个质量的运动方程，而，答案以、、g以及其他质量的坐标（如果需要）表示； 现在考虑、且的情况（）： （4）求系统质心的加速度；（向下为正） （5）求出两个质量随时间变化的距离函数：； （6）当两个质量碰撞时（设碰撞时间为），设底部质量从的下降距离为，求的数值； 再考虑的情况： （7）求出和，使得弹簧的总质量和总弹簧常数K与的情况相同； （8）求解底部质量随时间变化的位置：，提示：尝试先找出质心的运动方程，和之间的差的运动方程，及另一个由，及的线性组合组成的量的运动方程； （9）底部质量经过（6）部分中的时间后，求下降的距离，再比较及在（6）部分所得距离，看看哪一个比较小； 无需回答：对于更大的N，模型能更准确地描述实际弹簧，您认为实际弹簧底部的运动会有什么特别？（不计分） 【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4）10m/s2；（5）见解析；（6）见解析；（7）见解析；（8）见解析；（9）见解析 【详解】（1）写出含N和K的表达式为 （2）写出含M，g和K的表达式为 （3）写出含、、g以及其他质量的坐标（如果需要）的表达式 （4）系统质心的加速度 （5）表达式为 （6）写出主要步骤为 （7）根据题意有 ， （8）写出主要步骤为 （9）由以上可知 24．一颗子弹由枪口射出时速率为v0m·s-1，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为F=（a-bt）N（a，b为常数），其中t以s为单位： （1）假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间； （2）求子弹所受的冲量； （3）求子弹的质量。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）由题意，子弹到枪口时，有 得 （2）子弹所受的冲量 将代入，得 （3）由动量定理可求得子弹的质量 25．光线的反射看起来与牛顿力学的弹性碰撞没有什么关系，但实际上并不是这样 （6.1）如图所示的光学系统中，两反射面以夹角相连，一束光平行于一个反射面入射，试求光线的反射次数与的关系，再考虑这样的一个系统，将质量分别为，的滑块按如图所示的方式摆放在光滑地面上，给予一个向左的速度v，之后，之间，与墙之间将发生数次完全弹性碰撞，记上述碰撞次数总和为。 （6.2）取，计算。 （6.3）建立坐标系，其中，，其中为右端距墙面的距离，为左端距墙面的距离，请定性在坐标系中作出描述，运动的图像，要求作出：坐标轴；，发生碰撞条件；和墙发生碰撞的条件；，的运动，用带箭头的线段表示运动路径，用表示碰撞点，用表示运动先后，若轨迹有重合，请稍微错开。 （6.4）从（6.3）中，或许你已经感受到了碰撞与光反射的相似性，若，在上述坐标系中作出表示，第一次碰撞的曲线，用、分别表示第一次碰撞发生前后曲线与，发生碰撞条件的夹角（用参量，，表示） （6.5）由此看来，好像简单的反射定律已经不再适用了，不过没有关系，我们重新令：，，重新在坐标系中作出：，发生碰撞条件；和墙发生碰撞的条件，并写出表示坐标系中对于，碰撞条件最重要的参量（用参量，，v表示） （6.6）在以上坐标系中，碰撞过程动量守恒在坐标图中代表什么，与光反射有何相似之处，做出说明并给出证明；碰撞过程能量守恒在坐标图中代表什么，与光反射有何相似之处，做出说明并给出证明；取，在坐标系中作出描述，运动及碰撞的图像，用带箭头的线段表示运动路径，用表示碰撞点，用表示运动先后，画出三次碰撞即可。 （6.7）现在我们可以来解决实际问题了，取的近似条件，试求的值；特别的，当时，求值，当时，求值，再求。 【答案】（6.1），，；（6.2）；（6.3）图见解析；（6.4）图见解析，；（6.5）图见解析，；（6.6）见解析；（6.7），，， 【详解】（6.1）考虑光反射的性质 ①中为取整算符 （6.2）显然 （6.3）如图所示 （6.4）如图所示 碰撞过程，动量守恒，能量守恒 （6.5）如图所示 （6.6）动量守恒质心速度不变平行“碰撞线”方向不变能量守恒相对速度不变垂直碰撞线方向不变光反射 证明略。 （7.7）综合上述分析可得 当时，，即 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $