光学篇 专题01 光的反射与折射（竞赛、强基计划培优精练）高中物理全国通用

光学篇 专题01 光的反射与折射 1．如图a，三种透明介质1、2和3的交界面为相互平行的无限大平面，两平面之间的距离为；介质1、2的折射率分别为。一束单色光自介质1入射到介质1、2的交界面上的点。 (1)当光线在A点的反射光线和折射光线相互垂直时，其折射光线到达介质2、3的交界面上刚好能发生全反射。求介质3的折射率。 (2)如图b，一束波长为（为真空中的波长）的单色光以某一初始入射角入射到介质1、2的交界面，反射光为光线，经介质2、3交界面上的B点反射后再经介质1、2交界面上的C点折射后的出射光为光线b；两光线a和b经凸透镜汇聚后在其焦平面上发生干涉，观察到第一级亮条纹。假设，求初始入射角。 2．用平行绿光（λ=546nm）垂直照射单缝，缝宽0.1mm，紧靠缝后放一焦距为50cm的会聚透镜，则位于透镜焦平面处的屏幕上中央明纹的宽度为 。 3．在迈克尔逊干涉仪的一条光路中，放入一厚度为d、折射率为n的透明薄片，放入后，这条光路的光程改变了（　　） A．2（n－1）d B．2nd C．（n－1）d D．nd 4．判断下面各棱镜或棱镜系统的转像情况。设输入为右手坐标系，画出相应的输出坐标系（第二个为两主截面相互垂直）。 5．如图所示，一水平放置的厚度为t折射率为n的平行玻璃砖，下表面镀银（成反射镜）。一物点A位于玻璃砖的上方距玻璃砖的上表面为h处。观察者在A点附近看到了A点的像，A点的像到A点的距离等于多少？不考虑光经玻璃砖上表面的反射。 6．如图中L为凸透镜，焦距厘米，有一单色平行光束，其方向与透镜的主轴平行，现于透镜前方放一正三棱镜，如图所示。缓缓转动三棱镜，当入射光的入射角和出射角相等时，在透镜的焦面上距焦点厘米处形成一像点，据此求三棱镜材料对此单色光的折射率n之值。 7．（1）设想光子能量为E的单色光垂直入射到质量为M、以速度v沿光入射方向运动的理想反射镜（无吸收）上，试用光子与镜子碰撞的观点确定反射光的光子能量。可取以下近似：，其中c为光速。 （2）若在上述问题中单色光的强度为，试求反射光的强度（可以近似认为光子撞击镜子后，镜子的速度仍为v）。光的强度定义为单位时间内通过垂直于光传播方向单位面积的光子的能量。 8．如图一所示的光学系统是由平行光管、载物台和望远镜组成，已知望远镜物镜的焦距为，在的焦平面处，放置带十字叉丝线的分划板和亮十字物。 （1）如图二所示，在载物台上放置双面平行的平面镜，通过望远镜的目镜观察时，能同时清楚地看到分划板上的十字叉丝线和十字物经过折射、反射、再经折射后在分划板上所成的十字像，十字像位于点，与上十字叉丝线的距离为，绕载物台转轴（沿竖直方向）转动载物台，使平面镜转，此时十字像位于点，与上十字叉丝线的距离为，根据以上情况和数据可计算出，此时望远镜光轴与水平面的夹角为 ； （2）据此结果，调节望远镜，使其光轴与载物台的转轴垂直。平行光管是由十字缝和凸透镜组成.去掉光学系统中的平面镜M，并用钠光灯照亮S，沿水平方向移动S，当S到平行光管中的透镜L距离为时，通过望远镜目镜能清楚地看到十字缝的像恰好成在分划板中心十字叉丝线上，由此可以推知，L的焦距等于 。 （3）将载物台平面调至与载物台的转轴垂直，在载物台上放置长、宽、高均为、折射率为1.52的分束棱镜（分束棱镜是由两块直角三棱镜密接而成，接触面既能透光又能反光）和待测凹球面镜，到的距离为，并保证分束棱镜的面与图三中的轴垂直、凹球面镜的光轴与图三中的轴重合；再将望远镜绕载物台的中心轴转，如图三所示。向右移动，当移动的距离为时，通过望远镜目镜刚好能看清楚十字缝的像成在分划板中心十字叉丝线上，试求凹球面镜的曲率半径 。 9．图中所示是一潜望镜壳体的侧视图，为光线的入口，在上方处已放置一块与纸面垂直的平面镜，它和与纸面垂直的竖直面之间的夹角为，眼睛在观察孔处观察，在（与竖直面的夹角也是）处放置一块平面镜，今要使观察到的视场不受处的平面镜的限制，则平面镜至少要有多大的线度才行？要求直接在图上用作图法画出即可，但要说明作图的步骤。 10．有一种高脚酒杯，如图所示。杯内底面为一凸起的球面，球心在顶点O下方玻璃中的C点，球面的半径R = 1.50cm，O到杯口平面的距离为8.0cm。在杯脚底中心处P点紧贴一张画片，P点距O点6.3cm。这种酒杯未斟酒时，若在杯口处向杯底方向观看，看不出画片上的景物，但如果斟了酒，再在杯口处向杯底方向观看，将看到画片上的景物。已知玻璃的折射率，酒的折射率。试通过分析计算与论证解释这一现象。 11．折射率、半径为的透明半圆柱体放在空气中，其垂直于柱体轴线的横截面如图所示，图中点为横截面与轴线的交点。光仅允许从半圆柱体的平面进入，一束足够宽的平行单色光沿垂直于圆柱轴的方向以入射角射至整个平面上，其中有一部分入射光束能通过半圆柱体从圆柱面射出。这部分光束在入射到面上时沿轴方向的长度用表示。本题不考虑光线在透明圆柱体内经一次或多次反射后再射出柱体的复杂情形。 （1）当平行入射光的入射角在变化时，试求的最小值和最大值。 （2）在如图所示的平面内，求出射光束与柱面相交的圆弧对点的张角与入射角的关系。并求在掠入射时上述圆弧的位置。 12．图表示一个盛有折射率为n的液体的槽，槽的中部扣着一个对称屋脊形的薄壁透时罩，顶角为，罩内为空气，整个罩子浸没在液体中。槽底的中点处有一亮点C。试求出：位于液面上方图示平面内的眼睛从侧面观察可看到亮点的条件。 （液槽有足够的宽度；罩壁极薄，可不计它对光线产生折射的影响。） 13．长度为4毫米的物体由图所示的光学系统成像。光学系统由一个直角棱镜、一个会聚透镜和一个发散透镜组成，各有关参数和几何尺寸均标示于图上。求： （1）像的位置； （2）像的大小，并作图说明是实像还是虚像，是正立还是倒立的。 14．（1）图示为一凹球面镜，球心为，内盛透明液体。已知离液面高度为，主轴上有一物，物离液面高度恰好为时，物的实像和物重合。实验时光阑直径很小，可以保证近轴光线成像。试求该选明液体的折射率。 （2）体温计模截面如图所示，已知细水银柱离圆柱面顶点的距离为，为该圆柱面半径。为圆柱面中心轴位置。玻璃的折射率，代表人眼。求图示横截面上人眼所见水银柱像的位置、虚实、正倒和放大倍数。 15．光导纤维是利用全反射传导光信号的装置，图示为一光导纤维，为其端面，纤维内芯材料的折射率，外层材料的折射率。在如图所示的情况下，试求入射角在什么范围内的光线都可在此纤维内传递。 16．有一水平放置的平行平面玻璃板H，厚，折射率。在其下表面下处有一小物S；在玻璃板上方有一薄凸透镜L，其焦距，透镜的主轴与玻璃板面垂直；S位于透镜的主轴上，如图所示。若透镜上方的观察者顺着主轴方向观察到S的像就在S处，问透镜与玻璃板上表面的距离为多少？ 17．如图是基于全内反射原理制备的折射率阶跃型光纤及其耦合光路示意图.光纤内芯直径50μm，折射率n1=1.46；它的玻璃外包层的外径为125μm，折射率n2=1.45.氦氖激光器输出一圆柱形平行光束，为了将该激光束有效地耦合进入光纤传输，可以在光纤前端放置一微球透镜进行聚焦和耦合，微球透镜的直径D=3.00mm，折射率n=1.50.已知激光束中心轴通过微球透镜中心，且与光纤对称轴重合.空气折射率n0=1.00. (1)为了使光线能在光纤内长距离传输，在光纤端面处光线的最大入射角应为多大? (2)若光束在透镜聚焦过程中满足近轴条件，为了使平行激光束刚好聚焦于光纤端面(与光纤对称轴垂直)处，微球透镜后表面中心顶点O与光纤端面距离应为多大? (3)为了使进入光纤的全部光束能在光纤内长距离传输，平行入射激光束的直径最大不能超过多少? 18．田野中有一条直路．一只山羊沿路奔跑的速度不超过v，沿田野奔跑的速度不超过u，且．求山羊在时间t内可能到达的区域． 19．考虑这样一种“光栅”，它们像寻常的衍射光栅一样有密集分布的条纹，用于遮挡光线。我们所使用的光的波长的尺度远小于条纹的细节，所以实际上无法观察到衍射现象。当一束均匀的平行光垂直射入光栅时，光栅背后的光屏上会展示出条纹。它们不是光的干涉或衍射条纹，暗纹的出现仅仅是因为本应到达该处的光被光栅上的条纹遮挡。当我们远远地观看光屏时，因为眼睛的辨别能力有限（即条纹间距远小于Rayleigh判据的要求），实际上观察到的是一片亮度随空间分布的光斑，越暗的地方条纹越密。我们定义观察到的光斑在处的亮度为，在处取的一块小面积（虽然很小，但其尺度远大于条纹的细节）上未被条纹遮挡的部分的面积占比。 （1）现在我们制作了两个相同的光栅，光栅上均匀分布着平直的条纹，条纹宽度都为d，条纹之间的间隙都为p。现在将两个光栅倾斜摆放，使得它们的条纹与x轴的夹角分别为θ和-θ。两个光栅关于y轴对称。将这两个倾斜摆放的光栅贴在一起后得到一个新的光栅。求均匀的平行光垂直通过这一光栅之后光屏上得到的亮度分布。量级。 （2）现在我们制作了两个相似的光栅，光栅上分布着同心圆形状的条纹。其中一个光栅的条纹的宽度和条纹之间的间隙都为，条纹的圆心在。另一个光栅的条纹的宽度和条纹之间的间隙都为，条纹的圆心在。将这两个光栅贴在一起后得到一个新的光栅。求均匀的平行光垂直通过这一光栅之后在光屏上得到的亮度分布。量级。 （3）接上一问，在极坐标下求暗纹中心的曲线方程；求暗纹的数量有限的条件；在暗纹的数量有限的条件下求暗纹的数量。 20．有一光光导纤维，光芯折射率n=1.500的透明度极好的介质，其截面半径为r ；光芯外面包层的折射率n =1.400。有一半导体激光器S，位于光纤轴线的延长上，发出半角宽为30°的光束。为便于使此光束全部进入光纤，在光纤端面处烧结了一个其材料与光芯相同的、半径为R的球冠 QAQ＇，端面附近的结构如图所示（包层未画出），S可看作点光源，光纤放在空气中，空气的折射率n0按1.000计算。 （1）若要半导体激光器发出的光能够全部射到球冠上，则光源S离A的距离x应满足什么条件？ （2）如果R=1.8r，光源S与A的距离为R，入射与轴的夹角用α表示，则α角分别为α1=30°、α2=25°和α3=20°的三根光线能否经过全反射在光纤中传播？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 光学篇 专题01 光的反射与折射 1．如图a，三种透明介质1、2和3的交界面为相互平行的无限大平面，两平面之间的距离为；介质1、2的折射率分别为。一束单色光自介质1入射到介质1、2的交界面上的点。 (1)当光线在A点的反射光线和折射光线相互垂直时，其折射光线到达介质2、3的交界面上刚好能发生全反射。求介质3的折射率。 (2)如图b，一束波长为（为真空中的波长）的单色光以某一初始入射角入射到介质1、2的交界面，反射光为光线，经介质2、3交界面上的B点反射后再经介质1、2交界面上的C点折射后的出射光为光线b；两光线a和b经凸透镜汇聚后在其焦平面上发生干涉，观察到第一级亮条纹。假设，求初始入射角。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）对于入射到介质1，2的交界面上的A点的光线，令入射角为，反射角为，折射角为，如图所示 由折射定律得 由反射定律得 由题设，光线在A点的反射光线和折射光线相互垂直，即 折射光线到达介质2、3的交界面上的B点，令入射角为，反射角为，折射角为，同样有 又有 由题给条件，折射光线在B点刚好能发生全反射，因而 由几何关系得 联立可得 由上可得 则有 联立解得 （2）如图，以某一初始入射角入射到介质1、2的交界面上的A点，折射角为。注意，此时限制条件不一定满足。但n3不受入射角的取值的影响，仍成立，因而有 可见，光线在介质2中入射到介质2、3的交界面上反射时，不会发生半波损失。 同理，由于 光线在介质1中入射到介质1、2的交界面上反射时，也不会发生半波损失。A点的折射光线经介质2、3交界面上的点反射后，再经介质1、2交界面上的C点折射。光线在A、B和C三点入射角、反射角、折射角分别以（1）中类似记号打剰号表示，它们满足相应的折射定律公式与反射定律公式以及几何关系。由于介质1、2的交界面和介质2、3交界面相互平行，在介质1中光线a和b也相互平行。在介质1中自C点向光线a作垂线交光线a于D点。由几何关系可知 经凸透镜汇聚后在其焦平面的光线a和b的光程差 利用折射定律、反射定律和几何关系得 化简为 a和b经凸透镜汇聚后在其焦平面上发生干涉，观察到第一级亮条纹，因而 可得 进一步化简可得 此即 2．用平行绿光（λ=546nm）垂直照射单缝，缝宽0.1mm，紧靠缝后放一焦距为50cm的会聚透镜，则位于透镜焦平面处的屏幕上中央明纹的宽度为 。 【答案】5.46×10-3m 【详解】设第一条暗条纹对应的衍射角为φ，则 当衍射角较小时，有 所以 3．在迈克尔逊干涉仪的一条光路中，放入一厚度为d、折射率为n的透明薄片，放入后，这条光路的光程改变了（　　） A．2（n－1）d B．2nd C．（n－1）d D．nd 【答案】A 【详解】光程X和几何路程x的关系是X=nx，插入薄片位置的几何路程为2d，薄片插入后的光程为2nd，插入前为2d，故光程改变2（n－1）d。 故选A。 4．判断下面各棱镜或棱镜系统的转像情况。设输入为右手坐标系，画出相应的输出坐标系（第二个为两主截面相互垂直）。 【答案】见解析 【详解】根据光路图，光线沿z方向上也就是光轴方向上射入，最终向左射出，故输出坐标系z轴向左，过x轴正方向上一点做平行于z轴的一条入射光线，最终射出时在第一条出射光线的上方，故输出坐标系的x轴方向向上，同理可找出输出坐标系的y轴方向；故输出坐标系如图所示。 同理第二个图也是如此，根据光路图，光线沿z方向上也就是光轴方向上射入，最终向左射出，故输出坐标系z轴向左，过x轴正方向上一点做平行于z轴的一条入射光线，最终射出时在第一条出射光线的下方，故输出坐标系的x轴方向向下，同理可找出输出坐标系的y轴方向；故输出坐标系如图所示。 5．如图所示，一水平放置的厚度为t折射率为n的平行玻璃砖，下表面镀银（成反射镜）。一物点A位于玻璃砖的上方距玻璃砖的上表面为h处。观察者在A点附近看到了A点的像，A点的像到A点的距离等于多少？不考虑光经玻璃砖上表面的反射。 【答案】 【详解】解法一： 由折射定律得 ① 由几何关系得 ② ③ ④ 式中，H为物A到像的距离。 在小角度近似下有 ， ， ⑤ 联立以上各式得 ⑥ 解法二： 由折射定律得 ① 由几何关系有 ② ③ ④ 式中，H为物A到像的距离。 利用小角度近似关系 ，，⑤ 得 像与A点的距离为 ⑥ 评分标准：①式3分，②③④式各2分，⑤⑥式各3分。 6．如图中L为凸透镜，焦距厘米，有一单色平行光束，其方向与透镜的主轴平行，现于透镜前方放一正三棱镜，如图所示。缓缓转动三棱镜，当入射光的入射角和出射角相等时，在透镜的焦面上距焦点厘米处形成一像点，据此求三棱镜材料对此单色光的折射率n之值。 【答案】 【详解】平行光经棱镜折射后会向底边偏折，但仍然为平行光.这束平行光会会聚在焦平面的副焦点上，具体位置是副轴和焦平面的交点。所以，副轴和主轴的夹角 这就是经棱镜偏折后，平行光束和主轴的夹角。 再由于光线进入棱镜的入射角和最后的出射角相等，可知第一次折射和第二次折射的偏折角也相等，且为 针对光线进入棱镜的第一次折射，设入射角为i，则折射角为： ① 再由于棱镜中的两次折射必然两边对称的，故第一次折射光线必然平行底边，它和折射面的夹角就是60°，和法线的夹角（即折射角）就是： ② 将②式结论代入①式，得： 最后代入折射定律，得 7．（1）设想光子能量为E的单色光垂直入射到质量为M、以速度v沿光入射方向运动的理想反射镜（无吸收）上，试用光子与镜子碰撞的观点确定反射光的光子能量。可取以下近似：，其中c为光速。 （2）若在上述问题中单色光的强度为，试求反射光的强度（可以近似认为光子撞击镜子后，镜子的速度仍为v）。光的强度定义为单位时间内通过垂直于光传播方向单位面积的光子的能量。 【答案】（1）；（2） 【详解】1.光子与反射镜碰撞过程中的动量和能量守恒定律表现为 （1） （3） 其中为碰撞后反射镜的速度。从上两式消去，得 （3） （4） 当时，，可得 （5） 2.考查时刻t位于垂直于光传播方向的截面A左侧的长为光在时间内所传播的距离、底面积为单位面积柱体内的光子，如图1所示。经过时间，它们全部通过所考查的截面。若单位体积中的光子数为n，根据光强的定义，入射光的强度（6） 若A处固定一反射镜，则柱体的底面处的光子在时刻t到达位于A处的反射镜便立即被反射，以光速c向左移动；当柱体的底面在到达A处被反射镜反射时，这柱体的底面已到达A左边距离A为处，所有反射光的光子仍分布在长为、截面积为单位面积的柱体内，所以反射光的强度与入射光的强度相等。 如果反射镜不固定，而是以恒定的速度V向右移动，则在时刻柱体的底面到达A处时，反射镜已移到A右边距离为的N处，这时底面移到A左侧离A的距离为处，如图2中a所示。设再经过时间，与镜面相遇，但这时镜面己来到处，因为在时间内，镜面又移过了一段距离，即在时刻，底面才到达反射镜被反射。亦即原在处的光子须多行进的距离才能被反射。因此 得（7） 而这时，底面又向左移了一段距离。这样反射光的光子将分布在长为的柱体内。因反射不改变光子总数，设为反射光单位体积中的光子数，有 故有 （8） 根据光强度的定义，反射光的强度 （9） 由（4）、（8）、（9）各式得 （10） 注意到有 （11） 8．如图一所示的光学系统是由平行光管、载物台和望远镜组成，已知望远镜物镜的焦距为，在的焦平面处，放置带十字叉丝线的分划板和亮十字物。 （1）如图二所示，在载物台上放置双面平行的平面镜，通过望远镜的目镜观察时，能同时清楚地看到分划板上的十字叉丝线和十字物经过折射、反射、再经折射后在分划板上所成的十字像，十字像位于点，与上十字叉丝线的距离为，绕载物台转轴（沿竖直方向）转动载物台，使平面镜转，此时十字像位于点，与上十字叉丝线的距离为，根据以上情况和数据可计算出，此时望远镜光轴与水平面的夹角为 ； （2）据此结果，调节望远镜，使其光轴与载物台的转轴垂直。平行光管是由十字缝和凸透镜组成.去掉光学系统中的平面镜M，并用钠光灯照亮S，沿水平方向移动S，当S到平行光管中的透镜L距离为时，通过望远镜目镜能清楚地看到十字缝的像恰好成在分划板中心十字叉丝线上，由此可以推知，L的焦距等于 。 （3）将载物台平面调至与载物台的转轴垂直，在载物台上放置长、宽、高均为、折射率为1.52的分束棱镜（分束棱镜是由两块直角三棱镜密接而成，接触面既能透光又能反光）和待测凹球面镜，到的距离为，并保证分束棱镜的面与图三中的轴垂直、凹球面镜的光轴与图三中的轴重合；再将望远镜绕载物台的中心轴转，如图三所示。向右移动，当移动的距离为时，通过望远镜目镜刚好能看清楚十字缝的像成在分划板中心十字叉丝线上，试求凹球面镜的曲率半径 。 【答案】 0.0375 8.25 47.74cm 【详解】（3）如图一所示，十字缝向右移动到处，经透镜成像于处，再经分束棱镜（相当于平板玻璃）两次折射一定成像于凹球面镜的焦点处，此时经过凹球面镜反射的光才是平行光，此平行光再经分束棱镜反射进入望远镜，通过望远镜目镜看清楚十字缝的像成在分划板中心十字叉丝线上. i）求点经透镜所成像点的位置. 由透镜物像距公式有 （1） 其中焦距，物距，代入上式解得像距 （2） ii）处的像再经分束棱镜即相当于厚度为、折射率为的平板玻璃两次折射成像，其像点的位置一定在凹球面镜的焦点处，求物点与像点之间的距离. 如图二所示，从点发出的光线两次折射从点射出，其出射光线的反向延长线与光轴的交点为像点的位置，即凹球面镜的焦点处.因为出射光线与入射光线平行，由几何关系有 式中和是入射角和折射角.很小，故有 ， 于是有 即 （3） 将和代入（3）式得 （4） iii）凹球面镜的焦距为 （5） iv）凹球面镜的曲率半径为 （6） 9．图中所示是一潜望镜壳体的侧视图，为光线的入口，在上方处已放置一块与纸面垂直的平面镜，它和与纸面垂直的竖直面之间的夹角为，眼睛在观察孔处观察，在（与竖直面的夹角也是）处放置一块平面镜，今要使观察到的视场不受处的平面镜的限制，则平面镜至少要有多大的线度才行？要求直接在图上用作图法画出即可，但要说明作图的步骤。 【答案】 【详解】先作出在镜中的虚像，再作出眼睛在处镜中的虚像.将与相连，与面相交于处，即为所求的结果. 10．有一种高脚酒杯，如图所示。杯内底面为一凸起的球面，球心在顶点O下方玻璃中的C点，球面的半径R = 1.50cm，O到杯口平面的距离为8.0cm。在杯脚底中心处P点紧贴一张画片，P点距O点6.3cm。这种酒杯未斟酒时，若在杯口处向杯底方向观看，看不出画片上的景物，但如果斟了酒，再在杯口处向杯底方向观看，将看到画片上的景物。已知玻璃的折射率，酒的折射率。试通过分析计算与论证解释这一现象。 【答案】见解析 【详解】把酒杯放平，分析成像问题． 1．未斟酒时，杯底凸球面的两侧介质的折射率分别为n1和n0=1．在图1中，P为画片中心，由P发出经过球心C的光线PO经过顶点不变方向进入空气中；由P发出的与PO成α角的另一光线PA在A处折射．设A处入射角为i，折射角为r，半径CA与PO的夹角为θ，由折射定律和几何关系可得         （1）              （2） 在△PAC中，由正弦定理，有          （3） 考虑近轴光线成像，α、i、r都是小角度，则有         （4）         （5） 由 （2）、（4）、（5） 式、n0、n1、R的数值及，可得             （6）                     （7） 由（6）、（7）式有 （8） 由上式及图1可知，折射线将与PO延长线相交于，即为P点的实像．画面将成实像于处． 在△CA P＇中，由正弦定理有         （9） 又有                  （10）        考虑到是近轴光线，由（9）、（10）式可得          （11） 又有       （12） 由以上各式并代入数据，可得         （13）         由此可见，未斟酒时，画片上景物所成实像在杯口距O点7.9cm处．已知O到杯口平面的距离为8.0cm，当人眼在杯口处向杯底方向观看时，该实像离人眼太近，所以看不出画片上的景物． 2．斟酒后，杯底凸球面两侧介质分别为玻璃和酒，折射率分别为n1和n2，如图2所示，考虑到近轴光线有           （14） 代入n1和n2的值，可得          （15） 与（6）式比较，可知                （16） 由上式及图2可知，折射线将与OP延长线相交于，即为P点的虚像．画面将成虚像于处．计算可得 （17） 又有 （18） 由以上各式并代入数据得 =13cm        （19） 由此可见，斟酒后画片上景物成虚像于P＇处，距O点13cm．即距杯口21cm．虽然该虚像还要因酒液平表面的折射而向杯口处拉近一定距离，但仍然离杯口处足够远，所以人眼在杯口处向杯底方向观看时，可以看到画片上景物的虚像． 11．折射率、半径为的透明半圆柱体放在空气中，其垂直于柱体轴线的横截面如图所示，图中点为横截面与轴线的交点。光仅允许从半圆柱体的平面进入，一束足够宽的平行单色光沿垂直于圆柱轴的方向以入射角射至整个平面上，其中有一部分入射光束能通过半圆柱体从圆柱面射出。这部分光束在入射到面上时沿轴方向的长度用表示。本题不考虑光线在透明圆柱体内经一次或多次反射后再射出柱体的复杂情形。 （1）当平行入射光的入射角在变化时，试求的最小值和最大值。 （2）在如图所示的平面内，求出射光束与柱面相交的圆弧对点的张角与入射角的关系。并求在掠入射时上述圆弧的位置。 【答案】（1）1.33R，1.79R；（2）见解析 【详解】1.在图1中，轴垂直于面.考查平行光束中两条光线分别在面上与点以入射角射入透明圆柱时的情况，为折射角，在圆柱体中两折射光线分别射达圆柱面的和，对圆柱面其入射角分别为与.在中，点与入射点的距离由正弦定理得 ，即.（1） 图1 同理在中，点与入射点的距离有 ，即.（2） 当改变入射角时，折射角与柱面上的入射角与亦随之变化.在柱面上的入射角满足临界角 （3） 时，发生全反射.将分别代入式（1），（2）得 ，（4） 即.（5） 当和时，入射光线进入柱体，经过折射后射达柱面时的入射角大于临界角，由于发生全反射不能射出柱体.因折射角随入射角增大而增大.由式（4）知，当，即（垂直入射）时，取最小值 （6） 当（掠入射）时，.将代入式（4）得.（7） 2.由图2可见，是轴与线段的夹角，是轴与线段的夹角.发生全反射时，有 ，（8） ，（9） 和.（10） 由此可见，与无关，即独立于.在掠入射时，，，由式（8），（9）两式得 ，.（11） 图2 12．图表示一个盛有折射率为n的液体的槽，槽的中部扣着一个对称屋脊形的薄壁透时罩，顶角为，罩内为空气，整个罩子浸没在液体中。槽底的中点处有一亮点C。试求出：位于液面上方图示平面内的眼睛从侧面观察可看到亮点的条件。 （液槽有足够的宽度；罩壁极薄，可不计它对光线产生折射的影响。） 【答案】 【详解】本题可用图示平面内的光线进行分析，并只讨论从右侧观察的情形。如图13-16所示， 由亮点发出的任一光线将经过两次折射而从液面射出。由折射定律，按图上标记的各相关角度，有 ① 其中② ③ 注意到，若液内光线入射到液面上时发生全反射，就没有从液面射出的折射光线。全以射临界角满足条件 可知光线经折射后能从液面射出从而可被观察到的条件为 ④ 或⑤ 现在计算。利用③式可得 由①式可得 因此， 又由①式⑥ 由图及①、②式，或由⑥式均可看出，越大则越小。因此，如果与值最大的光线相应的设为，则任何光线都不能射出液面。反之，只要，这部分光线就能射出液面，从液面上方可以观察到亮点。由此极端情况即可求出本题要求的条件。 自C点发出的值最大的光线是极靠近的光线，它被面折射后进入液体，由⑥式可知与之相应的： 能观察到亮点的条件为 即 上式可写成 取平方 化简 故 开方并化简可得 这就是在液面上方从侧面适当的方向能看到亮点时n与之间应满足的条件。 13．长度为4毫米的物体由图所示的光学系统成像。光学系统由一个直角棱镜、一个会聚透镜和一个发散透镜组成，各有关参数和几何尺寸均标示于图上。求： （1）像的位置； （2）像的大小，并作图说明是实像还是虚像，是正立还是倒立的。 【答案】（1）在的左侧处；（2） 【详解】（1）（2）解法一：1、分析和等效处理 根据棱镜玻璃的折射率，棱镜斜面上的全反射临界角为 注意到物长为，由光路可估算，进入棱镜的近轴光线在斜面上的入射角大多在45°左右，大于临界角，发生全反射。所以对这些光线而言，棱镜斜面可看成是反射镜。本题光路可按反射镜成像的考虑方法，把光路“拉直”如下图所示。 现在，问题转化为正立物体经过一块垂直于光轴、厚度为的平玻璃板及其后的会聚透镜、发散透镜成像的问题。 2、求像的位置；厚平玻璃板将使物的近轴光线产生一个向右侧移动一定距离的像，它成为光学系统后面部分光路的物，故可称为侧移的物。利用沿光轴的光线和与光轴成角的光线来讨论就可求出这个移动的距离。 设轴上的物点为B，由于厚平玻璃板的作用（即侧移的物点）为（如下图所示）。 画出厚平玻璃板对光线的折射，由图可知 而 所以 当为小角度时 故得 这也就是物与它通过厚玻璃板所成的像之间的距离。这个像对透镜来说就是物，而物距 可见，物正好在的左方焦平面上，像距即为 再考虑透镜，这是平行光线入射情形 所以必须成像于这个发散透镜左侧的焦平面上（虚像） 整个光路的最后成像位置就是在的左侧处。 3、求像的大小和虚、实、正、倒情况：可用作图法求解，如下图所示（为了图示清楚图中把物高加大了）。 连接并延长，便得到发自的光线经后的平行光线的方向。过的光心作的平行线，它与交于C点，则即为从发出经过折射后又通过光心的光线。反向延长与左侧焦平面的交点就是由与所成的像点。令左侧焦面与光轴的交点为。就是的像，这是一个正立的虚像。由图可得 而与等高，所以像的大小为 解法二：关于物体经棱镜（折射，反射，折射）后，所成像的位置及大小可采用视深法处理。 如上图所示，发出的、与面近乎垂直的小光束经面折射后成像于这是视深问题。、与面的距离均为A、B与面的距离的n倍，即 （像与物的大小相同） 经面的反射成像于，大小不变，且 经面后折射成像于，大小不变，且 由此即可求出这个像作为透镜的物的物距，其它部分的求解同解法（一）。 14．（1）图示为一凹球面镜，球心为，内盛透明液体。已知离液面高度为，主轴上有一物，物离液面高度恰好为时，物的实像和物重合。实验时光阑直径很小，可以保证近轴光线成像。试求该选明液体的折射率。 （2）体温计模截面如图所示，已知细水银柱离圆柱面顶点的距离为，为该圆柱面半径。为圆柱面中心轴位置。玻璃的折射率，代表人眼。求图示横截面上人眼所见水银柱像的位置、虚实、正倒和放大倍数。 【答案】（1）1.33；（2）见解析 【详解】1. 主轴上物发出的光线，经液体界面折射后沿方向入射于球面镜时，只要延长线过球心，光线经球面反射后必能沿原路折回。按光路可逆性原理，折回的光线相交于（图5'-15）。 对空气、液体界面用折射定律有： 当光阑足够小时，，因此有： 此题考查运用光路可逆性原理及对近轴光线作近似处理的能力，对于中学水平学生要求解题有一定灵活运用能力。 2. 先考虑主轴上物点发出的两条光线，其一沿主轴方向入射界面，无偏折地出射，进入人眼。其二沿方向以入射角斜入射于界面点，折射角为。折射光线要能进入人眼，点应非常靠近点，或说入射角和折射角应很小。若角度用弧度量度，在小角（近轴）近似下，折射定律可写为。这两条光线反向延长，在主轴上相交于，即物之虚像点（图5'-16）。 对用正弦定理，得： 在小角（近轴）近似下： ， 上式可写为： 解上式得： 为了分析成像倒正和放大情况，将水银柱看成有一定高度的垂轴小物体。既然是一对共轭点，只要选从发出的任一条光线经界面折射后，反向延长线与过点垂轴线相交于，是物点的虚像点，即是物之正立虚像。 选从点发出过圆柱面轴心之光线。该光线对界面来说是正入射（入射角为零），故无偏折地出射，反向延长线交过垂轴线于，从得： 放大率 此题为单球面折射成像问题，在中学物理课程中无现成公式可以代入求解，但直接根据折射定律，考虑近轴光线（在球面上入射角很小）近似，完全可以解出。故此题考查运用基本原理处理未学过的问题的能力，检查学习中的消化情况。 15．光导纤维是利用全反射传导光信号的装置，图示为一光导纤维，为其端面，纤维内芯材料的折射率，外层材料的折射率。在如图所示的情况下，试求入射角在什么范围内的光线都可在此纤维内传递。 【答案】 【详解】用表示光导纤维内芯和外层材料之间的临界角，则有 ， 要光线限在光导纤维内传播，则图7'-2中所示的角应满足 用表示光线由光导纤维的一端截面处射入时的折射角，由几何关系可知 根据折射定律有 已知，，由以上四式可解得 即 本题涉及的课内基础知识仅有光的折射定律和全反射临界角，属于基本题。通过本题可以扩展眼界，了解物理知识的实际应用。 16．有一水平放置的平行平面玻璃板H，厚，折射率。在其下表面下处有一小物S；在玻璃板上方有一薄凸透镜L，其焦距，透镜的主轴与玻璃板面垂直；S位于透镜的主轴上，如图所示。若透镜上方的观察者顺着主轴方向观察到S的像就在S处，问透镜与玻璃板上表面的距离为多少？ 【答案】1.0cm 【详解】物体S通过平行玻璃板及透镜成三次像才能被观察到。设透镜的主轴与玻璃板下表面和上表面的交点分别为A和B，S作为物，通过玻璃板H的下表面折射成像于点处，如图所示 根据折射定律，有 式中是空气的折射率，对傍轴光线，i、r很小时有 ， 则 式中为物距，为像距，有 （1） 将作为物，再通过玻璃板H的上表面折射成像于点处，这时物距为 同样根据折射定律可得像距 （2） 将作为物，通过透镜L成像，设透镜与H上表面的距离为x，则物距 根据题意知最后所成像的像距 代入透镜成像公式，有 （3） 由（1）、（2）、（3）式代入数据可求得                （4） 即L应置于距玻璃板H上表面处． 17．如图是基于全内反射原理制备的折射率阶跃型光纤及其耦合光路示意图.光纤内芯直径50μm，折射率n1=1.46；它的玻璃外包层的外径为125μm，折射率n2=1.45.氦氖激光器输出一圆柱形平行光束，为了将该激光束有效地耦合进入光纤传输，可以在光纤前端放置一微球透镜进行聚焦和耦合，微球透镜的直径D=3.00mm，折射率n=1.50.已知激光束中心轴通过微球透镜中心，且与光纤对称轴重合.空气折射率n0=1.00. (1)为了使光线能在光纤内长距离传输，在光纤端面处光线的最大入射角应为多大? (2)若光束在透镜聚焦过程中满足近轴条件，为了使平行激光束刚好聚焦于光纤端面(与光纤对称轴垂直)处，微球透镜后表面中心顶点O与光纤端面距离应为多大? (3)为了使进入光纤的全部光束能在光纤内长距离传输，平行入射激光束的直径最大不能超过多少? 【答案】（1）9.8° （2）0.75mm （3）0.76mm 【详解】(1)进入光纤芯的光束只有在光纤芯与包层界面满足全反射条件，才能使得光束在光纤中长距离传输.设光线最大入射角为θ，相应的折射角为α，如图所示.由折射定律和全反射条件有                      (1)                (2) 由(1)(2)式得        (3) 由(3)式得 θ=arcsin0.17=9.8°                (4) (2)平行激光束首先在微球透镜前表面一次成像，其成像位置(相对于微球透镜前表面顶点)可利用球面镜折射成像公式得到           (5) 式中，O1为物距，由于是平行光束O1=∞，是一次成像位置，n是微球透镜玻璃材料折射率n=1.50，r是微球前表面曲率半径，.由(5)式得          (6) 光束在微球透镜后表面第二次成像位置(相对于微球透镜后表面顶点O)可由球面镜折射成像公式得到               (7) 式中，为相对于微球透镜后表面顶点O的物距           (8) 由于此时是虚物，应取负值，即 而是微球后表面曲率半径 将以上数据代入(7)式可得二次成像位置为               (9) 即微球透镜后表面中心顶点O与光纤端面距离应为0.75mm. (3)微球透镜的等效主点与球心重合，而等效焦距为       (10) 为了使进入光纤的全部光束能在光纤内长距离传输，平行入射激光束的直径d最大时，光束在光纤端面上的入射角应满足最大入射角条件:        (11) 注意到 上式已略去项，将上式结果代入(11)式，结合(3)式和题给数据得                  (12) 平行入射激光束的直径最大不能超过0.76mm. 18．田野中有一条直路．一只山羊沿路奔跑的速度不超过v，沿田野奔跑的速度不超过u，且．求山羊在时间t内可能到达的区域． 【答案】 ,由4个直角三角形及两个扇形组成，其中，． 【详解】把山羊视作光粒子，直路相当于“光疏介质”，田野相当于“光密介质”．今设山羊从原点Ο出发；先沿直线（x轴正方向）以速率ν奔跑时间到达Α点，然后折入田野以速率u沿与x轴正方向夹角为（）方向奔跑时间，恰好到达最远点，则 如图所示，令B点坐标为（x，y）， 则， 即得： 而直线AB的斜率，由此可知上式表示的直线和AB垂直．现在过B点作ΑB的垂线与x、y轴分别交于点P、Q． 另一方面，山羊在田野中直接奔跑时，在时间t内能达到的最远距离为ut，即图中MN段为半径为ut的一个扇形区域，所以，山羊在t时间内可能到达的区域如图所示．由4个直角三角形及两个扇形组成，其中，． 【点睛】费马原理虽然是针对光的传播提出来的，但它适用于讨论所有速度与场地相关的问题，这一方法在运动学中应用得十分普遍，它能充分考查学生分析问题及运用数学知识解决综合问题的能力，作为竞赛学习者，掌握这类问题的分析方法是必需的． 19．考虑这样一种“光栅”，它们像寻常的衍射光栅一样有密集分布的条纹，用于遮挡光线。我们所使用的光的波长的尺度远小于条纹的细节，所以实际上无法观察到衍射现象。当一束均匀的平行光垂直射入光栅时，光栅背后的光屏上会展示出条纹。它们不是光的干涉或衍射条纹，暗纹的出现仅仅是因为本应到达该处的光被光栅上的条纹遮挡。当我们远远地观看光屏时，因为眼睛的辨别能力有限（即条纹间距远小于Rayleigh判据的要求），实际上观察到的是一片亮度随空间分布的光斑，越暗的地方条纹越密。我们定义观察到的光斑在处的亮度为，在处取的一块小面积（虽然很小，但其尺度远大于条纹的细节）上未被条纹遮挡的部分的面积占比。 （1）现在我们制作了两个相同的光栅，光栅上均匀分布着平直的条纹，条纹宽度都为d，条纹之间的间隙都为p。现在将两个光栅倾斜摆放，使得它们的条纹与x轴的夹角分别为θ和-θ。两个光栅关于y轴对称。将这两个倾斜摆放的光栅贴在一起后得到一个新的光栅。求均匀的平行光垂直通过这一光栅之后光屏上得到的亮度分布。量级。 （2）现在我们制作了两个相似的光栅，光栅上分布着同心圆形状的条纹。其中一个光栅的条纹的宽度和条纹之间的间隙都为，条纹的圆心在。另一个光栅的条纹的宽度和条纹之间的间隙都为，条纹的圆心在。将这两个光栅贴在一起后得到一个新的光栅。求均匀的平行光垂直通过这一光栅之后在光屏上得到的亮度分布。量级。 （3）接上一问，在极坐标下求暗纹中心的曲线方程；求暗纹的数量有限的条件；在暗纹的数量有限的条件下求暗纹的数量。 【答案】（1）；（2）；（3），暗纹的数量有限的条件见解析， 【详解】（1）首先应当注意到与两种情况能给出定性上不同的条纹，如图所示。可以看出，当时会产生的区域，而时则不会。 现在先研究的情形，其平面几何如图所示，阴影部分表示能遮挡光的部分。 显然，三角形ABC是以AC为底边的等腰三角形，其顶角，其腰上的高为d，经过一些初等的平面几何推导可知，其底边上的高 在三角形ADE中经过类似的推导可知 取四边平行于坐标轴的矩形作为，注意到矩形的高必然远大于，同时矩形的宽必然远小于，显然当时，亮度 而当时，亮度 当时，亮度随x线性变化，考虑到对称性，可以知道是只与x有关的以为周期的周期函数，可以作出在一个周期上的函数图像，如图所示： 观察图像可知，可以利用绝对值函数将在一个周期上的解析式写出，即当时 现在考虑的情形。它与的区别在于，在达到之前，会先达到从而使得。可以画出此时在一个周期上的函数图像，如图所示： 观察图像可知，可以利用绝对值函数将在一个周期上的解析式写出，即，当时 可以看出，光强其实是相同的，因此它们同时适用于和的情况。利用向下取整函数表达周期性。于是处的亮度最终可以写为 （2）若沿用上一问的做法，利用平面几何来进行分析的话，会过于困难。这一问中，由于条纹的间距和宽度相同，因此可以从相位的角度考虑。将与假想为两个光源，它们分别发出波长为和的光，当光相遇的时候，如果它们的相位差为的整数倍，则这里是亮纹中心（）；如果它们的相位差为的奇数倍，则这里是暗纹中心（）。这是因为，当相位差为的整数倍的时候，条纹刚好重合，从而未被遮挡的区域刚好占了剩下的一半面积，当相位差为的奇数倍的时候，条纹刚好交错，从而所有的区域都被遮挡。这在图中可以看出，于是，该问题被等效为一个波动光学问题。 又，注意到亮度应当随相位线性变化（除非跨越的整数倍），因此，亮度关于相位差的函数是一个三角波 而相位差可以表示为 将式[eq:相位差关于坐标]代入式[eq:亮度关于相位差]可得 （3）暗纹即 将式[eq:相位差关于坐标]代入式[eq:暗纹]即可获得直角坐标下的暗纹方程 从而可以获得极坐标下的方程 注意到式[eq:极坐标暗纹方程]左边最小只能取，因此有下界 大多数情况下式[eq:极坐标暗纹方程]左边是没有最大值的，从而可以取得任意大，但是在 时，式[eq:极坐标暗纹方程]左边有最大值，从而n有上界 于是只能有有限个，从而暗纹的数量有限，暗纹的数量 20．有一光光导纤维，光芯折射率n=1.500的透明度极好的介质，其截面半径为r ；光芯外面包层的折射率n =1.400。有一半导体激光器S，位于光纤轴线的延长上，发出半角宽为30°的光束。为便于使此光束全部进入光纤，在光纤端面处烧结了一个其材料与光芯相同的、半径为R的球冠 QAQ＇，端面附近的结构如图所示（包层未画出），S可看作点光源，光纤放在空气中，空气的折射率n0按1.000计算。 （1）若要半导体激光器发出的光能够全部射到球冠上，则光源S离A的距离x应满足什么条件？ （2）如果R=1.8r，光源S与A的距离为R，入射与轴的夹角用α表示，则α角分别为α1=30°、α2=25°和α3=20°的三根光线能否经过全反射在光纤中传播？ 【答案】（1）；（2）时，光线能经过全反射在光纤中传播；时，光线不能经过全反射在光纤中传播；时，光线能经过全反射在光纤中传播 【详解】当发射光束刚好都能射到球面上时，光束的边缘光线应与球面相切，如图1所示，T为切点，由几何关系可知 由此求得 若光源与A的距离大于R，则有部分光线不能到达球面.全部光束能射到球冠上的条件是光源与A点的距离                         （1） 2.x=R时与轴成角的入射光线的光路如图如图2所示，图中B点位于轴上，用虚线画出的与构成一个球面.和分别表示入射角和折射角.设折射线与球面交于点，用表示与轴之间的夹角，用表示折射线与轴之间的夹角. 对，由正弦定理可得                 （2） 由折射定律得                 （3） 由几何关系得                 （4）                 （5） 如果折射线的反向延长线与轴相交，光路图如图3缩回.若对的正负号作出如下的规定：折射线向靠近轴的方向偏折时，取正值；折射线的方向向远离轴的方向偏折时（即折射线）的反向延长线与轴的交点在A点的左侧），取负值，则（5）式仍成立. 此外，由几何关系可知，折射线能进入光纤的条件是                     （6） 可能为负值，这表示在轴线以下. 而 代入数据，可知折射线能进入光纤的充要条件是 下面分别讨论三条光线的情况。 （i）时 a.此入射光线的折射线能否进入光纤？ 由（2）式得，得 代入（3）式得 代入（4）式得         （7） 因为                    （8） 故此折射线能进入光纤. b.此折射线能否在光芯包层的界面上发生全反射？ 设光纤内光线射至光芯与包层界面时发生全反射的临界角为iC，则     （9） 因为，所以当满足下面条件时折射线即能被全反射：     （10） 现在，满足（10）式的要求.故该光线能经过全反射在光纤中传播. （ii）时 由（2）式得                  （11） 由（6）式可知，该折射线不能进入右面的光纤. （iii）时 由（2）式得                  （12） 由（6）式可知，此折射线能进入右面的光纤. 此时         （13） 负号表示折射线的延长线与轴相交于A点的左方，它射至光纤的上半部的界面下，如图4所示，，所以此光线可以经过全反射在光纤中传播. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $