第10章 空间直线与平面（五大考点+六大易错+易错训练）（知识清单）高二数学沪教版必修第三册

该高中数学“空间直线与平面”单元知识清单系统梳理了平面基本性质、空间线线/线面/面面位置关系及判定性质、异面直线距离等核心内容，搭建从基础公理到位置关系判定再到空间角与距离计算的递进式学习支架。 清单通过“知识点分层解析+易错点专项突破+对点训练题组”构建知识体系，如将“线面平行判定与性质定理”对比呈现，标注“两条相交直线”等关键条件，培养学生空间观念与推理能力。设计“易错点处理方法”专栏，如明确“三点共线不能确定平面”的误区，配套选择、证明题组，助力学生自主纠错，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第10章 空间直线与平面 知识点一、平面的基本性质 1.平面的画法与表示 画平面时通常用平行四边形代表，分为水平放置、竖直放置两种画法。平面有三种表示方式：一是用平行四边形四个顶点命名，如平面；二是用一组对角顶点命名，如平面；三是用希腊字母命名，如平面、平面。 2.点、直线、平面的基础位置关系与符号 （1）点与直线：点在直线上记作，点不在直线上记作； （2）点与平面：点在平面内记作，点不在平面内记作。 3.基础公理 公理1：若直线上两点都在平面内，那么整条直线都落在平面内，符号。作用：判断直线、点是否在平面内，也可利用直线检验平面。 公理2：不在同一条直线上的三点确定唯一平面，符号不共线存在唯一平面满足。作用：确定平面、证明两平面重合、证明多点多线共面。 知识点二、空间直线的位置关系 1.空间两条直线共分三类：平行直线、相交直线、异面直线。 2.异面直线所成角：在空间任取一点，作，与的夹角就是异面直线的夹角，角度范围。 3.线线垂直：若异面直线夹角为直角，则两直线垂直，记作。 知识点三、直线与平面的位置关系 1.三种位置关系 （1）直线在平面内：无数公共点，符号； （2）直线与平面相交：仅有1个公共点，符号； （3）直线与平面平行：无公共点，符号。 2.线面平行判定与性质 判定定理：平面外直线平行平面内直线，则，符号。 性质定理：若，过的平面与交于直线，则，符号。 3.线面垂直相关定理 定义：直线垂直平面内任意一条直线，则，叫平面垂线，交点为垂足。 判定定理：平面内两条相交直线交于，若，则，符号。 性质定理：垂直于同一平面的两条直线互相平行，符号。 4.直线与平面所成角 （1）相关概念：与平面相交但不垂直的直线叫斜线，交点为斜足；从斜线上一点向平面作垂线，垂足与斜足连线是斜线在平面内的射影。 （2）线面角定义：斜线和它平面内射影形成的角为线面角；特殊规定：直线垂直平面，夹角；直线平行/在平面内，夹角。 （3）取值范围：设线面角为，则。 知识点四、平面与平面的位置关系 1.两种位置关系 （1）两平面平行：无公共点，符号； （2）两平面相交：无数公共点且全部落在同一条交线上，符号。 2.面面平行判定与性质 判定定理：平面内两条相交直线交于，且，则，符号。 性质定理：，平面与两平面分别交于，则，符号。 3.面面垂直定义、判定与性质 定义：两平面相交，若形成的二面角为直二面角，则两平面垂直，记作。 判定定理：平面包含垂直于平面的直线，则，符号。 性质定理：，交线为，平面内直线，则，符号。 4.二面角 （1）定义：从一条直线（棱）出发的两个半平面组成的图形叫二面角，两个半平面是二面角的面；记作二面角、等。 平面角：在棱上任取一点，在两个面内分别作棱的垂线，为二面角的平面角；平面角是直角时为直二面角。 （3）角度范围：二面角平面角满足。 知识点五、异面直线的距离 1.定义：同时垂直且相交于两条异面直线的直线为公垂线，夹在两直线间的公垂线段长度，就是异面直线的距离。 2.核心特点：任意一组异面直线有且仅有一条公垂线，公垂线段长度是两条异面直线上任意两点距离的最小值。 3.两种计算方法 （1）定义法：直接在几何体中找到公垂线段，直接计算长度，适合正方体、长方体等简单图形。 （2）线面转化法：若异面直线平面，且，则直线到平面的距离等于的异面距离。 易错点1 确定平面相关条件遗漏 易错提醒 1.易错地方：①使用公理2时，忽略“三点不共线”，认为任意三点都能确定唯一平面；②使用推论“直线加一点定平面”时，忽略点必须在直线外，点在线上仍强行判定唯一平面。三点共线时能作出无数平面，不满足确定唯一平面的条件。 2.处理方法： 使用公理2：只有不共线三点，才有且仅有一个平面经过三点； 使用推论：必须满足“一条直线+直线外一点”，若点在直线上，不能用该推论证共面。 【对点训练】 1．给出下面四个命题，其中错误的命题个数是（    ） ①三个不同的点确定一个平面；       ②一条直线和一个点确定一个平面； ③两条相交直线确定一个平面；              ④两条平行直线确定一个平面. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】由三个不在同一直线上的不同的点确定一个平面，故①错误； 一条直线和直线外一个点确定一个平面，故②错误； 两条相交直线确定一个平面，故③正确； 两条平行直线确定一个平面，故④正确. 2．如图，，，，且，直线，过三点的平面记作，则与的交线必通过（　　） A．点 B．点 C．点但不过点 D．点和点 【答案】D 【详解】∵直线，且，所以，由，则； 又因为且. 所以. 所以与的交线必通过点和点. 3．“直线上有两点在平面内”是“这条直线在这个平面内”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【详解】由基本事实，直线上有两点在平面内，则这条直线在这个平面内，反之亦然. 所以“直线上有两点在平面内”是“这条直线在这个平面内”的充要条件. 故选：C 易错点2 异面直线判定与求角出错 易错提醒 1.易错地方：①仅凭图形直观判断，不依据定义区分异面、相交、平行直线；②平移求角后算出钝角，不清楚异面直线夹角范围，直接把钝角当作最终角度。 2.处理方法： 判定：严格按定义，不同在任何平面内的两条直线才是异面直线，不看图主观判断； 求角：作得到夹角，若算出钝角，取其补角作为异面直线夹角，牢记角度范围。 【对点训练】 4．如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF异面的是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图取正方体底边的中点，和正方体的顶点M，N，P，Q， 连接， 在正方体中有， 所以，所以点四点共面；同理可知点四点共面，点四点共面，点四点共面，所以六点共面, 所以直线与直线、直线与直线共面、直线与直线共面， 直线平面AFG， 直线平面，所以直线与直线是异面直线. 综上可知ABC错误D正确. 故选：D. 5．已知三条不同的直线和两个不同的平面满足：，则直线与直线异面的一个充分不必要条件为（   ） A．与不相交 B．且 C．且 D． 【答案】C 【详解】若，当与不相交，可得直线与直线异面或，充分性不成立，故A不符合； 若，当且时，可得直线与直线异面或与相交，充分性不成立，故B不符合； 若，当且，可得直线与直线异面，故充分性成立， 当直线与直线异面时，不一定能得到且，故必要性不成立， 故“且”是“直线与直线异面”的充分不必要条件，故C符合； 若，当时，可得直线与直线异面或与相交，故充分性不成立，故D不符合. 故选：C. 6．在正方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为______． 【答案】 【详解】如图，因为，所以点M在棱AB上，且， 由得，点N为棱BC的中点， 在棱CD上取一点P，使得，连接，PN， 则，所以（或其补角）即为异面直线与所成的角． 设正方体棱长为6，则，，所以， ，． 所以，异面直线与所成角的余弦值为．    7．在棱长为2的正方体中，为的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示， 在正方体中， 因为，所以直线与所成的夹角为直线与所成的夹角，即， 由为的中点，正方体的棱长为，所以 所以在直角中，， 所以. 8．已知是所在平面外的一点，分别是的中点，求证：直线与是异面直线； 【答案】证明见解析 【详解】证明：假设与不是异面直线，则与共面， 从而与共面，即与共面， 所以在同一平面内，这与是所平面外的一点相矛盾． 故直线与是异面直线． 易错点3 混淆线面平行判定定理与性质定理 易错提醒 1.易错地方：已知，直接推出直线平行平面内所有直线；分不清判定（由线线平行推线面平行）、性质（由线面平行推线线平行）逻辑。 处理方法 判定定理：（线线平行→线面平行）； 性质定理：（线面平行→线线平行）； 线面平行仅能推出直线与交线平行，平面内其余直线与已知直线异面。 【对点训练】 9．已知平面，直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，且，可得； 若，且，此时平面的位置关系有平行或相交，即不能推出， 综上所述：“”是“”的充分不必要条件. 10．如图，三棱柱中，分别是棱的中点，求证： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)因为，分别是，的中点， 所以， 又因为在三棱柱中，，所以. 所以B、C、G、H四点共面. 在三棱柱中，为的中点，是的中点， 所以，，即四边形为平行四边形. 所以. 又因为平面，平面， 所以平面. (2)因为，分别是，的中点，所以. 又因为平面，平面，所以平面， 由（1）得平面，,平面 所以平面平面. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 11．如图，在四棱锥中，和均为正三角形，，，，为上一点，设平面与平面的交线为．证明:面；    【答案】 ，平面， 平面，平面， 平面，面平面，， 平面，平面，平面. 【详解】略. 12．如图，正方体中，分别是的中点． (1)求证：四点共面； (2)设平面与平面交于直线，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）连接， 因为E，F分别是的中点， 所以， 因为，且， 所以四边形为平行四边形，故， 所以， 故四点共面； （2）因为平面平面， 平面平面，平面平面， 所以； 13．如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，为平面外一点，分别是的中点．记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明． 【答案】直线//平面，证明见解析 【详解】直线平面，证明如下： 分别是的中点，得， 又平面，且平面，则平面， 而平面，且平面平面，因此， 又平面，平面，所以平面. 易错点4 线面垂直判定遗漏“两条相交直线”条件 易错提醒 1.易错地方：仅证明直线垂直平面内两条平行直线，就判定，忽略相交要求。 2.处理方法：判定定理要求，两条直线必须有交点，平行直线无法证明线面垂直。 【对点训练】 14．如图，在直三棱柱中，，，是的中点，是的中点． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)求证：． 【答案】(1) (2)法1：因为，是的中点，所以， 因为直三棱柱，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，所以平面 因为平面，所以， 在四边形中，，，所以， 因为，所以，所以， 因为，所以，所以， 因为，所以平面 ， 因为平面，所以  ， 法2：取、的中点、，连接，，，， 是的中位线，故， 有，，且，于是，即且， 同理，因为，根据勾股定理逆定理，，于是； 法3：因为直三棱柱，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，， 所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形为正方形，所以， 又因为，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以. 【分析】 【详解】（1）取的中点，连接，则， 所以（或其补角）为异面直线与所成角. 设， 于是在中，，，. 所以 所以，所以异面直线与所成角的大小为 （2）略 15．如图，正三棱柱中，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)因为三棱柱为正三棱柱，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为为正三角形，点为的中点，所以， 又因为，平面，所以平面； (2)在棱上存在点，使得平面； (3) 【分析】 【详解】（1）略. （2）由（1）知平面，又平面， 所以平面平面， 在平面内过点作交于点， 又平面平面，所以平面， 于是点即为所要找的点，又，所以， 即有，于是，所以， 所以. （3）取的中点，连接，因为点为的中点， 则，， 于是为平行四边形，即，而平面， 平面，所以平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离, 又为的中点，则点到平面的距离等于点到平面的距离的一半， 而由（2）知，当时，平面，， 设，则， 所以点到平面的距离. 16．如图，正方体的棱长为2，E为棱BC的中点，F为棱的中点. (1)求异面直线与AC所成角的大小； (2)证明：平面 【答案】(1) (2) 连接，，取的中点G，连接，， 在正方体中，平面，， 又，，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以， 在正方形中，为的中点，G为的中点， 所以， 所以，， 因为，所以，所以， 又，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以平面． 【分析】 【详解】（1） （1）取AB中点P，连接，，， 因为E为BC的中点，所以PE为的中位线， 所以，， 所以为异面直线与所成角（或其补角）， 在中，，，所以， 在中，，，所以， 在中，，，所以， 在中，由余弦定理可得， 又，所以. 所以异面直线与所成角的大小为. （2）略 17．已知四棱锥的底面为矩形，平面，为的中点，平面平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)连接，设，连接， 因为是矩形，所以是的中点， 在中，为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面； (2)因为是矩形，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面平面， 所以， 因为平面，平面， 所以， 因为是矩形，所以， 因为且平面， 所以平面，故平面. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 18．在平行四边形中（图1），，为的中点，将等边沿折起，连接，且（图2）．求证：平面. 【答案】证明见解析 【详解】如图， 连接，因为，为的中点，是等边三角形， 则， 则在中，因为，， 所以由余弦定理得： . 在中，因为，而， 所以，则， 在中，因为，而， 所以，则， 又，平面，平面， 故平面． 易错点5 面面平行判定遗漏“两条相交直线”条件 易错提醒 1.易错地方：仅证明一个平面内两条平行直线都平行另一平面，就判定。 2.处理方法：面面平行判定：，两条直线必须相交，平行直线不足以证明面面平行。 【对点训练】 19．长方体中，，，E，F，M分别为棱，，的中点．    (1)证明：E，C，，F四点共面； (2)证明：平面平面． 【答案】(1) 连接. 长方体中，，， 所以四边形是平行四边形，所以. 又E，F分别为棱，的中点，所以， 所以，所以四点共面；    (2) 由（1）知，， 因为平面，平面， 所以平面. 又E，M分别为棱，的中点， 所以. 因为平面，平面， 所以平面. 因为平面， 所以平面平面．    【分析】 【详解】（1）略 （2）略 20．如图所示，平面内两正方形与，点M、N分别在对角线、上，且，沿折成直二面角． (1)证明：折叠后平面； (2)若，在线段上是否存在一点G，使平面平面?若存在试确定点G的位置． 【答案】(1)如图所示，设直线与交于点H，连结， ， ， ，即， ． 又平面，平面，平面． (2)存在，G在线上且 【详解】（1）略 （2）存在，过M作于点G， 则，平面，平面,平面， 又平面．且，平面, ∴平面平面． 即G在线上，且． 21．如图，在正方体中，E是的中点，点F在棱上， (1)证明：平面AEC； (2)试确定点F的位置，使得平面平面. 【答案】(1)证明：连接BD，交AC于点O，则O为BD中点， 又因为E是的中点，所以. 又因为平面AEC，平面AEC. 所以平面AEC. (2)F为中点 【分析】 【详解】（1）略 （2） 解法一：当F为中点时，有平面平面. 证明如下：因为E，F分别为，的中点， 则，且，故四边形为平行四边形，则， 因为平面AEC，平面AEC，所以平面AEC. 又因平面AEC，平面，，则平面平面. 解法二：假设平面平面，而平面平面， 平面平面，所以， 在正方体中，由，得，则四边形为平行四边形，故， 因为E是的中点，且，则F为的中点. 即当F为中点时，有平面平面. 22．如图，已知四棱锥，，，分别是棱，的中点，且，，，四点共面． (1)求证：； (2)是线段上的动点，线段上是否存在点，使平面？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)因为，分别是棱，的中点，所以在中，是中位线， 所以，因为平面，平面， 所以平面，因为平面经过直线，且与平面交于， 根据线面平行的性质定理可得：， 又因为，所以. (2)线段上存在点（即的中点），使得平面，证明如下： 由（1）知且， 取线段的中点，连接， 因为且， 所以四边形是平行四边形，从而， 因为平面，平面，所以平面， 又因为，分别是，的中点，所以且， 结合且，可得且， 所以四边形是平行四边形，从而， 因为平面，平面，所以平面， 因为，且平面，平面， 所以平面平面， 又因为平面， 所以平面. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 23．如图，该几何体是由半圆锥PO和三棱锥组合而成的，H为半圆弧AB的中点，A，B，C，H四点共面，是边长为10的正三角形，，，在半圆弧AB上取一点F，使得，连接PF，D，E分别为线段PA，PF的中点．证明：平面平面PBC． 【答案】因为D，E分别为线段PA，PF的中点，则， 又因为，则， 且平面PBC，平面PBC，可得平面PBC， 因为O，D分别为线段AB，PA的中点，则， 且平面PBC，平面PBC，可得平面PBC， 且OD，平面ODE，， 所以平面平面PBC 【详解】略 易错点6 面面垂直性质定理漏找交线直接使用 易错提醒 1.易错地方：已知，不找出交线，直接判定平面内任意直线垂直平面。 2.处理方法：面面垂直性质完整条件，必须先确定两平面交线，且直线垂直交线才可推线面垂直。 【对点训练】 24．如图，在四棱锥中，平面平面，平面，，．用几何法证明： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明：因为平面，而平面， 平面平面，所以． 因为平面，平面，所以平面． (2)证明：过点作于， 因为平面平面，且平面平面， 平面，所以平面． 因为平面，所以． 因为，而，即点与不重合，且． 又因，平面，所以平面． 因为平面，故平面平面． 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 25．如图，在四棱锥中，平面，底面为梯形，，平面平面，且，．    (1)若平面与平面相交于直线，求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：由，平面，平面，得平面， 又平面，且平面与平面相交于直线，所以． (2)证明：在平面内作于， 平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，则， 又平面，平面，则， 又且都在平面内，故平面， 又平面，则. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 26．如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，，，，分别为，的中点. 证明：平面. 【答案】证明见解析 【详解】因为四边形是菱形，，且，则可得. 在直四棱柱中，平面平面， 且平面平面，平面，故平面. 又因平面，所以. 因为四边形是矩形，，，，分别为，的中点， 所以，所以， 因为，所以，故，即， 因为，且平面，所以平面. 27．如图，在四棱锥中，底面，，平面平面.求证：； 【答案】证明见解析 【详解】设，连接，在平面内过点作，垂足为， 因为平面平面，平面平面，所以平面， 又平面，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以. 28．如图，已知是正方形，平面底面，，其中、分别是、的中点．    (1)求证：平面． (2)判断与平面的关系，并证明你的结论． (3)判断与是否垂直，并说明你的理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)平面，证明见解析； (3)与不垂直，理由见解析. 【分析】 【详解】（1）由是正方形，则，又平面底面， 平面底面，平面，则平面； （2）平面，证明如下： 由、分别是、的中点，则， 平面，平面，则平面； （3）与不垂直，理由如下： 若，而，且平面， 所以平面，平面，则， 而在中，显然有矛盾，故与不垂直. 1．下列关于空间中不重合的两条直线说法中错误的是（    ） A．这两条直线可能既共面，又共点 B．这两条直线可能既不共面，又不共点 C．这两条直线可能共面但不共点 D．这两条直线可能共点但不共面 【答案】D 【详解】设是空间中不重合的两条直线， 对于A，若直线相交于一点，则这两条直线可能既共面，又共点，故A说法正确； 对于B，若直线是异面直线，则这两条直线既不共面，又不共点，故B说法正确； 对于C，若直线是平行直线，这两条直线共面但不共点，故C说法正确； 对于D，若直线相交于一点，则直线一定共面，故D说法错误. 故选：D 2．如图为正六棱柱.其6个侧面的12条面对角线所在直线中，与直线异面的共有________条. 【答案】5 【详解】连接， 因为六边形为正六边形，所以， 故，所以四点共面，不是异面直线， 同理可得：与共面，不是异面直线， 而， 又与相交， 故条面对角线中，与不是异面直线的面对角线为， 其余面对角线均与异面，分别为，共5条. 故答案为：5 3．如图，在长方体中，，为中点，则直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示：    设，由，得. 在长方体中，由、，可得， 因此直线与所成的角为（或其补角）. 在中，，则， 因为为中点，故， 在中，则， 由，，可得， 所以为等边三角形，故，. 因此直线与所成角的余弦值为. 4．在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】延长到点，使，连接, 因为 且 ​，所以四边形是平行四边形，因此 ​ 所以，（或其补角）就是异面直线 与所成的角, 在中，，，所以是等边三角形，, 直三棱柱中，，则：​ , 在中， 由余弦定理： , 所以 ​ 在 中， 由余弦定理： 5．如图，四棱锥中，是平行四边形，是的中点． (1)若的中点为，求证：平面； (2)在上取一点，过和作平面交平面于，在上，证明：． 【答案】(1)证明如下： 如图所示，取的中点，连接， 因为为的中点，可得且， 又因为为平行四边形，可得且， 所以且， 又因为为的中点，可得且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，且平面，所以平面. (2)证明如下： 连接与交于点，且为的中点， 由点为的中点，所以， 因为平面，且平面，所以平面， 又因为平面，且平面平面，所以. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 6．如图，在四棱锥中，，，，为上一点，且. (1)求证：平面； (2)若平面平面，证明：. 【答案】(1)在上取一点，使得, 由于，因此,且， 由于，，，故, 因此且，故四边形为平行四边形， 故, 平面,平面, 故平面 (2)由于，平面, 平面, 故平面, 又平面，平面平面， 所以 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 7．如图所示，四边形是平行四边形，点是平面外一点，是的中点，在线段上取一点（不取端点），过和作平面交平面于．求证：平面． 【答案】证明见解析 【详解】如图所示，连接交于点，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴是的中点． 又是的中点，∴． 而平面，平面， ∴平面． 又平面，平面平面， ∴． 又平面，平面， ∴平面． 8．如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，平面，是的中点，是的中点.求证：平面. 【答案】证明见解析 【详解】取的中点，连接， 在中，且，因为，且， 所以，，所以四边形是平行四边形， 所以. 又因为平面，平面， 所以平面. 9．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，为的中点． (1)求证：； (2)若为边的中点，能否在棱上找到一点，使？请证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)当为中点时，；证明见解析 【分析】 【详解】（1）连接， 四边形为菱形，，又，为等边三角形， 为中点，； ，为中点，， 又，平面，平面， 平面，. （2）当为中点时，，证明如下： 分别为中点，，又平面，平面， 平面； 分别为中点，，， 四边形为平行四边形，，又平面，平面， 平面，又，平面， 平面平面， 由（1）知：平面，平面， 平面，. 10．如图，一个圆锥的顶点是P，O是底面的圆心，是底面的一条直径，．    (1)若，求该圆锥的体积； (2)若Q是中点，C、D是底面圆上两点，，，求证：平面平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）连接，由题可得， 又，所以是等边三角形，因为，所以， 在中，， 所以圆锥的体积为    （2）因为Q，O分别为，的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为， 所以由得：， 又，所以为等边三角形， 又所以， 所以,，所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为，，平面， 所以平面平面,即平面平面. 11．如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，，点E在棱PA上，且．证明：平面平面DBE．    【答案】证明见解析 【详解】证明：因为，， 所以，所以，即． 因为，，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又，AD，平面，所以平面． 如图，连接，交于，连接， 因为，所以， 所以，所以，得， 因为，所以，      所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． 12．如图所示，已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝2. (1)求PC与平面PBD所成的角； (2)在线段PB上是否存在一点E，使PC⊥平面ADE？若存在，确定E点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)30° (2)存在，E为PB的中点 【分析】 【详解】（1）解：设AC交BD于O， ∵PD⊥平面ABCD，平面ABCD，∴PD⊥AC， 又BD⊥AC，且，∴OC⊥平面PBD， 又平面PBD，∴OC⊥OP， ∴∠CPO为PC与平面PBD所成的角， ∵PD=AD=2，∴AC=，∴OC= ，PO= ， ∴tan∠CPO= = ，∴∠CPO=30° ， 即PC与平面PBD所成的角为30°； （2）解：在线段PB上存在一点E，E 为PB的中点，使得PC⊥平面ADE ， 因为PD⊥平面ABCD，平面ABCD， 所以， 又因， 所以BC⊥平面PDC，因为平面PDC，所以DF⊥BC， 又取PC的中点F，取PB的中点E，连结EF，则， 所以PC⊥EF， 因为PD=DC，所以DF⊥PC， 又因为，所以PC⊥平面DEF， 因为，所以， 则平面即为平面， 所以PC⊥平面ADE. 所以在线段PB上存在一点E，E 为PB的中点时，PC⊥平面ADE. 13．如图 1，在平行四边形中，，，. 现将沿着翻折至， 使得点 到达点 的位置且平面平面 （如图 2），点是线段的中点，点在线段上.求证: 平面平面. 【答案】证明见解析. 【详解】由题可知，和都是等腰直角三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面，又平面， 所以， 在中，为中点，，所以， 又，平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面. 14．如图，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，是侧棱上一点，且．    (1)试确定侧棱上一点的位置，使平面． (2)在侧棱上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点在侧棱上满足． (2)存在，． 【分析】 【详解】（1）如图，连结，交于点，连结．显然为的中点．    若平面， 因为平面，平面平面， 所以，所以为的中点． 因为，所以． 又当时，有，从而平面． 所以点在侧棱上满足． （2）如图，取的中点，连结．    由（1）知为的中点， 所以，而平面，平面，所以平面． 又因为平面，平面，平面，且， 所以平面平面， 又平面，所以平面． 所以侧棱的中点符合题意，此时． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第10章空间直线与平面 知识脉络 平面画法与表示：平行四边形：顶点/对角顶点/希腊字母α、B、Y命名 点、线、面符号 点在线：A∈l:点不在线：B是1 点在面：A∈a:点不在面：B生a 平面基本性质 公理1：A∈l,B∈l,A∈a,B∈a→lCa,判断线面归属 公理2：三点不共线→唯一平面，用于确定平面、证共面 三类：平行、相交、异面 异面直线夹角：空间作a'川a,b川b,范围0°≤0≤90° 空间直线位置关系 线线垂直：异面夹角为直角，记aLb 三种位置 线在面内：aCa,无数公共点 线面相交：a∩a=A,1个公共点 线面平行：a‖a,无公共点 线面平行 判定定理：a4a,bCa,a‖b→a‖a 性质定理：a‖a,aC月，anB=b→a‖b 直线与平面位置 线面垂直 空间直线与平面 判定定理：mnn=P,m,nCa,l上m,l⊥n→l⊥a 性质定理：a⊥a,b⊥a→a‖b 线面角：斜线+射影形成角，范围0°≤日≤90 两种位置 面面平行：a‖B,无公共点 面面相交：α∩B=1,公共点共线 面面平行 判定定理：anb=P,a,bCB,a‖a,ba→8‖a 性质定理：a‖3any=a,Bny=b→a川b 平面与平面位置 面面垂直 判定定理：aCa,a⊥B→a⊥3 性质定理：a⊥B,anB=,aCa,a⊥l→a⊥B 二面角：记法a-1-B:平面角范国0°≤日≤180 定义：异面直线公垂线段长度 特点：公垂线唯一，为公、异点最短距离 异面直线的距离 1定义法：直接找出公垂线段计算 2.线面转化法：a‖a,bCa,线面距离=异面距离 1/26 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2/26 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识盘点 知识点一、平面的基本性质 1.平面的画法与表示 画平面时通常用平行四边形代表，分为水平放置、竖直放置两种画法。平面有三种表示方式：一 是用平行四边形四个顶点命名，如平面ABCD;二是用一组对角顶点命名，如平面AC;三是用希腊 字母c、阝、Y命名，如平面a、平面阝。 2.点、直线、平面的基础位置关系与符号 (1)点与直线：点A在直线上记作A∈L,点B不在直线l上记作B庄1： (2)点与平面：点A在平面a内记作A∈a,点B不在平面Q内记作B庄a。 3.基础公理 公理1：若直线上两点A、B都在平面C内，那么整条直线都落在平面内，符号 A∈1，B∈l,A∈a,B∈&→1ca作用：判断直线、点是否在平面内，也可利用直线检验平面。 B 公理2：不在同一条直线上的三点确定唯一平面，符号A、B、C不共线→存在唯一平面满足 A∈&，B∈&，C∈a作用：确定平面、证明两平面重合、证明多点多线共面。 B 知识点二、空间直线的位置关系 3/26 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.空间两条直线共分三类：平行直线、相交直线、异面直线。 2.异面直线所成角：在空间任取一点O,作a‖a,b‖b,a与b的夹角就是异面直线Q、b的夹 角，角度范围0°≤日≤90°。 3.线线垂直：若异面直线夹角为直角，则两直线垂直，记作a⊥b。 知识点三、直线与平面的位置关系 1.三种位置关系 (1)直线在平面内：无数公共点，符号aC; (2)直线与平面相交：仅有1个公共点，符号ana=A; (3)直线与平面平行：无公共点，符号a‖a。 2.线面平行判定与性质 判定定理：平面外直线l平行平面内直线m,则la,符号laa,mca,l‖m→l‖a。 m 性质定理：若l‖&，过l的平面B与a交于直线r,则l‖r,符号l‖a,lcB,anB=r→l‖r。 3.线面垂直相关定理 定义：直线l垂直平面Q内任意一条直线，则l⊥a,1叫平面垂线，交点为垂足。 判定定理：平面内两条相交直线a、b交于P,若l1a、11b,则l1a,符号 aCa,bCa,anb=P,l⊥a,l⊥b→l⊥a° 4/26 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 性质定理：垂直于同一平面的两条直线互相平行，符号a⊥Q,b⊥a→ab。 4.直线与平面所成角 (1)相关概念：与平面相交但不垂直的直线叫斜线，交点为斜足；从斜线上一点向平面作垂 线，垂足与斜足连线是斜线在平面内的射影。 (2)线面角定义：斜线和它平面内射影形成的角为线面角；特殊规定：直线垂直平面，夹角90 ;直线平行/在平面内，夹角0°。 (3)取值范围：设线面角为，则0°≤0≤90°。 知识点四、平面与平面的位置关系 1.两种位置关系 (1)两平面平行：无公共点，符号α‖B: (2)两平面相交：无数公共点且全部落在同一条交线上，符号anB=l。 a 2.面面平行判定与性质 判定定理：平面c内两条相交直线a、b交于P,且aB、bB,则aB,符号 acB,bcB,anb=P,aIB,b‖B→a‖B° 性质定理：a‖B,平面y与两平面分别交于a、b,则a‖b,符号 5/26 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 aB,any=a,Bny=b→a‖b9 3.面面垂直定义、判定与性质 定义：两平面相交，若形成的二面角为直二面角，则两平面垂直，记作Q上B。 判定定理：平面B包含垂直于平面a的直线l,则aL阝，符号lCB,l⊥a→a⊥B。 性质定理：a⊥B,交线为l,平面a内直线a⊥L,则a⊥β，符号 a⊥B,anβ=l,aca,a⊥1→a⊥β° B 4.二面角 (1)定义：从一条直线（棱）出发的两个半平面组成的图形叫二面角，两个半平面是二面角的 面；记作二面角a-1-B、c-AB-B等。 、a。P 平卧式 直立式 平面角：在棱1上任取一点O,在两个面内分别作棱的垂线OA、OB,∠AOB为二面角的平面 角；平面角是直角时为直二面角。 6/26 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Q (3)角度范围：二面角平面角6满足0°≤0≤180°。 知识点五、异面直线的距离 1.定义：同时垂直且相交于两条异面直线的直线为公垂线，夹在两直线间的公垂线段长度，就是 异面直线的距离。 2.核心特点：任意一组异面直线有且仅有一条公垂线，公垂线段长度是两条异面直线上任意两点 距离的最小值。 3.两种计算方法 (1)定义法：直接在几何体中找到公垂线段，直接计算长度，适合正方体、长方体等简单图 形。 (2)线面转化法：若异面直线a平面a,且bCa,则直线a到平面c的距离等于a、b的异面距 离。 7/26 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 易错汇总 易错点1确定平面相关条件遗漏 1易错地方：①使用公理2时，忽略“三点不共线”，认为任意三点都能确定唯一平面；②使用推论“直 线加一点定平面”时，忽略点必须在直线外，点在线上仍强行判定唯一平面。三点共线时能作出无数平面 不满足确定唯一平面的条件。 2.处理方法： 使用公理2：只有不共线三点A、B、C,才有且仅有一个平面经过三点； 使用推论：必须满足“一条直线十直线外一点”，若点在直线上，不能用该推论证共面。 【对点训练】 1.给出下面四个命题，其中错误的命题个数是() ①三个不同的点确定一个平面： ②一条直线和一个点确定一个平面： ③两条相交直线确定一个平面： ④两条平行直线确定一个平面。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图，a∩B=I,A,B∈a,C∈B,且CEL,直线ABnl=M,过A,B,C三点的平面记作Y,则Y与 B 的交线必通过() B a/ A M C· A.点A B.点B C.点C但不过点M D.点C和点M 3.“直线上有两点在平面内”是“这条直线在这个平面内”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.,既不充分又不必要 条件 8/26 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 易错点2异面直线判定与求角出错 1.易错地方：①仅凭图形直观判断，不依据定义区分异面、相交、平行直线：②平移求角后算出钝角，不 清楚异面直线夹角范围0°<日≤90°，直接把钝角当作最终角度。 2.处理方法： 判定：严格按定义，不同在任何平面内的两条直线才是异面直线，不看图主观判断： 求角：作aa,bb得到夹角，若算出钝角，取其补角作为异面直线夹角，牢记角度范围0°<0≤90°。 【对点训练】 4.如图，已知AB、C、D、E、F、G分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF异面的是( G A AB B.AC C.AD D.AG 5.己知三条不同的直线a,b,l和两个不同的平面a,P满足：aca,bcB,anB=l,则直线a与直线b异面 的一个充分不必要条件为() A.a与b不相交B.a⊥I且b⊥1 C.a/l且b⊥1D.a⊥b 6.在正方体ABCD-4BCD中，M=} 3 3，BN=NC,则异面直线B,M与CN所成角的余弦值为 BB 7.在棱长为2的正方体 BCD-ABCD中，P为DD的中点，则异面直线4P与88夹角的余弦值为 () 9/26 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 v10 5 25 6 A.5 B.5 C.5 D.3 &.已知A是△BCD所在平面外的一点，E,F分别是BC,AD的中点，求证：直线EF与BD是异面直线： 易错点3混淆线面平行判定定理与性质定理 1.易错地方：已知a‖Q,直接推出直线a平行平面Q内所有直线：分不清判定（由线线平行推线面平行)、 性质（由线面平行推线线平行)逻辑。 处理方法 判定定理：a￠a,bCa,ab→aa(线线平行→线面平行)； 性质定理：a‖a,aCB,anB=b→a‖b(线面平行→线线平行)： 线面平行仅能推出直线与交线平行，平面内其余直线与已知直线异面。 【对点训练】 9.己知平面a,B,直线Ica,则“/B”是“l∥B”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条 D.既不充分也不必要条件 ABC-AB,C中， E,F,G,H AB,AC,AB,AC 10.如图，三棱 分别是棱 的中点，求证： H 10/26 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4E 平面BCHG EFA/I (2)平面 平面BCHG IL.如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD和△BAD均为正三角形，AD⊥DC,ADIIBC,AB=2,M为 PC上一点，设平面PAD与平面PBC的交线为I.证明：III面ABCD: D B AD,BC,CD 12.如图，正方体 BCD-ABCD中，NE,F 分别是 的中点 D N E A B D)------ B (I)求证：E,F,B,D四点共面； 11/26 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)设平面BNF与平面ABCD交于直线I,求证：NF/II. 13.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A,B的点，P为平面ABC外一点，E,F分别是PA,PC的 中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l,试判断直线I与平面PAC的位置关系，并加以证明. D O 易错点4线面垂直判定遗漏“两条相交直线”条件 1.易错地方：仅证明直线垂直平面内两条平行直线，就判定1⊥Q,忽略相交要求。 2.处理方法：判定定理要求mc,nCc,mnn=P,1⊥m,1⊥n→l⊥a,两条直线必须有交点， 平行直线无法证明线面垂直。 【对点训练】 14.如图，在直三棱柱ABC-4BC中，∠BAC= 2,AC=AB=AAE是BC的中点，F是CC的中点. 12/26 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E B ①)求异面直线4E与4C所成的角的大小， EF⊥AC (2)求证： 15,如图，正三棱柱ABC-48C中，AB44=2,点M为48的中点： C A M SB CM⊥ AABB (1)求证： 平面 BO (2)在棱BB上是否存在点Q,使得AQ⊥平面BCM?若存在，求出QB的值；若不存在，请说明理由： BCM 3)求点C到平面 的距离。 13/26 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ABCD-ABCD 的棱长为2，E为棱BC的中点，F为棱 D 16.如图，正方体 的中点 D c A B D AE (1)求异面直线 与AC所成角的大小： AE⊥ABF (2)证明： 平面 17.己知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA⊥平面ABCD,M为PC的中点，平面PAD∩平面PBC=I M B (I)求证：PAII平面MBD: (2)求证：1⊥平面PAB. 14/26 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 18.在平行四边形ABCD中（图1），AB=2BC=2,M为AB的中点，将等边△ADM沿DM折起，连 接AB,AC,且AC=2(图2).求证：CML平面ADM. M 图1 图2 易错点5面面平行判定遗漏“两条相交直线”条件 1.易错地方：仅证明一个平面内两条平行直线都平行另一平面，就判定Q阝。 2.处理方法：面面平行判定：aCB,bCB,anb=P,aa,ba→βa,两条直线必须相交， 平行直线不足以证明面面平行。 【对点训练】 19.长方体 BCD-48CD中，D=M-1,4B=2,B,RM分别为棱4B,M,BC的中点 中， D B M B D 1)证明：区，C, ,F四点共面： 15/26 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2②)证明：平面EFM ACD 平面 20.如图所示，平面内两正方形ABCD与ABEF,点M、N分别在对角线AC、FB上，且 AM:MC=FN:NB,沿AB折成直二面角. B (I)证明：折叠后MNII平面CBE; (2)若AM:MC=2:3,在线段AB上是否存在一点G,使平面MGNI1平面CBE?若存在试确定点G的位置. DD 21.如图，在正方体 BCD-ABCD中，E是DD的中点，点F在 CC D C B D: C B BD// (1)证明： 平面AEC; ②)试确定点P的位置，使得平面1C1 BD F 平面 16/26 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22.如图，己知四棱锥P-ABCD,AD=2BC,E,F分别是棱PD,PA的中点，且B,C,E,F四 点共面 (①)求证：BC11AD: (2)M是线段CE上的动点，线段AD上是否存在点N,使MN∥平面PAB?若存在，请给出证明；若不存 在，请说明理由. 23.如图，该几何体是由半圆锥PO和三棱锥P-ABC组合而成的，H为半圆弧AB的中点，A,B,C,H 四点共面，△PAB是边长为10的正三角形，BC=8,AC=6,在半圆弧AB上取一点F,使得AF/BC, 连接PF,D,E分别为线段PA,PF的中点.证明：平面ODE 1平面PBC E 17/26 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 易错点6面面垂直性质定理漏找交线直接使用 1.易错地方：已知Q⊥阝，不找出交线l,直接判定平面Q内任意直线垂直平面β。 2.处理方法：面面垂直性质完整条件⊥B,c∩β=l,aCQ,a⊥1→Q⊥阝，必须先确定两平面交线 且直线垂直交线才可推线面垂直。 【对点训练】 24.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD,BCII平面PAD,PB⊥BC,∠PBA≠90°. 用几何法证明： P A ----------->D (1)AD/I平面PBC: (2)平面PBC⊥平面PAB. 25.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD为梯形，BC1/AD,平面PAB⊥平面 PBC,AB=BC=1,PA=AD=2. 18/26 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 P A太 B C (I)若平面PBC与平面PAD相交于直线I,求证：BCM: (2)求证：AB⊥BC, 26、如图，在直四棱柱ABCD-48CD中，底面ABCD是边长为25的菱形，A4=2,∠BAD=于 3’E, 分别为B,A4 F 的中点.证明： 平面DEF BE C ! B D E B 27.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,平面PAC⊥平面PBD求证：BD⊥PC: 19/26 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 28.如图，已知ABED是正方形，平面ABED⊥底面ABC,CB=CA,其中G、H分别是DC、BD的中 点 E D H G (I)求证：EB⊥平面ABC (2)判断GH与平面ABC的关系，并证明你的结论. (3)判断AB与EC是否垂直，并说明你的理由. 20/26 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 易错训练 1.下列关于空间中不重合的两条直线说法中错误的是() A.这两条直线可能既共面，又共点 B.这两条直线可能既不共面，又不共点 C.这两条直线可能共面但不共点 D.这两条直线可能共点但不共面 2.如图为正六棱柱4 BCDEF-ABCDEF其6个侧面的12条面对角线所在直线中，与直线4B异面的 共有」 条 B D E D 三.图，在长方作ABCD-ABCn中，D=4-40,M为CD中点，则直我BC与DM所说角的 余弦值为() D B 、M 1 5 √5 A.2 B.2 C.2 D.2 4.在直三棱柱BC-ABC中. AB=AC=2,AA =3,/BAC=60 ,则异面直线48与4C所成角的余 弦值为() A.5 21/26 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 c.5 n.9 5.如图，四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，M是PC的中点. M G D N (I)若AB的中点为N,求证：MNII平面APD; (2)在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH,H在BD上，证明：APIIGH. 6.如图，在四棱锥P-ABCD中，ABI‖CD,AB=2,CD=3,M为PC上一点，且PM=2MC M D B (1)求证：BMII平面PAD; (2)若平面PDC∩平面PAB=1,证明：I‖AB. 22/26 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 7.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在线段DM上 取一点G(不取端点)，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：GHII平面PAD. M G D A 8.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥平面ABCD,M是AD的中点， N是PC的中点求证：MN∥平面PAB D A N M B 9.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PA=PD,G为AD的中点. 23/26 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B (I)求证：AD⊥PB: (2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F,使DF⊥AD?请证明你的结论. 10.如图，一个圆锥的顶点是P,O是底面的圆心，AB是底面的一条直径，AB=2. B D 若Q是PA中点，C、D是底面圆上两点，∠A0C= 3,CD‖AB,求证：平面QCO1/平面PBD I1.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD,AD⊥AB,AB∥CD,AB=1,CD=2, 24/26 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 PD=PC=5,点B在技A上，且PE=2E1.证明：平面PMDL平面DBE, B 12.如图所示，已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD,PD=AD=2 B (I)求PC与平面PBD所成的角： (②)在线段PB上是否存在一点E,使PC⊥平面ADE?若存在，确定E点的位置；若不存在，说明理由 1B.如图1，在平行四边形48CD中，B=,D=5,∠HDB=45,现将1D沿者D翻折至 △PBD,使得点A到达点P的位置且平面PBD⊥平面BDC(如图2)，点N是线段BC的中点，点 M在线段PC上.求证：平面PBC⊥平面DMN. 25/26 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M N D 图1 图2 14.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，E是侧棱PC上一点，且PE=2EC. B (1)试确定侧棱PC上一点Q的位置，使AQ/1平面BDE. PR (②)在侧棱PB上是否存在一点R,使AR1/平面BDE？若存在，求出RB的值；若不存在，请说明理由. 26/26