第10章 空间直线与平面 知识归纳与题型突破（九类题型清单）-2024-2025学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020必修第三册）

第十章 空间直线与平面 知识归纳与题型突破（九类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、四个基本事实及三个推论 1．平面 基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面． 基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行． 2．“三个”推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 二、直线与直线的位置关系 位置关系 相交（共面） 平行（共面） 异面 图形 符号 a∥b 公共点个数 1 0 0 特征 两条相交直线确定一个平面 两条平行直线确定一个平面 两条异面直线不同在如何一个平面内 等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 三、直线与平面的位置关系 位置关系 包含（面内线） 相交（面外线） 平行（面外线） 图形 符号 ∥ 公共点个数 无数个 1 0 四、平面与平面的位置关系 位置关系 平行 相交（但不垂直） 垂直 图形 符号 ∥ ， 公共点个数 0 无数个公共点且都在唯一的一条直线上 无数个公共点且都在唯一的一条直线上 五、直线与平面平行 1.直线与平面平行的定义：直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行. 2.判定定理与性质定理 直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 (简记为“线线平行⇒线面平行”) ⇒a∥α 性质 定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ⇒l∥b 六、平面与平面平行 1.平面与平面平行的定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面. 2.判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β 性质 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 α∥β，a⊂α⇒a∥β 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 七、三种平行关系的转化 温馨提示： Ⅰ．判断或证明线面平行的常用方法 （1）利用线面平行的定义(无公共点). （2）利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)→线线垂直 ①空间直线平行关系的传递性法； ②三角形中位线法； ③平行四边形法； ④线段成比例法． ⑤线面平行的性质定理 （3） 利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β). （4）线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行). Ⅱ．证明面面平行的常用方法 1.面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)； 2.面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 3.利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题常用)； 4.如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题常用)； 5.利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化进行证明． 八、直线与平面垂直 1.直线和平面垂直的定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直. 2.判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 九、平面与平面垂直 1.平面与平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 2.判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 十、三种垂直关系的转化 温馨提示： 证明线面垂直常用的方法 1.判定定理：线面垂直→线线垂直 2.垂直于平面的传递性 3.面面垂直的性质. 4.线面垂直的定义 十一、直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°. (2)范围：. 十二、二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角； (2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角． (3)二面角的范围：[0，π]． 十三、 立体几何中三种角的对比；距离问题 Ⅰ、三种角对比 角的类型 范围 解题步骤 异面直线 所成角 0°～90° 1找：利用平移法找出异面直线所成角； ⑴ 固定一条直线，平移另一条直线， ⑵ 将两条直线都平移至一特殊位置。 2证：证明所作出的角就是异面直线所成角或其补角，常需证明线线平行； 3计算：通过解三角形，算出异面直线角的角度。 直线与平面 所成角 0°～90° 1找：作出斜线与其在平面内射影的夹角，一般用三垂线定理； 2证：证明所作出的角就是直线与平面所成角或其补角，常证明线面垂直； 3计算：通过解三角形，求出线面角的角度。 二面角的 平面角 0～π 1作：根据二面角平面角的定义，作出这个平面角； 2证：证明所作的角就是二面角的平面角，常用三垂线法和垂面法； 3计算：通过解三角形，求出二面角平面角的角度。 Ⅱ、空间中的距离 1.点到平面的距离 (1)过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条 (2)定义：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离 2.异面直线间的距离 与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面线的公垂线在这两条异面直线间的线段长度叫做两条异面直线间的距离，任意两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段. 3.直线与平面、平面与平面之间的距离 (1)一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，做这条直线到这个平面的距离. (2)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离， 03 题型归纳 题型一　平面的基本性质 例题 1．（23-24高二上·上海·期末）若，且， （填一符号） 巩固训练 2．（22-23高一下·上海嘉定·期末）用集合符号表述语句“平面经过直线”： . 3．（23-24高二上·上海浦东新·期中）命题“空间中任意不同的三点确定一个平面”是 命题.（填“真”或“假”） 4．（23-24高二上·上海浦东新·期中）若空间中两条直线、确定一个平面，则、的位置关系为 . 5．（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）已知，，，，则点P与直线l的位置关系用相应的符号表示为 . 6．（21-22高二上·上海·期中）两个平面可以将空间分成 个部分． 题型二　直线与直线的位置关系 例题 7．（2023高二上·上海·专题练习）若是异面直线，直线，则c与b的位置关系是 . 巩固训练 8．（23-24高二上·上海崇明·期中）如图，将一张纸对折多次，所得折痕为，则与的位置关系为 ． 9．（23-24高二上·上海嘉定·阶段练习）下列命题中正确的命题为 .①若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于，则三点共线；②若三条直线a、b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点，则这四条直线共面；③若直线a、b异面，b、c异面，则a、c异面；④两两相交的三条直线确定一个平面. 10．（23-24高二上·上海·期中）如图，正六棱柱的底面和顶面均为正六边形，侧棱均垂直于底面和顶面.其6个侧面12条面对角线所在的直线中，与直线异面的共有 条.    题型三　异面直线所成角 例题 11．（23-24高二上·上海浦东新·期末）在正方体中，E为AB的中点，则异面直线与所成角为 ． 巩固训练 12．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，在正三棱柱中，，分别是和的中点，则直线与所成的角 . 13．（23-24高二上·上海普陀·期中）若异面直线所成的角为为空间一定点，则过点且与所成的角都是的直线有且仅有 条. 14．（22-23高二上·上海虹口·阶段练习）如图是正方体的平面展开图，在原来的正方体中 （1）与平行； （2）与是异面直线； （3）与垂直； （4）与成． 其中正确的序号是 ． 题型四　线面、面面的位置关系 例题 15．（22-23高一下·全国·课后作业）已知直线，和平面，且，，则与的位置关系是 ． 巩固训练 16．（23-24高二上·上海普陀·期中）已知正方形在平面的同一侧，若A、B、C三点到平面的距离分别为1、2、3，则直线与平面的位置关系为 .（填“平行”或“相交”） 17．（2024高二·上海·专题练习）设是不同的直线，是不同的平面，则以下四个命题中错误的有 . ①若则； ②若，则； ③若则； ④若则. 18．（23-24高二上·上海·期中）已知是空间的两条不同直线，是两个不同的平面，下列四个命题中真命题的编号是 . ①．，则    ②．，则 ③．，则    ④．，则 19．（24-25高二·上海·假期作业）已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是 . ①若，，则    ②若，，则 ③若，，则    ④若，，，则 20．（22-23高三·全国·课后作业）如图，已知矩形ABCD所在的平面，则下列说法中正确的是 ．（写出所有满足要求的说法序号） ①平面PAD⊥平面PAB；        ②平面PAD⊥平面PCD； ③平面PBC⊥平面PAB；        ④平面PBC⊥平面PCD． 21．（20-21高一下·全国·课后作业）如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①平面AEND；②平面ABFE；③平面平面AFN；④平面平面以上四个命题中，正确命题的序号是 . 题型五　线面、二面角 例题 22．（21-22高二·全国·课后作业）线段AB的长等于它在平面内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面所成的角为 . 巩固训练 23．（2023高二上·全国·专题练习）直线与平面所成角为， 则直线与平面内的任意一条直线所成角的取值范围是 . 24．（23-24高二上·上海·阶段练习）如图的四面体中，所有棱长均相等，每个面都是全等的正三角形，分别是棱的中点，则直线与平面所成角的大小为 .（用反三角表示）    25．（2024·内蒙古锡林郭勒盟·模拟预测）在四面体中，平面平面，是直角三角形，，则二面角的正切值为 ． 26．（23-24高三上·上海普陀·阶段练习）已知平面与所成的二面角为为外一定点，过点的一条直线与､所成的角都是，则这样的直线有且仅有 条. 27．（2023高三·全国·专题练习）如图，ABCD是矩形，AB=8，BC=4，AC与BD相交于O点，P是平面ABCD外一点，PO⊥面ABCD，PO=4，M是PC的中点，则二面角M-BD-C的正切值为 ． 题型六　空间中的距离问题 例题 28．（23-24高二上·上海·期末）如图所示，正四面体的棱长为1，则点到平面的距离为 . 巩固训练 29．（23-24高一下·上海松江·期末）已知二面角的大小为60°，点P，Q分别在，上且，若点到的距离为，点到的距离为，则两点之间的距离为 . 30．（23-24高二上·上海黄浦·期末）如图，平面的一条斜线l与交于点O，是l在上的投影，是上过点O的另一条直线，若l上一点A到平面的距离为1，l与所成的角的大小为45°，l与所成的角的大小为60°，则点A到直线的距离为 ． 31．（21-22高二上·上海徐汇·阶段练习）如图，在直角中，，，，现将其放置在平面的上面，其中点A、B在平面的同一侧，点平面，BC与平面所成的角为，则点A到平面的最大距离是 ．    题型七　空间直线与平面的应用 例题 32．（23-24高二上·上海静安·期中）点是所在平面外一点，且到三顶点距离相等，则点在平面上的射影是的 心（选填“重心”、“外心”、“内心”）． 巩固训练 33．（23-24高二上·上海·期中）某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC，遮阳篷是一个直角边长为8的等腰直角三角形，斜边AB朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC与地面所成的角大小为 时，所遮阴影面ABC＇面积达到最大 题型八　最值、取值范围问题 例题 34．（23-24高二上·上海杨浦·开学考试）已知四棱雉的底面是边长为4的正方形，面，点、分别是、的中点，为上一点，且，为正方形内一点，若面，则的最小值为 . 巩固训练 35．（22-23高二下·上海徐汇·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，点P在底面ABCD内，若直线与平面无公共点，则线段的最小值为 . 36．（22-23高一下·云南玉溪·期末）如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，P是底面上一点．若平面BEF，则AP与平面成角的正弦值的取值范围是 ．    题型九 解答题　 例题 37．（23-24高一下·上海·期末）如图，正方体中，分别为的中点． (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的大小． 巩固训练 38．（23-24高二下·上海·期中）如图，在正三棱柱中，，此三棱柱的体积为，为侧棱上点，且，、分别为、的中点. (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求与平面所成角的大小. 39．（23-24高三下·上海·开学考试）如图，在三棱锥中，平面，平面平面，，．    (1)证明：； (2)求二面角的正切值． 40．（23-24高一下·上海·期末）如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点. (1)证明：是直角三角形； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值. (3)若，且异面直线与所成角为，若求的长；（结果精确到0.1） 41．（22-23高一下·福建泉州·期末）如图，在正三棱柱中，，为的中点，、在上，.    (1)试在直线上确定点，使得对于上任一点，恒有平面；（用文字描述点位置的确定过程，并在图形上体现，但不要求写出证明过程） (2)已知在直线上，满足对于上任一点，恒有平面，为（1）中确定的点，试求当的面积最大时，二面角的余弦值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章 空间直线与平面 知识归纳与题型突破（九类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、四个基本事实及三个推论 1．平面 基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面． 基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行． 2．“三个”推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 二、直线与直线的位置关系 位置关系 相交（共面） 平行（共面） 异面 图形 符号 a∥b 公共点个数 1 0 0 特征 两条相交直线确定一个平面 两条平行直线确定一个平面 两条异面直线不同在如何一个平面内 等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 三、直线与平面的位置关系 位置关系 包含（面内线） 相交（面外线） 平行（面外线） 图形 符号 ∥ 公共点个数 无数个 1 0 四、平面与平面的位置关系 位置关系 平行 相交（但不垂直） 垂直 图形 符号 ∥ ， 公共点个数 0 无数个公共点且都在唯一的一条直线上 无数个公共点且都在唯一的一条直线上 五、直线与平面平行 1.直线与平面平行的定义：直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行. 2.判定定理与性质定理 直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 (简记为“线线平行⇒线面平行”) ⇒a∥α 性质 定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ⇒l∥b 六、平面与平面平行 1.平面与平面平行的定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面. 2.判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β 性质 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 α∥β，a⊂α⇒a∥β 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 七、三种平行关系的转化 温馨提示： Ⅰ．判断或证明线面平行的常用方法 （1）利用线面平行的定义(无公共点). （2）利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)→线线垂直 ①空间直线平行关系的传递性法； ②三角形中位线法； ③平行四边形法； ④线段成比例法． ⑤线面平行的性质定理 （3） 利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β). （4）线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行). Ⅱ．证明面面平行的常用方法 1.面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)； 2.面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 3.利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题常用)； 4.如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题常用)； 5.利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化进行证明． 八、直线与平面垂直 1.直线和平面垂直的定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直. 2.判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 九、平面与平面垂直 1.平面与平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 2.判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 十、三种垂直关系的转化 温馨提示： 证明线面垂直常用的方法 1.判定定理：线面垂直→线线垂直 2.垂直于平面的传递性 3.面面垂直的性质. 4.线面垂直的定义 十一、直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°. (2)范围：. 十二、二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角； (2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角． (3)二面角的范围：[0，π]． 十三、 立体几何中三种角的对比；距离问题 Ⅰ、三种角对比 角的类型 范围 解题步骤 异面直线 所成角 0°～90° 1找：利用平移法找出异面直线所成角； ⑴ 固定一条直线，平移另一条直线， ⑵ 将两条直线都平移至一特殊位置。 2证：证明所作出的角就是异面直线所成角或其补角，常需证明线线平行； 3计算：通过解三角形，算出异面直线角的角度。 直线与平面 所成角 0°～90° 1找：作出斜线与其在平面内射影的夹角，一般用三垂线定理； 2证：证明所作出的角就是直线与平面所成角或其补角，常证明线面垂直； 3计算：通过解三角形，求出线面角的角度。 二面角的 平面角 0～π 1作：根据二面角平面角的定义，作出这个平面角； 2证：证明所作的角就是二面角的平面角，常用三垂线法和垂面法； 3计算：通过解三角形，求出二面角平面角的角度。 Ⅱ、空间中的距离 1.点到平面的距离 (1)过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条 (2)定义：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离 2.异面直线间的距离 与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面线的公垂线在这两条异面直线间的线段长度叫做两条异面直线间的距离，任意两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段. 3.直线与平面、平面与平面之间的距离 (1)一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，做这条直线到这个平面的距离. (2)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离， 03 题型归纳 题型一　平面的基本性质 例题 1．（23-24高二上·上海·期末）若，且， （填一符号） 【答案】 【分析】根据点线、点面位置关系，结合平面的基本性质即可得答案. 【解析】，且，. 故答案为：. 巩固训练 2．（22-23高一下·上海嘉定·期末）用集合符号表述语句“平面经过直线”： . 【答案】 【分析】根据线面关系可得结果. 【解析】因为平面经过直线AC，则. 故答案为：. 3．（23-24高二上·上海浦东新·期中）命题“空间中任意不同的三点确定一个平面”是 命题.（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】当三点共线时，可以知命题不成立，即可得正确答案. 【解析】因为过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面， 当三点共线时可以确定无数个平面， 所以命题为假命题. 故答案为：假. 4．（23-24高二上·上海浦东新·期中）若空间中两条直线、确定一个平面，则、的位置关系为 . 【答案】平行或相交 【分析】根据直线共面的定义可得出结论. 【解析】若空间中两条直线、确定一个平面，则、平行或相交. 故答案为：平行或相交. 5．（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）已知，，，，则点P与直线l的位置关系用相应的符号表示为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用平面基本性质即得答案. 【解析】由，得，而，，则，又， 所以. 故答案为： 6．（21-22高二上·上海·期中）两个平面可以将空间分成 个部分． 【答案】3或4/4或3 【分析】两个平面分平行、相交两种情况讨论，从而可得结果. 【解析】空间中两个平面的位置关系是平行或相交， 若两个平面平行，则可将空间分成3部分， 若两个平面相交，可将空间分成4部分， 所以两个平面可以将空间分成 3或4个部分. 故答案为：3或4． 题型二　直线与直线的位置关系 例题 7．（2023高二上·上海·专题练习）若是异面直线，直线，则c与b的位置关系是 . 【答案】相交或异面 【分析】利用异面直线的定义与平面相关定理即可得解. 【解析】因为是两条异面直线，直线， 所以过b任一点可作与a平行的直线c，此时c与b相交； 另外，c与b不可能平行，理由如下： 若，则由可得到，这与a，b是两条异面直线矛盾，故c与b异面； 综上，c与b的位置关系是相交或异面. 故答案为：相交或异面． 巩固训练 8．（23-24高二上·上海崇明·期中）如图，将一张纸对折多次，所得折痕为，则与的位置关系为 ． 【答案】平行 【分析】根据给定条件，利用平行公理即可判断得解. 【解析】依题意，由，得，由，得， 所以，即与的位置关系为平行. 故答案为：平行 9．（23-24高二上·上海嘉定·阶段练习）下列命题中正确的命题为 .①若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于，则三点共线；②若三条直线a、b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点，则这四条直线共面；③若直线a、b异面，b、c异面，则a、c异面；④两两相交的三条直线确定一个平面. 【答案】①② 【分析】由平面的基本事实三即可判定选项①；由基本事实二及推论二即可判定选项②；在正方体中取反例，即可判定③④. 【解析】因为在平面外，它的三条边所在的直线分别交于，    所以平面平面, 所以三点在平面与平面的交线上，即三点共线, 故①正确； 因为与平行，则可有由，确定一个平面，    又， 所以 所以平面，平面， 因为与平行，则可有由，确定一个平面， 同理可得，平面，平面， 又，而两条相交直线只能确定一个平面， 所以，为同一平面，即四线共面, 故②正确； 取正方体中为，为，为， 直线a、b异面，b、c异面，但a、c相交，不异面，故③错误； 取正方体中三直线，他们两两相交， 但不仅仅确定一个平面，故④错误. 故答案为：①②. 10．（23-24高二上·上海·期中）如图，正六棱柱的底面和顶面均为正六边形，侧棱均垂直于底面和顶面.其6个侧面12条面对角线所在的直线中，与直线异面的共有 条.    【答案】5 【分析】列出与直线异面的面对角线所在直线，得到答案. 【解析】与直线相交的有， 与直线平行的有， 剩余的与直线异面，共5条. 故答案为：5 题型三　异面直线所成角 例题 11．（23-24高二上·上海浦东新·期末）在正方体中，E为AB的中点，则异面直线与所成角为 ． 【答案】 【分析】如图，由题意可得（或其补角）为异面直线与所成角，根据余弦定理计算即可求解. 【解析】如图，取的中点F，连接EF，，则且， 所以四边形为平行四边形，则， 故（或其补角）为异面直线与所成角. 设正方体的棱长为，在中，， 由余弦定理得， 所以. 故答案为： 巩固训练 12．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，在正三棱柱中，，分别是和的中点，则直线与所成的角 . 【答案】 【分析】分别取中点，易证得四边形和均为平行四边形，根据平行关系可知所求角为或其补角，利用余弦定理可求得结果. 【解析】分别取中点，连接， 三棱柱为正三棱柱，为等边三角形， 设， ，，，， 四边形和均为平行四边形， ，，（或其补角）即为直线与所成角； ，， 又，， ，即直线与所成角大小为. 故答案为：. 13．（23-24高二上·上海普陀·期中）若异面直线所成的角为为空间一定点，则过点且与所成的角都是的直线有且仅有 条. 【答案】1 【分析】在空间取一点，经过分别作，，分析满足它的射影在所成角的平分线上时的情况可得出答案. 【解析】在空间取一点，经过分别作，，设直线确定平面， 当直线满足它的射影在所成角的平分线上时， 与所成的角等于与所成的角，设直线与所成角为， 因为直线所成角为，得所成锐角为， ①当直线的射影在所成锐角的平分线上时， 则与所成角的范围是， 这种情况下，过点有1条直线与所成角都是 ②当直线的射影在所成钝角的平分线上时， 则与所成角的范围是， 这种情况下，过点不存在直线与所成角都是， 综上，过点且与所成的角都是的直线有且仅有1条. 故答案为：1. 14．（22-23高二上·上海虹口·阶段练习）如图是正方体的平面展开图，在原来的正方体中 （1）与平行； （2）与是异面直线； （3）与垂直； （4）与成． 其中正确的序号是 ． 【答案】（4） 【分析】将正方体的直观图画出，判断出与为异面直线，（1）错误；证明出四边形为平行四边形，得到（2）错误；根据面面平行推导出与不垂直，（3）错误；作出辅助线，得到或其补角即为与所成角，结合是等边三角形得到答案. 【解析】画出正方体的直观图如下：      对于（1），与为异面直线，不平行，错误； 对于（2），连接，因为，且，故四边形为平行四边形， 故与平行，（2）错误； 对于（3），在平面上，⊥， 由于平面与平面平行，要想与垂直， 只需与平行，显然两者不平行，故与不垂直，（3）错误； 对于（4），连接，因为与平行， 所以或其补角即为与所成角， 设正方体的边长为1，由勾股定理得到， 故是等边三角形，故，故与成，（4）正确. 故答案为：（4） 题型四　线面、面面的位置关系 例题 15．（22-23高一下·全国·课后作业）已知直线，和平面，且，，则与的位置关系是 ． 【答案】或 【分析】根据线面的位置关系进行分类讨论，分别利用线面垂直的性质进行说明即可． 【解析】当时，，则，当时，，则； 故当，时，有或. 故答案为：或 巩固训练 16．（23-24高二上·上海普陀·期中）已知正方形在平面的同一侧，若A、B、C三点到平面的距离分别为1、2、3，则直线与平面的位置关系为 .（填“平行”或“相交”） 【答案】平行 【分析】根据题干信息，利用距离构建直角梯形，利用梯形中位线的长度公式，则中位线长度为，则直线上有两个点到平面距离都，从而可以判断直线与平面的位置关系. 【解析】根据题干信息，连结，相交于点.则点为的中点， 分别作平面，平面，平面. 则四边形为直角梯形，为梯形的中位线， 因为，两点到平面的距离分别为1、3. 则，点到平面的距离也为2，直线在平面的同侧， 所以上有两个点距离都为2，则直线平面. 故答案为：平行. 17．（2024高二·上海·专题练习）设是不同的直线，是不同的平面，则以下四个命题中错误的有 . ①若则； ②若，则； ③若则； ④若则. 【答案】②③ 【分析】①若则；④若则根据线面垂直的性质定理可得命题①④是正确的，命题②③举反例判断即可. 【解析】解：设是不同的直线，是不同的平面， ①若则； 根据线面垂直的性质定理可得命题是正确的. ②若，则；当平行与的交线时，∥，故②不正确. ③若则；有可能故③不正确. ④若则.根据线面垂直的性质定理可得命题是正确的 故答案为：②③ 18．（23-24高二上·上海·期中）已知是空间的两条不同直线，是两个不同的平面，下列四个命题中真命题的编号是 . ①．，则    ②．，则 ③．，则    ④．，则 【答案】①④ 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系一一判断. 【解析】对①，因为，所以， 又因为，所以，①正确； 对②，由，可得或，②错误； 对③，由，可得直线与平面的位置关系可以是平行或相交，③错误； 对④，因为，所以，④正确； 故答案为：①④. 19．（24-25高二·上海·假期作业）已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是 . ①若，，则    ②若，，则 ③若，，则    ④若，，，则 【答案】①④ 【分析】由线面位置关系逐一判断各个命题即可求解. 【解析】对于①，若，，则，故①正确； 对于②，若，，则或，故②错误； 对于③，若，，则或是异面的位置关系，故③错误； 对于④，若，，，则，故④正确. 故答案为：①④. 20．（22-23高三·全国·课后作业）如图，已知矩形ABCD所在的平面，则下列说法中正确的是 ．（写出所有满足要求的说法序号） ①平面PAD⊥平面PAB；        ②平面PAD⊥平面PCD； ③平面PBC⊥平面PAB；        ④平面PBC⊥平面PCD． 【答案】①②③ 【分析】根据线面垂直的性质定理及面面垂直的判定定理证明判断即可． 【解析】①由矩形ABCD所在的平面，所以， 又，且，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，故①正确； ②由矩形ABCD所在的平面，所以， 又，且，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，故②正确； ③由矩形ABCD所在的平面，所以， 又，且，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，故③正确； ④依题意得，若平面PBC⊥平面PCD，作交于，平面PBC平面PCD，所以平面PCD，又平面，所以, 因为，平面，所以平面，因为平面，所以,与矛盾，故④错误． 故答案为：①②③． 21．（20-21高一下·全国·课后作业）如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①平面AEND；②平面ABFE；③平面平面AFN；④平面平面以上四个命题中，正确命题的序号是 . 【答案】①②③④ 【分析】将展开图还原成正方体，根据线面平行以及面面平行的判定逐一判定即可. 【解析】把正方体的平面展开图还原成正方体，如图所示： 对于①，因为，平面AEND，平面AEND，所以平面AEND，命题①正确； 对于②，，平面ABFE，平面ABFE，所以平面ABFE，命题②正确； 对于③，，面，面，，面，面， 所以面，面，又，BD、平面BDN， 所以平面平面AFN，命题③正确； 对于④，，面NCF，面NCF，，面NCF，面NCF， 所以面NCF，面NCF，又，BD、平面BDE， 所以平面平面NCF，命题④正确． 故答案为：①②③④． 题型五　线面、二面角 例题 22．（21-22高二·全国·课后作业）线段AB的长等于它在平面内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面所成的角为 . 【答案】 【分析】根据线面角的定义得到是AB所在直线与平面所成的角，然后在中可求出结果 【解析】如图，，则BC是AB在平面内的射影， 则，为AB所在直线与平面所成的角． 在中，， ∴，即AB所在直线与平面所成的角为. 故答案为： 巩固训练 23．（2023高二上·全国·专题练习）直线与平面所成角为， 则直线与平面内的任意一条直线所成角的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据“线面角”和“线线角”的概念进行判断. 【解析】因为直线与平面所成角为，所以根据“最小角定理”可知直线与平面内的任意一条直线所成角的最小值为， 又因为线线夹角的最大值为， 所以直线与平面内的任意一条直线所成角的范围是：. 故答案为：. 24．（23-24高二上·上海·阶段练习）如图的四面体中，所有棱长均相等，每个面都是全等的正三角形，分别是棱的中点，则直线与平面所成角的大小为 .（用反三角表示）    【答案】 【分析】利用正四面体的几何性质先判定即所求角，结合余弦定理解三角形即可. 【解析】如图所示，连接AN，BM，CM，因为 又平面， 所以平面，直线与平面所成角为， 设该四面体的棱长为2， 则， 在中，由余弦定理， 即. 故答案为：    25．（2024·内蒙古锡林郭勒盟·模拟预测）在四面体中，平面平面，是直角三角形，，则二面角的正切值为 ． 【答案】/ 【分析】设的中点分别为，证得平面，得到，再由，证得平面，得到BD，得出为二面角的平面角，在直角中，即可求解． 【解析】设的中点分别为，连接，则, 因为BC，所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为是直角三角形，且，所以， 所以且， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，则BD，所以为二面角的平面角， 在直角中，可得． 故答案为：.    26．（23-24高三上·上海普陀·阶段练习）已知平面与所成的二面角为为外一定点，过点的一条直线与､所成的角都是，则这样的直线有且仅有 条. 【答案】4 【分析】过点作平面垂直于平面的交线，并且交直线于点,连接,则，过点在平面内作的平分线，以为轴在的角平分面内转动，根据题意可得出有两条直线满足题意；以为轴在平面内前后转动，根据题意可得出有两条直线满足题意，综合可得结果. 【解析】解：首先给出下面两个结论： ①两条平行线与同一个平面所成的角相等； ②与二面角的两个面成等角的直线在二面角的平分面内或平行于角平分面. （1）如图1，过二面角内任一点作棱的垂面，交棱于点，        与两半平面交于， 因为平面，平面，所以， 则为二面角的平面角，则， 设为的平分线，则， 与平面所成的角都是，此时过点且与平行的直线符合要求， 当以为轴心，在二面角的平分面上转动时，与两平面的夹角会变小， 会对称地出现两条符合成的情形； （2）如图2，设为的补角的平分线，            则，与平面所成的角都是， 当以为轴心，在二面角的平分面上转动时， 与两平面夹角变小 ，对称地在图2中的两侧会出现的情形，有两条， 此时，过点且与平行的直线符合要求，有两条. 综上所述，符合条件的直线有4条. 故答案为：4. 27．（2023高三·全国·专题练习）如图，ABCD是矩形，AB=8，BC=4，AC与BD相交于O点，P是平面ABCD外一点，PO⊥面ABCD，PO=4，M是PC的中点，则二面角M-BD-C的正切值为 ． 【答案】/ 【分析】取OC的中点N，连接MN，得到MN⊥面ABCD，且得到的值，过点N作NR⊥BD于点R，连接MR，得到∠MRN为二面角M-BD-C的平面角，过点C作CS⊥BD于点S，求得，从而得到，进而求得二面角M-BD-C的正切值． 【解析】取OC的中点N，连接MN，则MN∥PO， ∵ PO⊥面ABCD，∴MN⊥面ABCD，， 过点N作NR⊥BD于点R，连接MR， 则∠MRN为二面角M-BD-C的平面角， 过点C作CS⊥BD于点S，则， 在Rt△BCD中，CD·BC =BD·CS，      则，则， 所以， 所以二面角M-BD-C的正切值为． 故答案为：． 题型六　空间中的距离问题 例题 28．（23-24高二上·上海·期末）如图所示，正四面体的棱长为1，则点到平面的距离为 . 【答案】 【分析】 设是底面的中心，则的长是点到平面，再利用勾股定理求解即可. 【解析】设是底面的中心，则平面，又因为平面，所以， 正四面体的棱长为1，则， , 故答案为：. 巩固训练 29．（23-24高一下·上海松江·期末）已知二面角的大小为60°，点P，Q分别在，上且，若点到的距离为，点到的距离为，则两点之间的距离为 . 【答案】 【分析】作于，连接，则平面，所以即为二面角的平面角，作于，则在上，作于，则在上，在内求即可. 【解析】如图： 作于，连接，又因为，平面，， 所以平面. 所以即为二面角的平面角，故. 作于，则在上，作于，则在上. 在中，，，，所以； 在中，，，，所以. 由余弦定理：， 所以. 故答案为： 30．（23-24高二上·上海黄浦·期末）如图，平面的一条斜线l与交于点O，是l在上的投影，是上过点O的另一条直线，若l上一点A到平面的距离为1，l与所成的角的大小为45°，l与所成的角的大小为60°，则点A到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】根据三垂线定理即可求解为 A到直线的距离，进而根据三角形的边角关系求解长度即可. 【解析】因为是在上的投影，所以就是与平面所成的角， 由于l与所成的角的大小为45°，故， 过作于,过作于点，连接, 依题意可得：，又所以， 又因为平面， 所以平面，     因为平面，所以，故为 A到直线的距离， 在中， ,,所以， 在中，,； 故答案为： 31．（21-22高二上·上海徐汇·阶段练习）如图，在直角中，，，，现将其放置在平面的上面，其中点A、B在平面的同一侧，点平面，BC与平面所成的角为，则点A到平面的最大距离是 ．    【答案】30 【分析】作出辅助线，判断出当四点共面时，点A到的距离最大，进而算出AC，最后得到答案． 【解析】如图，过作⊥，交于B1，过A作⊥，交于，    因为在中，,， 则，当四点共面时，点A到的距离最大． 因为⊥，所以是BC与平面所成的角，则，则， 于是，，即A到的最大距离为30． 故答案为：30． 题型七　空间直线与平面的应用 例题 32．（23-24高二上·上海静安·期中）点是所在平面外一点，且到三顶点距离相等，则点在平面上的射影是的 心（选填“重心”、“外心”、“内心”）． 【答案】外心 【分析】设在平面上的射影为，则平面，连接、、，从而得到，即可得到，即可判断. 【解析】设在平面上的射影为，则平面，连接、、， 则平面，所以，，， 又，所以， 所以， 所以为的外心.    故答案为：外心 巩固训练 33．（23-24高二上·上海·期中）某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC，遮阳篷是一个直角边长为8的等腰直角三角形，斜边AB朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC与地面所成的角大小为 时，所遮阴影面ABC＇面积达到最大 【答案】 【分析】遮阴影面面积达到最大即是点到的距离最大，根据正弦定理表示出点到的距离，即可找出角度取值与面积之间的关系． 【解析】如图，过点C作交AB于D，连接，由题知， 因此就是遮阳篷ABC与地面所成的角， 因为，则求遮阴影面面积最大，即是求最大， 又，， 设，，由正弦定理，得， 当且仅当时取等号，此时所遮阴影面面积最大， 故答案为： 题型八　最值、取值范围问题 例题 34．（23-24高二上·上海杨浦·开学考试）已知四棱雉的底面是边长为4的正方形，面，点、分别是、的中点，为上一点，且，为正方形内一点，若面，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据题意画出图形，结合图形找出与平面平行的平面，由平面以及平面可知，由垂直关系找到的位置，再计算的最小值． 【解析】解：如图所示： 取的中点，连接，与相交于点，连接， 则， 所以； 又平面，平面， 所以平面． 因为，分别是，的中点， 所以，平面，平面，所以平面， ，则平面平面， 因为面，为正方形内一点，所以， 又平面，平面，所以， ，在正方形中，，所以， 则. 故答案为：． 巩固训练 35．（22-23高二下·上海徐汇·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，点P在底面ABCD内，若直线与平面无公共点，则线段的最小值为 . 【答案】 【分析】首先连接，，，易证平面平面，从而得到平面，即可得到线段的最小值. 【解析】连接，，，如图所示： 在正方体中， 因为，平面，平面， 所以平面， 因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，且， 所以平面平面. 因为与平面无公共点，所以平面， 当时，取得最小值. 因为 所以的最小值为. 故答案为： 36．（22-23高一下·云南玉溪·期末）如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，P是底面上一点．若平面BEF，则AP与平面成角的正弦值的取值范围是 ．    【答案】 【分析】根据线面平行判定定理以及面面平行判定定理，利用线面角的定义，结合锐角三角函数的定义，可得答案. 【解析】如图，取的中点，的中点M，连接AM，AN，MN，，，      由正方体，E，N分别为，的中点， 易知，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面BEF，平面BEF，所以平面BEF， 因为E，F分别为，的中点，由中位线性质可得，同理可知，所以， 又因为平面，平面，所以平面，又，平面AMN，所以平面平面， 因为P是底面上一点，且平面，所以点， 由分别为的中点，且，，则，，即， 由，则 在等腰中，底边上的高， 则AP的长度的取值范围为， 设与平面成角为，在正方体中，易知平面，且为垂足， 所以． 故答案为：. 【点睛】本题的解题关键在于面面平行的性质定理以及线面角定义的理解，利用正方体的几何性质，得以解题. 题型九 解答题　 例题 37．（23-24高一下·上海·期末）如图，正方体中，分别为的中点． (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明，再根据线面平行的判定定理即可得证； （2）先说明或其补角即为异面直线与所成角，进而可得出答案. 【解析】（1）连接， 因为分别为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）因为且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又， 所以或其补角即为异面直线与所成角平面角， 因为，所以， 即异面直线与所成角的大小为． 巩固训练 38．（23-24高二下·上海·期中）如图，在正三棱柱中，，此三棱柱的体积为，为侧棱上点，且，、分别为、的中点. (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求与平面所成角的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取的中点，得到，把异面直线与所成角转化为直线与所成角，在中，利用余弦定理，即可求解； （2）取的中点，证得平面，得到为直线与平面所成的角，在直角中，即可求解. 【解析】（1）取的中点，连接，可得， 所以异面直线与所成角，即为直线与所成角， 因为，正三棱柱的体积为，所以， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 取的中点，连接，在直角中，可得， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线与所成角的大小为. （2）取的中点，可得， 在正三棱柱中，可得平面平面， 且平面平面，可得平面， 所以为直线与平面所成的角， 在直角中，，且， 在直角中，可得，所以. 所以直线与平面所成的角为. 39．（23-24高三下·上海·开学考试）如图，在三棱锥中，平面，平面平面，，．    (1)证明：； (2)求二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直及面面垂直的性质证明即可； （2）利用几何法，取中点，并连接、，结合条件证线线垂直，利用二面角定义解三角形即可， 【解析】（1）依题意，面，且面， 所以，， 因为面面，面面，面，且， 所以面， 因为面， 所以. （2）取中点，并连接、.      因为，所以， 由勾股定理可知. 因为，所以； 则根据二面角定义可知是二面角的一个平面角， 且由图可知为锐角. 由（1），，面， 所以面， 又因为面， 所以， 设，可得，则， 即二面角的正切值为. 40．（23-24高一下·上海·期末）如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点. (1)证明：是直角三角形； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值. (3)若，且异面直线与所成角为，若求的长；（结果精确到0.1） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)0.8或1.8 【分析】（1）由圆的性质可得，再由平面，得，可得平面，从而可得，进而可证得结论. （2）过A作于H，可证得是直线与平面所成的角，在中求解即可； （3）为中点，由题意有或，中由余弦定理解出，中勾股定理求的长. 【解析】（1）是的直径，是圆周上不同于的一动点，所以， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，即是直角三角形； （2）过A作于H，连接，如图所示， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以是直线与平面所成的角， 在中，由等面积法得， 而，所以， 在中，， 故直线与平面所成角的正弦值为. （3） 为中点，连接，又为的中点，则有， 异面直线与所成角为，则有或， 若，则，，， 当时，中由余弦定理， 得， 中，； 当时，中由余弦定理， 得， 中，， 所以的长为0.8或1.8 41．（22-23高一下·福建泉州·期末）如图，在正三棱柱中，，为的中点，、在上，.    (1)试在直线上确定点，使得对于上任一点，恒有平面；（用文字描述点位置的确定过程，并在图形上体现，但不要求写出证明过程） (2)已知在直线上，满足对于上任一点，恒有平面，为（1）中确定的点，试求当的面积最大时，二面角的余弦值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）延长至点，使，点即所求的点，然后证明出平面平面，利用面面平行的性质可得出结论； （2）分别延长、，所得交点即点，连接，则二面角即二面角，推导出，可知，当最大时，最大，利用基本不等式求出的最大值，及其等号成立的条件，分析可知为等腰直角三角形，取的中点，则，在平面内过点作，垂足为，连接，分析可知为二面角的平面角，计算出三边边长，即可求得的余弦值，即为所求. 【解析】（1）解：延长至点，使，点即所求的点，图形如下：    证明如下：连接、，    在正三棱柱中，且，所以，， 又因为，所以，，所以，， 则，故， 因为平面，平面，所以，平面， 因为，则， 因为为的中点，，则，故， 所以，，所以，， 因为平面，平面，所以，平面， 又因为，、平面，所以，平面平面， 当点在线段上运动时，平面，故平面. （2）解：分别延长、，所得交点即点，连接， 则二面角即二面角. 因为、直线，且，则， 因为平面，平面，所以，平面，合乎题意，      因为，且，所以，所以. 所以，所以当最大时，最大. 由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立. 此时，且为等腰直角三角形. 取的中点，则，在平面内过点作，垂足为，连接. 因为平面，平面，所以， 又，平面，平面，所以平面. 因为平面，所以， 又，平面，平面，所以平面. 因为平面，所以. 所以为二面角的平面角. 因为，所以， ， 因为平面，平面，则， 所以，所以. 即二面角的余弦值为. 【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法： （1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有： ①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质； （2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！39 学科网（北京）股份有限公司 $$