专题05 有理数的新定义运算与规律探究问题10大题型（专项训练）数学新教材冀教版七年级上册

**基本信息** 聚焦有理数新定义运算与规律探究，构建"概念-方法-应用"三阶训练体系，渗透抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |新定义运算|4题|定义转化法、分类讨论|从代数定义到数轴几何意义延伸| |数形结合应用|4题|距离公式法、动态分析|数轴与绝对值概念融合应用| |进位制转换|4题|短除法、幂展开法|十进制与二进制/八进制互化| |代数规律|4题|乘方循环法、作差比较法|乘方性质与数式大小比较逻辑| |数学文化|4题|周期余数法、幻和构建法|干支纪年周期性与幻方均衡思想| |特殊数列|4题|裂项相消法、错位相减法|数列求和技巧与转化思想|

专题05 有理数的新定义运算与规律探究 常考题型·精准突破 考点一 有理数的新定义运算与规律探究问题 题型一：有理数的新定义运算 题型二：数轴相关的新定义问题 题型三：二进制计算问题 题型四：含乘方的规律计算题 题型五：比较大小的规律题 题型六：干支纪年的规律题 题型七：幻方类规律题 题型八：裂项相消法规律题 题型九：错位相减法规律题 题型十：含绝对值的规律计算题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 有理数的新定义运算与规律探究问题 ◆题型1 有理数的新定义运算 1．若定义一种新的运算：，请利用此定义计算：_______． 【答案】 【分析】本题主要考查的是有理数的乘法运算法则，属于基础题型．明确新运算的计算法则是解决这个问题的关键．根据新运算的运算法则首先求出的值，然后再计算后面的值，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴原式． 故答案为： 2．高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知[x]表示不超过x的最大整数，例如，．现定义，例如．则_____________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了新定义运算，熟练掌握表示不超过的最大整数以及的定义是解题的关键．先根据新定义分别求出和的值，再计算它们的差． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∴． 故答案为：． 3．在学习了《有理数的运算》后，小奇同学对有理数运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，运算规则如下：（不相等），例如，． (1)填空：_________； (2)求的值； (3)试以和的值说明：对于新定义的运算“”，交换律是否成立？ 【答案】(1)0 (2)40 (3)对于新定义的运算“”，交换律是不成立的 【分析】本题主要考查有理数的运算，解题的关键是理解题中所给新定义运算； （1）根据题中所给新定义运算可进行求解； （2）根据题中所给新定义运算可进行求解； （3）分别得出和的值，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为0； （2）解：由题意得： ， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴对于新定义的运算“”，交换律是不成立的． 4．新定义运算． 已知，是有理数，且． (1)________，________． (2)借助有理数的运算，我们定义了一种关于有理数，的新运算“*”：，例如． ①求的值． ②请判断这种新运算“*”是否满足交换律？通过计算探究是否一定成立？ 【答案】(1)， (2)①；②不满足交换律，不一定成立 【分析】本题考查了有理数的混合运算以及绝对值的非负性和偶次方的非负性，掌握理解新运算的定义是解题关键． （1）根据绝对值的非负性和偶次方的非负性即可求解． （2）①根据题中的新定义结合（1）中数字进行计算即可． ②求出和比较即可． 【详解】（1）解：由条件可知，， ，． 故答案为：，； （2）解：①； ②， ， 所以不一定成立． ◆题型2 数轴相关的新定义问题 5．我们给出如下定义：数轴上给出不重合的两点、，若数轴上存在一点，且点到点的距离等于点到点的距离，则称点为点与点的“雅中点”．根据上述定义，解答下列问题： (1)若数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点为点与点的“雅中点”，则点表示的数为______； (2)若数轴上点与点的“雅中点”表示的数为2，、两点的距离为9（点在点的左侧），求点和点表示的数； (3)已知数轴上点、、表示的数分别是，，，点在点、之间运动（点可与点、重合）．设点表示的数为，且点为点与点的“雅中点”，求可取的整数． 【答案】(1) (2)点表示的数为，点表示的数为， (3)或． 【分析】本题考查两点间的距离，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，进行求解即可； （2）根据新定义得到点到点，点的距离均为，根据两点间的距离进行求解即可； （3）分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，点表示的数为； （2）依题意，得点到点，点的距离均为， 因为点表示的数为2，点在点的左侧， 所以点表示的数为， 点表示的数为， （3）根据题意知，当点运动到点处时，如图1， 则点表示的数为， 此时取得最小值，为， 当点运动到点处时，如图2， 则点表示的数为， 此时取得最大值，为， 所以可取的整数为或． 6．阅读理解，完成下列各题．定义：已知A、、 为数轴上任意三点，若点到A的距离是它到点的距离的倍，则称点是的倍点．例如：如图，点是的倍点，点不是的倍点，但点是的倍点，根据这个定义解决下面问题： (1)在图中，点A是 的倍点，点是 的倍点；（选用A、、、表示，不能添加其他字母） (2)如图，、为数轴上两点，点表示的数是，点表示的数是，若点是的倍点，则点表示的数是 ． (3)若、为数轴上两点，点在点的左侧，且，一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒，求当为何值时，点恰好是和两点的倍点？（用含的代数式表示） 【答案】(1)，； (2)2或； (3)当或或时，点H恰好是P和Q两点的2倍点． 【分析】（1）根据图形可直接解得； （2）由点E是的2倍点构建方程，求解即可； （3）对动点H的位置分两种情况讨论：当点在之间时：，①若点H是的2倍点，②若点H是的2倍点，当点在点左侧时：，此时仅可能点H是的2倍点，对于三种情况分别构建方程求解． 【详解】（1）∵，，， ∴点A是的2倍点， ∵，，， ∴点B是的2倍点， 故答案是，． （2）设点表示的数是，则，， ∵E是的2倍点， ∴. ∴． 得或 解得，或 ∴点E表示的数是2或． （3）由题知，， 当点在之间时： ①若点H是的2倍点，则,得， 解得； ②若点H是的2倍点，则,得， 解得； 当点在点左侧时：，此时仅可能点H是的2倍点，则,得， 解得． 综上，或或时，点H恰好是P和Q两点的2倍点． 【点睛】本题主要考查了数轴两点间距离的表示、一元一次方程求解；掌握两点间距离的表示是解题的关键． 7．定义：已知点，，为数轴上三点，我们规定：点到点的距离是点到点的距离的倍，则称是的“倍点”，记作：．例如：若点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则是的“倍点”，记作：． 应用： 如图有一条数轴，、、为数轴上三点，分别对应，，． (1)①、两点之间的距离是__________； ②求的值； (2)若点在数轴上且，求点表示的数； (3)若点是数轴上一点，且，直接写出点表示的数． 【答案】(1)①8；②4； (2)2 (3)3或11 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，理解题中定义和分类讨论是解答的关键． （1）①根据两点之间的距离即可求解；②根据新定义，求得即可求解； （2）根据新定义得到点C为的中点，进而求解即可； （3）根据新定义分两种情况：点D在线段上和点D在线段的延长线上，分别求解即可． 【详解】（1）解：①∵、、为数轴上三点，分别对应，，． ∴、两点之间的距离是， 故答案为：8； ②由数轴知， ∴，则； （2）解：∵点C在数轴上且， ∴，则点C为的中点， ∴点C表示的数为； （3）解：因为D是数轴上一点，且，所以． 因为点A表示的数为，点B表示的数为5，所以． 当点D在点A，B之间时，点D表示的数为； 当点D在点B的右边时，点D表示的数为． 所以点D表示的数为3或11． 8．定义：数轴上的三点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为，0，2，满足，此时点B是点A，C的“倍分点”．已知点A，B，C，M，N在数轴上所表示的数如图所示． (1)A，B，C三点中，点 是点M，N的“倍分点”； (2)若数轴上点M是点D，A的“倍分点”，则点D对应的数是 ； (3)若数轴上点N是点P，M的“倍分点”，且点P在点N的右侧，求此时点P表示的数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了数轴结合新定义“倍分点”，正确理解“倍分点”的含义是解决问题的关键. （1）利用“倍分点”的定义即可求得答案； （2）设D点对应的数值为，利用“倍分点”的定义，分两种情况讨论即可求出答案； （3）利用“倍分点”的定义，结合点在点的右侧，分两种情况讨论即可求出答案. 【详解】（1），， ， ∴点是点的“倍分点”； 故答案为：； （2）解：， 设点对应的数值为， ①当时，， ， 解得：或； ②当时，， ， 解得：或； 综上所述，则点对应的数分别是,， 故答案为：； （3）解：， 当时，， ∵点在点的右侧， ∴此时点表示的数为， 当时，， ∵点在点的右侧， ∴此时点表示的数为， 综上所述，点表示的数为或． ◆题型3 二进制计算问题 9．我们常用的数是十进制数，如十进制中的数，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，而在电子计算机中用的二进制的数只用两个数码：0和1，如果二进制中的等于十进制的11，二进制中的数等于十进制的13，那么二进制中的数转换为十进制的数是_____． 【答案】5 【分析】根据题目给出的二进制转十进制的规则，将二进制数按位展开后计算乘方与加法，即可得到结果． 【详解】解：根据二进制转十进制的规则展开， 得， 即二进制中的数转换为十进制的数是． 10．二进制在计算机科学中有广泛的应用，二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1，并利用下标表示二进制数，例如，就是二进制数1011的简单写法．在学习教科书《进位制的认识与探究》以后，爱国查阅了资料并进行了思考，发现以下两种方法均可实现二进制与十进制之间的转换． 以98为例： 方法一：因为 所以． 方法二：用如图的短除法算式表示： 根据以上材料，把234转换为五进制数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算． 根据十进制数转化为五进制数的方法可以将234转换为五进制数． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 11．第十四届国际数学教育大会（简称）的标识（如图）蕴含多种数学元素．“”下方的“卦”依次表示四个二进制数：、、、，可将它们依次转换为十进制数．其中，二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘2的相应次方（从右往左依次为，，），然后相加，例如．（注：） 请回答以下问题： (1)请将二进制数、分别转换为十进制数； (2)请仿照二进制数转换为八进制数的方法，将八进制数转换为十进制数（注：）； (3)已知一个八进制数对应的十进制数是123，且a，b，c均为0到7的整数．若将a，b，c分别用3位二进制表示（如），则这个二进制序列对应的八进制数就是，求a，b，c的值，并写出它们对应的二进制表示． 【答案】(1)； (2) (3)，，，，，． 【分析】本题主要考查了二进制数与十进制数的转换，八进制数与十进制数的转换，正确理解题意是解题的关键． （1）根据二进制数与十进制数的转换方法求解即可； （2）根据八进制数与十进制数的转换方法求解即可； （3）根据题意可得，，再根据a、b、c的取值范围确定a、b、c的值，并把a、b、c分别用二进制数表示出来即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解：； （3）解：∵一个八进制数对应的十进制数是123， ∴， ∴， ∵a，b，c均为0到7的整数， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ． 12．【问题情境】 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定十进制是逢十进一，二进制就是逢二进一．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．日常生活中我们最常用的是十进制，使用十个数字记数，而电子计算机使用的是二进制，其各数位上的数字为或．如，就是二进制数的简单写法，十进制数一般不标注基数． 【初探感知】 （）把十进制数转换成进制数，采用“除以取余数”的方法，即将十进制数除以，然后对商继续除以，直到商等于为止，最后将所有的余数从后往前倒序写，就是结果，例如将十进制数转换为二进制数结果为 （）不同进位制之间是可以相互转换的，例如二进制数转换为十进制数为： 综合实践： 年月日时分，中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域，成功发射发携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹，准确落入预定海域．射程超过公里，覆盖全球所有区域，展示了我国精确打击能力和威慑力．此消息一出振奋人心，是无数科学家们日以继夜的奋战换来的成果．同样也离不开计算机的帮忙，计算机是使用二进制进行运算的，与我们日常使用的十进制不同，应用你学的知识，解答下列问题： (1)请把射程公里转化为六进制的数应该为 公里； (2)在设计洲际弹道导弹时，科学家想把计算机中的数据的数转化为八进制的数，则这个数应该是 ； (3)把，转化为二进制的数分别为 ；利用二进制数的加法法则计算他们的和为 ． 【答案】(1) (2) (3)，； 【分析】（）根据十进制数转换成进制数的计算方法即可求解； （）先把二进制数转换为十进制数，再根据十进制数转换成进制数的计算方法即可求解； （）根据十进制数转换成进制数的计算方法分别把和转化为二进制的数，再根据二进制数的加法法则计算即可求解； 本题考查了有理数的除法和混合运算的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ∴将十进制数转化为六进制数为， 故答案为：； （2）解： ∵， ， ∴， 故答案为：； （3）解：， ， ， ， ， ∴， 同理得， ∴， 故答案为：，；． ◆题型4 含乘方的规律计算题 13．观察下列算式发现规律：，，，，，，…，用你所发现的规律写出：的个位数字是______． 【答案】7 【分析】此题主要考查了数字的变化类规律，尾数特征，观察出结果个位数字的特点是解本题的关键．通过观察7的幂的个位数字，发现其以7，9，3，1为周期循环，周期为4，计算2025除以4的余数，根据余数确定个位数字． 【详解】解：∵，，，，，，…， ∴个位数字的变化是以7，9，3，1为周期，即周期为4， ∵， ∴的个位数字为7， 故答案为：7． 14．观察下列等式： ；；；；… （1）根据上面规律，若，，则____，____． （2）用含有自然数n的式子表示上述规律为_______________． 【答案】 11 15 【分析】此题主要考查了含乘方的数字变化规律，得出数字之间的运算规律是解题关键． （1）根据所给等式两边数字变化规律可得答案； （2）根据所给等式两边数字变化规律列出等式即可． 【详解】解：（1）∵； ； ； ； … 故，， 故答案为：11，15； （2）第n个等式为； 故答案为：． 15．阅读探究：；；；；… (1)根据上述规律，求的值； (2)你能用一个含有（为正整数）的算式表示这个规律吗？请直接写出这个算式（不计算）； (3)根据你发现的规律，计算下面算式的值：． 【答案】(1)55 (2) (3)780 【分析】（1）仿照阅读材料中的方法计算即可； （2）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （3）原式利用得出的规律计算即可求出值． 【详解】（1）； （2）； （3）． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算及算式规律，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 16．观察下列等式 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； ， 按上述规律，回答下列问题： (1)请写出第六个等式：______； (2)请写出第个等式：______； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）观察已知等式即可求解； （）由等式规律写出即可； （）利用规律计算即可； 本题考查了有理数乘方的变形运算，根据已知等式找出有理数乘方运算的规律是解题的关键． 【详解】（1）解：按上述规律，第六个等式为， 故答案为：； （2）解：由规律可得，第个等式为， 故答案为：； （3）解：原式 ． ◆题型5 比较大小的规律题 17．请阅读材料，并解决问题． 比较两个数的大小的方法： 若比较与的大小，利用绝对值法比较这两个负数的大小要涉及到分数的通分，计算量大，可以使用如下的方法改进： 解：因为，，所以，所以． (1)上述方法是先通过找中间量______来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，______大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； (2)利用上述方法比较与的大小． 【答案】(1)，绝对值 (2) 【分析】本题主要考查有理数大小比较： （1）根据计算过程和有理数大小比较法则得出答案即可； （2）找出中间量是，再比较大小即可， 【详解】（1）解：上述方法是先通过找中间量来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； 故答案为：；绝对值； （2）解：∵，， ∴， ∴． 18．你能比较和的大小吗？ 为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较和的大小（n为正整数），我们从…这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜出结论 (1)通过计算，比较下列各组数字大小： ①__________；   ②__________；   ③__________； ④__________；   ⑤__________；   ⑥__________… (2)将第（1）题的结果进行归纳，你能得出什么结论？ (3)根据上面的归纳猜想得到的结论，试比较两个数的大小： __________（填或）． 【答案】(1)①；②；③；④；⑤；⑥ (2)当时，；当时， (3) 【分析】（1）分别计算后比大小，然后作答即可； （2）根据（1）的结果，归纳后作答即可； （3）根据（2）的结论作答即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； 故答案为：①；②；③；④；⑤；⑥； （2）解：把第（1）题的结果经过归纳得出：当时，； 当时，． （3）解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，有理数比较大小．解题的关键在于正确的运算，并归纳出正确的结论． 19．【观察】 （1）比较大小： ①，； ②，； ③，； ④，． 【归纳】 （2）通过（1）中的大小比较，猜想并归纳出与的大小关系，并说明满足什么关系时，成立． 【应用】 （3）当时，的取值范围是 ． （4）若，求的值． 【答案】（1）①  ②  ③  ④；（2）；当a，b同号或a，b中至少有1个为0时，成立；（3）；（4）或 【分析】本题考查绝对值，有理数的大小比较，有理数的加法，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． （1）求出各个式子的绝对值，再比较大小即可； （2）根据（1）的结论，即可解答； （3）根据（2）中的结论，即可解答； （4）先确定m，n异号，再分类讨论：①当时，②当时，逐一分析求解即可． 【详解】解：（1）①，； ∴； ②，； ∴； ③，； ∴ ④，， ． 故答案为：①  ②  ③  ④． （2）与的大小关系：， 当a，b同号或a，b中至少有1个为0时，成立． （3）∵， ∴x，同号或x，中至少有1个为0， 即． 故答案为：． （4）∵， ∴， ∵当a，b同号或a，b中至少有1个为0时，成立． ∴m，n异号， ①当时， 由，得 ， 即 将代入，得 ， 即或， 解得或； ②当时， 由，得 ， 即 将代入，得 ， 即或， 解得或； 综上所述，的值为或． 20．探索研究： (1)比较下列各式的大小．（用“”、“”或“”连接） ①______； ②______； ③_______ ④_______． (2)通过（1）中的大小比较，猜想并归纳出与的大小关系，并说明，满足什么关系时，成立？ (3)根据（2）中得出的结论解答：如果，求的值． 【答案】(1)①；②；③；④ (2)大小关系：；、同号或、至少有一个为时，成立 (3)为或 【分析】（1）先分别计算再比较大小即可； （2）根据提供的关系式得到规律即可； （3）根据前面的结论分当为正数，为负数时和当为负数，为正数时两种情况分类讨论即可确定答案． 【详解】（1）解：①∵，， ∴ 故答案为：； ②∵，， ∴， 故答案为：； ③∵，， ∴， 故答案为：； ④∵，， ∴， 故答案为：； （2）根据题意得： 与的大小关系：； 当、同号或、至少有一个为时，成立； （3）∵，，， ∴异号， ①当为正数，为负数时， 则， ∴， ∴， ∴或2； ②当为负数，为正数时， 则， ∴， ∴， ∴或； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查绝对值，含绝对值的方程．解题的关键是掌握绝对值的意义并能根据题意分类讨论解决问题．也考查了有理数加减运算和大小比较． ◆题型6 干支纪年的规律题 21．干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2000年为例：天干为；地支为；对照天干地支表得出，2000年为农历庚辰年． 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 寅 卯 辰 已 午 未 申 酉 戌 亥 依据上述规律推断2028年为农历（    ）年． A．乙已 B．戊申 C．乙申 D．戊已 【答案】B 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，根据干支纪年法的计算规则，天干由年份减3后除以10的余数确定，地支由年份减3后除以12的余数确定，再对照天干地支表得出年份。 【详解】解：∵ 天干计算方法：， ∴ 天干序号为 ，对应“戊”， ∵ 地支计算方法：， ∴ 地支序号为 ，对应“申”， ∴ 2028年为农历戊申年， 故选B． 22．干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减，除以所得的余数；地支的计算方法是：年份减，除以所得的余数，若余数为，则天干序号为，地支序号为．以年为例：天干为；地支为；对照天干地支表得出，年为农历庚辰年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 依据上述规律推断年为农历（    ）年． A．壬子 B．乙卯 C．壬申 D．戊辰 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的运算，根据题意可知天干计算： ，地支计算： ． 【详解】解：天干计算： ，所以，天干编号对应“壬”． 地支计算： ，所以， 地支编号对应“子”． 所以，年为农历壬子年． 故选：A 23．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称，“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”十个符号天干；“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戊、亥”十二个符号叫地支．把干支（天干+地支）顺序相配（甲子、乙丑、丙寅…）正好六十为一周期，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”，公历年数先减三，除十余数是天干，改用十二除，余数便是地支年，如2024年是甲辰年，依据上述规律推断析1997应为 _______ 年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 【答案】丁丑 【分析】本题考查有理数的除法运算，根据题意，列式计算出1997年对应的天干和地支，从而可以写出1997年为农历哪一年． 【详解】解：由题意可得， 天干为：； 地支为：； 对照天干地支表得出，1997年为农历丁丑年， 故答案为：丁丑． 24．【阅读理解】 沪科版新教材七年级上册第206页《综合与实践》里提到了一种中国自古以来就一直使用的纪年方法：干支纪年，以下是关于干支纪年的素材，请阅读后解决问题． 素材①：干支是天干和地支的总称，十天干依次为：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支依次为：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，即：甲子、乙丑、丙寅、丁卯、戊辰、己巳、庚午、辛未、壬申、癸酉、甲戌、乙亥、丙子、丁丑、……、辛酉、壬戌、癸亥、甲子、乙丑、……，每个组合代表一年，60年为一个循环，也称60年一甲子． 素材②：把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号． 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 天干的计算方法是：年份减3，除以10后，所得的余数； 地支的计算方法是：年份减3，除以12后，所得的余数． 以2024年为例，天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，2024年为农历甲辰年． 素材③：十二地支又与十二生肖依次顺位相对应为：子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪． 【解决问题】 (1)获得诺贝尔医学奖的中国科学家屠呦呦生于公历1930年，用干支纪年法她生于农历______年，她的属相是______年； (2)今年是伟大祖国75周年华诞，75年前的1949年用干支纪年法是农历______年； (3)六十甲子中有农历丁卯、丁丑、丁亥、丁酉、……，会不会出现“丁午”年？请说明理由． 【答案】(1)庚午，马 (2)己丑 (3)不会，理由见解析 【分析】此题考查了有理数的四则混合运算，解题的关键是掌握天干地支纪年法的计算方法． （1）根据干支纪年法的计算方法求解即可； （2）根据干支纪年法的计算方法求解即可； （3）由天干中的单数个的字对应的字是地支的单数个字可作出判断． 【详解】（1）解：∵屠呦呦生于公历1930年， ∴天干为：； 地支为：； ∴用干支纪年法她生于农历庚午年，她的属相是马年； （2）解：∵75年前是1949年， ∴天干为：； 地支为：； ∴用干支纪年法是农历己丑年； （3）解：∵与天干中的单数个的字对应的字是地支的单数个字，而丁是第4个，是双数， 与之相对的字只能是地支中的第双数个字， ∵午”的排名是单数， ∴不会出现“丁午”年． ◆题型7 幻方类规律题 25．我国古代的“洛书”被认为是世界上最早的幻方（三阶幻方），它将填入的方格中，使得每行、每列及对角线上的数字和均相等，这种“数字均衡”的思想也延伸出许多趣味填数问题．现有一个仿幻方结构的填数图如图所示，将2，，6，，10，，14，分别填入图中的圆圈内，使每个正方形顶点处4个数字之和与每条斜线上4个数字之和都相等，则该填数图余下的空位一共有（    ）种填法． A．4 B．8 C．12 D．以上都不正确 【答案】B 【分析】本题考查数字类规律题，熟练找准规律是解题的关键． 根据每个正方形顶点处4个数字之和与每条斜线上4个数字之和都相等，可以得到、、的关系，观察发现，小正方形的顶点数字和与左上斜线的数字和之间的关系，进而分情况讨论求解即可． 【详解】解：假设填数图中右上角为、左下角为、中间右下角为， 每个正方形顶点处4个数字之和与每条斜线上4个数字之和都相等，设为， 则， 即， 根据得：， 所有数的总和为： ， 则， 即 因此； 由题意可知，、、、为2、、6、中的数， 由可得， 当时，，符合题意， 则此时有种情况， 当时，，符合题意， 则此时有种情况， 综上，该填数图余下的空位一共有种填法． 故选：B． 26．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方—九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3个数之和均相等，例如下图（1）就是一个幻方，图（2）是一个未完成的幻方，则a的值是______．    【答案】9 【分析】由题意可知，图（2）中幻方的每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3个数之和为，即进而得出、的值，即可求出a的值． 【详解】解：由题意可知，幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3个数之和均相等， 即图（2）中幻方的每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3个数之和为， 则， ， ， 即a的值是9， 故答案为：9．    【点睛】本题考查了有理数加减法的应用，正确理解幻方—九宫格的要求是解题关键． 27．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，它是由数字组成的一个三行三列的矩阵，其对角线、横向、纵向的数字之和均相等，这个和叫作幻和． (1)图1是一个“幻方”，则___________；___________；___________； (2)小明要将，，，0，2，4，6，8，10这9个数填入如图2所示的“幻方”中，他经过研究，发现在“幻方”中，正中间那个数叫中心数，且“幻和”恰好等于中心数的3倍，并且图2中的中心数是上述9个数的平均数． ①求中心数的值； ②请你帮小明将图2所示的“幻方”的空白方格填满． 【答案】(1)1； ；5 (2)①的值为2； ②填方格如图： 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）根据“幻和”的定义可一次求出，，； （2）①求，，，0，2，4，6，8，10这9个数的平均数即可； ②平均每个方格的值为2和“幻和”的定义即可求得每个数． 【详解】（1）斜对角线上的三个数字之和为， 该方格的“幻和”为9， ，，， 故答案为：1，，5； 每行数字之和为9，共3行， 图1中所有数字之和为， 图1中所有数的和为其“幻和”的3倍； （2）①， 中间数的值为2； ②由①可知，平均每个方格的值为2， 则3个方格之和为6， 幻和为6． 28．填幻方：有人建议向火星发射如图1所示的图案，它叫做幻方，其9个方格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相等．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智慧生物（人）． (1)如图1，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是_____； (2)请把，1，7，10，13，16，19填入图2剩余方格中，使其构成一个幻方； 拓展延伸： (3)如图3，在一个由9个圆圈组成的三角形里，把分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的4个数的和都相等．请填出使的值最大时的一种情形，并直接写出的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) 填表如图： (3) 填表如下： ， 【分析】本体考查有理数的运算，读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键： （1）求出第一行三个数的和即可； （2）所有数据的和除以3，求出每一行，每一列和对角线上的点数和，将9个数排序，中间的数字填写在幻方的中央位置，再根据和的情况进行填写即可； （3）当3个顶点的数是13，16，19时，和最大，当3个顶点的数为，，1时，和最小，进行求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：15； （2）解：∵， ∴每一行，每一列和对角线上的点数和均为21， ∵，，1，4，7，10，13，16，19位于中间的数据为7， ∴幻方最中间的数为7； （3）当3个顶点处的数字为3个最大的数时，和最大， ∴当3个顶点的数是13，16，19时，和最大， ∴， 当3个顶点处的数字为3个最小的数字时，和最小， ∴当3个顶点的数为，，1时，和最小， ∴． ◆题型8 裂项相消法规律题 29．阅读下列材料： 计算： 解：原式 这种求和方法称为“裂项相消法”，请你参照此法计算： ___________． 【答案】 【分析】根据例题中的裂项相消法即可解答 【详解】解：依题意得： 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，弄清题中的方法是解本题的关键． 30．阅读下列材料： 计算： 解：原式 这种求和方法称为“裂项相消法”，请你参照此法计算：______． 【答案】 【分析】先计算分母，再根据“裂项相消法”计算可得答案． 【详解】解： = = = = =， 故答案为：． 【点睛】此题考查了有理数混合运算，正确理解题意掌握解题的方法是解此题的关键． 31．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】 （1）猜想并写出：________； 【理解运用】 （2）类比裂项的方法：计算： 【迁移应用】 （3）探究并计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，会用裂项抵消法解答问题． （1）根据题目中的例子，可以写出相应的猜想； （2）根据式子的特点，采用裂项抵消法可以解答本题； （3）将题目中的式子变形，然后裂项抵消即可解答本题． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）由（1）得： ； （3） ． 32．【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； 【方法属示】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 根据上面获得的经验完成下面的计算： （2）； （3）． 【答案】（1），11；（2）；（3） 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据题意发现第个数为及巧妙利用裂项相消法是解题的关键． （1）观察所给数列，发现它们的分子都是1，分母是两个连续整数的积，据此可解决问题． （2）根据题中所给示例即可解决问题． （3）将所给算式改写成分母为两个连续整数积的形式，再进行计算即可． 【详解】解：（1）由题知， ； ； ； ； …… 所以第个数为：． 当时，．即第6个数为． 当时，， 所以． 即是第11个数． 故答案为：，11． （2）原式 ． （3）原式 ． ◆题型9 错位相减法规律题 33．为了求的值， 可令，则， 因此，所以． 这种方法称为“错位相减法”． 请参考以上推理计算： （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则 ，仿照题目中的“错位相减法”，可得 ，再设，再用错位相减法可得，将其代入中，可得 本题考查了有理数的混合运算，乘方的含义，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键． 【详解】解：设， 则， ∴， 即， 再令， 则， ∴， 即， ∴， ， ， ． 故选：B． 34．阅读材料：求 首先设① 则② 得 即 以上解法，在数列求和中，我们称之为：“错位相减法” __________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方，读懂材料，运用题目中的解题方法，掌握类比思想求解是解题的关键． 设，根据材料中的解法求解即可． 【详解】解：设①， 则②， ，得， ∴， 即． 故答案为：． 35．阅读材料：求的值． 解：设①， 将等式两边同时乘以2得：②， 再将②-①得：， 即． 上述方法称为错位相减法，请你仿照此法计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题中所给的错位相减法进行求解即可． 【详解】解：设①， 将等式两边同时乘以6得：②， 再将得：， 即． 36．【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列的公比为 　　，第项是 　　． 【公式推导】 如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：．所以，，， （2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：　　． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①，则②， 得，∴． 【解决问题】 （3）请仿照小明的方法求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据等比数列的定义即可求解； （2）根据公式推导过程即可求解； （3）根据例题的方法求得，然后错位相减法，即可求解． 【详解】解：（1）等比数列的公比为， 第四项为，第五项为， 故答案为：； （2）∵，，， ∴， 故答案为：； （3）设①， 则②， 得， ∴． 【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，理解题意是解题的关键． ◆题型10 含绝对值的规律计算题 37．学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，；当时，，对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉，例如：；；，． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用算出结果）； ①_________；②_________． (2)请利用你探究的结论计算：． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的加减运算，熟练掌握相关知识点，正确化简绝对值是解题的关键； （1）观察可知，去掉绝对值符号的形式为：较大的数减去较小的数，据此即可求解； （2）由观察所得结论去掉绝对值，然后根据数字的变化规律进行计算． 【详解】（1）解：根据题中规律可得两数相减的绝对值等于较大的数减去较小的数， ，． 故答案为：①；②． （2）解： ， ， ， ． 38．学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，；当时，．对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉．例如：；；；． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不算出结果）： ①__________； ②|__________． (2)请利用你探究的结论计算：． 【答案】(1)①；②； (2)． 【分析】本题考查有理数的运算，化简绝对值，掌握绝对值的意义是解题的关键： （1）①②根据题干中的例子，通过判断绝对值内数的正负，从而得到结果； （2）根据示例，去掉绝对值符号后，对相邻各项进行相消运算，从而得到结果． 【详解】（1）解：①∵， ∴ ②∵， ∴； 故答案为：①；②； （2） ． 39．【阅读思考】 根据绝对值的运算性质可知一个正数的绝对值是其本身，一个负数的绝对值是其相反数，0的绝时值是0，由此可知求一个算式整体的绝对值，可先判断数的正负性，再求它的绝对值，再化简． 例如：， (1)【牛刀小试】 根据上面的规律，把下列各式去掉绝对值符号，不要算出最后结果． ________；      ________； (2)【拓展延伸】 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数的加减计算： （1）根据进行化简绝对值即可； （2）先根据化简绝对值，再根据有理数的加减计算法则求解即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解：原式 ． 40．【阅读思考】 根据绝对值的运算性质可知一个正数的绝对值是其本身，一个负数的绝对值是其相反数，0的绝时值是0，由此可知求一个算式整体的绝对值，可先判断数的正负性，再求它的绝对值，再化简． 例如：，． 【牛刀小试】 （1）根据上面的规律，把下列各式去掉绝对值符号，不要算出最后结果． ①_________； ②_________； ③_________； ④_________． 【拓展延伸】 （2）①； ②． 【答案】（1）①；②；③；④ （2）①；② 【分析】本题考查化简绝对值，有理数的运算，掌握绝对值的意义，是解题的关键． （1）根据绝对值的意义，化简各式即可； （2）先化简绝对值，再进行加法运算即可． 【详解】解：（1）①； ②； ③； ④； 故答案为：①；②；③；④ （2）①原式； ②原式 ． 综合攻坚·知能拔高 1．定义一种新运算：，如，按照上述定义计算的值． 【答案】27 【分析】根据新定义的运算求解即可． 【详解】解： ． 2．【定义新知】 数轴上有三个点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点所表示的数依次为，点到点的距离等于点到点距离的2倍，此时点是点的“关联点”；点到点的距离等于点到点距离的2倍，点也是点的“关联点”． 【尝试应用】 （1）若数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，请判断点是否为点的“关联点”，并说明理由； 【拓展探索】 （2）若数轴上点表示的数为，点表示的数为，为数轴上一个动点： ①当点在点的右侧，且点是点的“关联点”，求此时点所表示的数； ②当点在点的左侧，点中，有一个点恰好是其他两个点的“关联点”，请直接写出此时点所表示的数． 【答案】（1）点A是点B，C的“关联点”， ∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴点A到点C的距离等于点A到点B距离的2倍，点A也是点B，C的“关联点”． （2）①点P所表示的数为，0或4； ②点P所表示的数为，或 【分析】本题主要考查了数轴，利用数轴上两点之间的距离表示有理数，有理数的四则运算，解题的关键是掌握分类讨论的思想． （1）根据“关联点”的定义进行判断即可； （2）①先求出两点之间的距离，分类讨论：第一种情况：点与点B之间的距离等于点与点A之间的距离的2倍时，即点与点A之间的距离为，第二种情况：点与点A之间的距离等于点与点B之间的距离的2倍时，即点与点B之间的距离为，第三种情况：当点在点B的右侧时，有点与点A之间的距离等于点与点B之间距离的2倍，分别求解即可； ②分类讨论：第一种情况：当点为点A，B的“关联点”时，点与点B之间的距离等于点与点A之间距离的2倍， 第二种情况：当点A与点之间的距离等于点与点P之间的距离的2倍时，即点与点P之间的距离为，第三种情况：当点A与点P之间的距离等于点与点B之间的距离的2倍时，即点与点P之间的距离为，分别求解即可． 【详解】解：（1） 略 （2）①由点A、B所表示的数可知， 点与点之间的距离为． 当点在点与点之间时： 第一种情况：点与点B之间的距离等于点与点A之间的距离的2倍时，即点与点A之间的距离为，如图 ∴此时点表示的数为， 第二种情况：点与点A之间的距离等于点与点B之间的距离的2倍时，即点与点B之间的距离为，如图 ∴此时点表示的数为； 第三种情况：当点在点B的右侧时，有点与点A之间的距离等于点与点B之间距离的2倍，如图 ∴点与点之间的距离等于点P与点之间的距离，即点与点B之间的距离为3， ∴此时点表示的数为． 综上可知，点所表示的数为点P所表示的数为，0或4． ②第一种情况：当点为点A，B的“关联点”时： ∵点在点的左侧， ∴点与点B之间的距离等于点与点A之间距离的2倍，如图 ∴点与点A之间的距离等于点与点之间的距离，即点与点之间的距离为3， ∴此时点所表示的数为； 当点为点P，B的“关联点”时：点在点A的左侧，点B在点A的右侧， 第二种情况：当点A与点之间的距离等于点与点P之间的距离的2倍时，即点与点P之间的距离为，如图 ∴此时点所表示的数为； 第三种情况：当点A与点P之间的距离等于点与点B之间的距离的2倍时，即点与点P之间的距离为，如图 ∴此时点所表示的数为， 综上可知，点P所表示的数为，或． 3．综合与实践． 【数学文化】国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，ICME-14于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号（图2）可以用于计数，请探究这个符号所表示的数，互相交流各自的计算方法． 提示：八卦中称为阳爻，对应数字1；称为阴爻，对应数字0，这是二进制计数法．每卦均由三个阳爻或阴爻组成，如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为． 【拓展延伸】二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方（从右往左依次为，，，，依此类推），然后相加．例如， ， ． (1)图2中的记数符号由四个二进制数组成，将它们依次转换为十进制数，得到一个四位数，求出这个四位数； (2)请仿照二进制的说明与算法，将八进制数转换成十进制数； (3)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子出生后的天数，并用二进制数表示． (4) 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解题意并正确使用所给的方法是解题关键． （1）根据【拓展延伸】所给的方法，将每个二进制数转化成十进制数，即可得到答案； （2）类比二进制，八进制数转化为十进制数，需要依次乘以，，，，； （3）根据题干可知，此种计数法属于五进制，类比二进制进行转化，可得十进制下的天数．十进制数转化为二进制数，需要使用除二取余法，即将十进制数反复除以2，并记录每次的余数（0或者1），直到商为0，最后将余数按倒序排列，得到答案． 【详解】（1）解：图2中四个二进制数分别为，，，， 依次转化：， ， ， ， ∴这个四位数为； （2）类比（1）的方法， ， （3）由题意可知，孩子出生天数为，转化为十进制数， ， ∴孩子已经出生了42天． 下面将42转化为二进制数， ， ， ， ， ， ， ∴． 4．请完成以下数学活动： 活动目标 认识进位制，理解不同进位制的数之间的转换 材料1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 十进制数，记作1024； 八进制数，记作； 五进制数，记作； 二进制数，记作； 十六进制数，记作． （十六进制数使用0—9和A—F来表示，其中10，11，12，13，14，15这五个数分别用字母A，B，C，D，E，F表示）． n（，且n为整数）进制数转化成与其相等的十进制数，只需要将n进制数的每个数字，依次乘n的相应次幂相加，就可得到与它相等的十进制数．如：八进制数转十进制数为：． 材料2 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法．例如： 解决问题 任务1： (1)将下列进制数转化为十进制数： ①______；②______； (2)现有三进制数，二进制数，试比较a，b的大小． 任务2： (3)十进制数21转化为二进制数得． (4)如何将一个二进制数转化为十六进制数呢？小勤提出一种想法： 第一步：先将二进制数转为十进制数； 第二步：再将所得的十进制数转化为十六进制数． 根据小勤的思路可以得出：． 【答案】(1)①13 ，②435 (2) (3)10101 (4)2D 【分析】（1）根据进制数的位值表示法，将每一位数字乘以对应基数的幂次后求和，即可转化为十进制． （2）分别将三进制数和二进制数转化为十进制数，再比较大小． （3） 采用“除二余法”将十进制数反复除以，记录余数，倒序排列即为二进制结果． (4) 先将二进制数按位值展开转化为十进制数，再用“除十六取余法”将十进制数转化为十六进制数． 【详解】（1）解：① ． ② ． （2）解：， ， ， ． （3）解：用除取余法， ， ， ， ， ， 将余数从下往上倒序排列，得． （4）解：第一步，将二进制数转化为十进制数： ． 第二步，用除16取余法将45转化为十六进制数： ， ， 将余数从下往上倒序排列，得， ． 5．【例读理解】 “干支（）纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，以下是关于干支纪年的素材，请阅读后解决问题． 素材①：干支是天干和地支的总称，十天干依次为：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支依次为：子、丑、寅、卯、辰、巳、午，未、申、酉、戌、亥．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，即：甲子，乙丑、丙寅、丁卯、戊辰、己巳、庚午、辛未、壬申、癸酉、甲戌、乙亥、丙子、丁丑、……、辛酉、壬戌、癸亥、甲子、乙丑、……，每个组合代表一年，60年为一个循环，也称60年一甲子． 素材②：把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号． 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 天干的计算方法是：年份减3，除以10后，所得的余数； 地支的计算方法是：年份减3，除以12后，所得的余数． 以2025年为例， 天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，2025年为农历乙巳年． 素材③：十二地支又与十二生肖依次顺位相对应为：子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪． 【解决问题】 (1)杨振宁，1922年10月1日出生于中国安徽合肥，是世界著名物理学家、诺贝尔物理学奖获得者，他被公认为20世纪最重要的物理学家之一，其工作深刻影响了现代物理学的发展，他不仅在国际上享有崇高声誉，也为中国科学事业的发展作出了重要贡献．用干支纪年法判断他出生于农历______年，他的属相是______； (2)2025年9月3日，北京天安门广场举行了盛大阅兵式，这是纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年活动的重要组成部分，80年前的1945年用干支纪年法是农历______年； 下列历史事件与公元纪年时间对应错误的是（   ） A．辛亥革命——1911年    B．戊戌变法——1898年 C．癸卯学制——1904年    D．甲申之变——1645年 【答案】(1)壬戌，狗 (2)乙酉，D 【分析】此题考查了有理数的四则混合运算，解题的关键是掌握天干地支纪年法的计算方法． （1）根据干支纪年法的计算方法求解即可； （2）根据干支纪年法的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，1922年为农历壬戌年，对应戌狗， 故答案为：壬戌，狗； （2）解：天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，1945年为农历乙酉年， 故答案为：乙酉； A、天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，1911年为农历辛亥年，正确，不符合题意； B、天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，1898年为农历戊戌年，正确，不符合题意； C、天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，1904年为农历甲辰年，而癸卯学制颁布的时候是1904.1.13是公历，但是古代是干支纪元，还属于光绪29年即癸卯年，故正确，不符合题意； D、天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，1645年为农历乙酉年，错误，符合题意； 故选：D． 6．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将9个数字（数字不重复使用）安排在三行三列的正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字之和都相等． (1)根据“洛书”中表达的意思，将图2中的三阶幻方补充完整； (2)如图3是一个新的三阶幻方，请根据图中给出的数据，将，，0，1，4这五个数字填入表格（数字不重复使用），补全这个新的三阶幻方； (3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．将，，，，，，2，4，6，8，10，12这12个数字填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点的“〇”中的数的和都相等．则　　　　（注：） 【答案】(1) 补充完整的三阶幻方如图所示： (2) 补充完整的新的三阶幻方如图所示： (3)或11 【分析】本题考查了有理数的加减法，注重考查学生的思维能力和运算能力． （1）由题意求出每行、列和对角线上的数字之和，然后依次求出三阶幻方内的其他数字即可； （2）由题意求出新的三阶幻方的每行、列和对角线上的数字之和，然后依次求出三阶幻方内的其他数字即可； （3）根据题意求出每个正方形的4个顶点的“○”中的数的和，再求出m、n的值，进而即可求出的值． 【详解】（1）解：由题意可知：每行、列和对角线上的数字之和都相等， 和对角线上的数字之和， 第三行第三列上的数字为， 第一行第二列上的数字为， 第一行第一列上的数字为， 第二行第一列上的数字为， 第二行第三列上的数字为， （2）解：根据题意，新的三阶幻方的每行、列和对角线上的数字之和为：， 第一行第一列上的数字为， 第二行第二列上的数字为， 第二行第三列上的数字为， 第三行第一列上的数字为， 第三行第三列上的数字为 （3）解：根据题意得：每个正方形的4个顶点的“○”中的数的和为： ， ，，， 解得：，，或， 或11． 7．（1）①观察一列数1，2，4，8，16，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 ；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么 ， ； ②为了求的值，可以这么做； 令， 则， 因此， 所以， 即． 仿照以上推理： （2）计算的值． （3）计算． 【答案】（1）2，，；（2）；（3） 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数探索出数的排列规律，再根据例题会用错位相减法求和是解题的关键． （1）根据所给的数，可得，再求解即可； （2）令，则，再作差求和即可； （3）设 ，则，再作差得，再结合（1）②的结论求和即可． 【详解】解：（1）∵， ∴每一项与前一项之比是常数2， ∴， ∴， 故答案为：2，，； （2）令， ∴， ∴， 解得，     ∴的值为； （3）设 ， ∴ ， ∴， 由（1）②得， 所以， 即， 所以． 8．阅读材料：求． 首先设①， 则②， 得， 即． 以上解法，在数列求和中，我们称之为“错位相减法”． 请你根据上面的材料，解决下列问题： (1)． (2)； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以2，再错位相减求解； （2）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以，再错位相减求解； （3）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以3，再错位相减求解． 【详解】（1）解：设， 则， 得：； （2）解：设， 则， 得：， 所以； 即； （3）设， 则3S=3+32+33+34+35+…+32023②， 得：， 所以， 即． 【点睛】本题考查数字规律及有理数的混合运算，理解并掌握“错位相减法”，是解题的关键． 9．学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，例如：，，，． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不算出结果）： ①__________； ②__________； ③__________； (2)用合理的方法计算：． 【答案】(1)①；②；③； (2) 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的加减混合运算，理解绝对值的意义，正确去绝对值符号是解题关键． （1）根据已知规律去绝对值符号即可； （2）先判断绝对值符号内正负，再去绝对值符号，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解：①； 故答案为：； ②； 故答案为：； ③； 故答案为：； （2）解：，， ． 10．小明发现，不计算结果，也可根据绝对值的性质去掉绝对值符号，如：；；；． 根据上述规律，去掉下列各式的绝对值符号： (1)______；______；______． (2)有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则______； (3)用简便的方法计算： 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值的性质，有理数的加减混合运算，数轴； （1）比较两个数的大小，判断运算结果的正负，再根据绝对值的性质去掉绝对值即可； （2）根据数轴中的位置得出，且，进而得出，根据绝对值的性质化简得出答案； （3）利用绝对值的性质化简，然后根据有理数的加减混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ； ∵ ∴， ∴； 故答案为：；；； （2）解：根据数轴中的位置得出，且， ， ∴， ； 故答案为：； （3）解：设n是正整数，则，则，则， ∴原式． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 有理数的新定义运算与规律探究 常考题型·精准突破 考点一 有理数的新定义运算与规律探究问题 题型一：有理数的新定义运算 题型二：数轴相关的新定义问题 题型三：二进制计算问题 题型四：含乘方的规律计算题 题型五：比较大小的规律题 题型六：干支纪年的规律题 题型七：幻方类规律题 题型八：裂项相消法规律题 题型九：错位相减法规律题 题型十：含绝对值的规律计算题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 有理数的新定义运算与规律探究问题 ◆题型1 有理数的新定义运算 1．若定义一种新的运算：，请利用此定义计算：_______． 2．高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知[x]表示不超过x的最大整数，例如，．现定义，例如．则_____________． 3．在学习了《有理数的运算》后，小奇同学对有理数运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，运算规则如下：（不相等），例如，． (1)填空：_________； (2)求的值； (3)试以和的值说明：对于新定义的运算“”，交换律是否成立？ 4．新定义运算． 已知，是有理数，且． (1)________，________． (2)借助有理数的运算，我们定义了一种关于有理数，的新运算“*”：，例如． ①求的值． ②请判断这种新运算“*”是否满足交换律？通过计算探究是否一定成立？ ◆题型2 数轴相关的新定义问题 5．我们给出如下定义：数轴上给出不重合的两点、，若数轴上存在一点，且点到点的距离等于点到点的距离，则称点为点与点的“雅中点”．根据上述定义，解答下列问题： (1)若数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点为点与点的“雅中点”，则点表示的数为______； (2)若数轴上点与点的“雅中点”表示的数为2，、两点的距离为9（点在点的左侧），求点和点表示的数； (3)已知数轴上点、、表示的数分别是，，，点在点、之间运动（点可与点、重合）．设点表示的数为，且点为点与点的“雅中点”，求可取的整数． 6．阅读理解，完成下列各题．定义：已知A、、 为数轴上任意三点，若点到A的距离是它到点的距离的倍，则称点是的倍点．例如：如图，点是的倍点，点不是的倍点，但点是的倍点，根据这个定义解决下面问题： (1)在图中，点A是 的倍点，点是 的倍点；（选用A、、、表示，不能添加其他字母） (2)如图，、为数轴上两点，点表示的数是，点表示的数是，若点是的倍点，则点表示的数是 ． (3)若、为数轴上两点，点在点的左侧，且，一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒，求当为何值时，点恰好是和两点的倍点？（用含的代数式表示） 7．定义：已知点，，为数轴上三点，我们规定：点到点的距离是点到点的距离的倍，则称是的“倍点”，记作：．例如：若点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则是的“倍点”，记作：． 应用： 如图有一条数轴，、、为数轴上三点，分别对应，，． (1)①、两点之间的距离是__________； ②求的值； (2)若点在数轴上且，求点表示的数； (3)若点是数轴上一点，且，直接写出点表示的数． 8．定义：数轴上的三点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为，0，2，满足，此时点B是点A，C的“倍分点”．已知点A，B，C，M，N在数轴上所表示的数如图所示． (1)A，B，C三点中，点 是点M，N的“倍分点”； (2)若数轴上点M是点D，A的“倍分点”，则点D对应的数是 ； (3)若数轴上点N是点P，M的“倍分点”，且点P在点N的右侧，求此时点P表示的数． ◆题型3 二进制计算问题 9．我们常用的数是十进制数，如十进制中的数，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，而在电子计算机中用的二进制的数只用两个数码：0和1，如果二进制中的等于十进制的11，二进制中的数等于十进制的13，那么二进制中的数转换为十进制的数是_____． 10．二进制在计算机科学中有广泛的应用，二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1，并利用下标表示二进制数，例如，就是二进制数1011的简单写法．在学习教科书《进位制的认识与探究》以后，爱国查阅了资料并进行了思考，发现以下两种方法均可实现二进制与十进制之间的转换． 以98为例： 方法一：因为 所以． 方法二：用如图的短除法算式表示： 根据以上材料，把234转换为五进制数是（    ） A． B． C． D． 11．第十四届国际数学教育大会（简称）的标识（如图）蕴含多种数学元素．“”下方的“卦”依次表示四个二进制数：、、、，可将它们依次转换为十进制数．其中，二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘2的相应次方（从右往左依次为，，），然后相加，例如．（注：） 请回答以下问题： (1)请将二进制数、分别转换为十进制数； (2)请仿照二进制数转换为八进制数的方法，将八进制数转换为十进制数（注：）； (3)已知一个八进制数对应的十进制数是123，且a，b，c均为0到7的整数．若将a，b，c分别用3位二进制表示（如），则这个二进制序列对应的八进制数就是，求a，b，c的值，并写出它们对应的二进制表示． 12．【问题情境】 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定十进制是逢十进一，二进制就是逢二进一．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．日常生活中我们最常用的是十进制，使用十个数字记数，而电子计算机使用的是二进制，其各数位上的数字为或．如，就是二进制数的简单写法，十进制数一般不标注基数． 【初探感知】 （）把十进制数转换成进制数，采用“除以取余数”的方法，即将十进制数除以，然后对商继续除以，直到商等于为止，最后将所有的余数从后往前倒序写，就是结果，例如将十进制数转换为二进制数结果为 （）不同进位制之间是可以相互转换的，例如二进制数转换为十进制数为： 综合实践： 年月日时分，中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域，成功发射发携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹，准确落入预定海域．射程超过公里，覆盖全球所有区域，展示了我国精确打击能力和威慑力．此消息一出振奋人心，是无数科学家们日以继夜的奋战换来的成果．同样也离不开计算机的帮忙，计算机是使用二进制进行运算的，与我们日常使用的十进制不同，应用你学的知识，解答下列问题： (1)请把射程公里转化为六进制的数应该为 公里； (2)在设计洲际弹道导弹时，科学家想把计算机中的数据的数转化为八进制的数，则这个数应该是 ； (3)把，转化为二进制的数分别为 ；利用二进制数的加法法则计算他们的和为 ． ◆题型4 含乘方的规律计算题 13．观察下列算式发现规律：，，，，，，…，用你所发现的规律写出：的个位数字是______． 14．观察下列等式： ；；；；… （1）根据上面规律，若，，则____，____． （2）用含有自然数n的式子表示上述规律为_______________． 15．阅读探究：；；；；… (1)根据上述规律，求的值； (2)你能用一个含有（为正整数）的算式表示这个规律吗？请直接写出这个算式（不计算）； (3)根据你发现的规律，计算下面算式的值：． 16．观察下列等式 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； ， 按上述规律，回答下列问题： (1)请写出第六个等式：______； (2)请写出第个等式：______； (3)计算：． ◆题型5 比较大小的规律题 17．请阅读材料，并解决问题． 比较两个数的大小的方法： 若比较与的大小，利用绝对值法比较这两个负数的大小要涉及到分数的通分，计算量大，可以使用如下的方法改进： 解：因为，，所以，所以． (1)上述方法是先通过找中间量______来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，______大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； (2)利用上述方法比较与的大小． 18．你能比较和的大小吗？ 为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较和的大小（n为正整数），我们从…这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜出结论 (1)通过计算，比较下列各组数字大小： ①__________；   ②__________；   ③__________； ④__________；   ⑤__________；   ⑥__________… (2)将第（1）题的结果进行归纳，你能得出什么结论？ (3)根据上面的归纳猜想得到的结论，试比较两个数的大小： __________（填或）． 19．【观察】 （1）比较大小： ①，； ②，； ③，； ④，． 【归纳】 （2）通过（1）中的大小比较，猜想并归纳出与的大小关系，并说明满足什么关系时，成立． 【应用】 （3）当时，的取值范围是 ． （4）若，求的值． 20．探索研究： (1)比较下列各式的大小．（用“”、“”或“”连接） ①______； ②______； ③_______ ④_______． (2)通过（1）中的大小比较，猜想并归纳出与的大小关系，并说明，满足什么关系时，成立？ (3)根据（2）中得出的结论解答：如果，求的值． ◆题型6 干支纪年的规律题 21．干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2000年为例：天干为；地支为；对照天干地支表得出，2000年为农历庚辰年． 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 寅 卯 辰 已 午 未 申 酉 戌 亥 依据上述规律推断2028年为农历（    ）年． A．乙已 B．戊申 C．乙申 D．戊已 22．干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减，除以所得的余数；地支的计算方法是：年份减，除以所得的余数，若余数为，则天干序号为，地支序号为．以年为例：天干为；地支为；对照天干地支表得出，年为农历庚辰年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 依据上述规律推断年为农历（    ）年． A．壬子 B．乙卯 C．壬申 D．戊辰 23．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称，“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”十个符号天干；“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戊、亥”十二个符号叫地支．把干支（天干+地支）顺序相配（甲子、乙丑、丙寅…）正好六十为一周期，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”，公历年数先减三，除十余数是天干，改用十二除，余数便是地支年，如2024年是甲辰年，依据上述规律推断析1997应为 _______ 年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 24．【阅读理解】 沪科版新教材七年级上册第206页《综合与实践》里提到了一种中国自古以来就一直使用的纪年方法：干支纪年，以下是关于干支纪年的素材，请阅读后解决问题． 素材①：干支是天干和地支的总称，十天干依次为：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支依次为：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，即：甲子、乙丑、丙寅、丁卯、戊辰、己巳、庚午、辛未、壬申、癸酉、甲戌、乙亥、丙子、丁丑、……、辛酉、壬戌、癸亥、甲子、乙丑、……，每个组合代表一年，60年为一个循环，也称60年一甲子． 素材②：把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号． 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 天干的计算方法是：年份减3，除以10后，所得的余数； 地支的计算方法是：年份减3，除以12后，所得的余数． 以2024年为例，天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，2024年为农历甲辰年． 素材③：十二地支又与十二生肖依次顺位相对应为：子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪． 【解决问题】 (1)获得诺贝尔医学奖的中国科学家屠呦呦生于公历1930年，用干支纪年法她生于农历______年，她的属相是______年； (2)今年是伟大祖国75周年华诞，75年前的1949年用干支纪年法是农历______年； (3)六十甲子中有农历丁卯、丁丑、丁亥、丁酉、……，会不会出现“丁午”年？请说明理由． ◆题型7 幻方类规律题 25．我国古代的“洛书”被认为是世界上最早的幻方（三阶幻方），它将填入的方格中，使得每行、每列及对角线上的数字和均相等，这种“数字均衡”的思想也延伸出许多趣味填数问题．现有一个仿幻方结构的填数图如图所示，将2，，6，，10，，14，分别填入图中的圆圈内，使每个正方形顶点处4个数字之和与每条斜线上4个数字之和都相等，则该填数图余下的空位一共有（    ）种填法． A．4 B．8 C．12 D．以上都不正确 26．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方—九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3个数之和均相等，例如下图（1）就是一个幻方，图（2）是一个未完成的幻方，则a的值是______．    27．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，它是由数字组成的一个三行三列的矩阵，其对角线、横向、纵向的数字之和均相等，这个和叫作幻和． (1)图1是一个“幻方”，则___________；___________；___________； (2)小明要将，，，0，2，4，6，8，10这9个数填入如图2所示的“幻方”中，他经过研究，发现在“幻方”中，正中间那个数叫中心数，且“幻和”恰好等于中心数的3倍，并且图2中的中心数是上述9个数的平均数． ①求中心数的值； ②请你帮小明将图2所示的“幻方”的空白方格填满． 28．填幻方：有人建议向火星发射如图1所示的图案，它叫做幻方，其9个方格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相等．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智慧生物（人）． (1)如图1，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是_____； (2)请把，1，7，10，13，16，19填入图2剩余方格中，使其构成一个幻方； 拓展延伸： (3)如图3，在一个由9个圆圈组成的三角形里，把分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的4个数的和都相等．请填出使的值最大时的一种情形，并直接写出的最大值和最小值． ◆题型8 裂项相消法规律题 29．阅读下列材料： 计算： 解：原式 这种求和方法称为“裂项相消法”，请你参照此法计算： ___________． 30．阅读下列材料： 计算： 解：原式 这种求和方法称为“裂项相消法”，请你参照此法计算：______． 31．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】 （1）猜想并写出：________； 【理解运用】 （2）类比裂项的方法：计算： 【迁移应用】 （3）探究并计算：． 32．【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； 【方法属示】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 根据上面获得的经验完成下面的计算： （2）； （3）． ◆题型9 错位相减法规律题 33．为了求的值， 可令，则， 因此，所以． 这种方法称为“错位相减法”． 请参考以上推理计算： （   ） A． B． C． D． 34．阅读材料：求 首先设① 则② 得 即 以上解法，在数列求和中，我们称之为：“错位相减法” __________． 35．阅读材料：求的值． 解：设①， 将等式两边同时乘以2得：②， 再将②-①得：， 即． 上述方法称为错位相减法，请你仿照此法计算：． 36．【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列的公比为 　　，第项是 　　． 【公式推导】 如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：．所以，，， （2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：　　． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①，则②， 得，∴． 【解决问题】 （3）请仿照小明的方法求的值． ◆题型10 含绝对值的规律计算题 37．学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，；当时，，对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉，例如：；；，． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用算出结果）； ①_________；②_________． (2)请利用你探究的结论计算：． 38．学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，；当时，．对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉．例如：；；；． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不算出结果）： ①__________； ②|__________． (2)请利用你探究的结论计算：． 39．【阅读思考】 根据绝对值的运算性质可知一个正数的绝对值是其本身，一个负数的绝对值是其相反数，0的绝时值是0，由此可知求一个算式整体的绝对值，可先判断数的正负性，再求它的绝对值，再化简． 例如：， (1)【牛刀小试】 根据上面的规律，把下列各式去掉绝对值符号，不要算出最后结果． ________；      ________； (2)【拓展延伸】 40．【阅读思考】 根据绝对值的运算性质可知一个正数的绝对值是其本身，一个负数的绝对值是其相反数，0的绝时值是0，由此可知求一个算式整体的绝对值，可先判断数的正负性，再求它的绝对值，再化简． 例如：，． 【牛刀小试】 （1）根据上面的规律，把下列各式去掉绝对值符号，不要算出最后结果． ①_________； ②_________； ③_________； ④_________． 【拓展延伸】 （2）①； ②． 综合攻坚·知能拔高 1．定义一种新运算：，如，按照上述定义计算的值． 2．【定义新知】 数轴上有三个点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点所表示的数依次为，点到点的距离等于点到点距离的2倍，此时点是点的“关联点”；点到点的距离等于点到点距离的2倍，点也是点的“关联点”． 【尝试应用】 （1）若数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，请判断点是否为点的“关联点”，并说明理由； 【拓展探索】 （2）若数轴上点表示的数为，点表示的数为，为数轴上一个动点： ①当点在点的右侧，且点是点的“关联点”，求此时点所表示的数； ②当点在点的左侧，点中，有一个点恰好是其他两个点的“关联点”，请直接写出此时点所表示的数． 3．综合与实践． 【数学文化】国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，ICME-14于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号（图2）可以用于计数，请探究这个符号所表示的数，互相交流各自的计算方法． 提示：八卦中称为阳爻，对应数字1；称为阴爻，对应数字0，这是二进制计数法．每卦均由三个阳爻或阴爻组成，如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为． 【拓展延伸】二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方（从右往左依次为，，，，依此类推），然后相加．例如， ， ． (1)图2中的记数符号由四个二进制数组成，将它们依次转换为十进制数，得到一个四位数，求出这个四位数； (2)请仿照二进制的说明与算法，将八进制数转换成十进制数； (3)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子出生后的天数，并用二进制数表示． (4) 4．请完成以下数学活动： 活动目标 认识进位制，理解不同进位制的数之间的转换 材料1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 十进制数，记作1024； 八进制数，记作； 五进制数，记作； 二进制数，记作； 十六进制数，记作． （十六进制数使用0—9和A—F来表示，其中10，11，12，13，14，15这五个数分别用字母A，B，C，D，E，F表示）． n（，且n为整数）进制数转化成与其相等的十进制数，只需要将n进制数的每个数字，依次乘n的相应次幂相加，就可得到与它相等的十进制数．如：八进制数转十进制数为：． 材料2 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法．例如： 解决问题 任务1： (1)将下列进制数转化为十进制数： ①______；②______； (2)现有三进制数，二进制数，试比较a，b的大小． 任务2： (3)十进制数21转化为二进制数得． (4)如何将一个二进制数转化为十六进制数呢？小勤提出一种想法： 第一步：先将二进制数转为十进制数； 第二步：再将所得的十进制数转化为十六进制数． 根据小勤的思路可以得出：． 5．【例读理解】 “干支（）纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，以下是关于干支纪年的素材，请阅读后解决问题． 素材①：干支是天干和地支的总称，十天干依次为：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支依次为：子、丑、寅、卯、辰、巳、午，未、申、酉、戌、亥．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，即：甲子，乙丑、丙寅、丁卯、戊辰、己巳、庚午、辛未、壬申、癸酉、甲戌、乙亥、丙子、丁丑、……、辛酉、壬戌、癸亥、甲子、乙丑、……，每个组合代表一年，60年为一个循环，也称60年一甲子． 素材②：把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号． 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 天干的计算方法是：年份减3，除以10后，所得的余数； 地支的计算方法是：年份减3，除以12后，所得的余数． 以2025年为例， 天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，2025年为农历乙巳年． 素材③：十二地支又与十二生肖依次顺位相对应为：子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪． 【解决问题】 (1)杨振宁，1922年10月1日出生于中国安徽合肥，是世界著名物理学家、诺贝尔物理学奖获得者，他被公认为20世纪最重要的物理学家之一，其工作深刻影响了现代物理学的发展，他不仅在国际上享有崇高声誉，也为中国科学事业的发展作出了重要贡献．用干支纪年法判断他出生于农历______年，他的属相是______； (2)2025年9月3日，北京天安门广场举行了盛大阅兵式，这是纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年活动的重要组成部分，80年前的1945年用干支纪年法是农历______年； 下列历史事件与公元纪年时间对应错误的是（   ） A．辛亥革命——1911年    B．戊戌变法——1898年 C．癸卯学制——1904年    D．甲申之变——1645年 6．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将9个数字（数字不重复使用）安排在三行三列的正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字之和都相等． (1)根据“洛书”中表达的意思，将图2中的三阶幻方补充完整； (2)如图3是一个新的三阶幻方，请根据图中给出的数据，将，，0，1，4这五个数字填入表格（数字不重复使用），补全这个新的三阶幻方； (3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．将，，，，，，2，4，6，8，10，12这12个数字填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点的“〇”中的数的和都相等．则　　　　（注：） 7．（1）①观察一列数1，2，4，8，16，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 ；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么 ， ； ②为了求的值，可以这么做； 令， 则， 因此， 所以， 即． 仿照以上推理： （2）计算的值． （3）计算． 8．阅读材料：求． 首先设①， 则②， 得， 即． 以上解法，在数列求和中，我们称之为“错位相减法”． 请你根据上面的材料，解决下列问题： (1)． (2)； (3)求的值． 9．学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，例如：，，，． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不算出结果）： ①__________； ②__________； ③__________； (2)用合理的方法计算：． 10．小明发现，不计算结果，也可根据绝对值的性质去掉绝对值符号，如：；；；． 根据上述规律，去掉下列各式的绝对值符号： (1)______；______；______． (2)有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则______； (3)用简便的方法计算： 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $