专题01 有理数100道计算题训练14大题型（专项训练）数学新教材冀教版七年级上册

**基本信息** 聚焦有理数14大计算题型，以100道题构建从基础运算到综合应用的递进训练体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|加/减/乘/除（各6-8题）|单一运算法则应用|从基本定义到符号法则，构建运算基础| |混合运算|乘方/含绝对值（各5-7题）|运算顺序与符号处理|整合乘方优先级、绝对值性质，提升综合运算能力| |文字与应用|文字计算/程序流程图（各5-6题）|数学语言转化与逻辑推理|连接数学概念与实际问题，培养应用意识| |创新拓展|规律计算/二进制/新定义（各5-6题）|抽象思维与迁移应用|从数式规律到跨学科运算，发展创新意识|

专题01 有理数100道计算题训练14大题型 常考题型·精准突破 考点一 有理数的计算题训练 题型一 有理数的加法运算 题型二 有理数的减法运算 题型三 有理数的乘法运算 题型四 有理数的除法运算 题型五 有理数的乘方运算（高频） 题型六 含乘方的有理数混合运算（重） 题型七 含绝对值的有理数计算（重） 题型八 含绝对值、相反数和倒数的文字计算题（高频） 题型九 有理数的简便计算 题型十 有理数的规律计算题（难） 题型十一 二进制计算（难） 题型十二 程序流程图与有理数计算 题型十三 算24点 题型十四 有理数的新定义运算（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 有理数的计算题训练 ◆题型1 有理数的加法运算 1．计算：． 【答案】10 【详解】． 2．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)18 (2) (3) 【详解】（1）解：； ． （2）解： ． （3）解： ． 4．计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 【答案】(1)3 (2)0 (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： . 5．计算： (1)； (2) (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 6．计算： (1)； (2)． (3)； 【答案】(1)3 (2) (3)18 (4) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． ◆题型2 有理数的减法运算 7．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)8 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算，熟知有理数的加减运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的减法运算法则求解即可； （2）根据有理数的加法运算法则求解即可； （3）根据有理数的加减运算法则求解即可； （4）根据有理数的加减运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了有理数的减法运算和有理数的加减混合运算，解决本题的关键是根据有理数的减法法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算转化为加法运算，再根据有理数的加法法则进行计算． （1）根据有理数的减法法则把减法转化为加法，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； （2）根据有理数的减法法则把减法转化为加法，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； （3）根据有理数的减法法则把减法转化为加法，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； （4）根据有理数的减法法则把减法转化为加法，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； （5）根据有理数的减法法则把减法转化为加法，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； （6）根据有理数的减法法则把减法转化为加法，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：； （5）解： ； （6）解： ． 9．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． （1）先将减法转化为加法，再利用有理数的加法法则计算即可； （2）先将小数化为带分数，再所有的带分数进行拆分，紧接着将减法转化为加法，再利用加法交换律和结合律，将同分母分数结合进行简便计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 10．计算 (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3)4.55 (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 11．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 12．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，相反数，解题的关键是掌握有理数的加减混合运算法则，相反数的定义． （1）先去括号，再把减法化为加法，最后运算加法，即可作答． （2）把小数化为分数，再根据加法运算律进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ◆题型3 有理数的乘法运算 13．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的乘法法则． （1）根据有理数的乘法法则计算即可； （2）根据有理数的乘法法则计算即可； （3）根据有理数的乘法法则计算即可； （4）根据有理数的乘法法则计算即可； （5）根据有理数的乘法法则计算即可； （6）根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 14．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查两个有理数的乘法，根据“同号得正，异号得负”的法则求解即可． 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 15．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)1 (2) (3) (4)3 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据两个有理数乘法运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则以及运算律进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： 17．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 9 【分析】本题考查有理数的混合运算． （1）把小数化为分数，按照运算法则计算即可； （2）先计算各部分，再进行加减计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，掌握有理数乘除混合运算的运算法则是解题关键． （1）按照有理数乘法运算的法则进行计算即可； （2）按照有理数乘法运算的法则进行计算即可； （3）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可； （4）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． ◆题型4 有理数的除法运算 19．简便计算 (1) (2) (3) 【答案】(1)34 (2) (3)1 【分析】（1）把除法化为乘法运算，再结合乘法运算律进行简便运算即可； （2）括号内利用分配律进行简便运算，再进一步计算即可； （3）把带分数化为假分数，再结合分配律进行简便运算，进一步计算除法运算，最后计算加法运算即可. 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 20．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的除法运算： （1）变除法为乘法，再约分化简即可； （2）变小数为分数，再变除法为分数乘法，最后约分化简； （3）变带分数为假分数，变除法为乘法，再约分化简即可； （4）变带分数为假分数，变除法为乘法，再约分化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：. 21．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3)21 (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了有理数的除法， 根据有理数的除法法则逐个计算，两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 22．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的乘除运算，熟练掌握有理数的乘除运算是解题的关键； （1）根据有理数的乘法及除法运算可进行求解； （2）根据有理数的除法运算可进行求解； （3）根据有理数的乘法及除法运算可进行求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 23．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2)2 (3)3 (4) 【分析】本题考查有理数的除法运算．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；符号法则：同号得正，异号得负．对于连续除法，从左到右依次计算或统一转换为乘法后计算． （1）根据除法计算即可； （2）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （3）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （4）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 24．在学习了有理数的除法后，我们知道了有理数的除法可以转化为乘法：“除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数．”请根据所学知识完成下列问题． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则______； (2)计算：； (3)根据以上信息可知：______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的除法运算以及倒数，理解并掌握倒数的意义是解题的关键． （1）由题意直接根据倒数的定义即可求解； （2）先将除法运算化为乘法运算，再利用乘法分配律进行计算即可求解； （3）直接根据（2）的结果结合倒数的定义即可求解． 【详解】（1）解：，即， ， 即， 故答案为：； （2）解：原式， ， ； （3）解：由（2）可知，， ， 故答案为：． ◆题型5 有理数的乘方运算 25．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 26．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【答案】（1）；（2）；（3）； （4）0.001；（5）；（6）1 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：. 27．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解：； （4）解：． 28．计算题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 29．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘方，掌握有理数的乘方的运算法则是关键． （1）按照有理数的乘方运算法则计算即可； （2）按照有理数的乘方运算法则计算即可； （3）按照有理数的乘方运算法则计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； 30．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)9 (2) (3) (4) (5) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算： （1）根据有理数的乘方运算法则计算即可； （2）根据有理数的乘方运算法则计算即可； （3）根据有理数的乘方运算法则计算即可； （4）根据有理数的乘方运算法则计算即可； （5）根据有理数的乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． ◆题型6 含乘方的有理数混合运算 31．计算：． 【答案】6 【详解】解： ． 32．计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 33．计算： 【答案】 【详解】解： ． 34．计算： 【答案】 【分析】按照先算乘方、再算乘除、最后算加减的顺序计算，结合绝对值的性质计算即可． 【详解】解：原式 ． 35．计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 36．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)22 (2) (3)9 (4) (5) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． ◆题型7 含绝对值的有理数计算 37．已知：，求的值． 【答案】16 【分析】本题考查求代数式的值，非负数的性质，先由绝对值的非负性和二次方的非负性得到，，再代入计算即可． 【详解】解：，，， ，， ，， ． 38．已知，． (1)求的值； (2)，求的值； (3)，求的值． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了代数式求值，求一个数的绝对值，正确理解题意是解题的关键． （1）根据绝对值的定义可求出a、b的值，再代值计算即可； （2）根据绝对值的定义可求出a、b的值，再根据得到异号，据此可确定a、b的值，再代值计算即可； （3）根据绝对值的定义可求出a、b的值，再根据得到，据此可确定a、b的值，再代值计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，的值为或； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴异号， ∵，， ∴或， ∴或； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或． 39．已知． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)3 (2)或 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理得，根据，得，代入进行计算，即可作答． （2）先整理得，根据，得，故，再代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴当时，则； ∴当时，则； ∴的值为或． 40．若与互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性质，相反数的定义，根据相反数的定义以及绝对值的非负性质得出，，再代入绝对值求解即可． 【详解】解：， ，， ，， ． 41．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2)0 【分析】本题考查了绝对值的定义，解题的关键是按照运算顺序依次计算． （1）先根据绝对值的性质计算各数的绝对值，再算减法运算即可； （2）先根据绝对值的性质计算各数的绝对值，再利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式=； （2）解：原式=． 42．已知．求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性、代数式求值等知识点．先根据绝对值的非负性求得a、b、c的值，然后化简代数式并代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴． ◆题型8 含绝对值、相反数和倒数的文字计算题 43．已知：，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是3，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，相反数、倒数的定义，解题的关键是利用整体的思想求解． 由已知得，然后再整体代入求值． 【详解】解：由已知得， 所以， 原式. 44．（综合推理）已知a，b，c满足：① a是绝对值最小的正整数；②b的相反数是最大的负整数；③c的倒数是它本身，求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了相反数、绝对值的概念以及代数式求值，熟练掌握有理数的相关概念以及有理数的运算法则及运算顺序是解决本题的关键． 首先根据题意求出，，或，然后分情况代入求解即可． 【详解】解：∵a是绝对值最小的正整数，b的相反数是最大的负整数，c的倒数是它本身， ∴，，或， ∴当时，； 当时，． 45．若互为相反数，相乘的积是1，的绝对值和倒数都是它本身，的相反数是它本身，求的值． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由题意可得：，代入求值即可． 【详解】解：根据题意，得， 所以原式． 46．点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b． (1)用“>”或“<”填空：______0，______0； (2)点为数轴上一动点，则的最小值=_______． (3)若，，c、d互为相反数，m、n互为倒数，求的值． 【答案】(1)， (2)6 (3) 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，代数式求值，绝对值的几何意义，相反数、倒数的定义等知识点． （1）由数轴可得，即可判断，正负； （2）根据绝对值的几何意义可得该式子表示为：表示数的点到表示数和的点距离之和，再结合数轴即可求解； （3）根据点在数轴的位置即可判断出，，于是解绝对值方程即可求出、的值，根据相反数的应用可得，根据倒数的定义可得，将上述字母或式子的值代入原式，即可求出代数式的值． 【详解】（1）解：由数轴可得， ∴，， 故答案为：，； （2）解：， 则该式子表示为：表示数的点到表示数和的点距离之和， ∴当时，； 当时，； 当时，， ∴的最小值为6， 故答案为：6； （3）解：由图可知：，， ，，、互为相反数，、互为倒数， ，，，， ∴ ． 47．已知：，互为相反数，，互为倒数，数到原点的距离为． (1)填空： __________， __________， __________； (2)求的值． (3)若，则__________， __________． 【答案】(1)；；或 (2)或 (3)，或 【分析】（1）根据相反数，绝对值，两点间的距离公式，即可求解； （2）分和两种情况，把，分别代入计算即可； （3）易得，，得到，即，再根据非负数的性质即可求解． 【详解】（1）解：，互为相反数， ， ，互为倒数， ， 数到原点的距离为， 或， 故答案为：；；或； （2）当时， ， ， ， ； 当时， ， ， ， ； （3），互为相反数，，互为倒数，， ，， ， ， ， ，， ，或， 故答案为：，或． 【点睛】本题考查了相反数，绝对值，两点间的距离公式，非负数的性质，代数式求值，解题的关键是掌握相关知识． 48．根据所学知识回答下列问题： (1)数轴上表示3与的两点之间的距离是______；数轴上有理数与有理数6所对应两点之间的距离为5，则______． (2)代数式，则______． (3)已知，互为相反数，且，c和d互为倒数，m的绝对值等于3，求：的值． 【答案】(1)5；11或1 (2)0 (3)或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值方程，代数式求值，绝对值的非负性，相反数、倒数、绝对值的定义等知识点． （1）根据数轴上两点间的距离公式计算或者列方程求解即可； （2）根据绝对值和完全平方式的非负性求解，再代入求值即可； （3）先由相反数、倒数、绝对值的定义得到，或，再分类讨论，代入求解即可． 【详解】（1）解：数轴上表示3与的两点之间的距离是； ， 或， 解得或； 故答案为：5；11或1； （2）解：，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵，互为相反数，且，c和d互为倒数，m的绝对值等于3， ∴，或， ∴当时，； 当时，， ∴的值为或． ◆题型9 有理数的简便计算 49．（1）①用简便的方法计算：； ②上述简便方法运用到的运算律是：______、______； （2）在计算时，没办法直接用上述方法简便运算，需要把各个数进行拆项，再运用运算律简便运算． ①请你把进行拆项：____________；____________； ②用拆项法简便计算：． 【答案】（1）①；②加法交换律、加法结合律；（2）①17，；；②1 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算： （1）①先把原式变形为，再计算求解即可；②观察解题过程可知用到了加法交换律、加法结合律； （2）①把带分数拆解成整数加分数的形式即可；②先把原式的带分数拆解成整数加分数的形式，再把整数和分数分别合在一起计算求解即可． 【详解】解：（1）① ． ； ②由解题过程可知用到了加法交换律、加法结合律； （2）①； 故答案为：17，；； ②原式 ． 50．计算（能用简便方法计算的，尽量用简便方法计算） (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）根据加法的交换律和结合律求解即可； （2）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减； （3）首先将小数化成分数的形式，然后利用加法结合律求解即可； （4）根据乘法的分配律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 51．计算： (1)； (2)简便计算：； (3)简便计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是有理数的混合运算. （1）先把减法化为加法运算，再计算即可. （2）根据有理数加减运算法则结合运算律求解即可； （3）根据有理数乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解： . （2）解： . （3）解： . 52．下面各题，能简便计算的用简便方法计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)8.4 (2)10 (3)2.4 (4) 【分析】本题考查了简单的四则混合运算，计算时先理清楚运算顺序，根据运算顺序逐步求解即可． （1）先同时计算除法和乘法，再算减法； （2）先把除法变成乘法，再根据乘法分配律简算； （3）根据减法的性质计算； （4）先根据乘法分配律简算，再根据加法结合律简算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 53．计算下列各题（能用简便计算的用简便计算）： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算绝对值，再计算加减法即可； （2）先计算绝对值，再计算乘除，最后计算加法即可； （3）先把小括号内的式子通分并计算，再计算除法即可； （4）把原式变形为，再利用乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 54．计算（能用简便方法计算的，尽量用简便方法计算） (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)45 (2) (3) (4)137 (5)0 (6) 【分析】本题考查有理数混合运算，涉及乘方运算、去绝对值、有理数加减乘除运算、有理数加法运算律、有理数乘法分配律等知识，熟练掌握有理数混合运算法则及运算顺序是解决问题的关键． （1）利用有理数加法运算的交换律与结合律恒等变形，再由有理数加减运算法则求解即可得到答案； （2）先计算乘方、去绝对值运算，再计算乘除法，最后由有理数减法运算求解即可得到答案； （3）按照有理数混合运算法则，先计算括号里的，再计算乘方运算，再计算乘除运算，最后由有理数减法运算求解即可得到答案； （4）先计算括号里的，再计算乘方运算，再计算乘法运算，最后由有理数加减运算求解即可得到答案； （5）利用有理数加法运算的交换律与结合律恒等变形，再由有理数加减运算法则求解即可得到答案； （6）利用有理数乘法分配律计算即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 （5）解：原式 （6）解：原式 ◆题型10 有理数的规律计算题 55．观察下面每个图形中圆圈的总个数，也可以用相对应算式表达． ①； ②； ③； ④； ．．．．．． (1)根据你发现的规律填空：（___________）=___________2； (2)根据上面规律，计算： ___________；（直接填结果） (3)根据上面规律，计算：．（要写必要的计算过程） 【答案】(1)7；7 (2)10000 (3) 【分析】本题考查有理数的加减运算，数字类规律探索，熟练根据题意得出规律是解题的关键． （1）根据题中的式子即可得出规律； （2）利用（1）中得出的规律计算即可； （3）将原式转化为，再进行计算即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④； ．．．．．． 所以第n个等式可表示为：， 所以当时，， 所以， 故答案为：7，7． （2）解：当时，， 所以， 故答案为：10000； （3）解：原式 ． 56．观察下列算式，你会发现什么规律？ …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)找出规律并计算：______=______； (2)用含有n的式子表示上面的规律：______； (3)用找到的规律解决下面的问题： 计算：______． 【答案】(1)64， (2) (3) 【分析】（1）根据有理数的运算法则计算即可；掌握有理数的运算法则是解题的关键； （2）观察发现一个正整数乘以比这个正整数大2的数再加1就等于这个正整数加1的平方，即可总结出含有n的式子表示的规律；发现数字间的关系是解题的关键； （3）将原式变形为知，，然后再利用（2）的规律计算即可；灵活对原式进行变形是解题的关键． 【详解】（1）解：． 故答案为：64，． （2）解：观察发现一个正整数乘以比这个正整数大2的数再加1就等于这个正整数加1的平方，则第n个等式为：． 故答案为:． （3）解： ． 故答案为． 57．我们把从1开始到的个连续自然数的立方和记作，那么有： ，，，… 观察上面式子的规律，完成下面各题： (1)根据规律，直接写出； (2)猜想：______（用n表示）； (3)根据规律，求的值． 【答案】(1) ， (2) (3) 14175 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，数字类规律的探索，解题的关键是找出题目中所给算式的运算规律，明确有理数混合运算方法． （1）根据规律将其转化为有理数的乘方运算即可得； （2）根据前面式子的特点找出规律即可； （3）将写成，再根据（2）中的规律计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：，； （2）解：∵，，，… ∴， 故答案为：； （3）解：原式 ． 58．研究下列算式，你会发现什么规律？ (1)请你找出规律并计算 (2)用含有的式子表示上面的规律： ． (3)用找到的规律解决下面的问题： 计算： ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的运算，数字规律问题，对于（1）和（2），通过观察发现一个正整数乘以比这个正整数大2的数再加1就等于这个正整数加1的平方，依此得到；含有的式子表示的规律． 对于（3），由， 利用此规律计算． 【详解】（1）． 故答案为：64，； （2）上述算式有规律，可以用表示为：． 故答案为：； （3）原式． 故答案为：． 59．观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你仔细观察，开动脑筋，解答下列问题： ①； ②； ③； …… (1)按以上规律，第④个等式为：_____； (2)按此规律，计算的值； (3)探究计算：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了通过观察规律进行分数的简便运算． （1）观察已知的等式，可以发现：等式左边是两个连续偶数乘积的倒数，等式右边是这两个连续偶数倒数差的，按照此规律，第④个等式中，两个连续偶数应该是8和10，所以第④个等式为； （2）根据前面发现的规律，将原式中的每一项进行转化后代入原式，可以发现括号内很多项可以相互抵消，最后可计算得出结果； （3）先对原式中的每一项进行变形，将原式变形后发现，每一项都可以写成的形式，随即可计算得出结果． 【详解】（1）解：根据第①②③个等式规律可知：， 故答案为：． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 60．观察下列式子： ；；；；… (1)发现规律：________；用含n的代数式表示规律：________（n为正整数）． (2)应用计算：． (3)拓展规律：当________时，（n为正整数）． 【答案】(1)， (2) (3)95 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，数字规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）认真观察式子特征，直接作答即可； （2）利用，则原式，再进行加减运算，即可作答． （3）先分析得出，整理原式，结合，故，即可作答． 【详解】（1）解：观察题中已有的过程，得出，； （2）解：由（1）得， 则 ； （3）解：， ， …… 以此类推，得， ∴ ， ∵， ∴， ∵n为正整数 ∴ 则， ∴， 则， ∴， 即当时，． ◆题型11 二进制计算 61．日常生活中，我们用十进制来表示数，如．计算机采用的是二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数，如二进制中的，可以表示十进制中的10．那么： (1)二进制中的10110表示的是十进制中的（　　） A．22    B．21    C．13    D．12 (2)十进制中的86用二进制中的数表示为 【答案】(1)A (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算． （1）根据二进制表示出“10110”即可． （2）把86化为按2的整数次幂降幂排列的形式，即可用二进制表示． 【详解】（1）解：由题意得：； ∴二进制中的“10110”表示十进制中的22； 故选∶A． （2）解： 62．生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满10进1． 例：； 计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满2进1． 例：二进制10010转化为十进制数：，其他进制也有类似的算法： (1)【发现】根据以上信息，将二进制10110转化为十进制数是 ； (2)【迁移】按照上面的格式将八进制数“4312”转化为十进制数； (3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示，是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满六进一，根据图示，求孩子出生的天数． 【答案】(1)22 (2)2250 (3)56天 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算．理解题意，熟练掌握含乘方的有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据二进制转换十进制的方法列式计算即可； （2）仿照二进制转换十进制的方法进行计算即可； （3）满六进一，类似于六进制数，仿照二进制转换十进制的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：二进制数“10110”转化为十进制数为： ， 故答案为：22； （2）解：八进制数“4312”转化为十进制数为： ， 答：八进制数“4312”转化为十进制数为； （3）解：由于满六进一，类似于六进制数，图示表示的六进制数为132，转化为十进制数为： ， 答：孩子已经出生的天数为天． 63．我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制（只有数码0和1）， 它们两者之间可以互相换算．若规定：任何一个非0数的0次幂都等于1，（如）那么，二进制换算成十进制数为： ； 二进制换算成十进制数目为： ． (1)将二进制数(10011)2换算成十进制数，则 (2)请将转换为十进制数； (3)十进制数9转换成二进制为：，则将27转换成二进制数为 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了二进制与十进制的转换，有理数的乘方，有理数的加法等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据二进制数转化为十进制数的方法计算即可； （2）根据二进制数转化为十进制数的方法计算即可； （3）根据十进制数转化为二进制数的方法计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得： ， 故答案为：； （2）解：； （3）解：， 故答案为：． 64．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如数就是二进制数的简单写法，十进制数一般不标注基数． 如十进制数3512可以表示成式子：． 可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式． 二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1．类比十进制数的表示方法把二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，可以把二进制数转化为十进制数．根据上述材料，解答下列问题： 【理解】 （1）填空：=______； （2）一个字长为7位的二进制数能表示的十进制数值范围是（  ）； A． B． C． D． 【迁移】（3）把十进制数27转化为二进制数； 【创新】（4）把二进制数转化为八进制数． 【答案】（1）3，1，21；（2）C；（3）；（4） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解二进制、八进制、十进制数的定义以及核算方法是正确解答的关键． （1）根据二进制与十进制的核算方法进行计算即可； （2）根据二进制的定义以及与十进制的核算方法进行计算即可； （3）将27写成即可得出答案； （4）先将二进制数转化为十进制数为93，再将十进制数93写出即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：3，1，21； （2）解：一个字长为7位的二进制数能表示的十进制数最小为，最大为， ∴一个字长为7位的二进制数能表示的十进制数值范围是， 故选：C； （3）解：， ∴十进制数27转化为二进制数为； （4）解：二进制数转化为十进制数为， 而， ∴十进制93写成8进制为， 即二进制数转化为八进制数为． 65．日常生活中，我们使用的数是十进制数，数的进位方法是“逢十进一”，十进制的基数是十，而计算机使用的数是二进制数，即数的进位方法是“逢二进一”，二进制的基数是二，二进制只使用数字0，1，如二进制数1101记为，通过式子可以转换为十进制数13，即． (1)将二进制数转换为十进制数． (2)二进制的加法运算是一种基本运算，它和十进制数的加法原理类似，只是运算的基数不同．在二进制数的加法运算中，我们需要将两个二进制数按位相加，并且需要考虑进位的情况．二进制数的基本规则：；；（二进制进位）．举个例子，我们来计算二进制数和的加法：．从最低位开始相加，，没有进位；，这里需要进位；，没有进位；，这里也需要进位，最终的结果是． 请计算：；（请把计算或探究过程写出来） (3)请类比十进制的运算，进一步研究二进制的运算， ①计算：，（请把计算或探究过程写出来） ②计算：，并把结果转化为十进制的数．（请把计算或探究过程写出来） 【答案】(1)21 (2) (3)①；② 【分析】本题考查了有理数的混合运算．关键是掌握二进制和十进制的转换方法． （1）根据例子中转换的方法求解即可；； （2）关于二进制之间的运算，利用“逢二进一”、“退一还二”的运算法则计算即可． （3）①类比十进制的乘法运算，得到二进制的乘法运算法则，进而求解即可； ②比十进制的减法运算，得到二进制的减法运算法则，然后计算二进制的乘法，最后计算二进制的加法，然后再转化成十进制即可． 【详解】（1）解：； （2）解： 从最低位开始相加，，这里需要进位； ，没有进位； ，这里需要进位； ，这里需要进位； ，这里也需要进位， ∴最终的结果是； （3）解：①类比十进制的乘法运算，二进制的乘法运算法则为：；；；， ∴ 从最低位开始相加，； ； ，这里需要进位； ，需进位； ， ∴结果为； ②类比十进制的减法运算，二进制的减法运算法则为：；；；（同一数位不够减时，向高一位借1当2）， ∴ 从最低位开始相减，； ，需向高一位借1当2； ； ，需向高一位借1当2； ； ； ∴结果为； ∴ 从最低位开始相加，，需进位； ，需进位； ，需进位； ，需进位； ，需进位； ，需进位； ，需进位； ，需进位； ； ∴结果为， ∴ ． 66．问题背景：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是“逢几进一”就是几进制． 查阅资料：①二进制，即“逢二进一”，使用0和1计数，基数为2，例如：二进制数10100简记为（角标2不可省略），可用上述方法将二进制数转换成十进制数： （记） ②根据二进制数“逢二进一”的原则，可以用2连续去除十进制数，直到商0为止，然后逆序取余数，得到二进制数．例如：如图， ③二进制加法规则：（逢二进一）； 解决问题： (1)把二进制数转换成十进制数； (2)把十进制数43转换成二进制数； (3)试计算： ．（用二进制数表示结果） 【答案】(1)13 (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握二进制和十进制之间的转换关系是解题的关键： （1）仿照题干给出的方法列式计算即可； （2）用2连续去除十进制数，直到商0为止，然后逆序取余数即可； （3）根据进位法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）， ， ， ， ， ， ∴； （3）． ◆题型12 程序流程图与有理数计算 67．如图，小明设计了一个计算程序．输入值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到．如：输入，得到，． (1)若输入，则________，________； (2)若得到，求输入的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程、有理数的混合运算等知识点，理解程序图是解题的关键． （1）根据程序图输入，分别列式计算即可解答； （2）根据程序图可得，然后解方程即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：当输入时， ，． （2）解：根据题意可得： ， ， ． 68．某数学编程机器人执行以下运算程序：输入一个有理数，按从左到右的顺序依次进行运算，最终输出结果，其中“#”表示运算过程中一个未知的有理数． (1)若输入的是2，表示的数为2，求输出结果； (2)若输入的是，且输出的为7，直接写出#表示的数； (3)若输出的为0，用含的代数式表示#． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，一元一次方程的应用，解题的关键是正确列出算式和方程． （1）根据题意代入相应的值运算即可； （2）设#表示的数为m，根据题意得出相应的方程求解即可； （3）根据题意得出与#相应的方程求解即可； 【详解】（1）输入的数是2，#表示的数为2， ； （2）设#表示的有理数为m， 根据题意得， 解得 ∴#表示的数为； （3）根据题意得，， 解得 ∴#表示的有理数为． 69．如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小明输入4，7这两个数时，则两次输出的结果依次为______，______； (2)你认为当输入数等于______时（写出一个即可），其输出结果为0； (3)你认为这个“数值转换机”不可能输出______（填写：正数、0、负数）； (4)有一次，小明操作的时候输入了一个小于10的正整数，最后输出的结果是2，聪明的你判断一下，小明输入的正整数是______． 【答案】(1)1，2 (2)（答案不唯一）． (3)负 (4)7或2 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、相反数、绝对值、倒数的概念及应用，熟练掌握这些概念和数值转换机的运算流程是解题的关键． （1）按照数值转换机的流程，对输入的4和7逐步进行判断和运算． （2）从输出0的结果出发，逆向分析转换机中能产生0的运算环节，确定输入数． （3）分析转换机各步骤的运算结果类型，判断不可能输出的数． （4）从输出结果2逆向推导，结合输入为小于10的正整数的条件，找出符合的输入数． 【详解】（1）解：输入4：∵， ∴， ∵， ∴， 为正数， ∴取1的倒数，输出的结果为1； 输入7：∵， ∴， ∵不大于， ∴取相反数， ∵不是正数， ∴取的绝对值，输出的结果为2， 故答案为：，； （2）解：∵的绝对值是，的相反数是， ∴输入时：不大于，，不是正数，取的绝对值， ∴输入数可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． （3）解：若数大于，经“加上”后运算，后续计算或得正数、或得； 若数不大于，取相反数后为正则取倒数（正数），非正则取绝对值（非负数）．因此不可能输出负数． 故答案为：负； （4）解：输入1：∵， ∴取相反数为； ∵非正， ∴取绝对值为，输出． 输入2：∵不大于， ∴取相反数为； ∵非正， ∴取绝对值为，输出． 输入3：∵， ∴进行； ∵， ∴取相反数为； ∵（为正）， ∴取倒数为，输出． 输入4：∵， ∴进行； ∵， ∴取相反数为； ∵（为正）， ∴取倒数为，输出． 输入5：∵， ∴进行； ∵不大于， ∴取相反数为； ∵非正， ∴取绝对值为，输出． 输入6：∵， ∴进行； ∵， ∴取相反数为； ∵非正， ∴取绝对值为，输出． 输入7：∵， ∴进行； ∵不大于， ∴取相反数为； ∵非正， ∴取绝对值为，输出． 输入8： ∵， ∴进行； ∵， ∴进行； ∵， ∴取相反数为； ∵（为正）， ∴取倒数为，输出． 输入9：∵， ∴进行； ∵， ∴进行； ∵， ∴取相反数为； ∵（为正）， ∴取倒数为，输出． 故答案为：或． 70．如图是一个数字传输器，箭头代表传输路径，方框代表传输方式，菱形代表决策．了解这个数字传输器的工作原理，回答下列问题： (1)当时，_______；当时，______； (2)当输入的为不超过20的有理数，此时输出的值为0，则输入的为________． (3)若是自然数，请写出的所有可能值_______． 【答案】(1)3；1 (2)0或5或10或15或20 (3)0，1，2，3 【分析】本题主要考查了程序流程图与有理数计算，数字类规律探索等知识点，弄懂题意并熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据这个数字传输器的工作原理和操作步骤正向推导即可得出答案； （2）根据这个数字传输器的工作原理和操作步骤反向推导即可得出答案； （3）将自然数逐个输入求得输出，通过观察、分析，即可总结出规律． 【详解】（1）解：根据这个数字传输器的工作原理，可知： 当时， 不大于， 取相反数，得， 不大于， 取绝对值，得， 当时，； 当时， 大于， 加，得， 大于， 加，得， 大于， 加，得， …… 大于， 加，得， 大于， 加，得， 不大于， 取相反数，得， 大于， 取倒数，得， 当时，； 故答案为：；； （2）解：根据这个数字传输器的工作原理，可知： 若输出的值为， 没有倒数， 是取绝对值而来， 取绝对值之前的值是， 又是取相反数而来， 取相反数之前的值是， 当时，则； 当时， 是输入的经过若干次加而来， （是正整数）， ， 输入的为0或5或10或15或20； 故答案为：0或5或10或15或20； （3）解：根据这个数字传输器的工作原理，通过验证、分析、总结，可以发现： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当（）时，， 当（）时，， 当（）时，， 当（）时，， 当（）时，， 若是自然数，则的所有可能值为，，，， 故答案为：，，，． 71．如图是一个数学游戏活动，、、、分别代表一种运算，运算结果随着运算顺序的变化而变化．（提示：①每次游戏都涉及、、、四种运算；②运算过程中自动添加必要的括号） (1)6经过、、、的顺序运算，列算式并计算结果是多少？ (2)经过▅、的顺序运算后，结果是，则被遮挡部分的运算顺序应是______． 【答案】(1)34 (2)C、B、A． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是严格遵循运算顺序进行计算，并通过结果逆向推导运算步骤． （1）按A、B、C、D顺序依次运算； （2）通过结果反推被遮挡的运算顺序． 【详解】（1）解：列式为 答：计算结果是34． （2）解：由得 对进行（平方）、（减3）、（乘）运算： ，符合要求． 故答案为：C、B、A． 72．如图是一个“有理数转换器”（箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）． (1)这个“有理数转换器”不可能输出的是_____；（填“正数”“0”或“负数”） (2)当小明分别输入这三个数时，求输出的结果； (3)当输入_____时，其输出结果是0．（填序号） ①，②，③，④，⑤． 【答案】(1)负数 (2)输出的结果分别为，， (3)①④ 【分析】本题主要考查求相反数，绝对值，有理数的大小比较及有理数的加减运算； （1）根据题意可得只有非负数才能输出； （2）根据“有理数转换器”分别进行计算； （3）因为输出结果是0，而0的相反数是0，0的绝对值是0，所以当输入5的正整数倍和0时，输出结果为0，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得只有非负数才能输出，则这个“有理数转换器”不可能输出的是负数， 故答案为：负数． （2）解：当输入时， ∵ ∴ 取相反数得，为正数输出； 当输入时， ∵，的相反数为，的绝对值为，所以输出 当输入时，的相反数为，输出 （3）解：因为输出结果是0，0的相反数是0，0的绝对值是0，这个“有理数转换器”中有加上， 所以当输入5的正整数倍和0时，输出结果为0， 所以，可为0，5，10，…（5的非负整倍数即可）． 故答案为：①④． ◆题型13 算24点 73．如图，现有5张写着不同数字的卡片，请按要求完成下列问题： 1 2 (1)若从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字进行四则运算，则运算结果的最小值是______； (2)若从中取出4张卡片，请运用所学的计算方法写出两个不同的运算式，使四个数字的计算结果为24或． 【答案】(1) (2)和（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算及24点，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）先化简卡片上的数，再选择异号两数相乘，且绝对值较大的两数即可． （2）从化简后的数中选取4张，通过四则运算（含括号）组合，构造结果为24或的运算式． 【详解】（1）解：，，，，， 因为上面5个数都是整数， 所以要从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字进行四则运算，运算结果的最小，则应当选择异号两数相乘，且绝对值较大的两数即可，与， 运算结果的最小值是， 故答案为：； （2）解： ， 故算式可以为：和（答案不唯一）． 74．如图，小明有4张写着不同的数字的卡片，请你按要求取出卡片，完成下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最小，最小值是 ； (2)取4张卡片，用卡片上的4个数字，在“”选取你所需要的运算，使结果为24（每张卡片用一次）．请设计1个算式，并写出计算过程． 【答案】(1) (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的运算，算24点，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）乘积最小，则积为负，分别取正数和负数中的绝对值最大的两个数进行计算即可； （2）根据运算法则和运算顺序，设计出一个算式即可． 【详解】（1）解：乘积最小，则积为负，分别取正数和负数中的绝对值最大的两个数进行计算，故最小值是； （2）解：（答案不唯一）． 75．如图，小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求取出卡片，完成下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)算24点游戏：从中取出4张卡片，用学过的“+，-，×，÷”运算，使结果为24．请写出2个运算式并进行计算： ①_________________； ②__________________． 【答案】(1)15 (2) (3)①② 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的运算法则． （1）根据乘积最大的就是找符号相同且数值最大的数，即可求解； （2）根据2张卡片上数字相除的商最小就要找符号不同，且分母越大越好，分子越小越好，据此求解即可； （3）用加减乘除只要答数是24即可． 【详解】（1）解：由题意可得，从中抽出2张卡片，使这两张卡片上数字乘积最大，最大值是：， 故答案为：15； （2）解：由题意可得，从中抽出2张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小，最小值是：， 故答案为：； （3）解：由题意可得，①； ②． 故答案为：，． 76．“24点”游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用． (1)在玩“24点”游戏时，小明抽到以下4张牌（Q表示12）： 请你帮他写出运算结果为24的算式：（写出2个） __________________________；__________________________； (2)善于思考的小明发现这4张牌还能计算得出1至10（包括1和10）中的整数，则以下结论正确的是（     ） ①能计算出1至10（包括1和10）中的所有整数             ②只能计算出1，2，3，4，6 ③除5外的其它整数都能计算出                            ④除7和9外的其它整数都能计算出 ⑤以上选项均不正确 【答案】(1)，（答案不唯一） (2)① 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用点游戏规律列出算式即可； （2）将这四个数字的组成的算式列出来即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得：，， 故答案为：，（答案不唯一）； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故这张牌还能计算出1至10（包括1和10）中的所有整数， 故答案为：①． 77．思维训练： (1)有一种“二十四点”的游戏，将四个有理数进行加、减、乘、除、乘方运算，使其结果等于24．现有四个有理数，4，，6，请写出三种不同方法的运算，使其结果等于24． (2)如表，在3×3的幻方中，当空格中填上适当的数后，每行、每列以及对角线上的数的和是相等的，求k的值； k 11 121 (3)在图1中，一笔画出4条线段连接着9个点，并且不重复任何一条线段；在图2中，用三条线，把相同数字连起来，不交叉，不超出边框，不在框线上走． 【答案】(1)，， (2)的值为231 (3)见解析 【分析】题目考查了逻辑思维能力和空间想象能力，可以帮助提高思维的灵活性和解决问题的能力． （1）根据24点游戏规则，灵活应用有理数的加、减、乘、除、乘方的法则以及去（添）括号法则、相关的运算律进行列式，拓展思维，思考24可以通过那些加减乘除的方式得到，多尝试探索不同的组合，寻找可能的解； （2）根据幻方的规则，设未知数，利用方程组求的值； （3）连线问题，需要将相同数字用三条线连接起来，且不交叉，不超出边框，不在框线上走，1，2两个数字比较容易，先连起来，再通过观察，再图中缝隙尝试连接两个3． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， ； （2）解：如下图，设未知数， 由题意知：每行、每列以及对角线上的数的和是相等的， 故可列方程组， ， 由②得  ③， 将③代入①得， ， 故的值为231； （3）解：如图所示： 答案不唯一． 78．24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌（去掉大王、小王剩下52张）中任意抽取4张牌，把牌面上的数字进行混合运算，使得运算结果为24．每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号．其中♥，♦表示正，♣，♠表示负，分别代表1，11，12，13． （1）在玩“24点”游戏时，小明抽到图1的4张牌，请你帮他写出2个运算结果为24的算式：______，______； （2）在玩“24点”游戏时，小刚抽到图2的4张牌，请你帮他写出1个运算结果为24的算式：______． 【答案】（1），（答案不唯一）（2）（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先根据题意可得图1中的4张牌分别代表，再根据和列出算式即可得； （2）先根据题意可得图2中的4张牌分别代表，再根据列出算式即可得． 【详解】解：（1）由题意得：图1中的4张牌分别代表， 则运算结果为24的算式：，， 故答案为：，（答案不唯一）． （2）由题意得：图2中的4张牌分别代表， 则运算结果为24的算式：， 故答案为：（答案不唯一）． ◆题型14 有理数的新定义运算 79．对于任何数，我们规定：，例如：． (1)按此规定，计算的值． (2)按此规定，若，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，有理数的混合运算，理解新定义，掌握解一元一次方程的方法，有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）先根据新定义得出，然后再根据有理数的四则混合运算法则计算即可； （2）先根据新定义得出，然后再根据解一元一次方程的方法：去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得； （2）解：由题意，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得． 80．对于任何数，我们规定：，例如：． (1)按此规定，计算的值． (2)按此规定，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新定义下有理数的混合运算及解一元一次方程，熟练掌握运算法则及解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）理由题目中的规定列式计算即可得到答案； （2）先利用题目中的规定列出一元一次方程，再解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得； （2）解：∵， ∴， ∴． 81．a、b为有理数，若规定一种新的运算“⊕”： 定义；例如：． 请根据“⊕”的定义计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据题目中定义运算法则代入求解即可． （1）根据新定义的代入计算即可； （2）据新定义的代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解： ． 82．定义一种新运算“”，规定． (1)计算的值． (2)请你定义一种新运算“”，使其中含有乘法运算，且． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是理解新运算，熟练掌握有理数混合运算法则． （1）根据新定义运算进而代入求出即可． （2）根据题意确定出所求新运算即可． 【详解】（1）解：由题意，得 ． （2）解：示例：定义新运算， 则． 83．小明同学借助于有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：对于任意有理数，都有． (1)求的值； (2)试用，说明，新定义的运算不满足交换律． 【答案】(1)60 (2)不满足，理由： ； ； ∴， 所以此运算不满足交换律． 【分析】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）计算出与两式的值，即可做出判断． 【详解】（1）解： ． （2）略 84．新定义 用“※”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．如：1． (1)______； (2)若，求的值； (3)若，（其中为有理数），试比较，的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数及整式的混合运算，熟练掌握运算方法是解决问题的关键． （1）根据新运算展开，再求出即可； （2）先根据新运算展开，再解一元一次方程即可； （3）先根据新运算求出m、n，然后用作差法比较即可得出答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：因为， 所以， 解得； （3）解：根据题意，得，， 则， 所以． 综合攻坚·知能拔高 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数的加减运算法则计算即可得出结果； （2）先计算乘方，再计算除法，最后计算加减即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据绝对值的意义及有理数减法的运算法则将原式化简，然后进行乘法、除法运算，最后进行加减运算； （2）先根据乘方及绝对值的意义将原式化简，然后进行除法运算，最后进行加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．对于有理数、，定义运算：． (1)计算：的值； (2)计算：的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据定义的运算代入求解即可得出答案； （2）根据定义先计算，再计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ． （2）解： ． 4．计算（能用简便运算的用简算） (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． （5）解：原式 ． （6）解：原式 ． （7）解：原式 ． （8）解：原式 ． （9）解：原式 ． （10）解：原式 ． 6．请先阅读下列一组内容，然后解答问题： ，，… 计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过观察可得，原式，再计算即可； （2）通过观察可得，原式，再计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 7．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统.约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，以此类推，进制就是逢进一，为与十进制进行区分，我们常把用进制表示的数写成．进制的数转化为十进制的数的方法是：若进制表示的数为，则转换为十进制数的过程为（规定当时，）． 根据你所学的知识，完成以下问题： (1)通过计算，把下列进制表示的数转化为十进制表示的数： ①；    ②． (2)已知二进制数，请计算出的十进制表示的数，并直接写出s的值（要求写成二进制表示的数）． (3)通过计算，请把转换成十二进制的数． 【答案】(1)①；② (2)， (3) 【分析】（）根据十进制数的转换方法计算即可； （）根据十进制数的转换方法求出的值，进而再转化为二进制数即可； （）仿照十进制数的转换方法解答即可求解； 本题考查了进位制，有理数的混合运算，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：∵， 又由（）知，， ∴， ∵， ∴， 即； （3）解：∵， ∴． 8．看程序图，做有理数运算 如图是计算机程序计算图．    【模型提炼】输入数据进入程序运算：将输入的数据，即可得到输出的数值． 【模型运用】 (1)若开始输入为，请你根据上面程序列出算式并计算出输出结果； (2)若最后输出为，请你根据上面程序列出算式并计算出输入数字． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据程序计算图，计算得到结果即可； （2）根据程序计算图，逆运算，计算，即可得到输入数字． 【详解】（1）解：∵开始输入为， ∴结果为； （2）解：∵最后输出为， ∴输入数字为． 【点睛】本题考查了程序流程图与有理数计算，根据程序流程图计算是解题的关键． 9．课堂上老师给出一道计算题：．同学们积极思考，甲、乙、丙三位同学的做法如下： 甲：原式 乙：原式 丙：原式的倒数 故原式． 请认真阅读，解答下列问题： (1)上述三位同学的解法中，正确的是______，错误的是______；(填写“甲”“乙”“丙”) (2)计算： ① ② 【答案】(1)乙、丙；甲； (2)①；② 【分析】本题考查有理数的混合运算，核心知识点为有理数的除法法则与混合运算顺序，关键在于明确除法不满足分配律，对于复杂的除法运算可通过倒数法简化计算． （1）根据除法运算的性质判断：除法没有分配律，甲错误运用分配律导致结果错误；乙按照“先括号内，再括号外”的运算顺序计算，步骤正确；丙利用倒数的性质，先计算原式的倒数再求原式，方法简便且正确． （2）①可先计算括号内的加减运算，再进行除法运算； ②由于括号内的项较多，采用倒数法计算更简便，先求原式的倒数，再通过倒数关系得到原式的值． 【详解】（1）解：除法不具有分配律，甲同学将除法错误地使用分配律，甲的解法错误； 乙同学先计算括号内的有理数加减，再进行除法运算，符合有理数混合运算顺序，解法正确； 丙同学先计算原式的倒数，再根据倒数关系求出原式的值，方法正确；故正确的是乙、丙，错误的是甲； 故答案为：乙、丙；甲． （2）①解： ； ②解：设原式为，则的倒数为， ， 的倒数为， ． 10．“24点”游戏规则如下：从一副扑克牌（去掉大、小王）中，任意抽取4张，根据牌面上的数字进行加减乘除四则混合运算（每张牌只能用…次），使得运算结果为24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，J，Q，K分别代表，，． 例如，抽到一组牌：，要使运算结果为24，则可列式为：； (1)甲同学抽到一组牌：，要使运算结果为，则可以列式为：______． (2)乙同学抽到一组牌：，要使运算结果为，则可以列式为：______． (3)丙同学抽到一组牌：，要使运算结果为，则可以列式为：______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键 （1）根据即可求解； （2）根据即可求解； （3）根据即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ 故答案为： （2）解：∵ ∴ 故答案为： （3）解：∵ ∴ 故答案为： 11．计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)15 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ； （3）解： ； （4）解：原式 ． 12．计算 (1)； (2)． (3)． (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)8 (2)0 (3) (4)17 (5) (6) 【分析】（1）根据有理数的加减混合运算法则进行计算即可求解； （2）根据有理数的加减混合运算法则，利用运算律进行计算即可求解； （3）根据有理数的乘除混合运算法则进行计算即可求解； （4）根据乘法分配律进行运算； （5）根据有理数混合运算法则进行运算，先乘方再乘除最后再加减，有括号先算括号内的； （6）根据有理数混合运算法则进行运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 13．已知、为有理数，现规定一种新运算，满足． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 14．探索规律． (1)观察上面的图，发现： 图①空白部分小正方形的个数是； 图②空白部分小正方形的个数是； 图③空白部分小正方形的个数是________________． (2)像这样继续排列下去，你会发现一些有趣的规律，________________________． (3)运用规律计算： 【答案】(1)5，4 (2)，， (3) 【分析】本题考查了图形的变化类，数字变化规律，有理数的加减混合运算． （1）根据所给的等式的形式进行求解即可； （2）根据（1）进行总结，从而可求解； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：图③空白部分小正方形的个数是， 故答案为：5，4； （2）， 故答案为：，，； （3） ． 15．观察算式：；；；，… (1)请根据你发现的规律填空：______； (2)用含的等式表示上面的规律：______； (3)用找到的规律解决下面的问题： 计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据有理数的运算法则进行计算即可； （2）根据所给算式可得：第二个因数比第一个因数大2，它们的积加1等于这两数之间的数的平方； （3）将每个小括号内的式子进行通分，再根据（2）的规律，将所求的式子变形，然后进行计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：由所给算式可得：， 故答案为：； （3）解：原式 ． 【点睛】本题考查数字的变化规律，有理数的运算，通过观察所给的等式，探索出一般规律，并能灵活应用规律进行计算是解题的关键． 16．小明同学有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题： 0 (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，最小值是 ； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的商最小，最小值是 ； (3)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的差最大，最大值是 ； (4)从中取出除0以外的4张卡片，将卡片上的这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，每个数字只能用一次，可以有括号，使结果为24，请写出一种符合要求的运算式子： ． 【答案】(1) (2) (3)5 (4)或或 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据题意列出算式，找出积最小值即可； （2）根据题意列出算式，找出商最小值即可； （3）根据题意列出算式，找出差最大值即可； （4）利用“24点”游戏规则列出算式即可． 【详解】（1）解：取，乘积最小值为， 故答案为：； （2）取，，商最小值为， 故答案为：； （3）取，，差最大值， 故答案为：5； （4）或或， 故答案为：或或 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数100道计算题训练14大题型 常考题型·精准突破 考点一 有理数的计算题训练 题型一 有理数的加法运算 题型二 有理数的减法运算 题型三 有理数的乘法运算 题型四 有理数的除法运算 题型五 有理数的乘方运算（高频） 题型六 含乘方的有理数混合运算（重） 题型七 含绝对值的有理数计算（重） 题型八 含绝对值、相反数和倒数的文字计算题（高频） 题型九 有理数的简便计算 题型十 有理数的规律计算题（难） 题型十一 二进制计算（难） 题型十二 程序流程图与有理数计算 题型十三 算24点 题型十四 有理数的新定义运算（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 有理数的计算题训练 ◆题型1 有理数的加法运算 1．计算：． 2．计算：． 3．计算： (1)； (2)； (3)； 4．计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 5．计算： (1)； (2) (3)； 6．计算： (1)； (2)． (3)； ◆题型2 有理数的减法运算 7．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 9．计算： (1)； (2)． 10．计算 (1)； (2)； (3)； (4)； 11．计算： (1) (2) (3) (4) 12．计算： (1)； (2)． ◆题型3 有理数的乘法运算 13．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 14．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 15．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．计算： (1) (2) 18．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． ◆题型4 有理数的除法运算 19．简便计算 (1) (2) (3) 20．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 21．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 22．计算： (1)； (2)； (3)． 23．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 24．在学习了有理数的除法后，我们知道了有理数的除法可以转化为乘法：“除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数．”请根据所学知识完成下列问题． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则______； (2)计算：； (3)根据以上信息可知：______． ◆题型5 有理数的乘方运算 25．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 26．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 27．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 28．计算题： (1)； (2)． 29．计算： (1)； (2)； (3)． 30．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． ◆题型6 含乘方的有理数混合运算 31．计算：． 32．计算： (1) (2)． 33．计算： 34．计算： 35．计算： (1)． (2) 36．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． ◆题型7 含绝对值的有理数计算 37．已知：，求的值． 38．已知，． (1)求的值； (2)，求的值； (3)，求的值． 39．已知． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 40．若与互为相反数，求的值． 41．计算： (1)； (2)． 42．已知．求的值． ◆题型8 含绝对值、相反数和倒数的文字计算题 43．已知：，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是3，求的值． 44．（综合推理）已知a，b，c满足：① a是绝对值最小的正整数；②b的相反数是最大的负整数；③c的倒数是它本身，求的值． 45．若互为相反数，相乘的积是1，的绝对值和倒数都是它本身，的相反数是它本身，求的值． 46．点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b． (1)用“>”或“<”填空：______0，______0； (2)点为数轴上一动点，则的最小值=_______． (3)若，，c、d互为相反数，m、n互为倒数，求的值． 47．已知：，互为相反数，，互为倒数，数到原点的距离为． (1)填空： __________， __________， __________； (2)求的值． (3)若，则__________， __________． 48．根据所学知识回答下列问题： (1)数轴上表示3与的两点之间的距离是______；数轴上有理数与有理数6所对应两点之间的距离为5，则______． (2)代数式，则______． (3)已知，互为相反数，且，c和d互为倒数，m的绝对值等于3，求：的值． ◆题型9 有理数的简便计算 49．（1）①用简便的方法计算：； ②上述简便方法运用到的运算律是：______、______； （2）在计算时，没办法直接用上述方法简便运算，需要把各个数进行拆项，再运用运算律简便运算． ①请你把进行拆项：____________；____________； ②用拆项法简便计算：． 50．计算（能用简便方法计算的，尽量用简便方法计算） (1)； (2)； (3)； (4)． 51．计算： (1)； (2)简便计算：； (3)简便计算： 52．下面各题，能简便计算的用简便方法计算． (1) (2) (3) (4) 53．计算下列各题（能用简便计算的用简便计算）： (1) (2) (3) (4) 54．计算（能用简便方法计算的，尽量用简便方法计算） (1) (2) (3) (4) (5) (6) ◆题型10 有理数的规律计算题 55．观察下面每个图形中圆圈的总个数，也可以用相对应算式表达． ①； ②； ③； ④； ．．．．．． (1)根据你发现的规律填空：（___________）=___________2； (2)根据上面规律，计算： ___________；（直接填结果） (3)根据上面规律，计算：．（要写必要的计算过程） 56．观察下列算式，你会发现什么规律？ …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)找出规律并计算：______=______； (2)用含有n的式子表示上面的规律：______； (3)用找到的规律解决下面的问题： 计算：______． 57．我们把从1开始到的个连续自然数的立方和记作，那么有： ，，，… 观察上面式子的规律，完成下面各题： (1)根据规律，直接写出； (2)猜想：______（用n表示）； (3)根据规律，求的值． 58．研究下列算式，你会发现什么规律？ (1)请你找出规律并计算 (2)用含有的式子表示上面的规律： ． (3)用找到的规律解决下面的问题： 计算： ． 59．观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你仔细观察，开动脑筋，解答下列问题： ①； ②； ③； …… (1)按以上规律，第④个等式为：_____； (2)按此规律，计算的值； (3)探究计算：的值． 60．观察下列式子： ；；；；… (1)发现规律：________；用含n的代数式表示规律：________（n为正整数）． (2)应用计算：． (3)拓展规律：当________时，（n为正整数）． ◆题型11 二进制计算 61．日常生活中，我们用十进制来表示数，如．计算机采用的是二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数，如二进制中的，可以表示十进制中的10．那么： (1)二进制中的10110表示的是十进制中的（　　） A．22    B．21    C．13    D．12 (2)十进制中的86用二进制中的数表示为 62．生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满10进1． 例：； 计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满2进1． 例：二进制10010转化为十进制数：，其他进制也有类似的算法： (1)【发现】根据以上信息，将二进制10110转化为十进制数是 ； (2)【迁移】按照上面的格式将八进制数“4312”转化为十进制数； (3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示，是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满六进一，根据图示，求孩子出生的天数． 63．我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制（只有数码0和1）， 它们两者之间可以互相换算．若规定：任何一个非0数的0次幂都等于1，（如）那么，二进制换算成十进制数为： ； 二进制换算成十进制数目为： ． (1)将二进制数(10011)2换算成十进制数，则 (2)请将转换为十进制数； (3)十进制数9转换成二进制为：，则将27转换成二进制数为 64．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如数就是二进制数的简单写法，十进制数一般不标注基数． 如十进制数3512可以表示成式子：． 可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式． 二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1．类比十进制数的表示方法把二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，可以把二进制数转化为十进制数．根据上述材料，解答下列问题： 【理解】 （1）填空：=______； （2）一个字长为7位的二进制数能表示的十进制数值范围是（  ）； A． B． C． D． 【迁移】（3）把十进制数27转化为二进制数； 【创新】（4）把二进制数转化为八进制数． 65．日常生活中，我们使用的数是十进制数，数的进位方法是“逢十进一”，十进制的基数是十，而计算机使用的数是二进制数，即数的进位方法是“逢二进一”，二进制的基数是二，二进制只使用数字0，1，如二进制数1101记为，通过式子可以转换为十进制数13，即． (1)将二进制数转换为十进制数． (2)二进制的加法运算是一种基本运算，它和十进制数的加法原理类似，只是运算的基数不同．在二进制数的加法运算中，我们需要将两个二进制数按位相加，并且需要考虑进位的情况．二进制数的基本规则：；；（二进制进位）．举个例子，我们来计算二进制数和的加法：．从最低位开始相加，，没有进位；，这里需要进位；，没有进位；，这里也需要进位，最终的结果是． 请计算：；（请把计算或探究过程写出来） (3)请类比十进制的运算，进一步研究二进制的运算， ①计算：，（请把计算或探究过程写出来） ②计算：，并把结果转化为十进制的数．（请把计算或探究过程写出来） 66．问题背景：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是“逢几进一”就是几进制． 查阅资料：①二进制，即“逢二进一”，使用0和1计数，基数为2，例如：二进制数10100简记为（角标2不可省略），可用上述方法将二进制数转换成十进制数： （记） ②根据二进制数“逢二进一”的原则，可以用2连续去除十进制数，直到商0为止，然后逆序取余数，得到二进制数．例如：如图， ③二进制加法规则：（逢二进一）； 解决问题： (1)把二进制数转换成十进制数； (2)把十进制数43转换成二进制数； (3)试计算： ．（用二进制数表示结果） ◆题型12 程序流程图与有理数计算 67．如图，小明设计了一个计算程序．输入值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到．如：输入，得到，． (1)若输入，则________，________； (2)若得到，求输入的值． 68．某数学编程机器人执行以下运算程序：输入一个有理数，按从左到右的顺序依次进行运算，最终输出结果，其中“#”表示运算过程中一个未知的有理数． (1)若输入的是2，表示的数为2，求输出结果； (2)若输入的是，且输出的为7，直接写出#表示的数； (3)若输出的为0，用含的代数式表示#． 69．如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小明输入4，7这两个数时，则两次输出的结果依次为______，______； (2)你认为当输入数等于______时（写出一个即可），其输出结果为0； (3)你认为这个“数值转换机”不可能输出______（填写：正数、0、负数）； (4)有一次，小明操作的时候输入了一个小于10的正整数，最后输出的结果是2，聪明的你判断一下，小明输入的正整数是______． 70．如图是一个数字传输器，箭头代表传输路径，方框代表传输方式，菱形代表决策．了解这个数字传输器的工作原理，回答下列问题： (1)当时，_______；当时，______； (2)当输入的为不超过20的有理数，此时输出的值为0，则输入的为________． (3)若是自然数，请写出的所有可能值_______． 71．如图是一个数学游戏活动，、、、分别代表一种运算，运算结果随着运算顺序的变化而变化．（提示：①每次游戏都涉及、、、四种运算；②运算过程中自动添加必要的括号） (1)6经过、、、的顺序运算，列算式并计算结果是多少？ (2)经过▅、的顺序运算后，结果是，则被遮挡部分的运算顺序应是______． 72．如图是一个“有理数转换器”（箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）． (1)这个“有理数转换器”不可能输出的是_____；（填“正数”“0”或“负数”） (2)当小明分别输入这三个数时，求输出的结果； (3)当输入_____时，其输出结果是0．（填序号） ①，②，③，④，⑤． ◆题型13 算24点 73．如图，现有5张写着不同数字的卡片，请按要求完成下列问题： 1 2 (1)若从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字进行四则运算，则运算结果的最小值是______； (2)若从中取出4张卡片，请运用所学的计算方法写出两个不同的运算式，使四个数字的计算结果为24或． 74．如图，小明有4张写着不同的数字的卡片，请你按要求取出卡片，完成下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最小，最小值是 ； (2)取4张卡片，用卡片上的4个数字，在“”选取你所需要的运算，使结果为24（每张卡片用一次）．请设计1个算式，并写出计算过程． 75．如图，小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求取出卡片，完成下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)算24点游戏：从中取出4张卡片，用学过的“+，-，×，÷”运算，使结果为24．请写出2个运算式并进行计算： ①_________________； ②__________________． 76．“24点”游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用． (1)在玩“24点”游戏时，小明抽到以下4张牌（Q表示12）： 请你帮他写出运算结果为24的算式：（写出2个） __________________________；__________________________； (2)善于思考的小明发现这4张牌还能计算得出1至10（包括1和10）中的整数，则以下结论正确的是（     ） ①能计算出1至10（包括1和10）中的所有整数             ②只能计算出1，2，3，4，6 ③除5外的其它整数都能计算出                            ④除7和9外的其它整数都能计算出 ⑤以上选项均不正确 77．思维训练： (1)有一种“二十四点”的游戏，将四个有理数进行加、减、乘、除、乘方运算，使其结果等于24．现有四个有理数，4，，6，请写出三种不同方法的运算，使其结果等于24． (2)如表，在3×3的幻方中，当空格中填上适当的数后，每行、每列以及对角线上的数的和是相等的，求k的值； k 11 121 (3)在图1中，一笔画出4条线段连接着9个点，并且不重复任何一条线段；在图2中，用三条线，把相同数字连起来，不交叉，不超出边框，不在框线上走． 78．24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌（去掉大王、小王剩下52张）中任意抽取4张牌，把牌面上的数字进行混合运算，使得运算结果为24．每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号．其中♥，♦表示正，♣，♠表示负，分别代表1，11，12，13． （1）在玩“24点”游戏时，小明抽到图1的4张牌，请你帮他写出2个运算结果为24的算式：______，______； （2）在玩“24点”游戏时，小刚抽到图2的4张牌，请你帮他写出1个运算结果为24的算式：______． ◆题型14 有理数的新定义运算 79．对于任何数，我们规定：，例如：． (1)按此规定，计算的值． (2)按此规定，若，求y的值． 80．对于任何数，我们规定：，例如：． (1)按此规定，计算的值． (2)按此规定，若，求的值． 81．a、b为有理数，若规定一种新的运算“⊕”： 定义；例如：． 请根据“⊕”的定义计算： (1)； (2)． 82．定义一种新运算“”，规定． (1)计算的值． (2)请你定义一种新运算“”，使其中含有乘法运算，且． 83．小明同学借助于有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：对于任意有理数，都有． (1)求的值； (2)试用，说明，新定义的运算不满足交换律． 84．新定义 用“※”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．如：1． (1)______； (2)若，求的值； (3)若，（其中为有理数），试比较，的大小． 综合攻坚·知能拔高 1．计算： (1)； (2)． 2．计算： (1)． (2)． 3．对于有理数、，定义运算：． (1)计算：的值； (2)计算：的值． 4．计算（能用简便运算的用简算） (1) (2) 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 6．请先阅读下列一组内容，然后解答问题： ，，… 计算： (1) (2) 7．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统.约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，以此类推，进制就是逢进一，为与十进制进行区分，我们常把用进制表示的数写成．进制的数转化为十进制的数的方法是：若进制表示的数为，则转换为十进制数的过程为（规定当时，）． 根据你所学的知识，完成以下问题： (1)通过计算，把下列进制表示的数转化为十进制表示的数： ①；    ②． (2)已知二进制数，请计算出的十进制表示的数，并直接写出s的值（要求写成二进制表示的数）． (3)通过计算，请把转换成十二进制的数． 8．看程序图，做有理数运算 如图是计算机程序计算图．    【模型提炼】输入数据进入程序运算：将输入的数据，即可得到输出的数值． 【模型运用】 (1)若开始输入为，请你根据上面程序列出算式并计算出输出结果； (2)若最后输出为，请你根据上面程序列出算式并计算出输入数字． 9．课堂上老师给出一道计算题：．同学们积极思考，甲、乙、丙三位同学的做法如下： 甲：原式 乙：原式 丙：原式的倒数 故原式． 请认真阅读，解答下列问题： (1)上述三位同学的解法中，正确的是______，错误的是______；(填写“甲”“乙”“丙”) (2)计算： ① ② 10．“24点”游戏规则如下：从一副扑克牌（去掉大、小王）中，任意抽取4张，根据牌面上的数字进行加减乘除四则混合运算（每张牌只能用…次），使得运算结果为24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，J，Q，K分别代表，，． 例如，抽到一组牌：，要使运算结果为24，则可列式为：； (1)甲同学抽到一组牌：，要使运算结果为，则可以列式为：______． (2)乙同学抽到一组牌：，要使运算结果为，则可以列式为：______． (3)丙同学抽到一组牌：，要使运算结果为，则可以列式为：______． 11．计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 12．计算 (1)； (2)． (3)． (4)； (5)； (6)． 13．已知、为有理数，现规定一种新运算，满足． (1)求的值； (2)求的值． 14．探索规律． (1)观察上面的图，发现： 图①空白部分小正方形的个数是； 图②空白部分小正方形的个数是； 图③空白部分小正方形的个数是________________． (2)像这样继续排列下去，你会发现一些有趣的规律，________________________． (3)运用规律计算： 15．观察算式：；；；，… (1)请根据你发现的规律填空：______； (2)用含的等式表示上面的规律：______； (3)用找到的规律解决下面的问题： 计算：． 16．小明同学有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题： 0 (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，最小值是 ； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的商最小，最小值是 ； (3)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的差最大，最大值是 ； (4)从中取出除0以外的4张卡片，将卡片上的这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，每个数字只能用一次，可以有括号，使结果为24，请写出一种符合要求的运算式子： ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $