课时规范练7　函数的单调性与最值-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数单调性与最值，通过三模块系统整合定义法、复合函数等方法，构建“判断-证明-应用-拓展”的知识逻辑链，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固练|9题|定义法证明单调性、单调性比较大小、最值计算|单调性定义→基本函数单调性→简单应用| |综合提升练|4题|分段函数单调性参数范围、复合函数单调区间、含参单调性讨论|单调性性质→复杂函数单调性分析→参数问题| |创新应用练|1题|新定义“2间距函数”判断|单调性与最值综合→数学抽象与创新应用|

课时规范练7　函数的单调性与最值 (分值:87分) (单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分) 基础 巩固练 1.(2025·北京顺义一模)下列函数中,在定义域内单调递增且值域为[0,+∞)的是(　　) A.y=x2 B.y= C.y=3x-1 D.y=log2x 2.(2025·河北承德模拟)已知f(x)=2x-,a=f(),b=f(),c=f(),则 (　　) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 3.(2025·辽宁沈阳期末)函数f(x)=的最小值为(　　) A.0 B.4 C. D.2 4.(2026·安徽阜阳模拟)已知函数f(x)=若对任意x1,x2∈R(x1≠x2),都有<0成立,则实数a的取值范围是(　　) A.[-4,-1] B.[-4,-2] C.(-5,-1] D.[-5,-4] 5.(2025·广东茂名一模)已知函数f(x)=在区间(a,+∞)内单调递增,则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞,1] B.(-∞,3] C.[3,+∞) D.[5,+∞) 6.(2025·山东潍坊模拟)函数f(x)=x+,x∈[0,9]的最大值为　　　　　.  7.(2025·河北保定模拟)若函数f(x)=loga(x2-x+2)在[0,2]上的最大值为2,则实数a=　　　　　.  8.(2025·湖北武汉模拟)已知函数f(x)=x2+2x,g(x)=ln(x+1)-a,若存在x1,x2∈[0,2],使得f(x1)>g(x2),则实数a的取值范围是　　　　　.  9.(13分)已知函数f(x)=-. (1)求证:函数f(x)在[2,3]上是增函数; (2)求函数f(x)在[2,3]上的最大值和最小值. 综 合 提升练 10.(2025·黑龙江二模)已知函数f(x)=(其中a>0且a≠1),若对∀x1,x2∈R,x1≠x2,都有>2,则实数a的取值范围是 (　　) A.[6,8] B.[2,6] C. D. 11.(2025·河北石家庄模拟)已知函数f(x)=是R上的增函数,且关于x的不等式f(a+x2)≥f(x)恒成立,则实数a的取值范围是(　　) A.[0,] B.[-,1] C.[-] D.[,1] 12.(2025·安徽亳州模拟)若函数f(x)=(a>0)在[1,+∞)内的最大值为,则a= (　　) A. B.1 C.+1 D.-1 13.(13分)讨论函数f(x)=(a≠)在(-2,+∞)内的单调性. 创 新 应用练 14.(多选题)(2025·河南安阳一模)定义:已知函数f(x)在其定义域上的最大值为m,最小值为n,若m-n=2,则称f(x)是“2间距函数”,则下列函数是“2间距函数”的有(　　) A.f(x)=2sin x,x∈R B.f(x)=,x∈[,2] C.f(x)=,x∈[0,4] D.f(x)=22x-2x,x∈[0,1] 参考答案 1.B　解析 对于A,函数在(-∞,0]上单调递减,在(0,+∞)内单调递增,不满足题意; 对于B,函数在[-1,+∞)内单调递增,且函数值域为[0,+∞),满足题意; 对于C,函数在R上单调递增,且函数值域为(0,+∞),不满足题意; 对于D,函数在(0,+∞)内单调递增,值域为R,故D不满足题意.故选B. 2.D　解析 易知函数y=2x和y=-在(1,+∞)内单调递增, 所以f(x)=2x-在(1,+∞)内单调递增,又, 所以f()>f()>f(),即c>b>a.故选D. 3.D　解析 根据题意,函数f(x)的定义域为[4,+∞). 因为y=在区间[4,+∞)内单调递增, y=在区间[4,+∞)内单调递增, 所以函数f(x)在区间[4,+∞)内单调递增,所以f(x)min=f(4)=2故选D. 4.A　解析 因为对任意x1,x2∈R(x1≠x2),都有<0,所以f(x)在R上单调递减, 所以 则即-4≤a≤-1, 所以a∈[-4,-1].故选A. 5.D　解析 由x2-6x+5≥0,可得x≤1或x≥5,即函数f(x)的定义域为(-∞,1]∪[5,+∞), 又t=x2-6x+5在[5,+∞)内单调递增,在(-∞,1]上单调递减,y=在[0,+∞)内单调递增,由复合函数的单调性可知f(x)=在区间[5,+∞)内单调递增,所以a≥5,即实数a的取值范围是[5,+∞).故选D. 6.12　解析 因为y=x和y=当x∈[0,9]时均为单调递增函数,所以f(x)=x+当x∈[0,9]时单调递增,所以当x=9时,函数f(x)有最大值12. 7.2　解析 令g(x)=x2-x+2,则g(x)在[0,2]上的最大值为g(x)max=g(2)=4,最小值为g(x)min=g()= 当a>1时,f(x)max=loga4=2,解得a=2. 当0<a<1时,f(x)max=loga=2, 解得a=(舍去). 综上,a=2. 8.(-8,+∞)　解析 问题可转化为f(x)max>g(x)min,x∈[0,2], 抛物线f(x)=x2+2x的对称轴为直线x=-1,所以函数f(x)在[0,2]上单调递增, 所以f(x)max=f(2)=22+4=8. 因为y=x+1,y=ln x都为增函数,所以函数g(x)=ln(x+1)-a在[0,2]上单调递增,所以g(x)min=g(0)=-a, 所以8>-a,解得a>-8,即实数a的取值范围是(-8,+∞). 9.(1)证明 设x1,x2是区间[2,3]上的任意两个实数,且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=-, ∵2≤x1<x2≤3, ∴x1-x2<0,x1-1>0,x2-1>0, ∴f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2), ∴函数f(x)=-在[2,3]上是增函数. (2)解 由(1)知函数f(x)在[2,3]上是增函数,则f(x)在[2,3]上的最大值是f(3)=-1,最小值是f(2)=-2. 10.A　解析 不妨设x1<x2,则由>2,得f(x2)-2x2>f(x1)-2x1,令g(x)=f(x)-2x,则g(x)在R上单调递增.因为g(x)= 所以 解得6≤a≤8, 则实数a的取值范围是[6,8]. 故选A. 11.D　解析 因为函数g(x)=a-2-x(x≤0)与h(x)=ln(x+1)(x>0)均是增函数,所以函数y=f(x)是R上的增函数只需满足g(0)≤h(0),即a-1≤0,解得a≤1,由f(a+x2)≥f(x),得a+x2≥x,即a≥-(x-)2+恒成立, 所以当x=时,函数y=-(x-)2+取得最大值,所以a,即a∈[,1],所以实数a的取值范围是[,1].故选D. 12.D　解析 因为f(x)=(x≥1),当a>0时,根据对勾函数的单调性可知,函数y=x+在(0,)内单调递减,在[,+∞)内单调递增, 所以当0<a≤1时,函数y=x+在[1,+∞)内单调递增,则f(x)在[1,+∞)内单调递减, 所以f(x)max=f(1)=,解得a=-1,符合题意; 当a>1时,函数y=x+在(1,)内单调递减,在[,+∞)内单调递增, 函数f(x)在(1,)内单调递增,在[,+∞)内单调递减, 所以f(x)max=f()=,解得a=,与a>1矛盾,不符合题意. 综上,a=-1.故选D. 13.解 函数f(x)==a+,设∀x1,x2∈(-2,+∞),且x1<x2, 有f(x1)-f(x2)=(a+)-(a+)=,∵-2<x1<x2, ∴x2-x1>0,(x1+2)(x2+2)>0, ∴当1-2a>0,即a<时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),此时f(x)在(-2,+∞)内单调递减; 当1-2a<0,即a>时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),此时f(x)在(-2,+∞)内单调递增. 14.BCD　解析 对于A,易知f(x)=2sin x的最大值为m=2,最小值为n=-2,则m-n=4,所以A错误; 对于B,因为f(x)==1+在区间[,2]上单调递减,所以f(x)=的最大值为m=1+,最小值为n=,则m-n=2,所以B正确; 对于C,因为f(x)=,令u=-(x-2)2+4,当x∈[0,4]时,u∈[0,4],[0,2],所以f(x)=的最大值为m=2,最小值为n=0,则m-n=2,所以C正确; 对于D,令t=2x,又x∈[0,1],所以y=t2-t,且t=2x∈[1,2],易知y=t2-t在区间[1,2]上单调递增,所以y=t2-t在区间[1,2]上的最大值为m=2,最小值为n=0,则m-n=2,所以D正确.故选BCD. 1 学科网（北京）股份有限公司 $