课时8 函数的奇偶性（教用版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版）

课时冲关8 对应学生 [基础巩固练] 一、单选题 1.设f(x)为R上的奇函数，当x≤0时，f(x)= 2.x2十a-1,则f(a) A.-2 B.2 C.0 D.4 解析：A[因为f(x)为R上的奇函数，当x≤0 时，f(x)=2.x2+a-1, 所以f(0)=a-1=0,解得a=1, 所以当x≤0时，f(x)=2x2, 所以f(a)=f(1)=-f(-1)=-2×(-1)2= -2.] 2.若函数f)=1+”。 是偶函数，则m= ( A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析：A[函数)=十)的定义域为 {xx≠0}， 由f(x)是偶函数，得f(-x)=f(x), 中-（+)计)娄思得 m(e-1=-2,所以m=-2.] e-1 3.已知函数f(x)= 2十x≤0，为奇函数，则 {a.x2+b.x,x>0 2a+3b等于 () A.-1 B.1 C.5 D.-5 解析：B[函敛f()=十x,≤0， 为奇函 lax2+bx,x0 数，当x>0时，一x<0,则f(x)=一f(-x) -[(-x)2+(-x)]=-x2+x, 而当x>0时，f(x)=a.x2+bx,因此a=-1, b=1,即f(x)=-x2+x, 当x<0时，一x>0,则f(x)=一f(一x)= -[-(-x)2十(-x)]=x2十x,符合题意， 又f(0)=0,所以a=-1,b=1,2a+3b=2× (-1)+3×1=1.] 4.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时， f(x)=√元十2，则不等式f(x)>x的解集为 ( A.(-o∞，-4)U(0,4) B.(-4,0)U(4,+o∞) C.(-4,0)U(0,4) D.(-∞，-4)U(4,+∞) 第二章函数 函数的奇偶性 用书P247 解析：A[函数f(x)是定义在R上的奇函数， 由当x>0时，f(x)=√x十2， 得当x<0时，f(x)=-f(-x)=-(√-x+2) =-√J-x-2,f(0)=0, 当x>0时，f(x)>x台√x+2>x,即（√元-2） (√+1)<0，解得0<x<4, 当x<0时，f(x)>x台-√-x-2>x台 (一x-2)(√一x+1)>0,解得x<-4, 当x=0时，f(x)>x无解，所以不等式f(x)>x 的解集为(-∞，-4)U(0,4).] 5.已知函数f(x)=ax3-bx十3，且f(-7)=m, f(7)=n,则 ( A.m+n=0 B.m-n=0 C.m十n=6 D.m-n=6 解析：C[f(x)+f(-x)=a(x3-x3)-b(x-x) +6=6. 因为f(-7)=m,f(7)=n,所以m十n=6.] 6.若函数f(x)=m(e-er)+nln(.x十√x2+1) +1(m,n为常数)在[1,3]上有最大值7，则函数 f(x)在[-3，-1]上 ( A.有最小值-5 B.有最大值5 C.有最大值6 D.有最小值一7 解析：A[设g(x)=f(x)-1=n(e-e)+ nln(.x+√x+1), 因为Wx+1>√x=|x|,所以x十√π+1>0恒 成立，所以g(x)的定义域为R且关于原点对称， 又g(-x)=m(ex-e)+nln(-x+√Jx2+1) 1 =-m(e*-e *)+nln W+1+x =-[m(e'-e)+nln(x+√x+1)]=-g(x), 所以g(x)是奇函数， 因为f(x)在[1,3]上有最大值7，所以g(x)在 [1,3]上有最大值为6， 所以g(x)在[-3，-1]上有最小值-6， 所以f(x)在[-3，-1]上有最小值-5.] 二、多选题 7.下列函数既是偶函数，且在区间[0，十∞)内单 调递增的有 A.y=2a B.y=|x|-2 C.y=3.x2+1 D= 307 高考总复习数学 解析：BC[A中，设f(x)=2x, 则f(-2)=-4,f(2)=4,f(-2)≠f(2), 故f(x)不是偶函数，故A错误； D中设)=，则1)=1g2)= g(1)>g(2), 故g(x)在[0，十∞)内不单调递增，故D错误； B中，设s(x)=|x|一2，则s(一x)=|一x-2 =s(x),故s(x)为R上的偶函数， 而当x≥0时，s(x)=x一2，该函数在[0，十∞) 内单调递增，故B正确； C中，设t(x)=3x2+1,则t(-x)=3x2+1= t(x),故t(x)为R上的偶函数， 而当x≥0时，t(x)=3x2十1在[0，十o∞)内单调 递增，故C正确.] 8.已知函数f(x)的定义域为R,f(x十2y)=f(x) +2f(y),则 () A.f(0)=0 B.f(1)=1 C.f(x)是奇函数 D.f(x)在R上单调递增 解析：AC[由f(x+2y)=f(x)+2f(y)知， 当x=y=0时，f(0)=3f(0),即f(0)=0,故A 正确； 取f(x)=-x,则f(x)满足条件f(x十2y)= f(x)+2f(y), 但f(1)=一1，且f(x)是在R上单调递减，故 B,D错误； 当x=-t,y=t时，f(t)=f(-t)+2f(t), 即f(-t)=-f(t),故C正确.] 三、填空题 9.若函数f(x)=er十ae是定义在R上的奇函 数，则实数a= 解析：由f(x)是R上的奇函数得，f(0)=1十a =0,解得a=-1,则f(x)=e-e, 所以，f(-x)=e-ex=-f(.x),则f(x)= er一e为奇函数，符合题意. 答案：一1 10.(2025·北京卷)已知函数f(x)的定义域为R, 则下列说法正确的有 ①存在在R上单调递增的函数f(x)使得f(x) 十f(2x)=一x恒成立； ②存在在R上单调递减的函数f(.x)使得f(.x) 十f(2x)=一x恒成立； ③使得f(x)十f(-x)=cosx恒成立的函数 f(x)存在且有无穷多个； ④使得f(x)-f(一x)=cosx恒成立的函数 f(x)存在且有无穷多个. ·3( 解析：利用反证法可判断①④的正误，构造函 数并验证后可判断②③的正误. 对于①，若存在R上的增函数f(x),满足f(x) 十f(2x)=-x, 则f(0)十f(2×0)=-0即f(0)=0, 故x>0时，f(4x)>f(2x)>f(x)>0,故 f(4x)+f(2x)>f(x)+f(2x), 故一2x>一x即x<0,矛盾，故①错误； 对于②，取()=一号x,该西数为R上的减 函数且f(x)十f(2x)=一x, 故该函数符合，故②正确； 对于@，取f)=合casz十mr,m∈R 此时f(x)十f(-x)=cosx,由m∈R可得 f(x)有无穷多个，故③正确； 对于④，若存在f(x),使得f(x)一f(一x)= cosx,用一x代换x,得f(一x)-f(x)= coS 由上可得2c0sx=0恒成立，显然不正确，故满足 f(x)一f(一x)=cosx的函数不存在，故④ 错误. 答案：②③ 四、解答题 11.已知函数f(x)是R上的偶函数，当x≤0时， f(x)=-x2+4x-3, (1)求函数f(x)的解析式； (2)若f(2m-1)<f(m+1),求实数m的取值 范围. 解：(1)当x>0时，则一x<0, 由题意可得：f(x)=f(-x)=一（一x)2十 4(-x)-3=-x2-4.x-3, 所以函数f(x)的解析式为f(x) =/-x2-4x-3,x>0 {-x2+4x-3,x≤01 (2)因为y=一x2十4x一3的开口向下，对称轴 为x=2, 可知函数f(x)在（一∞，0]内单调递增， 且函数f(x)是R上的偶函数，可知函数f(x) 在[0，十∞)内单调递减， 若f(2m-1)<f(m+1),则|2m-1>m+1, 整理可得m-2m>0,解得m>2或m<0, 所以实数m的取值范围为（一∞，0）U(2,十∞) 12.已知函数f(x)的定义域为（一o∞，0）U(0,十o∞)， 对任意x,y∈R且|x≠|y,都满足f(x十y)+ f(.x-y)=f(x2-y). (1)求f(1),f(-1); (2)判断f(x)的奇偶性； (3)若当x>1时，f(x)>0,且f(2)=1,求不 等式f(x十2)-f(x-1)<2的解集. 解：(1)因为对任意x,y∈R且|x|≠|y|,都满 足f(x十y)+f(x-y)=f(x2-y2), 令x=1,y=0,得f1)+f1)=f1),.f(1)=0, 令x=-1,y=0,得f(-1)+f(-1)=f(1)=0, .f(-1)=0. 2,y=4-b (2)对任意非零实数a,,令x=a十b,y 21 可得f(a)+f(b)=f(ab). 在上式中，令b=-1,得f(a)+f(-1)=f(-a), 即对任意非零实数a都有f(a)=f(-a), f(x)是偶函数， (3)对任意x1,x2(0,十o∞且x1<x2, >f(x1), .f(x)在区间(0，十∞)上单调递增. ,f(2)=1,.2=1+1=f(2)+f(2)=f(4), ,f(x+2)-f(x-1)<2, .f(x+2)<f(x-1)+2=f(x-1)+f(4)= f(4x-4), ,f(x)是定义域为(-∞，0)U(0,十∞)的偶 函数，且在区间(0，十∞)上单调递增， .原不等式转化为0<|x十2<4x一4|， 解得K-2或-2<号或>2， 原不等式的解集为（一∞，一2）U (-2,号)2，+y. [能力提升练] 13.已知函数f(x),g(x)是定义在R上的函数，其 中f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)一 g(x)=-a.x2十3x-1.若对任意1<x1<x2<2 都有）二g(>一4，则实数a的取值范 x1一x2 围是 A.(-∞，-1]U[0,+∞) B.(0,十o∞) C.[-1,+o∞) D.[-1,0) 解析：C[因为f(-x)=-f(x),g(一x)=g(x), 由f(x)-g(x)=-a.x2+3x-1,用-x代替x得 f(-x)-g(-x)=-a.x2-3x-1即-f(x) g(x)=-ax2-3.x-1, ·309 第二章函数 所以g(x)=a.x2+1. 由8x)-g>-4,1<x<x,<2得 x1一x2 g(x1)-g(x2)<-4(x1-x2)→g(x1)+4x1< g(x2)+4x2 设h(x)=g(x)+4x=a.x2+4x+1,则h(x)在 (1,2)上单调递增 ,a<0 ,a>0 所以】 。或a=0或 2a s1即-1≤a 2a <0或a=0或a>0,所以a≥-1.] 14.[多选]已知函数f(x),g(x)定义域为R,且 f(x)g(y)-f(y)g(x)=f(x-y),g(x)g(y) 一f(x)f(y)=g(x-y),g(0)≠0，则下列结论 正确的是 () A.f(x)为奇函数 B.g(x)为偶函数 C.若f(1)+g(1)=1,则f(100)-g(100)=1 D.若f(1)-g(1)=1,则f(100)十g(100)=1 解析：ABD[由f(x)g(y)-f(y)g(x)=f(x -y)f(y)g(x)-f(x)g(y)=f(y-x), 所以f(y-x)=-f(x一y),故f(x)是奇函 数，所以A正确； 由g(x)g(y)-f(x)f(y)=g(x-y)得g(y) g(x)-f(y)f(x)=g(y-x), 所以g(y一x)=g(x-y),故g(x)是偶函数， 所以B正确； 由题意得f(x-y)-g(x-y)=f(x)g(y)- f(y)g(x)-g(x)g(y)+f(x)f(y)=[f(y)+ g(y)]·[f(x)-g(x)],令y=1得f(x-1) -g(.x-1)=-[f(1)+g(1)][f(x)-g(x)], 由f(x)是奇函数得f(0)=0, 且[g(0)]2-[f(0)]=g(0),g(0)≠0，解得 g(0)=1, 当f(1)+g(1)=1时，f(100)-g(100)= f(0)-g(0)=-1,所以C错误， 由题意得f(x-y)十g(x-y)=f(x)g(y) f(y)g(x)十g(x)g(y)-f(x)f(y)=[g(y)一 f(y)]·[f(x)+g(x)],令y=1得f(x-1) +g(x-1)=[g(1)-f(1)][f(x)+g(x)] -[f(x)+g(x)] 当f(1)-g(1)=1时，f(100)+g(100)= (-1)1[f(0)十g(0)门=1，所以D正确.]