课时15 函数模型及应用（教用版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版）

高考总复习数学(BS) 课时冲关15函 学生用书 [基础训练组] 1.在一次实验中，某小组 测得一组数据(x,y:) (i=1,2,…,11)并由实 验数据得到下面的散点 图.由此散点图，在区间 ☒ [一2,3]上，下列四个函 -4-2024x 数模型(a,b为待定系数)中，最能反映x,y函 数关系的是 ( A.y=a+bx B.y=a+b" C.y=a+logix D.y=a+b 解析：B[由题中散点图的定义域及函数增减 性可排除C,D选项，由散点图的增长方式可知 函数模型为指数型.] 2.某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经 费投入.若该高校2023年全年投入科研经费 1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费 比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研 经费开始超过2000万元的年份是（参考数据： lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)() A.2023年 B.2024年 C.2025年 D.2026年 解析：D[若2023年是第1年，则第n年全年投 入的科研经费为1300×1.12”万元，由1300× 1.12m>2000,可得lg1.3+nlg1.12>lg2,所 以n×0.05>0.19,得n>3.8,即n≥4，所以第 4年，即2026年全年投入的科研经费开始超过 2000万元.] 3.1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化 计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数 运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关 系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数， 称为历史上的珍闻.若2=号，1g2=03010. 则x的值约为 () A.1.322B.1.410 C.1.507 D.1.669 解析：A[由27-号lg2=-0010,所以x=g号 5 1g2g5-g2_1-21g2-1=2X03010≈ -1g2 1g 2 1g 2 0.3010 1.322,即x的值约为1.322.] 4.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方 法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化 中，指数衰减的学习率模型为L=L,D,其中L表 示每一轮优化时使用的学习率，L。表示初始学习 ·422 数模型及应用 P264 率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G表 示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初 始学习率为0.5，衰减速度为22，且当训练迭代轮 数为22时，学习率衰减为0.45，则学习率衰减到 0.05以下（不含0.05）所需的训练迭代轮数至少为 (参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)( ) A.11 B.22 C.227 D.481 解析：D[由于L=LD,所以L=0.5XD, 依道意0.46=05×D→D=哥则L=0.5X (0)由1=0.5×(0) <0品) G·(1g9-1g10)<-22,G·(1g10-1g9)> 22 22 22,G>g10=1g9G>1-21g3 22 22 =1-2×0.4771=0.0458≈480.35，所以所需 的训练迭代轮数至少为481轮.] 5.在线直播带货已经成为一种重要销售方式，假 设直播在线购买人数y(单位；人)与某产品销售 单价（单位：元）满足关系式：y=20一x+40, 其中20<x<100,m为常数，当该产品销售单价为 25时，在线购买人数为2025人；假设该产品成本 单价为20元，且每人限购1件；下列说法错误的是 () A.实数m的值为10050 B.销售单价越低，直播在线购买人数越多 C.当x的值为30时利润最大 D.利润最大值为10000 解析：D[因为在线购买人数y(单位；人)与某 产品销售单价x(单位：元)满足关系式：y= x=20一x十40，单调递减，所以B正确； 将x=25,y=2025代入y= x-20-x+40, 可得2025=25-20 一25+40，解得：m= 10050,所以A正确； 由题意可得所得利涧为： f(x)=(x-20) 10000-x+40=-x+60☑ (x-20 +9200=-(x-30)2+10100, 所以当x=30,最大利润为10100元，C正确， D错误.] 6.已知某电子产品电池充满时的电量为3000毫 安时，且在待机状态下有两种不同的耗电模式 可供选择.模式A:电量呈线性衰减，每小时耗 电300毫安时；模式B:电量呈指数衰减，即：从 当前时刻算起，1小时后的电量为当前电量的 倍.现使该电子产品处于满电量待机状态时开启 A模式，并在x小时后，切换为B模式，若使其在 待机10小时后有超过5%的电量，则x的取值范 围是 () A.1<x<2 B.1<x≤2 C.8x9 D.8x9 解析：C[由题意得，x小 y y=2- 时后的电量为(3000 300x)毫安，此时转为B 模式， 可得10小时后的电量为 1 (3000-300.x)·20-,则由 题意可得(3000-300x) 210-7>3000X0.05, 1 化简得(10-x)·20=>0.5, 即10-x>2°-， 令m=10-x,则m>2m-1, 由题意得0<x<10,则0<m<10, 令m分别为1,2时，这个不等式左右两边大小 相等， 由函数y=x和y=21的图象可知， 该不等式的解集为1<m<2, 所以1<10-x<2,得8<x<9.] 7.(多选)放射性物质在衰变中产生辐射污染逐步 引起了人们的关注，已知放射性物质数量随时 间t的衰变公式N(t)=N。e:,N。表示物质的 初始数量，x是一个具有时间量纲的数，研究放 射性物质常用到半衰期，半衰期T指的是放射 性物质数量从初始数量到衰变成一半所需的时 间，已知ln2=0.7,下表给出了铀的三种同位素x 的取值：若铀234、铀235和铀238的半衰期分别为 T1,T2,T3,则 物质 x的量纲单位 x的值 轴234 万年 35.58 铀235 亿年 10.2 铀238 亿年 64.75 A.T=rln 0.5 B.T与x成正比例关系 C.T>T2 D.T3>10000T1 ·42 主题二第二章函数 解析：BD[A选项，由题意得N(t) =N,(位》广又因为N)=Ne,放N)广 =Nc,两边取对数得，宁l血0.5=一，T=血2， A错误；B选项，由A可知，T与x成正比例关 系，B正确；C选项，由B可知，T与x成正比例 关系，由于铀234的x值小于铀235的x值，故 T1<T2,C错误；D选项，T3=xln2=6.475× 1091n2,T1=xln2=3.558×101n2, T36.475×101n2>1,D正确.] 故10000T-3.558×10'1n2 8.(多选)“双11”购物节中，某电商对顾客实行购 物优惠活动，规定一次购物付款总额满一定额 度，可以给予优惠：(1)如果购物总额不超过50 元，则不给予优惠；(2)如果购物总额超过50元 但不超过100元，可以使用一张5元优惠券； (3)如果购物总额超过100元但不超过300元， 则按标价给予9折优惠；(4)如果购物总额超过 300元，其中300元内的按第(3)条给予优惠，超 过300元的部分给予8折优惠.某人购买了部 分商品，则下列说法正确的是 () A.如果购物总额为78元，则应付款为73元 B.如果购物总额为228元，则应付款为 205.2元 C.如果购物总额为368元，则应付款为 294.4元 D.如果购物时一次性全部付款442.8元，则购 物总额为516元 解析：ABD[购物总额为78元，则应付款为 78一5=73元，A正确；购物总额为228元，则应 付款为228×0.9=205.2元，B正确；购物总额 为368元，则应付款为300×0.9+68×0.8=324.4 元，C错误；购物时一次性全部付款442.8元，则包 含购物总额300元应付的270元，还有172.8 元对应购物额度为1728=216，因此购物总额 0.8 为300+216=516元，D正确.] 9.为研究西南高寒山区y 一种常见树的生长周 3 期中前10年的生长规2 律，统计显示，生长4 年的树高为了米，如图 01234567i 所示的散点图，记录了样本树的生长时间t(年) 与树高y(米)之间的关系.请你据此判断，在下 高考总复习数学(BS) 列函数模型：①y=2-a;②y=a十log2t;③y= 之十a:④y=F十a中（其中a为正的常数），生 长年数与树高的关系拟合最好的是 (填写序号)，估计该树生长8年后的树高为 米 解析：由题中散点图的走势，知模型①不合适. 由线过点(1，)则后三个模型的解析式分别 为@y=3+10g4:③y=合1+3：④y=f十 号当1=1时，代入国中，得y=专与因不特， 易知拟合最好的是②. 将1=8代入®式：得y=号十1g8=(米) 答案：®9 10.某种物质在时刻t(min)的浓度M(mg/L)与t 的函数关系为M(t)=ar+24(a,r为常数). 在t=0min和t=1min测得该物质的浓度分别 为124mg/L和64mg/L,那么在t=4min时，该 物质的浓度为 mg/L;若该物质的浓度 小于24.001mg/L,则最小的整数t的值为 (参考数据：lg2≈0.3010). 解析：根据条件：ar°+24=124， ar+24=64, 2 .∴.a=100,r= ∴.M(t)=100 +24, +24=26.56. 由100（号）+24<21.01. 得（号）<0.1 g(号)<go.1w, n) <-5, .t[lg2-(1-1g2)]<-5. .t(21lg2-1)<-5,代入lg2≈0.301，得-0.398t <-5,解得t>12.5. .最小的整数t的值是13. 答案：26.5613 11.某景区套票原价300元/人，如果多名游客组 团购买套票，则有如下两 种优惠方案供选择： 方案一：若人数不低于10，则票价打9折；若人 数不低于50，则票价打8折；若人数不低于 100,则票价打7折.不重复打折. ·424 方案二：按原价计算，总金额每满5000元减 1000元. 已知一个旅游团有4？名游客，若可以两种方 案搭配使用，则这个旅游团购票总费用的最小 值为 元. 解析：由方案一可知，满10人可打9折，则单 人票价为270人， 由方案二可知，满5000减1000元，按原价计 算5000≈16.7，则满5000元至少凑齐17人， 300 17×300-1000=4100,则单人票价为4100 17 ≈241， 满10000元时，10000≈33.3，则需34人，单 300 人票价为241人， 满15000元时，13000=50，人数不足 ,241<270,.用方案二先购买34张票，剩余 13人，不满足方案二，但满足方案一， .总费用为34×300-2000+13×300×0.9 =11710(元). 答案：11710 12.如图所示，在矩形 D ABCD中，已知AB=a, BC=b(a>b).在AB、 AD、CD、CB上分别截 取AE、AH、CG、CF都 等于x,当x为何值时，四边形EFGH的面积最 大？求出这个最大面积 解：设四边形EFGH的面积为S, 由题意得Sam=Sac=, 5ag=5am=a-0-) 由此得5-ab2合+2u-x0-月 =-2x2+(a+b)x =-2x-a+b) (a+b)2 4 8 函数的定义域为{x|0<x≤b},因为a>b>0, 所以0<若中≤，即u≤3b, 4 x=十中时面积S取得最大值a十b)； 4 8 若0十中>b,即4>3动时，函教S=一2· 4 （-生+a在(0，b]上是增函数， 4 因此，当x=b时，面积S取得最大值ab一b. 综上可知，若a≤3b,当x=a十b时，四边形 4 EFGH的而积取得最大值a专》：若a>3动， 当x=b时，四边形EFGH的面积取得最大 值ab-b2. [能力提升组] 13.在中国天门山举行的WWL翼装飞行世锦赛 中，某翼人空中高速飞行，如图反映了他从某 时刻开始的15分钟内的速度v(x)与时间x 的关系，若定义“速度差函数”u(x)为时间段 [0,x]内的最大速度与最小速度的差，则u(x) 的图象是 ()》 1(x) 160 128 0 6101215x u(x) fu(x) 00 100 20 20y……… 0 6101215元 0 6101215元 B ↑u(x) 18y 20 20… 0 6101215王 0 6101215元 解析：D[由题意可得，当x∈[0,6]时，翼人 做匀加速运动，m()=80十9x,“速度差函 数”u)=9。 当x∈[6,10]时，翼人做匀减速运动，速度 v(x)从160开始下降，一直降到80，u(x)= 160-80=80. 当x∈[10,12]时，翼人做匀减速运动，u(x)从80开 始下降，w(x)=180-10x,u(x)=160-(180-10.x) =10x-20. 当x∈[12,15]时，翼人做匀加速运动，“速度 差函数”u(x)=160一60=100，结合所给的图象， 故D正确.] 14.(多选)市场上有一种新型的强力洗衣液，特点 是去污速度快.已知每投放a(1≤a≤4，且a∈ R)个单位的洗衣液在一定水量的洗衣机中，它 在水中释放的浓度y(克/升)随着时间x(分 钟)变化的函数关系式近似为y=a·m,其中 当0≤x≤4时，m=。16-1,当4<x≤10时， Γ8-x m=5-子.若多次投放，则某一时刻水中的 洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻 所释放的浓度之和，根据经验，当水中洗衣液 的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去 污的作用.则下列结论正确的是 () A.一次投放4个单位的洗衣液，在2分钟时， 洗衣液在水中释救的浓度为号克/升 B.一次投放4个单位的洗衣液，有效去污时间 可达8分钟 ·425 主题二第二章函数 C.若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后 再投放2个单位的洗衣液，第8分钟洗衣液 在水中释放的浓度为5克/升 D.若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后 再投放2个单位的洗衣液，接下来的4分钟 能够持续有效去污 解析：ABD[对于A,由题意可得a=4,当0≤ x≤4时y三3644，当4<x10时，y=20 -2,当x=2时y=842-4=9,故A 正确； 对于B,当0≤x<4时g4≥4，解得≥0， 故0≤x≤4， 当4<x≤10时，20-2x≥4，解得x≤8， 故4<x≤8，综上所述，0≤x≤8. 若一次投放4个单位的洗衣液，则有效去污时 间可达8分钟，故B正确； 对于C,当6≤x10时， 16 32」 =14-x+14-x —6, 当x=8时y=6+器-6-，故C锈送： 对于D,,4≤14-x≤8， 品y=14xt,326 32 ≥2,14-x)·14x -6=8√2-6，当且仅 32,即x=14-42时取等号， 当14-x=14-x .y有最小值8√2-6≈5.3>4，.接下来的4 分钟能够持续有效去污，故D正确.] 15.某人第一天8：00从A地开车出发，6小时后到 达B地，第二天8：00从B地出发，沿原路6小时 后返回A地.则在此过程中，以下说法中，正确说 法的序号是 ①一定存在某个位置E,两天经过此地的时刻 相同； ②一定存在某个时刻，两天中在此刻的速度相同； ③一定存在某一段路程EF(不含A、B),两天 在此段内的平均速度相同. (以上速度不考虑方向) 解析：①设函数s(t)表示此人第一天距离A地 的路程，则是一个不减的函数，设函数()表 示此人第二天距离A地的路程，则是一个不增 的函数，其中t表示时间，s(t)、l(t)的定义域都 是[0,6]，值域相同.同一坐标系画出s(t)、l(t) 的图象，必有一个交点，即两天中都在此刻经 过此，点（如图1），故①正确； 高考总复习数学(BS) ②画出两天的速度（自变量为时间t)函数图象 并求与x轴围成的面积，就是路程，不可能一 个总在另一个下方.在交，点处时刻，他们的速 度相等（如图2），故②正确； ③在某个路程函数s(t)中，过s(t)上一点作平 行于t,s轴的矩形，如果四个顶点都在曲线上， 则意味着速度的绝对值相等，（对角线就是割线， 斜率就是平均速度)，但不是每种函数曲线都能成 功，图3显示可以，函数模型就是两个一次函数， 图4显示不成功，可以构造函数模型为（这里假定 时间t∈(0,6)，AB之间距离为4)， ∫2eo.2 s(t)= 2-4e[2.6. -3t+4,t∈(0,1) l(t)= 1-6),1∈[1,6)， 1 在这个图象上 经计算，找不到这样的矩形，故③错误 ∴.正确的说法是①②. 速度v) 路程 s(t) 1() 6 6 图1 图2 路程t D 路程 s(t) 6 0 图3 图4 答案：①② 16.土豆学名马铃薯，与稻、麦、玉米、高粱一起被 称为全球五大农作物.云南人爱吃土豆，在云 南土豆也称洋芋，昆明人常说“吃洋芋，长子 弟”.2018年3月，在全国两会的代表通道里， 云南农业大学名誉校长朱有勇院士，举着一个 两公斤的土豆，向全国的媒体展示，为来自家 乡的“山货”代言，他自豪地说：“北京人吃的醋 溜土豆丝，5盘里有4盘是我们澜沧种的！” (1)在菜市上，听到小王叫卖：“洋芋便宜卖了， 两元一斤，三元两斤，四元三斤，五元四斤，六 元五斤，快来买啊！”结果一群人都在买六元五 斤的.由此得到如下结论：一次购买的斤数越 多，单价越低，请建立一个函数模型，来说明以 上结论； ·426 (2)小王卖洋芋赚到了钱，想进行某个项目的 投资，约定如下：①投资金额固定；②投资年数 可自由选择，但最短3年，最长不超过10年： ③投资年数x(x∈N+)与总回报y的关系，可 选择下述三种方案中的一种： 方案一：当x=3时，y=6,以后x每增加1时， y增加2； 1 方案二：y=3x9 方案三：y=(3)。 请你根据以上材料，结合你的分析，为小王提 供一个最佳投资方案. 解：(1)设顾客一次购买x斤土豆，每斤土豆的 单价为f(x)元， 由题意知：f(x)=十1(1≤≤5，x∈N), 因为f(x)=+1=1十1，所以y=f(x)在 [1,5]上为单调递减函数. 说明一次购买的斤数越多，单价越低 (2)根据题意，按照年数的不同取值范围，选出 总回报最高的方案。 由题意可知方案一对应的解析式为y=6十 (x-3)X2=2x. 列表得出三种方案所有年数的总回报，可以精 确得出任意年数三种方案对应总回报的大小 关系，进而可得出如下结论： 投资 年数r 4 5 6 7 9 10 总回 报y 方案一 6 8 10 12 14 16 18 20 方策二 16 25 3 3 12 49 64 100 3 3 2> 3 方案三 3 3 33 9 3 33 27 39 当投资年数为3~5年时，选择方案一最佳； 当投资年数为6年时，选择方策一或方案二 最佳； 当投资年数为7年或8年时，选择方案二 最佳； 当投资年数为9年时，选择方案二或方案三 最佳； 当投资年数为10年时，选择方案三最佳.