课时规范练17函数模型及其应用专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数模型实际应用，以“问题情境—模型构建—求解验证”为主线，系统训练图象分析、模型应用与构建能力，渗透数学建模与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |典例对点练|3（考点1-3）|图象刻画用变化率分析；给定模型用代入运算与参数求解；构建模型用数据拟合与验证|从实际问题抽象函数关系，通过图象、给定模型到自主构建，形成完整建模链条| |素能综合练|6（题4-9）|分段函数分段计算；指数模型用指数运算；声强/流量公式用待定系数法；复利增长用对数求解|综合应用指数、对数、分段函数等模型，强化实际问题数学表达与解决能力|

课时规范练17　函数模型及其应用 典例对点练 考点一　实际问题变化过程的图象刻画 1.(2025·河南南阳模拟)如图,一高为H的球形鱼缸,匀速注满水所用时间为T.若鱼缸水深为h时,匀速注水所用的时间为t,则函数h=f(t)的图象大致是(　　) A. B. C. D. 考点二　根据给定的函数模型解决实际问题 2.(2026·吉林长春模拟)氡气是一种从地表或建筑材料中自然散发的无色无味的放射性气体.500 g氡气经过散发后的剩余量A(单位:g)与散发时间t(单位:天)的关系为t=logaA+k,其中a,k为常数.在此条件下,已知500 g氡气散发后的剩余量从250 g降到208.5 g时,散发时间增加了1天,则500 g氡气散发后的剩余量从200 g降到166.8 g时,散发时间增加了(　　) A.0.5天 B.1天 C.2天 D.5天 考点三　构建函数模型解决实际问题 3.(2025·山东烟台模拟)某新型企业为获得更大利润,需不断加大投资,若预计年利润率(利润/成本)低于10%,则该企业就考虑转型.下表显示的是该企业几年来年利润y(单位:百万元)与年投资成本x(单位:百万元)变化的一组数据: 年份 2020 2021 2022 2023 年投资成本 x/百万元 3 5 9 17 年利润 y/百万元 1 2 3 4 给出以下三个函数模型:①y=kx+b(k≠0);②y=abx(a≠0,b>0,b≠1);③y=loga(x+b)(a>0,且a≠1). (1)选择一个恰当的函数模型来描述x,y之间的关系; (2)试判断该企业年利润为6百万元时,该企业是否要考虑转型. 素能综合练 4.(2025·广东揭阳模拟)向如图放置的空容器中匀速注水,直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系的是(　　) A. B. C. D. 5.(2025·江西临川期末)近年来,人们对健康环境、生态环境的关注越来越高,因此,低碳环保、城市可持续发展已经成为各方关注的热点话题.某市对居民计费方法如下表: 生活用电实行分段计 电价 0~200 kW·h用电量 0.3元/kW·h 201~400 kW·h用电量 0.6元/kW·h 401 kW·h以上用电量 0.9元/kW·h 若某户居民本月缴纳的电费为150元,则此户居民本月的用电量为(　　) A.250 kW·h B.350 kW·h C.450 kW·h D.500 kW·h 6.(2025·福建漳州一模)某工厂产生的废气经过滤后排放,过滤过程中废气中的污染物含量P(单位:mg/L)与时间t(单位:h)间的关系为P=P0e-kt,其中P0,k>0,若在前5 h内消除了10%的污染物,则15 h后污染物含量还剩余(　　) A.70% B.85% C.81% D.72.9% 7.(2026·重庆沙坪坝高三月考)在物理学中音量大小用声强级η(单位:dB)表示,声强级η与声强I(单位:W/m2)的关系是η=10lg().已知声强为10-10 W/m2时对应的声强级为20 dB.若学生早读期间读书的声音的声强级范围为[60,70](单位:dB),则学生早读期间读书的声强范围为(　　) A.[] B.[] C.[10-6,10-5] D.[10-5,10-4] 8.(多选题)(2025·河北衡水模拟)在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量v(单位:cm3/s)与管道的半径r(单位:cm)的四次方成正比,当气体在半径为5 cm的管道中时,流量为1 250 cm3/s,则下列选项正确的有 (　　) A.当气体在半径为3 cm的管道中时,流量为162 cm3/s B.当气体在半径为3 cm的管道中时,流量为152 cm3/s C.要使得气体流量不小于512 cm3/s,管道的半径的最小值为4 cm D.要使得气体流量不小于512 cm3/s,管道的半径的最小值为3 cm 9.(2025·云南昆明模拟)某企业为研发新产品,投入研发的经费逐月递增.已知该企业2025年1月投入该新产品的研发经费为20万元,之后每个月的研发经费在上一个月的研发经费的基础上增加20%,记2025年1月为第1个月,第n(n∈N*)个月该企业投入该新产品的研发经费不低于40万元,则n的最小值是　　　　　　.(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)  参考答案 课时规范练17　函数模型及其应用 1.D　解析 将容器看做一个球体,在刚开始注水时,由于球体的截面积较小,对于相同的Δt时间,高度Δh的变化较大,即较大.到水注入球体的一半时,由于球体的截面积较大,h(t)的变化率较小,接近于球体的顶端时,h(t)的变化率又较大.故选D. 2.B　解析 由题意可知,loga208.5+k-(loga250+k)=1,即loga=loga=1,所以a=,则500 g氡气散发后的剩余量从200 g降到166.8 g时,散发时间增加了loga166.8+k-(loga200+k)=loga=loga=lo=1(天). 3.解 (1)将点(3,1),(5,2)代入y=kx+b(k≠0)得解得 所以y=x-,当x=9时,y=4,不符合题意;将点(3,1),(5,2)代入y=abx,得解得 所以y=×()x=,当x=9时,y==8,不符合题意; 将点(3,1),(5,2)代入y=loga(x+b),得解得 所以y=log2(x-1),当x=9时,y=log28=3,当x=17时,y=log216=4, 故可用③来描述x,y之间的关系. (2)由log2(x-1)=6,得x=65.因为年利润率为<10%,所以该企业要考虑转型. 4.C　解析 由于容器上粗下细,所以匀速注水的过程中,高度的增长会越来越慢,只有C选项的图象符合条件. 5.B　解析 由题意,设该户居民用电量为x kW·h,本月缴纳的电费为y,可得y=当该户居民本月缴纳的电费为150元时,可得60+0.6×(x-200)=150,解得x=350,即居民本月的用电量为350 kW·h.故选B. 6.D　解析 当t=0时,P=P0e-k×0=P0;当t=5时,=0.9,即e-5k=0.9;当t=15时,=e-15k=(e-5k)3=0.93=0.729=72.9%. 7.C　解析 声强级η与声强I的关系公式为η=10lg(),其中I0为参考声强.当I=10-10 W/m2时,η=20 dB,代入公式可得20=10lg(),则2=lg(),根据对数定义得102=,解得I0=10-12 W/m2,即η=10lg(1012I)=120+10lg I.因为学生早读期间声强级范围为[60,70],所以60≤120+10lg I≤70,解得10-6≤I≤10-5,因此,学生早读期间读书的声强范围为[10-6,10-5]. 8.AC　解析 依题意可设v=kr4,k为常数.当气体在半径为5 cm的管道中时,流量为1 250 cm3/s,所以1 250=k×54,解得k=2,则v=2r4.当r=3时,v=162,故A正确,B错误;由2r4≥512,解得r≥4,故C正确,D错误.故选AC. 9.5　解析 由题意可得20×(1+20%)n-1≥40,则1.2n-1≥2,所以(n-1)lg 1.2≥lg 2, 所以n-1≥≈3.810,所以n≥4.810.因为n∈N*,所以n的最小值为5. 1 学科网（北京）股份有限公司 $