专题二 第6讲　函数的概念及其表示课件 -2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的概念及其表示”专题，依据课标要求覆盖定义域求解、函数表示方法、分段函数应用三大核心考点，通过知识梳理与热身练习对接高考评价体系，明确定义域占比30%、分段函数占比40%的高频考点分布，归纳出定义域不等式组构建、复合函数解析式求法等常考题型。 课件亮点在于“考点探究+真题变式+技巧总结”的备考模式，如以2024年全国模拟题分段函数求值为例，运用分类讨论思想培养数学思维，通过待定系数法、换元法等解析函数表示，强化数学语言表达。特设“规律与技巧”模块，帮助学生掌握定义域求解策略，教师可依托此课件实现考点精准突破，提升学生高考得分率。

专题2　 函数与基本初等函数 1 第6讲　函数的概念及其表示 目 录 课标要求 夯基固本 考点探究 01 03 02 课标要求 返回目录 夯基固本 知识梳理 >> 实数集 任意一个 唯一 y＝f(x)，x∈A 定义域 值域 返回目录 定义域 值域 对应关系 解析式 图象 表格 返回目录 对应关系 返回目录 夯基固本 常用结论 >> 并集 并集 返回目录 夯基固本 热身练习 >> B 2 3 4 5 1 返回目录 B 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 A 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 A 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 0或2 2 3 4 5 1 返回目录 考点探究 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 函数定义域的意义及求法 (0，1)∪(1，2]∪[3，＋∞) 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 C 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 规律与技巧 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 规律与技巧 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 (1，2) 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 (－∞，－6]∪[2，＋∞) 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点2 函数的表示 f(x)＝x2－x＋1 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 A 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 D 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 规律与技巧 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 D 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 1－log3x(答案不唯一)　 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 ABC 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点3 分段函数 2 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 B 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 1 (－∞，－)∪(，＋∞) 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 规律与技巧 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 C 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 D 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域. 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 3．了解简单的分段函数，并能简单应用． 1．函数的概念 (1)一般地，设A，B是非空的________，如果对于集合A中的________数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有________确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作____________，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的________；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的________． (2)函数有三个要素：__________、__________和__________． 2．函数的表示 解析法，就是用__________表示两个变量之间的对应关系． 图象法，就是用__________表示两个变量之间的对应关系． 列表法，就是列出__________来表示两个变量之间的对应关系． 3．分段函数 分段函数的定义：在定义域的不同部分，有不同的____________的函数称为分段函数． 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的__________，其值域等于各段函数的值域的__________． 1．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点(　　) A．至少1个 B．至多1个 C．仅有1个 D．有0个、1个或多个 解析：若1不在函数f(x)的定义域内，y＝f(x)的图象与直线x＝1没有交点；若1在函数f(x)的定义域内，y＝f(x)的图象与直线x＝1有1个交点，故选B. 2．(教材母题必修复习参考题3T1改编)函数f(x)＝ eq \f(2x＋1,\r(3－x))－(x＋3)0的定义域是(　　) A．(－∞，－3)∪(3，＋∞) B．(－∞，－3)∪(－3，3) C．(－∞，－3) D．(－∞，3) 解析：由函数解析式有意义，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3－x>0，,x＋3≠0，)) 解得x<3且x≠－3， 所以函数的定义域为(－∞，－3)∪(－3，3).故选B. 3．已知函数f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式是(　　) A．f(x)＝3x＋2 B．f(x)＝3x＋1 C．f(x)＝3x－1 D．f(x)＝3x＋4 解析：(方法1)令2x＋1＝t，则x＝ eq \f(t－1,2)， 所以f(t)＝6× eq \f(t－1,2)＋5＝3t＋2，所以f(x)＝3x＋2.故选A. (方法2)因为f(2x＋1)＝3(2x＋1)＋2，所以f(x)＝3x＋2. 4．下列四组函数，表示同一函数的是(　　) A．f(x)＝|x＋1|，g(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥－1，,－x－1，x<－1)) B．f(x)＝ eq \r(x2)，g(x)＝x C．f(x)＝x，g(x)＝ eq \f(x2,x) D．f(x)＝ eq \r(x2－4)，g(x)＝ eq \r(x＋2)· eq \r(x－2) 解析：对于A，f(x)＝|x＋1|＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥－1，,－x－1，x<－1，)) 与g(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥－1，,－x－1，x<－1))的定义域相同， 对应关系也相同，是同一函数，A正确； 对于B，f(x)＝ eq \r(x2)＝|x|，与g(x)＝x的对应关系不同， 所以不是同一函数，B错误； 对于C，f(x)＝x的定义域为R，g(x)＝ eq \f(x2,x)＝x的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，C错误； 对于D，f(x)＝ eq \r(x2－4)的定义域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，g(x)＝ eq \r(x＋2)· eq \r(x－2)的定义域为{x|x≥2}， 两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，D错误．故选A. 5．已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x＋4，x≤0，,x2，x>0，))若f(m)＝4，则m＝________． 解析：由题意可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m≤0，,－m＋4＝4，))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＞0，,m2＝4，)) 所以m＝0或m＝2. 【例1】(1)函数f(x)＝ eq \r(x2－5x＋6)＋ eq \f((x－1)0,\r(x＋|x|))的定义域是_____________________________． 解析：(1)由函数解析式有意义，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－5x＋6≥0，,x－1≠0，,x＋|x|>0))⇒ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≥3或x≤2，,x≠1，,x>0)) ⇒0<x<1或1<x≤2或x≥3， 故函数的定义域是(0，1)∪(1，2]∪[3，＋∞). 【例1】(2)已知函数f(x＋1)的定义域是[1，7]，则函数h(x)＝f(2x)＋ eq \r(9－x2)的定义域是(　　) A．[4，16] B．(－∞，1]∪[3，＋∞) C．[1，3] D．[3，4] 解析：(2)函数f(x＋1)的定义域是[1，7]， 则2≤x＋1≤8，因此在f(2x)中，2≤2x≤8. 函数h(x)＝f(2x)＋ eq \r(9－x2)的解析式有意义， 必有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2≤2x≤8，,9－x2≥0，))解得1≤x≤3， 所以函数h(x)的定义域是[1，3].故选C. 函数定义域的求解策略 (1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)实际问题：有实际意义及使解析式有意义的不等式(组)求解． (3)抽象函数 ①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出． ②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域． 1．函数f(x)＝ eq \f(3x,\r(x－1))＋ln (2x－x2)的定义域是__________． 解析：要使函数有意义，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－1>0，,2x－x2>0，)) 解得1<x<2.所以函数f(x)的定义域是(1，2). 2．若函数f(x)＝ eq \r(|x＋2|＋|x－m|－4)的定义域为R，则实数m的取值范围是____________________. 解析：由题意得|x＋2|＋|x－m|≥4恒成立， 由于|x＋2|＋|x－m|≥|－2－m|＝|2＋m|， 当x在－2和m之间(包括－2和m)时取等号， 所以(|x＋2|＋|x－m|)min＝|2＋m|. 所以|2＋m|≥4，所以2＋m≥4或2＋m≤－4， 即m≥2或m≤－6， 故实数m的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞). 【例2】(1)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，则f(x)的解析式是________________． 解析：(1)令f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 因为f(0)＝1，所以c＝1，则f(x)＝ax2＋bx＋1. 由题意可知，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x， 即2ax＋a＋b＝2x，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a＝2，,a＋b＝0，))所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1，)) 所以f(x)＝x2－x＋1. 【例2】(2)若函数f(x)满足f(x)＋2f( eq \f(1,x))＝2x＋1，则f(2)＝(　　) A．－ eq \f(1,3) B． eq \f(2,3) C． eq \f(8,3) D． eq \f(1,2) 解析：(2)因为函数f(x)满足f(x)＋2f( eq \f(1,x))＝2x＋1，　① 所以f( eq \f(1,x))＋2f(x)＝ eq \f(2,x)＋1，　② 联立①②得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f(x)＋2f(\f(1,x))＝2x＋1，,f(\f(1,x))＋2f(x)＝\f(2,x)＋1，)) 解得f(x)＝ eq \f(4,3x)－ eq \f(2x,3)＋ eq \f(1,3)， 所以f(2)＝ eq \f(4,6)－ eq \f(4,3)＋ eq \f(1,3)＝－ eq \f(1,3).故选A. 【例2】(3)(2025·浙江嘉兴月考)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝x3f( eq \f(1,x))(x≠0)，f(x)＋f(y)＋2xy＝f(x＋y)，则f(3)＝(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 解析：(3)因为f(x)＋f(y)＋2xy＝f(x＋y)， 令x＝y＝0，则f(0)＝0， 令x＝1，y＝－1， 则f(1)＋f(－1)－2＝f(0)＝0. 又f(x)＝x3f( eq \f(1,x))，令x＝－1， 则f(－1)＝0，所以f(1)＝2. 又f(x)＋f(y)＋2xy＝f(x＋y)， 令x＝y＝1，则f(2)＝2f(1)＋2＝6， 令x＝1，y＝2，则f(3)＝f(1)＋f(2)＋4 ＝2＋6＋4＝12.故选D. 函数解析式的常用求法 (1)待定系数法，若已知函数类型(如一次函数、二次函数、反比例函数及其他所有形式已知的函数)，可用待定系数法． (2)换元法，已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． (3)方程组法，求抽象函数的解析式，往往通过变换变量构造一个方程，组成方程组，利用消元法求f(x)的解析式． 3．(2024·江苏南通二模)已知f(x)对于任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且f( eq \f(1,2))＝2，则f(4)＝(　　) A．4 B．8 C．64 D．256 解析：由f(x＋y)＝f(x)·f(y)， 当y＝x时，有f(2x)＝f 2(x). 又f( eq \f(1,2))＝2，所以f(4)＝f2(2)＝f 4(1)＝f 8( eq \f(1,2))＝28＝256. 故选D. 4．已知f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(x)＋f(y)＝f(xy)＋1对任意的x∈(0，＋∞)都成立，写出一个满足以上特征的函数f(x)＝______________________. 解析：由题意可知，f(x)＋f(y)可变化为f(xy)的形式， 由此可想到对数函数， 又因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数， 且f(x)＋f(y)＝f(xy)＋1， 所以满足条件的一个函数可取f(x)＝1－log3x. 5．(多选)(2025·北京东城月考)设a为常数，f(0)＝ eq \f(1,2)，f(x＋y)＝f(x)f(a－y)＋f(y)f(a－x)，则(　　) A．f(a)＝ eq \f(1,2) B．f(x)＝ eq \f(1,2) C．f(x＋y)＝2f(x)f(y) D．满足条件的f(x)不止一个 解析：已知f(0)＝ eq \f(1,2)，f(x＋y)＝f(x)f(a－y)＋f(y)f(a－x). 对于A，令x＝y＝0，则 eq \f(1,2)＝f(0)＝ eq \f(1,2)f(a)＋ eq \f(1,2)f(a)＝f(a)， 即f(a)＝ eq \f(1,2)，A正确． 对于B，令y＝0，则f(x)＝f(x)f(a)＋f(0)f(a－x) ＝ eq \f(1,2)f(x)＋ eq \f(1,2)f(a－x)，故f(x)＝f(a－x)， 令x＝y，则f(2x)＝f(x)f(y)＋f(y)f(x) ＝2f(x)f(y)＝2f 2(x)≥0，故f(x)非负； 令y＝a－x，则f(a)＝f 2(x)＋f 2(a－x) ＝2f 2(x)＝ eq \f(1,2)， 解得f(x)＝± eq \f(1,2)， 又f(x)非负，故可得f(x)＝ eq \f(1,2)，B正确． 对于C，由B项分析可得f(x＋y)＝2f(x)f(y)，C正确． 对于D，由B项分析可得满足条件的f(x)只有一个， D错误．故选ABC. 【例3】(1)(2024·全国模拟预测)设函数f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2x－1，x≥1，,ax，x<1，))若f(f(2))＝ eq \f(1,32)，则a＝________． 解析：(1)函数f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2x－1，x≥1，,ax，x<1，)) 有f(2)＝－2×2－1＝－5， 则f(f(2))＝f(－5)＝a-5＝ eq \f(1,32)＝ eq \f(1,25)，解得a＝2. 【例3】(2)(2024·吉林模拟预测)已知f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x-1，x<1，,\f(\r(x),2)，x≥1，))若f(a)＝1，则a＝(　　) A．1 B．4 C．1或4 D．2 解析：当a<1时，f(a)＝2a-1＝1， 则a－1＝0，解得a＝1(舍去)； 当a≥1时，f(a)＝ eq \f(\r(a),2)＝1，则 eq \r(a)＝2， 解得a＝4.故选B. 【例3】(3)(2024·北京东城二模)设函数f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1，|x|<1，,x2，|x|≥1，))则f(f( eq \f(1,2)))＝________，不等式f(x)<f(2x)的解集是___________________________． 解析：(3)由题意可知，f(f( eq \f(1,2)))＝f(1)＝1. 因为f(x)<f(2x)， 当|2x|<1，即－ eq \f(1,2)<x< eq \f(1,2)时， 则|x|< eq \f(1,2)<1，可得1<1，不合题意； 当 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(|2x|≥1，,|x|<1，))即x∈(－1，－ eq \f(1,2)]∪[ eq \f(1,2)，1)时， 可得1<(2x)2， 解得x> eq \f(1,2)或x<－ eq \f(1,2)，所以x∈(－1，－ eq \f(1,2))∪( eq \f(1,2)，1)； 当|x|≥1，即x≥1或x≤－1时， 则|2x|＝2|x|≥2>1，可得x2<(2x2)＝4x2，符合题意． 综上所述： 不等式f(x)<f(2x)的解集是(－∞，－ eq \f(1,2))∪( eq \f(1,2)，＋∞). (1)分段函数是一个函数，“分段求解”是解决分段函数的基本原则． (2)在求分段函数的值时，一定要注意自变量的值所在的区间，再代入相应的解析式．自变量的值不确定时，要分类讨论． 6．设函数f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－3，x≥10，,f(f(x＋4))，x<10，))则f(8)＝(　　) A．10 B．9 C．7 D．6 解析：因为f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－3，x≥10，,f(f(x＋4))，x<10，)) 则f(8)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(13))＝f(10)＝7.故选C. 7．已知f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x≥0，,x2＋2x，x<0))满足f(a)<f(－a)，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2)∪(0，2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－2，0)∪(0，2) D．(－2，0)∪(2，＋∞) 解析：当a<0时，f(a)＝a2＋2a，f(－a)＝－a2－2a， 所以f(a)<f(－a)⇔a2＋2a<－a2－2a， 即a2＋2a<0，解得－2<a<0； 当a≥0时，f(a)＝－a2＋2a，f(－a)＝a2－2a， 所以f(a)<f(－a)⇔－a2＋2a<a2－2a， 即a2－2a>0，解得a>2. 所以实数a的取值范围是(－2，0)∪(2，＋∞).故选D. $